初中数学帮你梳理《因式分解》

因式分解教材解读

◆因式分解

1、 因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫这个多项式分解因式。

2、 因式分解的实质是一种恒等变形，是一种化和为积的变形：多项式→几个整式的积。

3、 因式分解与整式乘法的关系：

因式分解与整式乘法的关系是互逆的。多项式可以通过因式分解化为因式的乘积；因式乘积可以通过运用整式乘法化为一个多项式。

因式分解在计算、约分等方面的应用。

◆提公因式法

一、 公因式的定义及确定公因式

1、 公因式：一个多项式各项都含有的公因式，叫这个多项式的公因式。

2、 确定公因式：系数，取各项整数系数的最大公约数；字母，取各项的相同字母；指

数，取各相同字母的最低指数。

二、 提公因式法的概念和步骤

1、概念：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫提取公因式法。

2、提取公因式的依据：乘法分配律。

3、提取公因式的步骤：

“一定”：确定公因式。“二提”：将各项的公因式提出来并确定另一个因式，提取过程实际是用原多项式除以公因式的过程。

三、 用提公因式法分解因式时要注意的几点

1、 因式分解要彻底，要分解到不能再分解为止。

2、 当多项式第一项的系数是负数时，通常提出“－”号，使括号内第一项的系数变为

正数，在提出“－”号后，多项式都要变号。

3、 形如()2n m -与()2m n -可以写成同一个形式，面对于()2n m -与()3

m n -，在化成同一个形式时要注意符号的变化。

◆公式法

一、 运用平方差公式对多项式进行因式分解

1、 平方差公式：()()b a b a b a -+=-2

2 2、 公式特点：（1）二项式，（2）两项都是平方项，（3）两项符号相反；右边：两平方

项的底数和与底数积。

二、 运用完全平方公式对多项式进行因式分解

1、完全平方公式：()2

222b a b ab a ±=+± 2、公式特点：左边：（1）三项式，（2）首尾两项为两个数的平方和，中间项是两个底数的积的2倍，（3）两平方项符号必须相同，右边：两个底数的和或差的平方。

三、运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解

1、根据多项式的项数选择公式，二项式考虑平方差公式，三项式考虑完全平方公式。

2、运用公式的关键是将多项式改写成符合公式特征的形式。

3、有的多项式需打乱顺序，有些较烦琐的多项式可以先整体考虑，运用公式，再逐步来考虑。

帮你梳理《因式分解》

因式分解的意义：

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫把这个多项式因式分解。

1、因式分解是一种恒等变形，其是否正确，可以用整式乘法检验，看乘得的结果是否等于原多项式。

2、因式分解强调的结果是整式的积的形式，是一种形式上的恒等变形。

3、因式分解的结果要求，是必须进行到每个因式都不能再分解为止，要注意要求在何种数集内进行因式分解的。

4、并不是所有多项式在任何数集内都能因式分解。

因式分解的基本方法：

1、提公因式法，形如ma mb mc m a b c ++=++()。

2、运用公式法：

平方差公式：a b a b a b 22

-=+-()()

完全平方公式：a ab b a b 2222±+=±()

十字相乘法 x p q x pq x p x q 2+++=++()()()

3、分组分解法：（1）分组后能直接提公因式。（2）分组后能直接运用公式（包括上面三个公式）

典型例题评析：

例1.因式分解：46222ab a b ab -+

解： 原式=-+2231ab b a ()

评析：要树立优先提多项式公因式的意识。找公因式的方法是：系数取各项系数的最大公约数，字母取相同字母的最低次幂，提取公因式后注意不要漏项。

例2.把下列各因式分解 a a 42816-+

解：原式=-=+-()()()a a a 2222422

评析：先用完全平方公式后再用平方差公式；注意要直到每个因式都不能再分解为止。同时要注意区分平方差与完全平方公式。

例3分解因式：x y z yz 2222--+

解：原式=--+x y yz z 2222() =--=+--+x y z x y z x y z 22

()()()

评析：在运用分组分解法和十字相乘法时，必须具有尝试意识。先可一、二三四项为一组分组后再运用平方差公式。