【教育资料】北师大版八年级上册 第七章 7.1 为什么要证明 教案学习精品

第七章平行线的证明

7.1为什么要证明(教案）

教学目标

知识与技能：体会检验数学结论的常用方法:实验验证、举出反例、推理等,发展学生的推理能力.

过程与方法：经历观察、验证、归纳等过程,使学生对由这些方法所得的结论产生怀疑,以此激发学生的好奇心理,从而认识证明的必要性,培养学生的推理意识.

情感态度与价值观：通过积极参与,获取正确的数学推理方法,理解数学的严密性,并培养与他人合作的意识.

教学重难点

【重点】要判断一个数学结论是否正确,仅仅依靠经验、观察或实验是不够的,必须一步一步、有理有据地进行推理.

【难点】通过对一些规律的探讨和分析,养成动脑思考问题的习惯.

教学准备

【教师准备】教材图7 - 1、图7 - 2、图7 - 3的投影图片.

【学生准备】有刻度的直尺.

教学过程

一、导入新课

导入一:师:同学们,请你们用学过的数学知识解决下面的问题。(多媒体展示)

从A地到B地有五条道路,时间紧急,张先生要从B地赶往A地乘车,此时张先生应该选择哪条路?

生:张先生应该走第③条路.

师:你的依据是什么?

生:两点之间,线段最短.

师:你还记得我们是如何得到“两点之间,线段最短”这个结论的吗?

生1:生活经验.

生2:观察比较.

生3:测量验证.

师:很好!我们曾经通过观察、实验、归纳等活动得到了很多正确的结论.但是通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?如何才能得到正确的结论呢?本节课让我们共同来学习第七章《平行线的证明》中的第一节“为什么要证明”.(板书课题:1为什么要证明)

[设计意图]从学生已知的数学结论出发,感受有些结论是通过观察、实验、归纳等活动得出的,适时提出问题,通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?设置悬念,激发学生的求知欲,为新课的学习做好铺垫.

导入二:欣赏几组图片(多媒体展示):

问题1:【课件1】第一组图中的线是直的吗?

问题2:【课件2】第二组图中心的两个圆哪个大?

我们常说“百闻不如一见”“耳听为虚,眼见为实”,但“眼见真的全为实”吗?

(此时学生很兴奋,讨论很热烈)

以前,我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论.那么通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?今天这节课我们就通过具体问题来探讨判断数学结论正确性的方法.(板书课题) [处理方式]给学生2分钟思考的时间,然后找学生回答.此时学生的回答各有不同,若学生的回答是否定的,可通过实际操作验证第一组图中的线是直的,第二组图中心的两个圆一样大,让学生明白只有实践才能出真知的道理,从而归纳知识:仅仅依靠观察不能判断一个数学结论是否正确.

[设计意图]通过故事和精美的图片,在愉快的氛围中激发学生学习数学的兴趣,体现了学生走进生活感受数学的高涨热情.故事和精美的图片非常吸引学生,使学生很自然地进入本节课的学习.

二、新知构建

[过渡语]以前,我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确结论.观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?

(1)、“直观”可靠吗

师:请观察下面几组图片,思考并回答下列问题.(多媒体出示)

(1)图(1)中的两条线段a,b长度相等吗?图(2)中的四边形是正方形吗?请你先观察,再设法检验你观察到的结论.

【师生活动】学生先观察,再动手验证,然后小组交流.教师巡视、指导学生,在学生回答的同时,教师利用多媒体进行验证.

生1:我观察的结果是线段a比较长;经过测量,线段a,b长度相等.

生2:我观察的结果是四边形的四条边是曲线;经过直尺验证,四边形是正方形.

师:通过以上操作,你有什么感受?

生:观察到的结果与事实不相符.

师:以上操作说明仅仅依靠观察得到的结果是不能作为判断某些问题的结论的,要想得到正确的结论,必须进行验证.让我们再感受几个!

请你欣赏:(多媒体出示)

(1)这是平面吗?怎么看起来不像平面呢?

(2)这些正方形怎么看起来扭曲了?

(3)看,图在动!

(4)你能想象这些都是同心圆吗?

(5)图中的横线是平行的吗?

(6)难以置信,这是一组平行线!

[设计意图]让学生的观察结果与实验结果产生思维上的碰撞,同时让学生明白只有实践才能出真知的道理,从而归纳知识:仅仅依靠观察不能判断一个数学结论是否正确.

(2)、“直觉”可信吗

师:请思考并回答下面问题.(多媒体出示)

如图,把地球看成球形,假设用一根比地球赤道长1米的铁丝将

地球赤道围起来,铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大?能放进一个

拳头吗?先凭感觉想象一下,再具体算一算,看看与你的感觉是否一致,并与同伴进行交流.

【师生活动】学生先凭感觉想象,再动手验证,然后小组交流.教师巡视、指导学生,在学生回答的同时,教师利用多媒体进行展示.

师:正常人的拳头有多大?量一量.

生:通过测量、交流,发现我班的最大拳头宽度才10厘米.

师:凭感觉想象一下,铁丝与地球赤道之间的间隙能放进一个拳头吗?

生1:地球很大,铁丝的长度就比赤道的周长多一米,我觉得放不进一个拳头,也许能放进一只小蚂蚁.

生2:赤道就是一个大圆,铁丝的长度比它的周长多一米,就能有一定的间隙,但是我认为间隙不大,不能放进一个拳头.

师:算一算,结果与你的感觉是否一致?(学生计算,教师指导)

生:设赤道的周长为C米,则铁丝的长为(C+1)米,那么铁丝与地球赤道间的间隙为R-r,

即

π-

ππ

≈0.16(m),0.16 m=16 cm.

因此,能放进一个拳头.(教师板书)

师:通过计算我们可以看出,判断一个结论是否正确,依靠直觉是不可靠的.要想得到正确的结论,必须经过计算来证实.

[设计意图]通过理性的计算,验证了很难想象到的结论,让学生产生思维上的碰撞,进而对自己的直观感觉产生怀疑,再次为证明的必要性提供素材.

【小试身手】1.图中三条线段a,b,c,哪一条线段与线段d在同一直线上?请你先观察,再用直尺验证一下.

2.图中两条线段a和b的长度相等吗?

【师生活动】学生独立思考,验证后并交流.教师巡视、指导学生,学生完成后借助多媒体展示正确的答案.

[设计意图]进一步让学生感受通过观察、猜想、直觉、经验得出的结论可能不是正确的.

(3)、特例归纳得出的结论可靠吗

思路一:师:请大家解决下面问题.(多媒体出示)

代数式n2-n+11的值是质数吗?取n=0,1,2,3,4,5试一试,你能否由此得到结论:对于所有自然数n,n2-n+11的值都是质数?与同伴进行交流.

【师生活动】学生先思考,再动手计算,然后小组交流、归纳.教师巡视、指导学生,进行验证.

生:当n=0时,n2-n+11=11.

当n=1时,n2-n+11=11.

当n=2时,n2-n+11=13.

当n=3时,n2-n+11=17.

当n=4时,n2-n+11=23.

当n=5时,n2-n+11=31.

因为当n=0,1,2,3,4,5时,代数式n2-n+11的值都是质数,所以对于所有自然数n,n2-n+11的值都是质数.

师:你们都同意这个结论吗?

生:同意.

师:再取几个数试一试,看看你有什么发现.

生:经过计算,我发现,当n=11时,n2-n+11=121,结果是合数,所以“对于所有自然数n,n2-n+11的值都是质数”这个结论是错误的.

[设计意图]对归纳的结论进行验证,让学生感受到特例有时具有一定的迷惑性(欺骗性),从而对不完全归纳的合理性产生怀疑.

师:你们解决得很好,此题告诉我们,仅由几个特例归纳得出的结论可能潜藏着错误.我们的大数学家费马也犯过类似的错误,请阅读教材第163页读一读:费马的失误.

【学生活动】学生极有兴趣地阅读,并低声交流.

师:说说你们的感想.

生1:大数学家费马出现这样的低级错误,可能是因为过于相信自己的直觉和经验.

生2:仅由几个特例归纳得出的结论可能是错误的.

生3:我们应当向欧拉学习,敢于向权威质疑;同时学习他对待科学的严谨态度.

生4:我发现可以用举反例的方法验证结论.

师:说得很好,希望同学们不要再出现这样的问题.同时,这个故事告诉我们:要说明一个结论是错误的,举反例就是一种常用方法.

[设计意图]了解数学小知识的目的是进一步让学生理解凭几个例子得出的结论未必是正确的,也让学生体会反例在数学中的重要作用;同时,让学生理解数学家也会犯错,也是凡人,使学生提高学习数学的自信心.

思路二【问题】代数式n2-n+11的值是质数吗?取n=0,1,2,3,4,5,试一试,你能否由此得到结论:对于所有自然数n,n2-n+11的值都是质数?与同伴进行交流.

【学生活动】让学生先独立思考,再以小组为单位进行讨论交流,最后通过计算回答.其中第1小题当n=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10时,n2-n+11的值分别是11,11,13,17,23,31,41,53,67,83,101,全是质数.只要其他学生没有质疑就继续提问.但当n=11

时,n2-n+11=121=112,就不是质数了.

[设计意图]让学生进一步对归纳所得的结论产生怀疑,并且体验举反例是判断错误结论的方法.通过该题的计算,可知用归纳的方法,仍不能判断数学结论是正确的,同时培养了学生的合作竞争意识.

四、实验得到的结论未必可靠

师:请大家接着解决下面的问题.

如图7 - 4所示,在ΔABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,连接DE.DE与BC有怎样的位置关系和数量关系?请你先猜一猜,再设法验证你的结论对所有的ΔABC都成立吗?与同伴进行交流.

【师生活动】学生先观察、猜一猜,再动手、作图验证,然后小组交流.教师巡视、指导学生,在学生回答的同时,教师利用多媒体进行成果展示.

师:你认为DE与BC有怎样的位置关系和数量关系?

生:我认为位置关系是DE∥BC;数量关系是DE=BC.

师:你是如何验证你的结论的?

生:我是利用刻度尺、量角器进行测量验证的.

师:大家认同这个做法吗?

生:(大部分学生)认同.

师:那么你还能肯定这个结论对所有的ΔABC都成立吗?

(部分学生说肯定,部分学生不能确定)

师:同学们,我们知道测量是有误差的,误差是难免的,通过猜测,实验验证得出的结论,也不能作为判断某些问题的结论,要想得到图形的性质是需要进行推理的.

[设计意图]让学生感受由观察、猜想、实验得出的结论仍有不确定性,需要更合适的方法来解决问题.

[知识拓展]认识事物不能“想当然”,要想取得令人信服的结论,必须经过严格的数学证明,证明的依据一般有数学定义、定理、公式和性质等.

三、课堂总结

实验—

可能正确,也可能不正确证明

观察—

归纳—

四、课堂练习

1.通过得到的结论往往是不可靠的,甚至是错误的.

答案:观察、实验或归纳

2.只有通过才能检验数学结论.

答案:举出反例或推理

3.下列判断正确吗?说明理由.

(1)如果有一条线段AB=5 cm,另一条线段BC=2 cm,那么线段AC 长为7 cm;

(2)当n=0,1,2,3时,代数式n2+n+5的值分别是5,7,11,17,它们都是质数,由此判断,对所有自然数n,n2+n+5的值都是质数.

解:(1)不正确,因为A,B,C三点不一定在一条直线上,即使在一条直线上,也不一定能得出AC=7 cm,如点C在AB之间. (2)不正确,如当n=4时,n2+n+5=25,是合数.

4.有一张厚0.01 mm的纸(设它有无限大),重复折叠20次,大约有多高?会有3层楼房那么高吗?(每层楼房的高按3米计算) 提示:大约10米高;会有3层楼房那么高.

五、板书设计

1为什么要证明

问题探索

猜想结论:不一定正确

六、布置作业

(1)、教材作业

【必做题】教材随堂练习第1,2题.

【选做题】教材习题7.1第3题.

(2)、课后作业

【基础巩固】1.小刚和小明在手工制作课上,用同种小铁丝制作的楼梯模型如图所示.那么他们用的材料长度()

小刚

A.一样多

B.小刚的多

C.小明的多

D.无法判断

2.骑自行车的速度是每小时15千米,骑摩托车的速度是每小时40千米,则下列结论中你能肯定的是()

A.从A地到B地,骑摩托车的人一定比骑自行车的人先到达

B.从A地到B地,骑自行车的人一定比骑摩托车的人先到达

C.从A地到B地,骑自行车的人和骑摩托车的人不可能同时到达

D.从A地到B地,骑自行车的人有可能比骑摩托车的人先到达

3.下列说法正确的是()

A.通过观察完全可以判断一个数学结论的正确与否

B.推理是科学家的事,与我们没有多大的关系

C.对于自然数n,n2+n+37一定是质数

D.有10个苹果,将它们放进9个筐中,则至少有一个筐中的苹果数不少于2个

【能力提升】4.为庆祝“六一”儿童节,某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示,按照下面的规律,摆第n个图需要火柴棒的根数为.

【拓展探究】5.数学家迪布凡尔在1590年曾注意到,在形如6n-1和6n+1的数对5,7;11,13;17,19;23,25;29,31;35,37;41,43;…中,当“n”在取前几个自然数时,都至少有一个质数,由此他提出猜想:“对于任何自然数n(n≠0),6n-1和6n+1这两个数中至少有一个质数.”你认为这个猜想正确吗?验证一下:n=8时,结论成立吗?n=9呢?n=10呢?n=20呢?这说明了什么?

【答案与解析】

1.A

2.D

3.D

4.6n+2

5.解:不正确.当n=8,9,10时结论都成立,当n=20时结论不成立.说明观察、归纳和猜想是重要的,但仅凭此得出的结论不一定可信,还必须经过严格的推理证明.