高等数学上公式

学姐偷懒直接从网上下了一份公式总结，然后按照咱们的考试要求改了一下，特别诡异的那些公式我都删掉了，剩下的都是可能会出现的，哪些必须记哪些可以记也都写在后面了，有的出题形式我也加在知识点后面了，可以做个参考。这上面的知识点不很全，但应付考试差不多了，上面没有的学霸们可以自己再看看书哈。重点关注黑体字！！！电子版已发各部长，可以找部长要。祝大家都能考个好成绩~

——魏亚杰

高等数学（一）上 公式总结

第一章 一元函数的极限与连续

1、一些初等函数公式：（孩子们。没办法，背吧）

sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1cot()cot cot αβαβαβ

αβαβαβαβ

αβαβ

αβαββα±=±±=±±=

??±=±和差角公式：

sin sin 2sin

cos

22

sin sin 2cos sin 22

cos cos 2cos cos 22

cos cos 2sin sin 22

αβ

αβ

αβαβαβ

αβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式：

1

sin cos [sin()sin()]

21

cos sin [sin()sin()]

21

cos cos [cos()cos()]

21

sin sin [cos()cos()]

2

αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式：

222222sin 22sin cos cos 22cos 1

12sin cos sin 2tan tan 21tan cot 1

cot 22cot αααααααα

α

ααααα

==-=-=-=

--=

倍角公式：

22222222sin cos 1;tan 1sec ;cot 1csc ;1sin cos 2

21cos sin tan 2

sin 1cos 1cos sin cot

2

sin 1cos x x x x ch x sh x αααααααααααα

αα

+=+=+=-===-===++===

-半角公式：,

（一般用倍角公式就可以了，这个不好记） 332

2()()()a b a b a ab b ±=±+，222(1)(21)

126

n n n n +++++=

22

3

3

3

(1)124

n n n +++

+=

2、极限

常用极限：1,lim 0n n q q →∞

<=

;1,1n a >=;1n =

两个重要极限

1

00sin sin 1lim 1,lim 0;lim(1)lim(1)x x x x x x x x e x x x x

→→∞→∞→==+==+

:常用等价无穷小（一定要记！！一定记得是x 趋于0或者1/x 趋于无穷才能用）

211

1cos ~

; ~sin ~arcsin ~arctan 1~;2 1~ln ; ~1;(1)~1; ln(1)~x x a x x x x x x x n a x a e x x ax x x

--++++

极限运算法则（求极限必出，你得记住常用的，再用运算法则求要求的）

极限存在准则：夹逼准则、单调有界数列必有极限（大题里求极限可能用到夹逼准则，还是记一下吧）

3、连续：

定义：0

00

lim 0;lim ()() x x x y f x f x ?→→?==

00lim ()lim ()()()x x x x f x f x f x f x -+-+

→→?==极限存在或

间断点：（填空选择考的概率很大！！） 第一类间断点（左右极限存在）

第二类间断点（不是第一类的都是第二类） （有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理，求零点的，有时间就看没时间就算了）

第二章 导数与微分

1、 基本导数公式：

00000000

()()()()()lim

lim lim tan x x x x f x x f x f x f x y

f x x x x x α?→?→→+?--?'====??-

_0+0()()f x f x -+

''?=导数存在

（记清楚导数概念，可能会有上面这个样子的题） （又是一波要记的，必须记！！，记清楚导数的，就等于记清楚常用微分，后面的那个常用积分就是把它反过来）

1220; (); (sin )cos ; (cos )sin ; (tan )sec ; (cot )csc ;(sec )sec tan ; (csc )csc ; ()ln ;();11(log ); (ln ); (arcsin ) (arccos )ln a a x x x x a C x ax x x x x x x x x x x x x x ctgx a a a e e x x x x x a x -''''''======-''''=?=-?==''''=

===2211

(arctan ); (cot );

11x arc x x x ''==-++

2、高阶导数：（有能力者自选~一般不会让求n 阶，要是考了就认命吧）

()()()()!

()()!; ()ln ()()!

n k n k n n x n x n x n x n x x x n a a a e e n k -=

?==?=-

()()()111

1(1)!1(1)!1!

(); (); ()()()n n n n n n n n n n n x x x a x a a x a x +++--===++-- ()()(sin )sin(); (cos )cos();22

n n n n kx k kx n kx k kx n ππ

=?+?=?+?

牛顿-莱布尼兹公式：

()

()()

0()(1)(2)

()()

()

()

(1)(1)

(1)2!

!

n

n k n k k n k n n n n k k n uv C u v n n n n n k u v nu v u v u v uv k -=---=---+'''=++

++

+

+∑

3、微分：

0()()(); =()();y f x x f x dy o x dy f x x f x dx ''?=+?-=+??=

???连续极限存在收敛有界;=???可微可导左导右导连续；

?不连续不可导

（求导法则我就不啰嗦了，见书上94页）

隐函数求导、参数方程求导重点看一下，参数方程求导基本每年考

第三章

微分中值定理与导数的应用（一道十分左右的证明题）

1、基本定理

()()()(),(,)

()()()

,(,)()()()F()f b f a f b a a b f b f a f a b F b F a F x x ξξξξξ'-=-∈'-=∈'-=拉格朗日中值定理：柯西中值定理：当时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

洛必达法则，特别好用，求极限题不会求的时候看看能不能用洛必达法则 泰勒中值定理就算了，可以记几个比较常用的泰勒公式

求极值虽然不是每年都考，但考的也比较多，跟高中的差不太多，要看

第四章 不定积分

1、常用不定积分公式： （个别常用求导公式里没有的记一下，当然，想记牢的最好办法就是…刷题…）

()(); (())(); ()()f x dx F x C f x dx f x F x dx F x C ''=+==+???

11

(1); ln ;1; ;

ln x x

x x

x x dx C dx x C x

a a dx C e dx e C a μμ

μμ+=+≠-=++=+=+????22

22sin cos ; cos sin ;

tan ln cos ; cot ln sin ;sec ln sec tan ;

csc ln csc cot ln tan

ln csc cot ;2

sec tan ; csc cot ;

cos sin sec t xdx x C xdx x C xdx x C xdx x C xdx x x C x

xdx x x C C x x C dx dx xdx x C xdx x C x x x =-+=+=-+=+=++=-+=+=-++==+==-+???????????an sec ; csc cot csc ;

xdx x C x xdx x C =+?=-+??

222

2222

arcsin arccos;arcsin;

1

arctan arccot;arctan;

1

11

ln;ln;

22

ln(;

x

x C x C C

a

dx dx x

x C x C C

x a x a a

dx x a dx a x

C C

x a a x a a x a a x

x C

=+=-+=+

=+=-+=+

++

-+

=+=+

-+--

=++

??

??

2

2

ln(;

2

arcsin

2

a

x C

a x

C

a

=+++

=+

2、常用凑微分公式：

2

2

1

2();(ln);

11

(1)()

(ln tan);

cos sin

dx dx

d d x

x x x

d dx d x

x x

dx

d x

x x

==-=

=-=+

=

（分部积分法，必须掌握！！）

第五章定积分

1、基本概念

00

11

1

()lim()lim()()()() , (()()) n n

b b

i i a

a n

i i

i

f x dx f x f F b F a F x F x f x

n n

λ

ξ

→→

==

'

=?==-==

∑∑

?

??

??

连续可积;有界+有限个间断点可积;

可积有界; 连续原函数存在

()()()()

x

a

x f t dt x f x

'

Φ=?Φ=

?

()

()

()[()]()[()]()

x

x

d

f t dt f x x f x x

dx

?

ψ

??ψψ

''

=-

?

()(())()

a

b

f x dx f t t dt

α

β

??'

=

??，()()()()()()

a a

b b

u x dv x u x v x v x du x

=-

??

2、常用定积分公式：；

(),()2()

a a

a

f x f x dx f x dx

-

=

??

为偶函数；(),()0

a

a

f x f x dx

-

=

?

为奇函数；

T T

T

2T 0

2

()()()a a

f x dx f x dx f x dx +-==?

??

；T

T

()()a n a

f x dx n f x dx +=?

?

Wallis 公式：（这个。。自愿吧。。考的概率不大）

2

220

13

31,1

2242sin cos 2431,352n

n n n n n n n n n

I xdx xdx I n n n

n n n πππ---??????-?-===

=?

--?????-?

??为正偶数为正奇数 无穷限积分：

+b

+b

-b

b

+-()lim

()(+)();

()lim ()(-)();

()lim

()lim ()(+)()

a a

b b

a

a a

a

b a

f x

dx f x dx F F a f x dx f x dx F F a f x dx f x dx f x dx F F ∞

→∞-∞→∞+∞

-∞

→∞→∞==∞-==∞-=+=∞--∞??

???

?

?

第六章 定积分应用

（只看在几何学上的应用就行，大题可能会有一道以这种形式考微积分，可能是面积，也

可能是体积，比如下面这两道）

1、平面图形的面积：

直角坐标情形：()b

a

A f x dx =?；()()b

a

A f x g x dx =-?；()()d

c

A y y dy ?ψ=-?

参数方程情形：()()()();(();())A t d t t t dt a b ββ

α

α

ψ?ψ??α?β'====??

极坐标情形：2

1()2A d βα

ρθθ=?

2、空间立体的体积：

由截面面积：()b

a

V A x dx =?

旋转体：绕x 轴旋转：2

22();[()()()

2();2()()()

b

b

a a

d d

c

c

V f x dx V f x g x dx x V y y dy V y y y dy y πππ?π?ψ==-==-????为积分变量为积分变量

绕y 轴旋转：

222()2()();()

[()()]()

b b

a

a

d

c

V x f x dx x f x g x dx x V y y dy y πππ?ψ==-=-???为积分变量为积分变量

3、平面曲线的弧长：

a

s β

β

α

α

θ===?

?

?

第七章 空间解析几何与向量代数

（一道大题，一般考的是平面和直线的方程），比如

总结

（这是人家总结好的，挺全的，我就批注一下哪个用记哪个不用记，领会一下精神吧。）

求极限方法：

1、 极限定义；

2、函数的连续性；

3、极限存在的充要条件；

4、两个准则；

5、两个重要极限；

6、等价无穷小；

7、导数定义；8利用微分中值定理；

9、洛必达法则；10、麦克劳林公式展开（可以不用，有能力的话记几个常用的）；

求导法：

1、导数的定义（求极限）；

2、导数存在的充要条件；

3、基本求导公式；

4、导数四则运算及反函数求导；（反函数求导就算了…）

5、复合函数求导；

6、参数方程确定的函数求导（重点！！）；

7、隐函数求导法；

8、高阶导数求导法（莱布尼茨公式/常用的高阶导数，这个就不要求了）；

等式与不等式的证明：

1、利用微分中值定理；

2、利用泰勒公式展开；

3、函数的单调性；

4、最大最小值；

5、曲线的凸凹性（这个也可以不用）