含参数的导数分类讨论问题

含参数的导数分类讨论

【探究拓展】

探究：已知函数0,)(2≤=a e x x f ax （1）讨论函数)(x f 的单调性；

（2）求函数)(x f 在区间[]1,0上的最大值.

变式1：已知函数bx ax x x f +-=22

1ln )(，且0)1('=f

（1）试用含有a 的式子表示b ；（2）求)(x f 的单调区间.

变式2：函数)11(32≤≤-=x x y 的图像上有B A ,两点，且x AB x x B A //,<轴，其中点

),2(m C ，其中3>m ，

（1）试写出用点B 的横坐标t 表示ABC ?面积S 的函数解析式)(t f S =；

（2）记S 的最大值为),(m g 求)(m g .

变式3：设函数2()(2)ln f x x a x a x =---，求函数()f x 的单调区间.

拓展1：设函数()()3

22316,f x x

a x ax a =-++∈R ．

（1）当1a =时，求证：()f x 为单调增函数； （2）当[]1,3x ∈时，()f x 的最小值为4，求a 的值． 解：（1）当1a =时，()3

2266f x x

x x =-+，所以()()2

26126610f x x x x '=-+=-≥，

所以()f x 为单调增函数． （2）()()()61f x x x a '=--．

①当1a ≤时，()f x 在区间[]1,3上是单调增函数，最小值为()1f ， 由()14f =，得513

a =>（舍去）．

②当13a <<时，()f x 在区间()1,a 上是减函数，在区间(),3a 上是增函数，最小值为()f a ，

由()4f a =，得2a =或1a =-（舍去）．

③当3a ≥时，()f x 在区间()1,a 上是减函数，最小值为()3f ，由()34f =，得

23

39

a =

<（舍） 综上所述，2a =．

变式：已知函数f (x )＝(m －3)x 3 + 9x .

（1）若函数f (x )在区间(－∞，+∞)上是单调函数，求m 的取值范围； （2）若函数f (x )在区间［1，2］上的最大值为4，求m 的值． 【解】（1）因为f '(0)＝9 > 0，所以f (x )在区间()-∞+∞，上只能是单调增函数．由f '(x )＝3(m －3)x 2 + 9≥0在区间(－∞，+∞)上恒成立，所以m ≥3．故m 的取值范围是［3，+∞) ．

（2）当m ≥3时，f (x )在［1，2］上是增函数，所以[f (x )] max ＝f (2)＝8(m －3)＋18＝4,

解得m ＝5

4<3，不合题意，舍去．

当m ＜3时，f '(x )＝3(m －3) x 2 + 9=0，得x =．

所以 f (x )的单调区间为：(-∞，单调减，(单调增，

)

+∞单调减．

2，即934m <≤时，(

[12]?，，所以f (x )在区间［1，2］

上单调增，[f (x )] max ＝f (2)＝8(m －3)＋18＝4，m ＝5

4，不满足题设要

求．

②当12<

，即0＜m ＜94

时，[f (x )] max 04f ==≠舍去．

1，即m ≤0时，则[12]??+∞??

，，所以f (x )在区间［1，2］

上单调减，[f (x )] max ＝f (1)＝m + 6＝4，m ＝－2.综上所述：m ＝－2．

拓展2：（2020年）已知函数f (x )＝1

2m (x －1)2－2x ＋3＋ln x ，m ∈R ．

（1）当m ＝0时，求函数f (x )的单调增区间；

（2）当m ＞0时，若曲线y ＝f (x )在点P (1，1)处的切线l 与曲线y ＝f (x )有且只有一个公共点，求实数m 的值．

解（1）由题意知，f (x )＝－2x ＋3＋ln x ，所以f ′(x )＝－2＋1x ＝－2x ＋1

x (x

＞0)． … 2分

由f ′(x )＞0得x ∈(0，1

2) ． 所以函数f (x )的单调增区间为(0，

1

2

)．……… 4分 （2）由f ′(x )＝mx －m －2＋1

x

，得f ′(1)＝－1，

所以曲线y ＝f (x )在点P (1，1)处的切线l 的方程为y ＝－x ＋2．…………………… 6分

由题意得，关于x 的方程f (x )＝－x ＋2有且只有一个解， 即关于x 的方程1

2m (x －1)2－x ＋1＋ln x ＝0有且只有一个解．

令g (x )＝1

2

m (x －1)2－x ＋1＋ln x (x ＞0)．

则g′(x)＝m(x－1)－1＋1

x＝

mx2－(m＋1)x＋1

x＝

(x－1)(mx－1)

x(x＞

0)．…………… 8分

①当0＜m＜1时，由g′(x)＞0得0＜x＜1或x＞1

m，由g′(x)＜0得1＜x

＜1 m，

所以函数g(x)在(0，1)为增函数，在(1，1

m)上为减函数，在(

1

m，＋∞)

上为增函数．

又g(1)＝0，且当x→∞时，g(x)→∞，此时曲线y＝g(x)与x轴有两个交点．

故0＜m＜1不合题意．……………………… 10分

②当m＝1时，g′(x)≥0，g(x)在(0，＋∞)上为增函数，且g(1)＝0，故m＝1符合题意．

③当m＞1时，由g′(x)＞0得0＜x＜1

m或x＞1，由g′(x)＜0得

1

m＜x＜1，

所以函数g(x)在(0，1

m) 为增函数，在(1

m，1)上为减函数，在(1，＋∞)

上为增函数．

又g(1)＝0，且当x→0时，g(x)→－∞，此时曲线y＝g(x)与x轴有两个交点．

故m＞1不合题意．综上，实数m的值为m＝1．

变式：已知函数2

()ln f x x ax

x =--，a ∈R ．

（1）若函数()y f x =在其定义域内是单调增函数，求a 的取值范围； （2）设函数()y f x =的图象被点(2,(2))P f 分成的两部分为12,c c （点P 除外），该函数图象在点P 处的切线为l ，且12,c c 分别完全位于直线l 的两侧，试求所有满足条件的a 的值．

解：（1）2121()21(0)ax x f x ax x x x

-'=--=->+，只需要2210ax x +-≤，

即22111112()24a x x x -=--≤，所以18

a -≤．

（2）因为1()21f x ax x

'=--．所以切线l 的方程为1(4)(2)ln 2422y a x a =---+--．

令2

1()ln (4)(2)ln 2422g x x ax

x a x a ??

=------+--????

，则(2)0g =．

21

2(4)1

112()242ax a x g x ax a x x

---'=-+-=-． 若0a =，则2()2x g x x

-'=，

当(0,2)x ∈时，()0g x '>；当(2,)x ∈∞+时，()0g x '<， 所以()(2)0g x g =≥，1

2

,c c 在直线l 同侧，不合题意；

若0a ≠，1

2(2)()

4()a x x a g x x

-+

'=-

，