弹性体过盈配合解析解 将空间问题转换成平面应变问题
我所认识的应力应变关系
我所认识的应力应变关系 应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。物体由于受到外界载荷后，在物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。则一定材料的物体其产生的应力和应变也必然存在一定的关系。 一 应力-应变关系 影响本构关系的因素有很多，例如材料、环境、加载类型（载荷、温度）、加载速度（动载荷、静载荷）等，当然，本构关系有很多类型，包括弹性、塑性、粘弹性、粘塑性、各向同性、各向异性本构关系，那么首先来叙述一下简单情况本构关系，所谓简单情况就是六个应力分量x y xy yz zx σσστττ、、z 、、、只有一个不为零， 六个应变分量x y xy yz zx εεεγγγ、、z 、、、只有一个自由变化，应力应变关系图1-1。 图1-1 应力应变关系图 图中OA 为线弹性阶段，AB 为非线弹性阶段，故OB 为初始弹性阶段，C 点位初始屈服点，()s σ+为初始屈服应力，CBA 为弹性阶段卸载，这一阶段中E σε=， 初始弹性阶段结束之后，应力继续增大，进入塑性阶段，CDE 为强化阶段，应变强化硬化，EF 为颈缩阶段，应变弱化软化。如果在进入塑性阶段卸载后再加载，
例如在D 点卸载至零，应力应变关系自D 点沿'DO 到达'O 点，且'DO ∥OA ，其中'O O 为塑性应变p ε，DG 为弹性应变e ε，总应变为它们之和。此后再继续加载，应力应变关系沿ODEF 变化，D 点为后继屈服点，OD 为后继弹性阶段，()'s σ+为后继屈服应力，值得一提的是初始屈服点只有一个，而后继屈服点有无数个（由加载历史决定）。若在卸除全部载荷后反向加载，弹性阶段'COC ，()()s s σσ+-=，而在强化阶段'DOD ，()()s s σσ+->，称为Bauschinger 效应。 从上述分析得出材料弹塑性行为有一定的特殊性，主要表现在：弹性应力应变关系是线性，且是单值对应关系，而塑性应力应变关系是非线性的非单值对应。 因为通常情况下物体不仅仅处于简单应力状态，那么复杂应力状态下应力应变关系又如何呢？如果我们将材料性质理想化即假设材料是连续的、均匀的、各向同性的，忽略T 、t 的影响，忽略净水压力对塑性变形的影响，可以将应力应变关系归结为不同的类型，包括理想线弹性模型、理想刚塑性模型、线性强化刚塑性模型、理想弹塑性模型、线性强化弹塑性模型、幂强化模型、等向强化模型、随动强化模型。各种材料的应力应变关系图如下图所示： 理想线弹性模型 理想刚塑性模型
弹性力学教材模拟题及解答
1－1. 选择题 a. 下列材料中，D属于各向同性材料。 A. 竹材； B. 纤维增强复合材料； C. 玻璃钢； D. 沥青。 b. 关于弹性力学的正确认识是A。 A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要； B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题作假设； C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象； D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。 c. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于B。 A. 任务； B. 研究对象； C. 研究方法； D. 基本假设。 d. 所谓“完全弹性体”是指B。 A. 材料应力应变关系满足胡克定律； B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关； C. 本构关系为非线性弹性关系； D. 应力应变关系满足线性弹性关系。 2－1. 选择题 a. 所谓“应力状态”是指B。 A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同； B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变； C. 3个主应力作用平面相互垂直； D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。 2－2. 梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。已知水的比重为 ，试写出墙体横截面边界AA'，AB，BB’的面力边界条件。 2－3. 作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。根据材料力学分析结果，该梁 横截面的应力分量为 试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。
2－4. 单位厚度的楔形体，材料比重为γ，楔形体左侧作用比重为γ1的液体，如图所示。试写出楔形体的边界条件。 2－5. 已知球体的半径为r，材料的密度为ρ1，球体在密度为ρ1（ρ1＞ρ1）的液体中漂浮，如图所示。试写出球体的面力边界条件。
弹性力学试题参考答案与弹性力学复习题
弹性力学复习资料 一、简答题 1．试写出弹性力学平面问题的基本方程，它们揭示的是那些物理量之间的相互关系在应用这些方程时，应注意些什么问题 答：平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。应注意两个微分方程中包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx ，因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。 平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。 平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。 2．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题试作简要说明。 答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和
混合边界问题。 位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。 应力边界问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的，即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。 混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。 3．弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定试将它们写出。如何确定它们的正负号 答：弹性体任意一点的应力状态由6个应力分量决定，它们是：x 、y 、z 、xy 、yz 、、zx 。正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。 4．在推导弹性力学基本方程时，采用了那些基本假定什么是“理想弹性体”试举例说明。 答：答：在推导弹性力学基本方程时，采用了以下基本假定： （1）假定物体是连续的。 （2）假定物体是完全弹性的。 （3）假定物体是均匀的。 （4）假定物体是各向同性的。 （5）假定位移和变形是微小的。 符合（1）~（4）条假定的物体称为“理想弹性体”。一般混凝土构件、一般土质地基可近似视为“理想弹性体”。 5．什么叫平面应力问题什么叫平面应变问题各举一个工程中的实例。 答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的 面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。如工程中的深梁以及平板坝的平板 支墩就属于此类。 平面应变问题是指很长的柱型体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面而且不沿长 度变化的面力，同时体力也平行于横截面而且也不沿长度变化，即内在因素和外来作 用都不沿长度而变化。 6．在弹性力学里分析问题，要从几方面考虑各方面反映的是那些变量间的关系 答：在弹性力学利分析问题，要从3方面来考虑：静力学方面、几何学方面、物理学方面。 平面问题的静力学方面主要考虑的是应力分量和体力分量之间的关系也就是平面问 题的平衡微分方程。平面问题的几何学方面主要考虑的是形变分量与位移分量之间的 关系，也就是平面问题中的几何方程。平面问题的物理学方面主要反映的是形变分量与应力分量之 间的关系，也就是平面问题中的物理方程。 7．按照边界条件的不同，弹性力学平面问题分为那几类试作简要说明 答：按照边界条件的不同，弹性力学平面问题可分为两类： （1）平面应力问题 ： 很薄的等厚度板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力。这一类问题可以简化为平面应力问题。例如深梁在横向力作用下的受力分析问题。在该种问题中只存在 yx xy y x ττσσ=、、三个应力分量。 （2）平面应变问题 ： 很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，而且体力
各向异性弹性体的应力和应变关系
各向异性弹性体的应力和应变关系
————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：
下面从广义胡克定理公式出发,用应变能的概念建立常见的各向异性弹性体的应力和应变关系。 1.完全各向异性弹性体 根据格林公式和广义胡克定律，有 ；对于上式,如果对切应变γxy求偏导数，有。 同理,有;对 于上式,如果对正应变εx求偏导数，有。 因此，Ｃ1４＝C41。对于其它的弹性常数可以作同样的分析,则Ｃmn＝Cｎｍ 上述结论证明完全各向异性弹性体只有21个弹性常数。其本构方程为 2．具有一个弹性对称面的各向异性弹性体 如果弹性体内每一点都存在这样一个平面，和该面对称的方向具有相同的弹性性质，则称该平面为物体的弹性对称面。 垂直于弹性对称面的方向称为物体的弹性主方向。
若设yz为弹性对称面，则x轴为弹性主方向。 以下根据完全各向异性弹性体本构方程,推导具有一个弹性对称面的各向异性弹性体的本构方程。 将x轴绕动ｚ轴转动π 角度,成为新的Ｏx'ｙ'ｚ'坐标系。 新旧坐标系之间的关系为 x y z ｘ'l =-1m1=0n1=0 １ ｙ＇l =-1ｍ2＝0n2=0 ２ z'l3=-1m３=0n3=0 根据弹性对称性质。关于x轴对称的应力和应变分量在坐标系变换时保持不变，而关于x轴反对称的应力和应变分量在坐标系变换时取负值。所以σx'=σx，σy'＝σy,σz＇＝σz，τｘ'y' =τxy，τy'z'＝τyz，τz'ｘ' =τｚx εx＇=εx，εｙ' =εy,εz' =εz,γx'y' =γxy，γｙ＇ｚ＇＝γyz,γz'x' ＝γzx 根据弹性主方向性质，作这一坐标变换时,本构关系将保持不变。 根据完全各向异性弹性体的本构方程，将上述关系式 代入广义胡克定理，可得 将上式与广义胡克定理相比较，要使变换后的应力和应变关系保持不变，则必有 C１4=C16=C24＝Ｃ26=C３４=C3６=C54=C５6=０ 这样,对于具有一个弹性对称面的弹性体,其弹性常数由21个将减少为13个。具有一个弹性对称面的弹性体的应力应变关系为
李同林 弹塑性力学 第六章 平面问题极坐标解答
第六章 平面问题极坐标解答 §6—1 平面问题基本方程的极坐标表示 极坐标系θor 与直角坐标系o x y 间的关系式如图6—1所示。 θc o s r x =；θs i n r y =；222y x r +=；x y 1tg -=θ （a ） 1. 平衡微分方程 我们在物体中取一单位厚度的微分体abcd ，如图6—2所示，其在r ，θ方向的体力分量分别为r F ，θF 。 该微分单元体abcd 的中心角为θd ，内半径为r ，外半径为r +d r 。 列出平衡方程0=r F ∑和0=θ∑F ，即
2d s i n d 2d s i n d d d d )d (d θσθθθσσθσθσσθθθr r r r r r r r r r -?? ? ????+--+??? ?? ??+ 0d )d (2d cos d 2d cos d d =+-??? ????++r r F r r r r r r θθτθθθττθθθ （b ） θτθττθσθθθσσθθθθθθd d )d (d 2d c o s d 2d c o s d d r r r r r r r r r r -+??? ????++-??? ????+ 0d d 2d sin d 2d sin d d =++?? ? ????++r r F r r r r r θθτθθθττθθθθ （c ） 由于θd 是个小量，故取2d 2d sin θθ≈，及12 d cos ≈θ，并略去三阶以上微量，整理后可得： ?? ?? ? =++??+??=+-+??+??02101θθ θθθ θττθσσσθτσF r r r F r r r r r r r r r （6—1） 式（6—1）第一式中 r r σ及r θσ-项为面积增大及方向变化而引起的，第二式中的r r θτ2项则两者兼有之。 再由0=c M ∑（C 为微分体形心），并略去高阶微量，将再次证得剪应力互等定理成立：r r θθττ=。 2. 几何方程 在极坐标中，用u ，v 分别代表A 点的径向位移和切向位移，即为极坐标的位移分量。用r ε、θε分别代表径向正应变和切向正应变，用θγr 、r θγ代表剪应变。它们都是位置坐标r ，θ的函数。
弹性力学复习重点+试题及答案【整理版】
弹性力学2005 期末考试复习资料 一、简答题 1．试写出弹性力学平面问题的基本方程，它们揭示的是那些物理量之间的相互关系？在应用这些方程时，应注意些什么问题？ 答：平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。应注意两个微分方程中包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx ，因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。 平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。 平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。 2．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题？ 试作简要说明。 答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和 混合边界问题。 位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。 应力边界问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的，即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。 混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。 3．弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定？试将它们写出。如何确定它们的正负号？ 答：弹性体任意一点的应力状态由6个应力分量决定，它们是：x 、y 、z 、xy 、yz、、zx。正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。 4．在推导弹性力学基本方程时，采用了那些基本假定？什么是“理想弹性体”？试举例说明。 答：答：在推导弹性力学基本方程时，采用了以下基本假定：（1）假定物体是连续的。 （2）假定物体是完全弹性的。 （3）假定物体是均匀的。 （4）假定物体是各向同性的。 （5）假定位移和变形是微小的。 符合（1）~（4）条假定的物体称为“理想弹性体”。一般混凝土构件、一般土质地基可近似视为“理想弹性体”。 5．什么叫平面应力问题？什么叫平面应变问题？各举一个工程中的实例。 答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的 面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。如工程中的深梁以及平板坝的平板 支墩就属于此类。 平面应变问题是指很长的柱型体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面而且不沿长 度变化的面力，同时体力也平行于横截面而且也不沿长度变化，即内在因素和外来作 用都不沿长度而变化。 6．在弹性力学里分析问题，要从几方面考虑？各方面反映的是那些变量间的关系？ 答：在弹性力学利分析问题，要从3方面来考虑：静力学方面、几何学方面、物理学方面。 平面问题的静力学方面主要考虑的是应力分量和体力分量之间的关系也就是平面问 题的平衡微分方程。平面问题的几何学方面主要考虑的是形变分量与位移分量之间的 关系，也就是平面问题中的几何方程。平面问题的物理学方 面主要反映的是形变分量与应力分量之间的关系，也就是平 面问题中的物理方程。 7．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题？ 试作简要说明 答：按照边界条件的不同，弹性力学问题可分为两类边界问题：
各向异性弹性体的应力和应变关系
下面从广义胡克定理公式出发，用应变能的概念建立常见的各向异性弹性体的应力和应变关系。 1.完全各向异性弹性体 根据格林公式和广义胡克定律，有 ；对于上式，如果对 切应变γxy求偏导数，有。 同理，有；对于上 式，如果对正应变εx求偏导数，有。 因此，C14=C41。对于其它的弹性常数可以作同样的分析，则C mn=C nm 上述结论证明完全各向异性弹性体只有21个弹性常数。其本构方程为 2．具有一个弹性对称面的各向异性弹性体 如果弹性体内每一点都存在这样一个平面，和该面对称的方向具有相同的弹性性质，则称该平面为物体的弹性对称面。 垂直于弹性对称面的方向称为物体的弹性主方向。 若设yz为弹性对称面，则x轴为弹性主方向。
以下根据完全各向异性弹性体本构方程，推导具有一个弹性对称面的各向异性弹性体的本构方程。 将x轴绕动z 轴转动π角度，成为新的Ox'y'z'坐标系。 新旧坐标系之间的关系为 x y z x'l1=-1m1=0n1=0 y'l2=-1m2=0n2=0 z'l3=-1m3=0n3=0 根据弹性对称性质。关于x轴对称的应力和应变分量在坐标系变换时保持不变，而关于x轴反对称的应力和应变分量在坐标系变换时取负值。所以 σx' =σx，σy' =σy，σz' =σz，τx'y' =τxy，τy'z' =τyz，τz'x' =τzx εx' =εx，εy' =εy，εz' =εz，γx'y' =γxy，γy'z' =γyz，γz'x' =γzx 根据弹性主方向性质，作这一坐标变换时，本构关系将保持不变。 根据完全各向异性弹性体的本构方程，将上述关系式 代入广义胡克定理，可得 将上式与广义胡克定理相比较，要使变换后的应力和应变关系保持不变，则必有 C14=C16=C24=C26=C34=C36=C54=C56=0 这样，对于具有一个弹性对称面的弹性体，其弹性常数由21个将减少为13个。具有一个弹性对称面的弹性体的应力应变关系为
各向异性弹性体的应力和应变关系精编版
各向异性弹性体的应力 和应变关系 公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]
下面从广义胡克定理公式出发，用应变能的概念建立常见的各向异性弹性体的应力和应变关系。 1.完全各向异性弹性体 根据格林公式和广义胡克定律，有 ；对于上式，如果 对切应变xy 求偏导数，有 。 同理，有 ；对于上 式，如果对正应变x 求偏导数，有 。 因此，C 14=C 41。对于其它的弹性常数可以作同样的分析，则 C mn =C nm 上述结论证明完全各向异性弹性体只有21个弹性常数。其本构方程为 2．具有一个弹性对称面的各向异性弹性体? 如果弹性体内每一点都存在这样一个平面，和该面对称的方向具有相同的弹性性质，则称该平面为物体的弹性对称面。
垂直于弹性对称面的方向称为物体的弹性主方向。 若设yz为弹性对称面，则x轴为弹性主方向。 以下根据完全各向异性弹性体本构方程，推导具有一个弹性对称面的各向异性弹性体的本构方程。 将x轴绕动 z 轴转动π角度，成为新的Ox'y'z'坐标系。 新旧坐标系之间的关系为 x y z x'l 1=-1 m 1 =0 n 1 =0 y'l 2=-1 m 2 =0 n 2 =0 z'l 3=-1 m 3 =0 n 3 =0 根据弹性对称性质。关于x轴对称的应力和应变分量在坐标系变换时保持不变，而关于x轴反对称的应力和应变分量在坐标系变换时取负值。所以 x' =x，y' =y，z' =z，x'y' =xy，y'z' =yz，z'x' =zx x' =x，y' =y，z' =z，x'y' =xy，y'z' =yz，z'x' =zx 根据弹性主方向性质，作这一坐标变换时，本构关系将保持不变。 根据完全各向异性弹性体的本构方程，将 代入广义胡克定理，可得 将上式与广义胡克定理相比较，要使变换后的应力和应变关系保持不变，则必有 C 14=C 16 =C 24 =C 26 =C 34 =C 36 =C 54 =C 56 =0
轴对称问题有限元法分析报告
轴对称问题的有限元 模拟分析
一、摘要： 轴对称问题是弹性空间问题的一个特殊问题，这类问题的特点是物体为某一平面绕其中心轴旋转而成的回转体。由于一般形状是轴对称物体，用弹性力学的解析方法进行应力计算，很难得到精确解，因此采用有限元法进行应力分析，在工程上十分需要，同时用有限元法得到的数值解，近似程度也比较好。 轴对称问题的有限元分析，可以将要分析的问题由三维转化为二维平面问题来解决。先是结构离散，然后是单元分析，再进行总纲集成，再进行载荷移置，最后是约束处理和求解线性方程组。分析完成之后用ABAQUS软件建模以及分析得出结果。 关键字：有限元法轴对称问题ABAQUS软件 二、前言: 1、有限元法领域介绍： 有限单元法是当今工程分析中获得最广发应用的
数值计算方法，由于其通用性和有效性，受到工程技术界的高度重视，伴随着计算机科学和技术的快速发展，现在已经成为计算机辅助设计和计算机辅助制造的重要组成部分。 由于有限元法是通过计算机实现的，因此有限元程序的编制以及相关软件的研发就变得尤为重要，从二十世纪五十年代以来，有限元软件的发展按目的和用途可分为专用软件和大型通用商业软件，而且软件往往集成了网络自动划分，结果分析和显示等前后处理功能，而且随着时间的发展，大型通用商业软件的功能由线性扩展到非线性，由结构扩展到非结构等等，这一系列强大功能的实现与运用都要求我们对有限元法的基础理论知识有较为清楚的认识以及对程序编写的基本能力有较好掌握。 2、研究报告目的: 我们小组研究的问题是：圆柱体墩粗问题。毛坯的材料假设为弹塑性，弹性模量210000MPa，泊松比0.3，塑性应力应变为
弹性力学模拟练习题
一、判断题 1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任 何空隙。 （√） 2、如果某一问题中，0===zy zx z ττσ，只存在平面应力分量x σ，y σ，xy τ，且它 们不沿z 方向变化，仅为x ，y 的函数，此问题是平面应力问题。 （√） 3、如果某一问题中，0===zy zx z γγε，只存在平面应变分量x ε，y ε，xy γ，且它们 不沿z 方向变化，仅为x ，y 的函数，此问题是平面应变问题。 （√） 4、当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。 （√） 5、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。 （√） 6、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。 （√） 7、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。 （√） 10、体力作用于物体部的各个质点上，所以它属于力。 （×） 解答：外力。它是质量力。 11、在弹性力学和材料力学里关于应力的正负规定是一样的。 （×） 解答：两者正应力的规定相同，剪应力的正负号规定不同。 12、当问题可当作平面应力问题来处理时，总有 0===yz xz z ττσ。 （√） 解答：平面应力问题，总有0===yz xz z ττσ 13、当物体可当作平面应变问题来处理时，总有 0===yz xz z γγε。 （√） 解答：平面应变问题，总有0 ===yz xz z γγε 14、已知位移分量函数() xy k v y x k u 2221,=+=，21,k k 为常数，由它们所求得形变分量不一定能满足相容方程。 （×） 解答：由连续可导的位移分量按几何方程求得的形变分量也一定能满足相 容方程。因为几何方程和相容方程是等价的。 15、形变状态()()0,2,,222≠==+=k kxy ky y x k xy y x γεε是不可能存在的。 （×） 解答：所给形变分量能满足相容方程，所以该形变分量是可能存在的。 16、在y 为常数的直线上，如0=u ，则沿该线必有0=x ε。 （√）
第八章 弹性体的应力和应变
第八章 弹性体的应力和应变 习题解答 8．1．1一钢杆的截面积为，所受轴向外力如图所示，试计算A 、B,B 、C ，C 、D 之间的应力。 、 、 。 解：在AB 段、BC 段、CD 段各假想一截面 、 、 ，对整体 取为隔离体 为拉应力 取为隔离体 为压应力
取为隔 离体 为拉应力 8．1．2利用直径为0.02m的钢杆CD固定刚性杆AB。若CD 杆内的应力不得超过 ，问至多悬挂多大重量（不计杆自重）。 解：设B处悬挂W重的物体时AB杆刚好能承受，由于CD杆静止，故对过A点的垂直轴力矩代数和为零。 由 得 8．1．3图中上半段横截面等于且杨氏模量为的铝制杆，下半段横 截面等于且杨氏模量为 的钢杆，铝杆内允许最大应力为 ，钢杆内允许最大应力为。不计杆的自重，求杆下端所能承受的最大负荷以及在此负荷下杆的总伸长量。
解： 钢杆能承受的最大拉力： 铝杆能承受的最大拉力： 杆下端能承担的最大负荷为。 由胡克定律： 8．1．4电梯用不在一条直线上的三根钢索悬挂，电梯质量为500kg。最大负载极限5.5KN。每根绳索都能独立承担总负载，且其应力仅为允许应力的70%，若电梯向上的最大加速度为g/5，求钢索的直径为多少？将钢索看作圆柱体，且不计其自重，取钢的允许应力为 。 解：电梯与负载总质量：m=500+550=1050(kg)
当电梯向上的加速度上升时，由牛顿第二定律： 因为：， 所以钢索拉力为： 该力与绳索内力相等即： 8．1．5（1）矩形横截面杆在轴向拉力作用下拉伸应变为，此材料的柏松系数为。求证杆体积的相对改变为。表示原体积，V表示变形后的体积。 （2）上式是否适用于压缩？ （3）低碳钢杨氏模量为，柏松系数受到的应力为，求杆件体积的相对改变量。 （1 ）、解：设杆原长，经过拉伸后变为 两者之间关系分别为： 由纵向应变公式：，
应力应变关系
应力应变关系 我所认识的应力应变关系 一在前面两章的分别学习了关于应力与应变的学习，第三章的本构关系讲述了应力与应变的关系从而构成了弹塑性力学的本构关系。 在单向应力状态下，理想的弹塑性材料的应力应变关系及其简单满足胡克定律即 ,E ,,XX 在三维应力状态下需要9个分量，即应力应变需要9个分量，于是可以把单向应力应变关系推广到三维应力状态，及推广到广义的胡克定律 本式应该是91个应变分量单由于切应力互等定理，此时后面的三个应力与式中的切应力想等即现在剩余36个应变分量。 (1)具有一个弹性对称面的线弹性体的应力应变公式如下
(2)正交各向异性弹性体的弹塑性体公式如下 (3)各向同性弹性体的本构方程 各向同性弹性体在弹性状态下，主应力方向与主应变方向重合容易证明。在主应变空间里，由于应变主轴与应力主轴重合，各向同性弹性体体内任意一点的应力和应变之间满足: ,,,,,，，CCCxxyz111213 ,,,,,，，CCCyxyz212223 ,,,,,，，CCCzxyz313233 (2-3) ,,,,,,yyxzxz对的影响与对以及对的影响是相同的，即有 ,CCC==,CC=CC=,y112233x12132123z;和对的影响相同，即，同理有和CC=3132等，则可统一写为: CCCa==,112233 CCCCCCb=====,122113312332 (2-4) 所以在主应变空间里，各向同性弹性体独立的弹性常数只有2个。在任意的坐标系中，同样可以证明弹性体独立的弹性参数只有2个。 广义胡可定律如下式 ,,xy1,,,,,,,,,,，[()]xy,xxyz,2GE,,,,1,yz, ,,，[()],,,,,,,,yzyyxz 2GE,,
弹性体的应力和应变
369 第八章弹性体的应力和应变 8.1.1 一钢杆的横截面积为42 5.010m -?，所受轴向外力如图所示，试计算A 、B ，B 、C 和 C 、 D 之间的应力.4 1F 610N =?， 42F 810N =?，43F 510N =? ，44F 310N =?。 [解 答] 建立坐标系O-x ，水平向右为正方向，作垂直于Ox 的假想截面123s ,s ,s 于AB 间E 处， BC 间G 处，CD 间H 处. 42 123s s s 5.010m -===? 以杆的全部为隔离体。受力1234F ,F ,F ,F 杆所受合力 1 2 3 4 F=F F F F +++∑ X 轴上投影：1234F F F F 0-+-+= 合力为零，杆平衡。 在以杆的AE 部为隔离体，受力1F ，1s 面外侧对它的应力1σ 根据平衡方程 81 11 F ?1.210 n s σ=- =? 由于1σ与X 轴同向，82 11.210(N /m )σ∴=?为拉应力。 在以杆的AG 部为隔离体，经过同样分析可得： 8220.410(N /m )σ∴=-?为压应力 最后以杆的AH 部为隔离体，经过同样分析可得： 8230.610(N /m )σ∴=?为拉应力。 8.1.2利用直径为0.02m 的钢杆CD 固定刚性杆AB.若CD 杆内的应力不得超过 7max 1610Pa σ=?.问B 处至多能悬挂多大重量（不计杆自重）. [解 答] 以杆AB 为隔离体。受力F,T ，建立坐标系 A xy,z -轴如图。根据刚体平衡时M 0i =∑，在z 轴方向投影方程为： 1.6F 1.0T 0-= 得到F=0.39T 对CD ，因72max 1.610(N /m ),σ=?故2 max max T r σπ= y 1.0m 0.6m
轴对称问题练习题
一．选择题（共12小题） 1．如图，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（）A．3B．10C．9 D．9 2．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（）A．B． C．5 D． 3．如图，在矩形ABCD中，AD=4，∠DAC=30°，点P、E分别在AC、AD上，则PE+PD的最小值是（）A．2 B．2 C．4 D． 4．如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（） A．（0，）B．（0，）C．（0，2） D．（0，） 5．如图，正方形ABCD的边长为8，点M在边DC上，且DM=2，点N是边AC上一动点，则线段DN+MN的最小值为（）A．8 B．8 C．2D．10 6．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=1，E为BC的中点，则对角线BD上的动点P 到E、C两点的距离之和的最小值为（）A． B．C．D． 7．如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（）A．B．2C．D．2 8．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE 交AD于点F，则DF的长等于（）A．B．C．D．
9．如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC 于点O，若AO=5cm，则AB的长为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 10．关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k≥0 B．k＞0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1 11．若方程x2﹣3x﹣4=0的两根分别为x1和x2，则+的值是（） A．1 B．2 C．﹣ D．﹣ 12．若α、β为方程2x2﹣5x﹣1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（） A．﹣13 B．12 C．14 D．15 13．如图，在对角线长分别为12和16的菱形ABCD中，E、F分别是边AB、AD的中点，H 是对角线BD上的任意一点，则HE+HF的最小值是． 14．如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，点C落在C'处，BC′交AD于点E．若AB=4cm，AD=8cm，则△BDE的面积等于． 15．若x1，x2是关于x的方程x2﹣2x﹣5=0的两根，则代数式x12﹣3x1﹣x2﹣6的值是．16．已知方程x2﹣2x﹣5=0的两个根是m和n，则2m+4n﹣n2的值为． 19．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC 于点E．（1）求证：△DCE≌△BFE；（2）若CD=，DB=2，求BE的长．
弹性力学作业答案Word版
一、填空题 1.弹性力学的基本假设为均匀性、各向同性、 连续性 、 完全弹性 和 小变形 。 2.弹性力学正面是指 外法线方向与坐标轴正向一致 的面，负面指 外法线方向与坐标轴负向一致 的面。 3.弹性力学的应力边界条件表示在边界上 应力 与 面力 之间的关系式。除应力边界条件外弹性力学中还有 位移 、 混合 边界条件。 4.在平面应力问题与平面应变问题中，除 物理 方程不同外，其它基本方程和边界条件都相同。因此，若已知平面应力问题的解答，只需将其弹性模量E 换为 ()21E -μ，泊松比μ换为()1μ-μ，即可得到平面应变问题的解答。 5.平面应力问题的几何形状特征是 一个方向上的尺寸远小于另外两个方向上的尺寸；平面应变问题的几何形状特征是 一个方向上的尺寸远大于另外两个方向上的尺寸。 二、单项选择题 1. 下列关于弹性力学问题中的正负号规定，正确的是 D 。 (A) 应力分量是以沿坐标轴正方向为正，负方向为负 (B) 体力分量是以正面正向为正，负面负向为正 (C) 面力分量是以正面正向为正，负面负向为负 (D) 位移分量是以沿坐标轴正方向为正，负方向为负 2. 弹性力学平面应力问题中应力分量表达正确的是 A 。 (A) 0z σ= (B) [()]/z z x y E σεμεε=-+ (C) ()z x y σμσσ=+ (D) z z f σ= 3. 弹性力学中不属于基本方程的是 A 。 (A) 相容方程 (B) 平衡方程 (C) 几何方程 (D) 物理方程 4. 弹性力学平面问题中一点处的应力状态由 A 个应力分量决定。 (A) 3 (B) 2 (C) 4 (D) 5
第八章 弹性体的应力和应变
第八章 弹性体的应力和应变 本章引言：前面学习了质点力学、刚体力学→实际情况两类 物体的大小形变不能忽略 举例 物理现象本身是形变引起 声现象 →研究物体在力的作用下的形变规律必不可少 →连续体 的形状体积的变化均能消失 充满空间的连续媒质 弹性体：能发生弹性形变的物体 均匀弹性体 均匀、各向同性的弹性体 模型意义 弹性体的四种形变 拉伸、压缩 剪切 两种基本形式 扭转 弯曲 可视为前两种形变组成 §8.1 弹性体的拉伸和压缩 研究连续体力学的方法：不再视为一个“离散的质点，而是取‘质元’”→dv dm ρ= 力不是作用在一个个离散质点上，而是看成作用在质元的表面上→引入“应力”概念 一、外力、内力、应力 1．外力：外界作用在弹性体上的力，作用：使弹性体发生形变→导致弹性恢复力 2．内力：通过弹性体内部一假想平面，弹性体两部分间的相互作用 特例：若两端为拉伸力，内力表现为相互拉力（见P 240 图（8.1）a ） 若两端为压缩力，内力表现为压缩力（见P 240 图（8.1）b ） 3．应力：通过单位面积物体中各部分之间相互作用内力→被动力→大小方向取决于外力，一般而言：取S ?假想截面，将物体分为两部分1，2 两部分间相互作用为f ?及f ?-则： ds f d s f S =??=→?0lim σ —→ 正应力：ds dF n =⊥σ或s F n I =σ?????<>⊥⊥⊥ ⊥反向压缩应力 与方向一致拉伸应力与n n ?,0?,0 σσσσ 本教材：σσ→⊥ 剪切应力σ∥ 即σ的切向分量 本教材 σ∥ →τ 由于S ?取向任意f ?一般不与s ?垂直，可以分解：
弹性力学 第四章 应力和应变关系.
第四章应力和应变关系知识点 应变能原理 应力应变关系的一般表达式完全各向异性弹性体 正交各向异性弹性体本构关系弹性常数 各向同性弹性体应变能格林公式 广义胡克定理 一个弹性对称面的弹性体本构关系各向同性弹性体的应力和应变关系应变表示的各向同性本构关系 一、内容介绍 前两章分别从静力学和运动学的角度推导了静力平衡方程,几何方程和变形协调方程。由于弹性体的静力平衡和几何变形是通过具体物体的材料性质相联系的,因此,必须建立了材料的应力和应变的内在联系。应力和应变是相辅相成的,有应力就有应变;反之,有应变则必有应力。对于每一种材料,在一定的温度下,应力和应变之间有着完全确定的关系。这是材料的固有特性,因此称为物理方程或者本构关系。 对于复杂应力状态,应力应变关系的实验测试是有困难的,因此本章首先通过能量法讨论本构关系的一般形式。分别讨论广义胡克定理;具有一个和两个弹性对称面的本构关系一般表达式;各向同性材料的本构关系等。 本章的任务就是建立弹性变形阶段的应力应变关系。 二、重点 1、应变能函数和格林公式;
2、广义胡克定律的一般表达式; 3、具 有一个和两个弹性对称面的本构关系;4、各向同性材料的本构关系; 5、材料的弹性常数。 §4.1 弹性体的应变能原理 学习思路: 弹性体在外力作用下产生变形,因此外力在变形过程中作功。同时,弹性体内部的能量也要相应的发生变化。借助于能量关系,可以使得弹性力学问题的求解方法和思路简化,因此能量原理是一个有效的分析工具。 本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式,并且建立应变能函数 表达的材料本构方程。 根据能量关系,容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能,即应变能函数。 探讨应变能的全微分,可以得到格林公式,格林公式是以能量形式表达的本构关系。 如果材料的应力应变关系是线性弹性的,则单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。因此由齐次函数的欧拉定理,可以得到用应变或者应力表示的应变能函数。 学习要点:1、应变能;2、格林公式;3、应变能原理。 1、应变能
第11章 轴对称问题的有限元分析
第11章轴对称问题的有限元分析 第1节基本知识 本节的有限元对象为轴对称问题，目的是学习将3D问题转化为2D问题分析的轴对称方法，涉及如何选取轴对称单元、建模规律、载荷的施加方法和后处理技术。 一、轴对称问题的定义 轴对称问题是指受力体的几何形状、约束状态，以及其它外在因素都对称于某一根轴（过该轴的任一平面都是对称面）。轴对称受力体的所有应力、应变和位移均对称于这根轴。 二、用ANSYS解决2D轴对称问题的规定 用ANSYS解决2D轴对称问题时，轴对称模型必须在总体坐标系XOY平面的第一象限中创建，并且Y轴为轴旋转的对称轴。 求解时，施加自由约束、压力载荷、温度载荷和Y方向的加速度可以像其它非轴对称模型一样进行施加，但集中载荷有特殊的含义，它表示的是力或力矩在360°范围内的合力，即输入的是整个圆周上的总的载荷大小。同理，在求解完毕后进行后处理时，轴对称模型输出的反作用力结果也是整个圆周上的合力输出，即力和力矩按总载荷大小输出。 在ANSYS中，X方向是径向，Z方向是环向，受力体承载后的环向位移为零，环向应力和应变不为零。 常用的2D轴对称单元类型和用途见表11-1。 在利用ANSYS进行有限元分析时，将这些单元定义为新的单元后，设置单元配置项KEYOPT（3）为Axisymmetric(Shell51和Shell61单元本身就是轴对称单元，不用设置该项)，单元将被指定按轴对称模型进行计算。 后处理时，可观察径向和环向应力，它对应的是SX与SZ应力分量，并且在直角坐标系下观察即可。 可以通过轴对称扩展设置将截面结果扩展成任意扇型区域大小的模型，以便更加真实地
观察总体模型的各项结果。 第2节 2D 轴对称问题有限元分析实例 图11-1 圆柱筒壳示意图 一、案例1——圆柱筒的静力分析 问题 如图11-1所示，圆柱筒材质为A3钢，受1000 N/m 的压力作用，其厚度为0.1 m ，直径12 m ，高度为16 m ，并且圆柱筒壳的下部轴线方向固定，其它方向自由，试计算其变形、 径向应力和轴向应力。 条件 弹性模量为2.0×1011 N/m 2，泊松比为0.3。 解题过程 以圆柱筒底部中心为坐标原点，建立直角坐标系如图11-1所示，标出主要点（1点和2点）的坐标，为实体造型做好准备。 制定分析方案。分析类型为线弹性性材料，结构静力分析，轴对称问题，由于受力题为圆柱壳，选用Shell51单元，筒的厚度为0.1 m 为单元的实常数；边界条件为圆柱筒下部施加轴线方向固定支撑，2点的受力为1000*12*π等于37699 N 。 1．ANSYS 分析开始准备工作 p=1000 N/m
弹性体的应力和应变
第八章 弹性体的应力和应变 8.1.1 一钢杆的横截面积为42 5.010m -?，所受轴向外力如图所示，试 计算A 、B ，B 、C 和C 、D 之间的应力.4 1F 610N =?， 42F 810N =?，43F 510N =? ，44F 310N =?。 [解 答] 建立坐标系O-x ，水平向右为正方向，作垂直于Ox 的假想截面 123s ,s ,s 于AB 间E 处，BC 间G 处，CD 间H 处. 42123s s s 5.010m -===? 以杆的全部为隔离体。受力1234F ,F ,F ,F v v v v 杆所受合力1234F=F F F F +++∑v v v v v X 轴上投影：1234F F F F 0-+-+=v v v 合力为零，杆平衡。 在以杆的AE 部为隔离体，受力1F v ，1s 面外侧对它的应力1σv 根据平衡方程 8111 F ?1.210n s σ=-=?v v 由于1σv 与X 轴同向，82 1 1.210(N /m )σ∴=?为拉应力。 在以杆的AG 部为隔离体，经过同样分析可得： 8220.410(N /m )σ∴=-?为压应力 最后以杆的AH 部为隔离体，经过同样分析可得： 8230.610(N /m )σ∴=?为拉应力。 8.1.2利用直径为0.02m 的钢杆CD 固定刚性杆AB.若CD 杆内的应力 不得超过7 max 1610Pa σ=?.问B 处至多能悬挂多大重量（不计杆自重）. [解 答]
以杆AB 为隔离体。受力F,T v v ，建 立坐标系A xy,z -轴如图。根据刚体平衡时M 0i =∑v ，在z 轴方向投影方程为： 1.6F 1.0T 0 -= 得到F=0.39T 对CD ，因72max 1.610(N /m ),σ=?故2 max max T r σπ= 所以 4 max max F 0.39T 1.9610(N)==? 8.1.3图中上半段为横截面等于-42 4.010m ?且杨氏模量为106.910Pa ?的铝制杆，下半段是横截面为42 1.010m -?且杨氏模量为10 19.610Pa ?的钢杆，又知铝杆内允许最大 应力为7 7.810Pa ?，钢杆内允许的最大 应力为7 13.710Pa ?.不计杆的自重，求杆下端所能承担的最大负荷以及 在此负荷下杆的总伸长量. [解 答] 对于铅杆允许最大内力为 4max1max11F s 3.1210(N)σ==? 对于钢杆允许最大内力为 4max 2max 22F s 1.3710(N)σ==? 所以杆的最大承受能力是：4 1.3710(N)? 根据胡克定律。在力4 F 1.3710(N)=?的作用下铅杆伸长量为1V l 11111111F F Y s s Y ==V l l Q V l l 故 y