北京大学数值分析试题2015 经过订正

北京大学2014--2015学年第一学期 研究生期末考试试题A (闭卷考试)

课程名称：数值分析 注：计算题取小数点后四位 一、填空题(每空3分，共24分)

(1)

设1

2A ?-=-??

，则A 的奇异值为 。 (2) 设0.00013753x =为真值0.00013759T x =的近似值，则x 有 位有效数字。 (3) 设数据123,,x x x 的绝对误差为0.002，那么123x x x -+的绝对误差约为 ____ _。 (4) )x (l ,),x (l ),x (l n 10是以01,,

,,(2)n x x x n ≥为节点的拉格朗日插值基函数，

则

20

(2)()n

k

k k x

l x =+=∑ 。

(5) 插值型求积公式

2

2

=≈∑?

()()n

k k k x f x dx A f x 的求积系数之和0

n

k k A ==∑ 。

其中2x 为权函数，1≥n 。

（6）已知(3,4),(0,1)T

T

x y ==，求Householder 阵H 使Hx ky =，其中k R ∈。 H= 。 (7)

数值求积公式

1

1

2()((0)3f x dx f f f -??

≈

++????

?

的代数精度为___。 (8) 下面Matlab 程序所求解的数学问题是 。

（输入向量x , 输出S ） x =input('输入x ：x ='); n=length(x ); S=x (1); for i=2:n

if x (i)

二、(12分) （1）证明对任何初值 0x R ∈，由迭代公式12

4cos ,0,1,2, (3)

k k x x k +=+

= 所产生的序列{}0k k x ∞

=都收敛于方程1232cos 0x x -+=的根。

（2）证明它具有线性收敛性。

三、（12分）（1）用辛浦生公式计算积分4

0x e dx ?的近似值；

（2）若用复化辛浦生公式计算积分4

x e dx ?，问至少应将区间[0，4]多少等分才能保证

计算结果有五位有效数字？

四、（12分） 已知数据表 2102

230.5

1

0.5

i

i

i

x y w --

（1）构造关于点集和权的正交函数组01{(),()}x x ??；

（2）利用01{(),()}x x ??拟合已知数据点，并求最小二乘拟合误差2

δ

。

五、(12分) 利用Gauss 变换阵，求矩阵2113113112A ????

??=??-??

-?

?的LU 分解。（要求写出分解

过程）

六、(10分) 已知求解线性方程组Ax=b 的分量迭代格式

1

(1)

()

(1)

()1

,

1,2,

,i n

k k k k i

i

i ij j

ij j j j i

ii x x b a x

a x i n a ω

-++===+--=∑∑（）

（1）试导出其矩阵迭代格式及迭代矩阵；

（2）证明当A 是严格对角占优阵，1ω=时此迭代格式收敛。 七、(10分) 用插值极小化方法求 x

e

f -=)x ( 在[1，2]上的二次插值多项式)x (2P ，

并在[1，2]上估计误差。

(已知Chebyshev 多项式)(t T 3的三个零点86600t 0t 86600t 210.,,.==-=)

八、(8分)已知求解常微分方程初值问题00

'()()

()y x f x y y x y =+??

=? 的数值格式为

2100

()'()[1()]

2

()n n n n n n n n h y y hf x y f x y f x y y x y +??=++++++??=? 问此数值格式是几阶格式？

北京大学 2014--2015 学年第 一 学期

研究生期末考试试题标准答案A (闭卷考试)

课程名称: 数值分析

一、 填空题(每空3分，共24分)

（1） 3 （2）3 （3）0.006 （4）2

2x +

（5） 8

3 （6）434

3--55553

43

45

555H H ????

??

??

==-?

???????????????

或 （7）3 （8）求向量x 的最小值 二、(12分) 记2()4cos 3x x ?=+

，则2

'()sin 3

x x ?=-。 （1）先考虑区间[3，5]，当[3,5]x ∈时， 2

()4cos [3,5]3

x x ?=+

∈ ，22

'()sin 133

x x ?=-<

< 。故对任意初值0[3,5]x ∈，由迭代公式124cos ,0,1,2, (3)

k k x x k +=+=产生的序列{}0k k x ∞

= 都收敛于方程

1232cos 0x x -+=的根。 (6分)

（2）对任意初值0x R ∈，有102

4cos [3,5]3

x x =+

∈，将此1x 看成新的迭代初值，则由（1）可知，由迭代公式124cos ,0,1,2, (3)

k k x x k +=+

=产生的序列{}0k k x ∞

= 都收敛于方程 1232cos 0x x -+=的根。(2分)

（3） ****1**11**22

(cos cos )sin ()33

222

sin ,lim lim sin 1

333k k k k k k x k k

x x x x x x x x x x x x x x ξξξξ+++→∞→-=

-=----=-=-≤<-- (4分)

此格式线性收敛性

三、（12分）（1）4

240

4(4) 56.10296

x e dx e e e =

++=? (5分) （2） (4)

(),(),x

x f x e f

x e ==由

|R(S n )|=

(5分)

因为 ，且n 必须为偶数（复化辛普森公式）

所以

至少将区间[0，4] 30等分才能保证计算结果有五位有效数字. (2分) 四、（12分）（1）首先构造关于点集和权的首一正交多项式(),0,1,i x i ?= 显然0()1x ?=，设10()()x x a x ??=+， 由10()()x x ??与正交得000((),)2

1

((),())2

x x a x x ???-=-

=-=

故有 1()1x x ?=+。 (4分)

（2）设20011()()()p x a x a x ??=+，则

01010011((),)((),)9/291/21,((),())24((),())12

x y x y a a x x x x ??????=

=====

191

()(1)42

p x x ∴=

++ (4分) 2

222

000111||||((),())((),())Y a x x a x x δ

????=--

229911

6()2()10.1252428

=+

-?-?=≈ (4分) 五、(12分)

(2)

111

0002

1

015100010,2

200100131000100

12L L A A ???????

???

??-===???

???

??

-???

?-????

???

? (3分)

(2)

(3)

2210002

10001005

010,22

0100013/51500120001L L A A ????

????????===????-????

-????

-??????

?? (3分) (2)

3210

00210001005010,20

0100013/51500100021/1313

L L A U ????????????===???

?????

-??

??-

-???????

?

(3分) 111

1221

00

011002

,201055

00

113L L L L A LU ---??????

??

??===??

???????

?

(3分)

六、(10分) (1) 1

(1)

()

(1)

()1

,

1,2,

,i n

k k k k ii i

ii i

i ij j

ij j j j i

a x a x

b a x

a x i n ω-++===+--=∑∑（）

(1)()(1)()(1)()(1)1()1())()((1))()((1))()k k k k i k k k k Dx Dx b Lx U D x D L x D U x b

x D L D U x D L b

ωωωωωωωωωω++++--=+++--=-++=--++-（

(1)()11()((1))()k k x B x g

B D L U D g D L b

ωωωωωωω+--=+=-+-=-迭代迭矩阵右端向式量

代法的矩阵形 (6分) 21A ω=（）时，迭代格式为Gauss-seidel 迭代格式，当严格对角

占优时，Gauss-seidel 迭代格式收敛。

(4分)

七、(10分) 已知Chebyshev 多项式)(t T 3的三个零点86600t 0t 86600t 210.,,.==-=,

作变量代换)(x 3t 2

1

+=

,得三个插值节点210k 3t 21k k ,,),(x =+=

1.9330

x 1.5x 1.0670x 210===,,0.1447x f 0.2231x f 0.3440f(x 210===)(,)(,)

构造差商表

()i i x f x 一阶差商 二阶差商

1.06700.34401.50000.22310.27921.9330

0.1447

0.1811

0.1133

--

牛顿插值多项式

22P (x)0.34400.2792(x 1.0670) 3.5863(x 1.0670)(x 1.5)

0.11330.57010.8234

x x =--+--=-+ ( 6分)

0019022

16e t t t t t t max 216e x x x x x x 6

f x R 231

2101t -131

21032.)())()(()()

)()(()()()(=?≤---≤---ξ=

--≤≤-

( 4分) 八、(8分)

()2

12111

22

33

()'()[1()]

2()'()''()(4)

2

()'()''()()()'()''()22()

(4)

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n h y y hf x y f x y f x y h

y x hy x y x E y x y h h y x hy x y x O h y x hy x y x O h ++++=++++++=++=-????=+++-++ ? ?

????

=分此格式二阶精度。分