人教版高中数学,第二章数列单元检测(B)

10．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0 的四个根组成一个首项为的等比数列，则

A ．1 B. C.

D. 的数列(按原来的顺序)是等比数列，则 1的值为( ) ，

人教版高中数学单元检测第二章章末检测 (B)

一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1．在等差数列{a n }中，a 3＝2，则{a n }的前 5 项和为( ) A ．6 B ．10 C ．16 D ．32

2．设 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和，已知 3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比 q 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

3．已知某等差数列共有 10 项，其奇数项之和为 15，偶数项之和为 30，则其公差为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2

4．在等比数列{a n }中，T n 表示前 n 项的积，若 T 5＝1，则( ) A ．a 1＝1 B ．a 3＝1 C ．a 4＝1 D ．a 5＝1

5．等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝4，则数列{a n }的通项公式为( )

A ．a n ＝24－n

B ．a n ＝2n －4

C ．a n ＝2n －3

D ．a n ＝23－n

6．已知等比数列{a n }的前 n 项和是 S n ，S 5＝2，S 10＝6，则 a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20 等于 ( )

A ．8

B ．12

C ．16

D ．24

7．在等差数列{a n }中，若 a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则 a 10－2a 12 的值为( )

A ．10

B ．11

C ．12

D ．13

8．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前 n 项和，若 a 2· a 3＝2a 1，且 a 4 与 2a 7 的等差中 5

项为4，则 S 5 等于( )

A ．35

B ．33

C ．31

D ．29

9．已知等差数列{a n }中，S n 是它的前 n 项和．若 S 16>0，且 S 17<0，则当 S n 最大时 n 的值为( )

A ．8

B ．9

C ．10

D ．16

|m －n |等于( )

3 5 9

2 2 2

11．将正偶数集合{2,4,6，…}从小到大按第 n 组有 2n 个偶数进行分组：{2,4} {6,8,10,12}， {14,16,18,20,22,24}，….则 2 010 位于第( )组．

A ．30

B ．31

C ．32

D ．33

12．a 1，a 2，a 3，a 4 是各项不为零的等差数列且公差 d ≠0，若将此数列删去某一项得到

a d

A ．－4 或 1

B ．1

C ．4

D ．4 或－1

题号答案

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)

13．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且 a 1＝－1，公和为 1，那么这个数列的前 2 011 项和 S 2 011＝________.

14．等差数列{a n }中，a 10<0，且 a 11>|a 10|，S n 为数列{a n }的前 n 项和，则使 S n >0 的 n 的最小值为__________．

15．某纯净水厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的 20%，要使水中杂质减少到原来的 5%以下，则至少需过滤的次数为________．(lg 2≈0.301 0)

16．数列{a n }的前 n 项和 S n ＝3n 2－2n ＋1，则它的通项公式是________．三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)

1 1 17．(10 分)数列{a n }中，a 1＝3，前 n 项和 S n 满足 S n ＋1－S n ＝(3)n ＋1

(n ∈N *)．

(1)求数列{a n }的通项公式 a n 以及前 n 项和 S n ；

(2)若 S 1，t(S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列，求实数 t 的值．

18．(12 分)已知点(1,2)是函数 f(x)＝a x (a >0 且 a ≠1)的图象上一点，数列{a n }的前 n 项和 S n ＝f(n )－1.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若 b n ＝log a a n ＋1，求数列{a n b n }的前 n 项和 T n .

1 1 1 1 1

19．(12 分)设 S n 是等差数列{a n }的前 n 项和，已知3S 3，4S 4 的等比中项为5S 5；3S 3，4S 4

的等差中项为 1，求数列{a n }的通项公式．

20．(12 分)设数列{a n }的前 n 项和为 S n ，a 1＝1，S n ＝na n －2n (n －1)． (1)求数列{a n }的通项公式 a n ；

(2)设数列{

}的前 n 项和为 T n ，求证： ≤T n < .5

同，甲超市前 n 年的总销售额为 (n 2

－n ＋2)万元，乙超市第 n 年的销售额比前一年销售额多

a ?3?n －1 万元．

1 1 1

a n a n ＋1

21．(12 分)设等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，公比是正数的等比数列{b n }的前 n 项和为 T n ，已知 a 1＝1，b 1＝3，a 2＋b 2＝8，T 3－S 3＝15.

(1)求{a n }，{b n }的通项公式；

(2)若数列{c n }满足 a 1c n ＋a 2c n －1＋…＋a n －1c 2＋a n c 1＝2n ＋1－n －2 对任意 n ∈N *都成立，求证：数列{c n }是等比数列．

22．(12 分)甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a 万元，由于经营方式不

a 2

?2?

(1)求甲、乙两超市第 n 年销售额的表达式；

(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的 50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？

第二章数列章末检测(B) 答案

1．B [S 5＝

＝5a 3＝10.] a ＋a 6 1 1 a 1＋a 3 8

5．A [q 3＝ 4

＝，∴q ＝ . ??S ＝a (1－q ) ∴? ??

S ＝a (1

－q ) S 5 ＝ [2(a 1＋9d )－(a 1＋11d )]＝ (a 1＋7d )2

a (1－q 5) 16[1－( )5

] ∴S 5＝

1 ＝＝31.]

1－

9．A [∵S 16＝＝8(a 8＋a 9)>0，

∵S 17＝＝17a 9<0.

10．B [易知这四个根依次为：，1,2,4.

不妨设，4 为 x 2－mx ＋2＝0 的根，

5(a 1＋a 5) 2

2．B [∵3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2.

∴3(S 3－S 2)＝a 4－a 3，∴3a 3＝a 4－a 3. ∴a 4＝4a 3.∴q ＝4.]

3．C [当项数 n 为偶数时，由 S 偶－S 奇＝2d 知

30－15＝5d ，∴d ＝3.]

4．B [T 5＝a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)(a 2a 4)a 3 ＝a53＝1.∴a 3＝1.]

2 5 ∵a 1＋a 3＝a 1(1＋q 2)＝4a 1＝10，∴a 1＝8.

1 ∴a n ＝a 1· q n －1＝8·(2)n －1＝24－n

6．C [∵S 10＝6，S 5＝2，S 10＝3S 5.∴q ≠1.

1 5 5 1－q

1 10 1－q

∴ 10＝1＋q 5＝3.q 5＝2.

∴a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)q 15 ＝S 5· q 15＝2×23＝16.]

7．C [a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝(a 4＋a 12)＋(a 6＋a 10)＋a 8＝5a 8＝120，a 8＝24.

1 1

∴a 10－2a 12＝2(2a 10－a 12)

1 1 2

＝2a 8＝12.]

8．C [设公比为 q (q ≠0)，则由 a 2a 3＝2a 1 知 a 1q 3＝2，∴a 4＝2.

5 1

又 a 4＋2a 7＝2，∴a 7＝4.

∴a 1＝16，q ＝2.

1 2 1－q

1 2 16(a 1＋

a 16) 2

∴a 8＋a 9>0.

17(a 1＋a 17) 2

∴a 9<0，∴a 8>0.

故当 n ＝8 时，S n 最大．]

1,2 为 x 2－nx ＋2＝0 的根．

∴m ＝＋4＝，n ＝1＋2＝3，

∴|m －n |＝| －3|＝ .]

2＋4＋6＋…＋2n ＝＝n 2

＋n .

解析 ∵S 19＝＝19a 10<0；

＝10(a 10

＋a 11)>0.

∵lg 0.8<0，∴n > ，

lg 8－1 3lg 2－1 3lg 2－1 ≈ ≈13.41，取 n ＝14. 16．a n ＝?

1 9

2 2

9 3

2 2

11．C [∵前 n 组偶数总的个数为：

(2＋2n )n 2 ∴第 n 组的最后一个偶数为 2＋[(n 2＋n )－1]×2＝2n (n ＋1)．令 n ＝30，则 2n (n ＋1)＝1 860；令 n ＝31，则 2n (n ＋1)＝1 984；令 n ＝32，则 2n (n ＋1)＝2 112. ∴2 010 位于第 32 组．]

12．A [若删去 a 1，则 a 2a 4＝a 23，

即(a 1＋d )(a 1＋3d )＝(a 1＋2d )2，化简，得 d ＝0，不合题意；若删去 a 2，则 a 1a 4＝a 23，

即 a 1(a 1＋3d )＝(a 1＋2d )2，化简，得 d 1＝－4；若删去 a 3，则 a 1a 4＝a 2，

即 a 1(a 1＋3d )＝(a 1＋d )2，化简，得 d 1＝1；若删去 a 4，则 a 1a 3＝a 22，

即 a 1(a 1＋2d )＝(a 1＋d )2，化简，得 d ＝0，不合题意．故选 A.] 13．1 004

解析 a 1＝－1，a 2＝2，a 3＝－1，a 4＝2，…，

∴a 2 011＝－1，∴S 2 011＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2 009＋a 2 010)＋a 2 011＝1 005×1＋(－1) ＝1 004. 14．20

19(a 1＋a 19) 2 S 20＝ 20(a 1＋a 20) 2

∴当 n ≤19 时，S n <0；当 n ≥20 时，S n >0. 故使 S n >0 的 n 的最小值是 20. 15．14

解析设原杂质数为 1，各次过滤杂质数成等比数列，且 a 1＝1，公比 q ＝1－20%， ∴a n ＋1＝(1－20%)n ，由题意可知： (1－20%)n <5%，即 0.8n <0.05. 两边取对数得 n lg 0.8

lg 0.05

lg 0.8

lg 5－2 1－lg 2－2 －lg 2－1

即 n > ＝＝

－0.301 0－1 3×0.301 0－1

2 (n ＝1) ?6n －5 (n ≥2)

解析当 n ＝1 时， a 1＝S 1＝3－2＋1＝2. 当 n ≥2 时， a n ＝S n －S n －1

＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]

从而 S n ＝＝ [1－( )n ](n ∈N *)．

1－＋3×( ＋ )＝2×( ＋ )t ，解得 t ＝2. 19．解设等差数列{a n }的首项 a 1＝a ，公差为 d ，则 S n ＝na ＋ d ，依题意，有

3??

∴a ＝1，d ＝0 或 a ＝4，d ＝－ .

∴a n ＝? . 3 3 1 1 ? 1

? 2 ? 4? 2 ?

＝6n －5.

则当 n ＝1 时，6×1－5＝1≠a 1，

??2

(n ＝1) ?6n －5 (n ≥2)

1 1 17．解 (1)由 S n ＋1－S n ＝(3)n ＋1 得 a n ＋1＝(3)n ＋1

(n ∈N *)，

1 1

又 a 1＝3，故 a n ＝(3)n (n ∈N *)．

1 1

×[1－( )n ]

1 2 3 3

1 4 13

(2)由(1)可得 S 1＝3，S 2＝9，S 3＝27.

从而由 S 1，t(S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列得 1 4 13 1 4

3 9 27 3 9

18．解 (1)把点(1,2)代入函数 f(x)＝a x 得 a ＝2，所以数列{a n }的前 n 项和为 S n ＝f(n )－1＝2n －1. 当 n ＝1 时，a 1＝S 1＝1；

当 n ≥2 时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1，对 n ＝1 时也适合，∴a n ＝2n －1.

(2)由 a ＝2，b n ＝log a a n ＋1 得 b n ＝n ，所以 a n b n ＝n ·2n －1.

T n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1，

① 2T n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n .

② 由①－②得：

－T n ＝20＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ，所以 T n ＝(n －1)2n ＋1.

n (n －1) 2

?1?

3a ＋

3×2d ?×1?4a ＋4×3d ?＝ 1 ?5a ＋5×4d ?2， 2 ? 4? 2 ? 25? 2 ? ?

3?3a ＋3×2d ?＋1?4a ＋4×3d ?＝1×2，

3ad ＋5d 2＝0，

整理得? 5

??2a ＋2d ＝2，

32 12

∴a n ＝1 或 a n ＝ 5 － 5 n ，

32 12

经检验，a n ＝1 和 a n ＝ 5 － 5 n 均合题意．

32 12

∴所求等差数列的通项公式为 a n ＝1 或 a n ＝ 5 － 5 n .

20．(1)解由 S n ＝na n －2n (n －1)得

a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(n ＋1)a n ＋1－na n －4n ，即 a n ＋1－a n ＝4.

∴数列{a n }是以 1 为首项，4 为公差的等差数列， ∴a n ＝4n －3.

∴a n ＝? 2＋…＋a n －1＝a ＋a ＋a ?3? ?3? ?3?

n －1 a ，(n ∈N *)．＝ 3－2? ?3? ?

n －1 a < (n －1)a.由 b n < a n 得： 3－2

? ?3? ? n －1∴n ＋4?3? >7，∴n ≥7. a 1a 2 a 2a 3

a n a n ＋1 1×5

5×9 9×

13 (4n －3)×(4n ＋1) 4 5 5 9 9 13 4n －3 4n ＋1 4 4n ＋1 4

－解得? ∴a n ＝n .b n

＝3×2n 1. a n ＝ (n 2－n ＋2)－ [(n －1)2－(n －1)＋2]2

? ?

1 1 1

(2)证明 T n ＝＋＋…＋ 1 1 1 1 ＝＋＋＋…＋ 1 1 1 1 1 1 1 1 ＝ (1－＋－＋－＋…＋－ )

1 1 1 ＝ (1－ )< .

又易知 T n 单调递增，

1 1 1

故 T n ≥T 1＝5，得5≤T n <4.

21．(1)解设数列{a n }的公差为 d ，数列{b n }的公比为 q (q >0)．

??d ＋3q ＝7，

由题意得?

?q ＋q 2－d ＝5，

??d ＝1， ??q ＝2. (2)证明由 c n ＋2c n －1＋…＋(n －1)c 2＋nc 1＝2n ＋1－n －2，

知 c n －1＋2c n －2＋…＋(n －2)c 2＋(n －1)c 1＝2n －(n －1)－2(n ≥2)．两式相减：c n ＋c n －1＋…＋c 2＋c 1＝2n －1(n ≥2)， ∴c n －1＋c n －2＋…＋c 2＋c 1＝2n －1－1(n ≥3)， ∴c n ＝2n －1(n ≥3)．

当 n ＝1,2 时，c 1＝1，c 2＝2，适合上式． ∴c n ＝2n －1(n ∈N *)，即{c n }是等比数列．

22．解 (1)设甲、乙两超市第 n 年的销售额分别为 a n ，b n .则有：a 1＝a ，n ≥2 时：

a a 2

＝(n －1)a.

??a ， n ＝1， ?(n －1)a ， n ≥2.

b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)

?2? ?2? ?2? ? ?2? ?

(2)易知 b n <3a ，所以乙超市将被甲超市收购，

1 ? ?2? ? 1

2 2

?2? 即第 7 年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．