线性规划基本性质
线性规划的概念
3.6：线性规划 目录： （1）线性规划的基本概念 （2）线性规划在实际问题中的应用 【知识点1：线性规划的基本概念】 (1)如果对于变量x 、y 的约束条件，都是关于x 、y 的一次不等式，则称这些约束条件为__线性约束条件__(),z f x y =是欲求函数的最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫做__目标函数_，当(),f x y 是x 、y 的一次解析式时，(),z f x y =叫做_线性目标函数__. (2)求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，称为__线性规划问题__ ；满足线性约束条件的解(),x y 叫做__可行解_；由所有可行解组成的集合叫做__可行域_；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做_最优解__ 例题：若变量x 、y 满足约束条件2 10x y x y +≤?? ≥??≥? ，则z x y =+的最大值和最小值分别为 ( B ) A. 4和3 B. 4和2 C. 3和2 D. 2和0 分析：本题考查了不等式组表示平面区域，目标函数最值求法. 解：画出可行域如图 作020l x y +=： 所以当直线2z x y =+过()20A ， 时z 最大，过()1,0B 时z 最小max min 4, 2.z z == 变式1：已知2z x y =+，式子中变量x 、y 满足条件11y x x y y ≤?? +≤??≥-? ，则z 的最大值是__3___ 解：不等式组表示的平面区域如图所示.
作直线0:20l x y +=，平移直线0l ，当直线0l 经过 平面区域的点()21A -，时，z 取最大值2213?-=. 变式2：设2z x y =+，式中变量x 、y 满足条件43 35251x y x y x -≤-?? +≤??≥? ，求z 的最大值和最小值 分析：由于所给约束条件及目标函数均为关于x 、y 的一次式，所以此问题是简单线性 规划问题，使用图解法求解 解：作出不等式组表示的平面区域(即可行域)，如图所示． 把2z x y =+变形为2y x z =-+，得到斜率为-2，在y 轴上的截距为z ，随z 变化的一族平行直线． 由图可看出，当直线2z x y =+经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小． 解方程组430 35250x y x y -+=??+-=?，得A 点坐标为()5,2， 解方程组1 430x x y =??-+=? ，得B 点坐标为()1,1 所以max min 25212,211 3.z z =?+==?+= 变式3：若变量x 、y 满足约束条件6 321x y x y x +≤?? -≤-??≥? ，则23z x y =+的最小值为( C ) A. 17 B. 14 C. 5 D. 3
MATLAB求解线性规划含整数规划和01规划问题.pdf
MATLAB 求解线性规划（含整数规划和0-1规划）问题 线性规划是数学规划中的一类最简单规划问题，常见的线性规划是一个有约束的，变量范围为有理数的线性规划。如： max 712z x y =+ 9430045200s.t 310300,0 x y x y x y x y +≤??+≤??+≤??≥? 对于这类线性规划问题，数学理论已经较为完善，可以有多种方法求解此类问题。但写这篇文章的目的并不是为了介绍数学理论，我们这里主要讲解如果利用工具求解这一类线性规划问题。 最著名，同时也是最强大的数学最优化软件是LINGO/LINDO 软件包，它能够求解多种的数学规划问题，同时还提供了多种的分析能力。但LINGO 软件并不容易上手，同时，应用LINGO 的场合一般是大规模的线性规划问题，小小的线性规划完全可以不使用它。一个更受科研人员欢迎的数学软件是MATLAB ，它以功能强大而称著，并有数学软件中的“航空母舰”之称。我们这里就是要学习使用MATLAB 软件求解线性规划（含整数规划和0-1规划）问题。 为了使得不熟悉MATLAB 的人员也能够使用MATLAB 进行线性规划问题求解，本文将对MATALB 中使用到的函数和过程以及结果进行详细的分析，最后会对每一个问题都给出一个可以完全“套用”的MATLAB 程序。 我们首先从上面的线性规划问题开始，为了便于表达，将上面的式子写成矩阵形式： max 712z x y =+ 9430045200s.t 310300,0x y x y ???????? ? ??≤? ? ? ???? ? ???????≥? 于是约束就表达为了一个Ax b ≤不等式。 求解MATLAB 线性规划时，最常用的函数是linprog 函数，下面来介绍一下这个函数的使用。 打开MATLAB 帮助文档（PS:帮助文档的内容是最全的，只要你的英文过了专业8级），可以看到linprog 函数求解的是具有如下标准形式的线性规划：
习题答案选01_线性规划和单纯形法
运筹学教程（胡运权主编，清华版）部分习题答案（第一章）1.5 记可行集4个顶点分别为O:(0,0)，A:(1.6,0)，B:(1,1.5)，C:(0,2.25) 当c=0，d=0时，四边形OABC中的点都是最优解 当c=0，d>0时，顶点C是最优解 当c=0，d<0时，线段OA上的点都是最优解 当c>0，d/c<2/5时，顶点A是最优解 当c>0，d/c=2/5时，线段AB上的点都是最优解 当c>0，2/5
简单的线性规划问题附答案)
简单的线性规划问题 [学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 知识点一 线性规划中的基本概念 知识点二 1．目标函数的最值 线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是z b ，当z 变化时，方程表 示一组互相平行的直线． 当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域． (2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解． (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案． 知识点三 简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大； (2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小． 常见问题有： ①物资调动问题 例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？
高中数学之不等式及线性规划问题(含答案)
不等式及线性规划问题（讲义） 知识点睛 一、 不等式的基本性质 性质1：a b b a >?< 性质2：a b b c a c >>?>， 性质3：a b a c b c >?+>+ 性质4：a b >，0c >ac bc ?>；a b >，0c -1- 第一章 线性规划 §1 线性规划 在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G . B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？ 上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则2 1,x x 应满足 （目标函数）2134max x x z += (1) s.t.（约束条件）???????≥≤≤+≤+0 ,781022122 121x x x x x x x （2） 这里变量21,x x 称之为决策变量， （1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。由于上面的目标函数及约束条件均为线性 函数，故被称为线性规划问题。 总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。 在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。 1.2 线性规划的Matlab 标准形式 线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性规划的标准形式为 x c x T min s.t. ?? ? ??≤≤=?≤ub x lb beq x Aeq b Ax 其中c 和x 为n 维列向量，A 、Aeq 为适当维数的矩阵，b 、beq 为适当维数的列向量。 2015年高考数学 三角函数篇 线性规划问题命题规律揭秘和解题技巧传播 经典回顾 1、设，若三点共线，则 b a 11+的最小值是（ ） A ．223+ B ．24 C ．6 D ． 【答案】A 【解析】 试题分析：，，∵三点共线，∴，即， ∵，∴，当且仅当时取等号． 考点：基本不等式． 2、如果实数x y ，满足22(2)3x y -+=，那么y x 的最大值是（ ） A ．33 B ．32 C ．3 D ．12 【答案】C 【解析】 试题分析：令 t x y =，即直线0=-y tx 与圆3)2(22=+-y x 有公共点，则圆心到直线的距离 3122≤+=t t d ，解得33≤≤-t ，即 x y 的最大值为3． 考点：直线与圆的位置关系． 截距式 3、若满足约束条件， 则目标函数的最大值为 ． 【答案】6 【解析】 0,0,(1,2),(,1),(,0)a b A B a C b >>---,,A B C 92 (1,1)AB a =-(1,2)AC b =--,,A B C 2(1)10a b -++=21a b +=0,0a b >>111122(2)()332322b a b a a b a b a b a b a b +=++=++≥+?=+221b a ==-,x y +20020x y x y x y -≤??-≥??+≥? z 2x y =+ 试题分析：不等式组表示的区域如图阴影部分所示： 当直线经过点时，取得最大值6． 故答案为6． 考点：线性规划． 4、O 为坐标原点，点M 的坐标为(1,1)，若点(,)N x y 的坐标满足224200x y x y y ?+≤?-≥??≥?，则OM ON ?的最大值为（ ） A.2 B.22 C. D. 【答案】A. 【解析】 试题分析：如图，画出不等式组所表示的区域，作出直线l ：0=+y x ，令，平移l ，从而可知，令m y x =+，m y x =+与圆422=+y x 相切时，z 有最大值，而2222 =?=m m ，即22max =z . +20020x y x y x y -≤??-≥??+≥? 20x y z +-=(4,2)B -z 323z OM ON x y =?=+ -1- 线性规划 §1 线性规划 在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G . B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？ 上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则2 1,x x 应满足 （目标函数）2134max x x z += (1) s.t.（约束条件）???????≥≤≤+≤+0 ,781022122 121x x x x x x x （2） 这里变量21,x x 称之为决策变量， （1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。由于上面的目标函数及约束条件均为线性 函数，故被称为线性规划问题。 总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。 在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。 1.2 线性规划的Matlab 标准形式 线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性规划的标准形式为 x c x T min s.t. ?? ? ??≤≤=?≤ub x lb beq x Aeq b Ax 其中c 和x 为n 维列向量，A 、Aeq 为适当维数的矩阵，b 、beq 为适当维数的列向量。 LP （Linear Programming） Alex 有一个家庭农场。除了农场上的农作物以外，他还饲养了一些猪拿到市场上出售，猪可获得的饲料及其所含成分如下表：Alex如何喂养猪更好？ 成分/每公斤 玉米槽料苜蓿每日最小需求量碳水化合物 蛋白质 维他命 成本(美分)903010842080207240606060200180150 问题1：科学养猪线性规划建模（猪饲料的配方）饲养成本最小 --- 每天玉米、槽料、苜蓿各喂多少公斤？ --- 必须满足要求12--- 追求成本最低 Min. 84x 1+ 72x 2+ 60x 3 3x 1x 2x 3 知识点 建模三要素 决策变量约 束目标 90x 1+ 20x 2+ 40x 3 ≥ 20030x 1+ 80x 2+ 60x 3 ≥ 18010x 1+ 20x 2+ 60x 3 ≥ 150 x i ≥0 , i =1，2，3 成分/每公 斤 玉米槽料苜蓿每日最小需求量碳水化合物 蛋白质 维他命 成本(美分)903010842080207240606060200180150 s.t. 90x 1+ 20x 2+ 40x 3 ≥ 200 30x 1 + 80x 2+ 60x 3 ≥ 180 10x 1+ 20x 2+ 60x 3 ≥ 150 x i ≥0 , i =1,2,3 Min . 84x 1+ 72x 2+ 60x 3 目标函数约束函数符号中必含等号符号的右侧为常数线性--变量均为1次方 Max. 或 Min.线性--所有变量均为1次方常规约束：变量非负！知识点 模型表示 ？线性规划模型能求解出来吗？ 能！--- 万能的单纯形法 结合软件 QSB应用 运筹学 线性规划基本性质 线形规划基本性质目录 线性规划（概论） 线性规划问题:生产计划问题 例1.1 生产计划问题（资源利用问题）例1.1生产计划问题分析 例1.1生产计划问题模型 例1.1生产计划问题表格描述 例1 .2 营养配餐问题 各种食物的营养成分表 各种食物的营养成分表（转置） 例1 .2 营养配餐问题求解 用于成功决策的实例 线形规划的一般模型:特点 线形规划的一般模型:数学模型线性规划问题隐含的假定 比例性假定 可加性假定 连续性假定 确定性假定 线形规划的图解法 线形规划解的可能结果 线形规划的标准形式1 线形规划的标准形式2 非标准型LP的标准化:目标函数 非标准型LP的标准化:约束函数1 非标准型LP的标准化:约束函数2 非标准型LP的标准化:决策变量 线形规划解的概念：可行解 线形规划解的概念：最优解 线形规划解的概念：基本解 线形规划解的概念：最优基本解 线形规划的应用模型 生产计划问题 生产计划问题：表格分析 生产计划问题：模型 产品配套问题 产品配套问题：工时分析 产品配套问题：配套分析 产品配套问题：模型 结束放映 线性规划（概论） 线形规划是研究解决有限资源最佳分配的运筹学方法，即如何对有限的资源做出最佳方式的调配和最有利的利用，以便最充分地发挥资源的效能去获得最佳经济效益。 线性规划问题:生产计划问题 1、如何合理使用有限的人力、物力和资 金，实现最好的经济效益。 2、如何合理使用有限的人力、物力和资 金，以达到最经济的方式，完成生产 计划的要求。 例1.1 生产计划问题（资源利用问题） 胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。桌子售价50元/张，椅子销售价格30元/把，生产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。生产一张桌子需要木工4小时，油漆工2小时。生产一把椅子需要木工3小时，油漆工1小时。该厂每个月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时。问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？ 第二章 线性规划的基本性质 在生产、经济、技术领域，许多工程技术和管理问题实际上是线性的，或者是可以用线性函数近似表达的，所以线性规划的研究是很有意义的。而且对线性规划的理论的研究要比非线性规划领域成熟的多。掌握线性规划的基本理论和求解方法是本课程最重要的目标之一。 §2.1 线性规划解的几何特征 借助于平面图形可以直观地了解线性规划解的几何特征，具体介绍一个实例。 设有两个决策变量x 1和x 2的线性规划： min - 2 x 1 - x 2 s.t. -3 x 1 -4 x 2 ≥-12 （2.1） - x 1 + 2 x 2 ≥ -2 x 1,x 2, ≥ 0 首先在x 1O x 2平面上画出（2.1）的可行域： 12121212{(,)|-3 -4 -12,- + 2 -2, , 0}T K x x x x x x x x =≥≥≥ 为此，只要画出K 的边界： -3 x 1 -4 x 2 ≥-12 - x 1 + 2 x 2 ≥ -2 x 1 = 0,x 2 = 0 该可行域如图 2.1所示，它是一个由四条直线组成的凸多边形。任何一个含两个变量的线性规划的可行域都是以直线为边的凸多边形。 观察目标函数： f(x ) = - 2 x 1 - x 2 对于任一给定的实数a ，方程 - 2 x 1 - x 2 =a 表示一条直线，称为f 的等值线。变动a 可以得到一族相互平行的直线。把f 的等值线向函数值a 减小的方向移动，它与凸多边形K 的最后一个交点即为的最优解。最优解是凸多边形的一个顶点。 设目标函数f(x ) = c 1 x 1 +c 2 x 2它是x 1和x 2的函数，它的斜率是12 c c -，它在任意一点 的梯度： ()1212,,T T f f f c c x x ?????== ????? 它与目标函数的等值线垂直，由高等数学的有关知识可知，当点()12,T x x 沿着梯度方向移动时，f 的值将随之增大，沿着梯度负方向移动时，f 的值将随之减小。 对于式（2.1），不妨在原点做梯度()()12,2,1T T f c c ?==--，从原点至点()2,1T --作一个向量即为该梯度。过原点作梯度向量的垂直线（用虚线表示），它为过原点且a=0的等值线： - 2 x 1 - x 2=0 因为我们的问题是求目标函数的最小值min f ，因此让等值线逆梯度方向移动，于是目标函数值逐步减小，在等值线刚好要离开可行域的时候，这时等值线在可行域的的一个顶点，顶点*163,55T ??= ??? X 就是线性规划的最优解，* ()7f =-X 是线性规划的最优值。 结论： 若两个变量的线性规划有最优解，则必能在可行域凸多边形的顶点中得到。 推广之，对于有n 个变量的线性规划，其可行域是一个以超平面为边界的凸多边体。如果线性规划有最优解,则该最优解一定能在凸多边体的顶点中得到。 x 1 x 2 图2.1 (2,- 运筹学教程（胡运权主编，清华第三版）部分习题答案（第一章）1.1 （1）无穷多解：α (6/5, 1/5) + (1- α) (3/2, 0)，α∈ [0,1]。 （2）无可行解； （3）x* = (10,6)，z* = 16； （4）最优解无界。 1.2 （1）max z’ = 3x1 - 4x2 + 2x3 - 5x’4 + 5x’’4 s.t. –4x1 + x2 – 2x3 + x’4– x’’4 = 2 x1 + x2 – x3 + 2x’4– 2x’’4 + x5 = 14 –2x1 + 3x2 + x3 – x’4+ x’’4– x6 = 2 x1, x2, x3, x’4, x’’4, x5, x6 ≥ 0 （2）max z’ = 2x’1 + 2x2 – 3x’3 + 3x’’3 s.t. x’1 + x2 + x’3 – x’’3 = 4 2x’1 + x2 – x’3 + x’’3 + x4 = 6 x’1, x2, x’3, x’’3, x4, ≥ 0 1.3 （1）基解：(0, 16/3, -7/6, 0, 0, 0)； (0, 10, 0, -7, 0, 0)； (0, 3, 0, 0, 7/2, 0)，是基可行解，z = 3，是最优解； (7/4, -4, 0, 0, 0, 21/4)； (0, 16/3, -7/6, 0, 0, 0)； (0, 0, -5/2, 8, 0, 0)； (1, 0, -1/2, 0, 0, 3)； (0, 0, 0, 3, 5, 0)，是基可行解，z = 0； (5/4, 0, 0, -2, 0, 15/4)； (3/4, 0, 0, 0, 2, 9/4)，是基可行解，z = 9/4； (0, 0, 3/2, 0, 8, 0)，是基可行解，z = 3，是最优解。 （2）基解：(-4, 11/2, 0, 0)； (2/5, 0, 11/5, 0)，是基可行解，z = 43/5； (-1/3, 0, 0, 11/6)； (0, 1/2, 2, 0)，是基可行解，z = 5，是最优解； (0, -1/2, 0, 2)； (0, 0, 1, 1)，是基可行解，z = 5，是最优解； 最优解：α (0, 1/2, 2, 0) + (1- α) (0, 0, 1, 1)，α∈ [0,1]。 1.4算法大全第01章线性规划
江苏省无锡市高考数学第二十讲线性规划与不等式的性质练习【含答案】
01线性规划
线性规划基本概念及模型构建
《运筹学》之线性规划 (2)
02第二章 线性规划的基本性质
习题答案选01_线性规划和单纯形法