郑州大学高等数学下课后习题答案解析

习题7.7

3.指出下列方程所表示的曲线.

（1）???==++;3,

25222x z y x （2）???==++;1,3694222y z y x

（3）???-==+-;3,

254222x z y x （4）???==+-+.4,08422y x z y

【解】

（1）表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ；

（2）表示平面1=y 上的椭圆19

32322

2=+z

x ；

（3）表示平面3-=x 上的双曲线14

162

2=-y z ； （4）表示平面4=y 上的抛物线642-=x z .

4.求()

()

?????=++=++Γ2,

21,

:2

22

2

222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】 （一）（1）、（2）联立消去z 得 2224

3R y x =

+ 所以，Γ在xoy 面上的投影曲线为

?????==+.0,

4

322

2z R y x （二）（1）、（2）联立消去y 得

R z 2

1

=

所以，Γ在zox 面上的投影曲线为 .23.0,21R x y R z ≤

??

?

??==

（三）（1）、（2）联立消去x 得

R z 21

=

所以，Γ在yoz 面上的投影曲线为

.23.0,

21R y x R z ≤

?????

==

6.求由球面224y x z --= ①和锥面()

223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域.

【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为

?

??==+.0,

122z y x

所以，球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D .

习题7.8

2.设空间曲线C 的向量函数为(){}

t t t t t r 62,34,122--+=，R t ∈.求曲线C 在与

20=t 相应的点处的单位切向量.

【解】因(){}64,4,2-=t t t r ，故C 相应20=t 的点处的切向量为

(){}2,4,42='r .

C 相应20=t 的点处的单位切向量为

(){}.31,32,322,4,4612?

?????±=±

=' 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为

()()(){}|

1

,,='''=t t z t y t x {

}{}3,2,13,2,1|

1

2

===t t t .

所以，Γ在0M 点处的切线方程为 3

1

2111-=

-=-z y x . 法平面为

()()()01.31.21.1=-+-+-z y x ，即 0632=-++z y x .

4.在曲线32,,:t z t y t x ===Γ上求一点，使在该点处的切线平行于平面y x 2:+π

4=+z .

【解】平面y x 2+4=+z 的法向量为{}1,2,1=n .

在Γ上任取一点()0000,,z y x M ，并设0M 对应参数0t t =.Γ在0M 点处的切

线方向为

()()(){}000,,t z t y t x '''={}{}2

0023,2,13,2,1|0

t t t t t

t ===. 由题意，欲使0M 点处的切线与平面π平行，只须与垂直，为此令

2

00341.0t t n s ++==，即

03412

00=++t t .

解之得， 10-=t 或 3

1

0-=t .

所以，所求点为()1,1,10---M 或??

?

??-271,91,310M .

5.求曲线?=t

u udu e x C 0

cos :，t t y cos sin 2+=，t e z 31+=在0=t 处的切线方程和

法平面方程.

【解】参数0=t 对应曲线C 上的点()2,1,00M .

C 在0M 点处的切线方向为

()()(){}|

,,='''=t t z t y t x s {

}{}3,2,13,s i n c o s 2,c o s |

3=-==t t

t e t t t e .

所以，Γ在0M 点处的切线方程为

3

2

2110-=

-=-z y x . 法平面为

()()()02.31.20.1=-+-+-z y x ，即 0832=-++z y x .

习题8.1

1.求下列函数的的定义域，并画出定义域的图形. （3）2

2

1y

x z w --=

；（4）1

92

2

2

222-++---=

z y x z y x u .

【解】

（3）要使函数表达式有意义，必须满足 0122>--y x 即 122<+y x 故所求函数的定义域为

(){}1|,22<+=y x y x D . （4）要使函数表达式有意义，必须满足

?????>-++≥---.

01,

092

222

22z y x z y x 即 ?????>++≤++.

1,

92

222

22z y x z y x 故所求函数的定义域为

(){}91|,,222≤++<=z y x z y x D .

3.求下列各极限. （1）

()()???? ??++→z y x z y x 111lim

3,2,1,,； （2）()()???? ??+→x y y x y x 1sin 1sin lim 0,0,； （3）

()()

()xy

y x xy tan 1

0,0,1lim

+→； （4）()()()

2

22

20,0,lim y x y x xy y x +-→；

（5）()()

y x y x y x +-++→11lim

220,0,； （6）()()2220,0,lim y

x y

x y x +→. 【解】（1）因为函数()z

y x z y x f 1

11,,++=

是三元初等函数，其定义域为

(){}0,0,0|,,≠≠≠=z y x z y x D ，且()D ∈3,2,1，所以三元函数

()z

y x z y x f 1

11,,++=

在()3,2,1处连续，从而有 ()()611312111111lim

3,2,1,,=++=???? ??++→z y x z y x . （2）

()()????

?

?+→x y y x y x 1sin 1sin lim 0,0, ()()

y x y x 1sin

lim

0,0,→=

()()0001

sin lim 0,0,=+=+→x

y y x . 【其中

()()

y x y x 1sin

lim 0,0,→()()01

sin lim 0,0,==→x

y y x 均是利用有界量乘以无穷小量还是无穷小量】. （3）

()()

()xy

y x xy tan 1

0,0,1lim

+→()()()e e xy xy

xy

xy

y x ==??????+=

→1tan 1

0,0,1lim

.

（4）()()()22220,0,lim y x y x xy y x +-→()()()

0.lim 2

22

20,0,=+-=→xy y x y x y x .

【上述结论中用到122

2

2≤+-y x y x 及()()0lim 0,0,=→xy y x ，即利用有界量乘以无穷小量还是无穷小量】. （5）

()()

y x y x y x +-++→11lim

220,0,()()()()

1

1lim 222

20,0,+++++=→y x y x y x y x

()()()

.lim 2

20,0,y x y x y x ++=→()()

.02

1

01

11lim

220,0,=?

=+++→y x y x 【上述结论中用到()y x y

x y x y x y x +=++≤++≤

2

220，()()()0lim 0,0,=+→y x y x 及夹逼准则】.

（6）()()2220,0,lim y x y x y x +→()()0.lim 2

22

0,0,=+=→y y x x y x .

【上述结论中用到122

2

≤+y

x x 及()()0lim 0,0,=→y y x ，即利用有界量乘以无穷小量还是

无穷小量】.

4.证明极限()()4

22

0,0,lim y x xy y x +→不存在.

【证】（一）让动点()y x P ,沿直线0=y 趋于点()0,0O 时，

()4

2

2

0lim y x xy y x +=→000.lim 4220=+=→x x x . （二）让动点()y x P ,沿抛物线x y =2趋于点()0,0O 时，

()42202lim y x xy x

y x +=→21

.l i m 220=

+=→x x x x x .

习题8.2

1.证明：函数()444,y x y x f +=在原点()0,0处连续，但不存在偏导数()0,0x f '，

()0,0y f '.

【证明】 （一）因为

()()

()()0,00,lim

0,0,f y x f y x ==→，所以，()y x f ,在()0,0处连续.

（二）因为()()x f x f x ?-?+→?0,00,0lim 0()x

x x ?-+?=→?00lim

4

44

0 x

x x ??=→?0

l i m

不存在，所以不存在偏导数()0,0x f '；

由轮换对称性知，也不存在偏导数()0,0y f '. 2.求下列函数对各自变量的一阶偏导数.

（1）x y y x z 33-=； （2）xy z ln =；

（3）xy e z x sin =； （4）x

y

z arctan =；

（5）()y

xy z +=1； （6）2y

xe z y

=.

【解】

（1）

323y y x x

z

-=??；x y x y z 233-=?? . （2）因y x z ln ln +=，故

x x z 1

=??；

y

y z 1=??. （3）

xy ye xy e x

z

x x cos sin +=??； xy xe y z x cos =?? （4）x x y x y x

z '

??

?

????

? ??+=??2112

22222y x y x y y x x +-=??

?

??-+=； y

x y x y x

z

'

??

? ????

? ??+=??211

2

22

2

2

1y x x x y x x +=??

?

??+=. （5）()()xy y y

e xy z +=+=1ln 1；

()

()[]x xy y xy y e x z '+=??+1ln 1ln ()?????????? ??+=+y xy y e xy y .111ln ()1211-++=y xy xy y ；

()()[]y xy y xy y e y z '

+=??+1ln 1ln ()?????

????? ??+++=+x xy y xy e xy y .11)1ln(1ln ()??

????++++=xy xy xy xy y 1)1ln(1()()[]xy xy xy xy y ++++=-)1ln(111. （6）2y e x z y =??；422.y y e y e x y z y y -=??()

422y y y xe y -=()3

2y

y xe y -=. 3.求曲线?????=+=

Γ,4,4

:2

2y y x z 在点()5,4,20M 处的切线方程及切线对于x 轴的倾角的度数. 【解】

（一）Γ的参数方程为

???

????

+=

==Γ416,4,:2

x z y x x （x 为参数）.

点0M 对应参数2=x ，故切向量为

{}1,0,12,0,1|2=????

??

==x x s 切. 所以，点()5,4,20M 处的切线方程为

1

5

0412-=

--=-z y x . （二）因为()()1244,2||4,2)4,2(22=='

???? ??+='x

y x f x x ，所以切线对于x 轴的倾角的度

数为4

1arctan π

α=

=. 4.求下列函数的所有二阶偏导数.

（1）()y x z 32sin +=； （2）42244y y x x z +-=； （3）xy z 2=； （4）y

x

y x y x z arctan arctan 22-=. 【解】 （1）

()y x x

z

32cos 2+=??； ()y x y z 32cos 3+=??；

()y x x z 32sin 422+-=??；()y x y x z 32sin 62+-=???；()y x y

z

32sin 922+-=??. （2）

2384xy x x

z

-=??； 3248y y x y z +-=??； 2

22

2812y x x z -=??；xy y x z 162-=???；2222128y x y

z +-=??. （3）

()x xy xy x z '

=??2.2121()x y

y xy 2

12.2121==

；

()y xy xy y z '

=??2.2121()y

x x xy 2

12.2121==

. xy

x y x y x y x z 42.121212

22-=?

????

?????????? ??-=??；

xy

x x y y x z 421.121212=

?

????

?

????????? ??=???； xy

y x

y x y x y z 42.12121222-=??

???

????????????? ??-=??. （4）y

x y x y x z arctan arctan

22-=. x x y x

y x y x x z '???

? ??-'

??? ??=??arctan arctan 22 ??????

???????????? ??+-???????

?????

????????? ????? ??-??? ??++=y y x y x y x y x x y x 1.11.11a r c t a n 222222 2

2

3

222a r c t a n 2y

x y y x y x x y x +-+-= ()

22

22a r c t a n 2y x y

y x x y x ++-=y x y x -=a r c t a n 2； y y y x y x y x y z '???? ?

?-'

??? ??=??arctan arctan 2

2 ?????????????

???????? ?????? ?

?-???? ??++-????????????????? ??+=222

22.11a r c t a n 21.11y x y x y y x y x x y x 2

2

2

223a r c t a n 2y

x xy y x y y x x ++-+= ()

y x

y y

x x y x

a r c t a n 22

222

-++=

y x y x a r c t a n 2-=.

??

????

???????????

??-??? ??++='

??

? ??-=??2222.112arctan 2arctan 2x y x y x x y y x y x x z x 2

22a r c t a n 2y

x xy

x y +-=. 11.112a r c t a n 222-????

??

??????????

? ????? ??+='

??? ??-=???x x y x y x y x y x z y 12222-+=y x x 2

2

2

2y

x y x +-=； y y x y x y z '

???

? ?

?

-=??arctan 222 ?????

??

???

?????????????????????? ??-???? ??++-=22.112a r c t a n 20y x y x y y x 2

22a r c t a n 2y

x xy

y x ++-=. 5.验证下列等式.

（1）设x

y xe z =，证明： z y

z y x z x

=??+??； （2）证明函数r u 1=，2

22z y x r ++=满足0222222=??+??+??z

u y u x u ；

（3）证明()bx e t x T t

ab sin ,2-=满足热传导方程22x

T

a t T ??=??，其中a 为正常数，

b 为任意常数.

【证】

（1）因??? ??-=????????? ??-+=??x y e x y e x e x z x y x y x y 12；x y

x y e x e x y z =??

???????

??=??1.

所以，z xe ye x y e x y z y x z x x y x y x y ==+????????? ?

?

-=??+??1.

（2）

()

x z y x z y x x r '++++=??22222221()r x

x z y x =++=2212

22；①

x r dr du x u ??=??.【因为①】32.1r

x r x r -=-=. 6

23

322

.3..1r

x r r x r r x x x u ??? ????--=??? ??-??=??【因为①】 5

226233.3..1r

x r r r x r x r --=?

?? ??

--=； ② 同理可得

5

2

2223r

y r y u --=??； ③ 5

2

2223r z r z u --=?? ④

所以，222222z

u

y u x u ??+??+??【因为②，③，④】

()

5222233r z y x r ++--=0335

2

2=--=r

r r . （3）由()bx e t x T t ab sin ,2

-=，得

()[]

bx e ab bx ab e t

T

t ab t ab sin sin 2222---=-=??. ① []bx be b bx e x

T

t ab t ab cos .cos 22--==??.

[]b bx be x T t

ab .sin 22

2-=??-bx e b t ab sin 22--=. ② 所以有

22x

T

a t T ??=??bx e a

b t ab sin 22--=.

6.设()()

?

??

??=+≠+++=,0,

0,0,1cos ,2222222

2y x y x y x y x y x f 求()0,0x f '，()0,0y f '.

【解】

因为()()x

f x f x ?-?+→?0,00,0lim 0 ()

[]

()

x

x x x ?-+?+?=→?00

1

cos

0lim

2

2

22

01cos

lim 0

=??=→?x x x 【上述结论中用到11

cos ≤?x

及0lim 0=?→?x x ，即利用有界量乘

以无穷小量还是无穷小量】，所以，()00,0='x f . 同理，()00,0=''y f .

习题8.3

1.求下列函数的全微分.

（1）y

x

y x z +=2

4；（2）3

2y x e

z +=；（3）xyz u =；（4）z xy u =.

【解】 （1）因为

y xy x z 1

8+=??，

224y

x x y z -=??，所以 dy y z

dx x z dz ??+??=

dy y x x dx y xy ???

? ??-+???? ??+=22418. （2）因为

(

)

x

y

x y x e x

z

'

+=??+2

22

2

???

? ??+=+x y x e

y

x 2.21222

22222y x xe y x +=+； 由轮换对称性知，222

2

y

x ye y z y

x +=??+.所以

dy y z

dx x z dz ??+??=

()ydy xdx y

x e y x ++=+222

2. （3）因为

yz x u =??，xz y u =??，xy z

u

=??，所以，

x y d z x z d y y z d x dz z

u dy y u dx x u du ++=??+??+??=

. （4）z xy u =. 因为

z y x u =??，1-=??z xzy y u ，y xy z

u

z ln =??，所以， ydz xy dy xzy dx y dz z

u dy y u dx x u du z z z ln 1++=??+??+??=

-. 2.求下列函数在指定点的全微分.

（2）z

y x u 1

????

??=，()1,1,1|du .

【解】（2）z

y x u 1????

??=，()1,1,1|du .

因为

x z

y x y x z x u '

???

? ?????

?

??=??-111????

?????? ??=-y y x z z

1111； y

z y x y x z y u '???

?

?????? ??=??-11

1???? ??-???? ??=-2111y x y x z z ； ??? ??-???? ?????? ??=??21

1.ln z y x y x z u z

??? ?

?-???? ?????

?

??=-2111ln 1z y x y x z z

.

所以

dz z

u dy y u dx x u du ??+??+??=

+???

? ??????

??=-dx y y x z z

1111

dy y x y x z z

???

? ??-????

??-211

1dz z y x y x z z

??? ?

?-???? ?????? ??+-211

1ln 1.

从而 ()dy dx du -=1,1,1|.

4.求曲面22:y x z S +=在点()2,1,10M 处的切平面方程和法线方程.

【解】令()z y x z y x F -+=22,,. 则曲面S 在点0M 处的切平面的法向量为 ()()(){}000,,M F M F M F z y x '''= {}()

{}1,2,21,2,2|

2,1,1-=-=y x .

所以S 在点0M 处的切平面方程为

()()()02.1121.2=---+-z y x . 化简得

0222=--+z y x . 法线方程为

1

2

2121--=

-=-z y x . 6.利用全微分求近似值. （1）

()()3397.102.1+；

【解】（1）令(),,33y x y x f z +==则

()()3

3

21

3

3

22

3

,,2

3

,y

x y y x f yx

y

x x y x f y y x +=

'+=

'-.

取03.0,02.0,2,100-=?=?==y x y x ，则有

()()()()()03.02,102.02,12,103.02,02.01-?'+?'+≈-+y x f f f f ，

即：

()()().95.203.0202.02

1

397.102.13

3=-?+?+≈+

8.已知函数()?

????=+≠++=,0,

0,0,1sin ,222

22

2y x y x y x xy y x f

证明： （1）()y x f ,在点()0,0处连续且偏导数存在； （2）()y x f ,在点()0,0处可微. 【证】

（1）因为()y x f y x ,lim 0

→→01sin

lim 2

2

0=+=→→y

x xy y x 【无穷小乘以有界量还是无穷小量】

()0,0f =，所以()y x f ,在点()0,0处连续. 又因为()()x

f x f x ?-?+→?0,00,0lim

00

0lim 0=?-=→?x x ，所以()00,0='x f ；同理()00,0='y f ，所以()y x f ,在点()0,0处偏导数存在.

（2）()y x f ,在点()0,0处的全增量为

()

()()()

()

2

2

0,01

s i n

0,00,0|

y x y x f y x f z ?+???=-?+?+=?.

因为 ()()[

]()()2

20

00,00,0lim

y x y

f x f z y x y x ?+??'+?'-?→?→?

()

()

()

()

01sin

lim

2

2

2

2

0=?+??+???=→?→?y x y x y

x y x ，

所以，()y x f ,在点()0,0处可微. 【上述结论用到了()()

()()2

2

2

2

1

sin

0y x y x y

x ?+??+???≤

()

()

()

()

2

2

2

2

1

s i n

.y x y x y x ?+??+???=

()()[]

()()()[]()()()0,0,02

121

222

222→??→?+?=

?+??+?≤y x y x y x y x

及夹逼准则 . 】

习题8.4

1.求下列复合函数的偏导数或全导数. （1）设uv e z =，而2,sin x v x u ==，求dx

dz ； （2）设()xy

x z ln =，求

x

z

??，y z ??； （3）设()xy y x yf x z ,222+=，求x

z

??，y z ??. 【解】

（1）因为

uv ve u z =??，uv ue v z =??；x dx du cos =，x dx

dv

2=.所以由全导数公式，有 ()

x x x x e x ue x ve dx

dv

v z dx du u z dx dz x x uv uv cos sin 22.cos ..2sin 2+=+=??+??=. 【另解：因为x x e z sin 2=，故 ()'=x x e dx dz x x sin 2sin 2()

x x x x e x x c o s s i n 22s i n

2+=.】 （2）

()[]

x x xy e x z '=??ln ln ()[]x x xy x xy e '

=ln(ln ln ()?????

???? ??+=x x xy x y e x xy 1.ln 1)ln(ln ln

()?????

?

+=x y x y x xy ln )ln(ln ln ()()()x x y x y xy xy ln ln ln ln 1+=-； ()()()y xy xy x x y

z '

=??ln ln .ln ()()x x x xy ln ln .ln =. （3）

()()()[]

x x xy y x f y x xy y x f y x x

z

'+++'=??,.,.222222 ()[]y f x f y x xy y x f xy .2..,.221222'+'++=；

()()()[]

y y xy y x f y x xy y x f y x y

z

'+++'=??,.,.222222 ()[]x f y f y x xy y x f x .2..,.212222'+'++=.

2.设??

?

??+=x y x xy z ?，其中()u ?是可微函数，证明： +??x z x xy z y z y +=??. 5.设()2

2

1

,,z y

x e z y x f u ++==，而y x z sin 2=，求

x

u

??，y u ??. 6.求下列函数的22x

z ??，y x z ???2和22y z

??.

（1）()y xy f z ,=；（2）()y x e y x f z +=,cos ,sin . 【解】

（1）由()y xy f z ,=得

1f y x

z

'=??，21f f x y z '+'=??； []()11211

122f y f y y f y x

z x ''=''=''=??；

[]()1211112111112f y f xy f f f x y f f y f y

x z y ''+''+'=''+''+'=''+'=???； [][]()()2212112

22211211212

22f f x f x f f x f f x x f f x y z y y ''+''+''=''+''+''+''=''+''=??. 【注意：书中有关22y

z

??的答案有误】.

（2）由()y x e y x f z +=,cos ,sin 得

31.c o s f e f x x

z

y x '+'=??+；32.sin f e f y y z y x '+'-=??+； [][]

x y x x f e f x x

z ''+'

'=??+3122.c o s

()[]

1311

1cos cos .sin f e f x x f x y x ''+''+'-=+ ()[]

3331

3.cos f e f x e f e y x y x y x ''+''+'++++

[][]

y y x y f e f x y

x z ''+'

'=???+312.c o s ()[]

333231312

sin sin cos f e f y e f e f e f y x y x y x y x y x ''+''-+'+''+''-=++++； 33223231312

sin cos sin cos f e f ye f e f xe f y x y x y x y x y x ''+''-'+''+''-=++++； [][]

y y

x y f e f y y z ''+''-=??+322

2.s i n

()[]

2322

2sin sin .cos f e f y y f y y x ''+''-+'-=+ ()3332

3sin f e f y e f e y x y x y x ''+''-+'++++ 332232322

22sin 2sin .cos f e f e f ye f y f y y x y x y x ''+'+'''-''+'-=+++. 【注意：书中有关22y

z

??的答案有误】.

8.设()[]z x f z ?+= ①，其中?,f 可导，求

dx

dz . 【解】①式两端对x 求导并注意到z 是关于x 的函数，得 ()[]()[]x z x z x f dx dz '

++'=??()[]()?????

?'++'=dx dz z z x f .1??

()[]()()[]dx

dz

z x f z z x f ..???+''++'=. ② 由②式解得

()[]()()[]

z x f z z x f dx dz ???+'-+'=1.

9.设()y x z z ,=由方程0ln 2

=-+?-dt e z z x

y t ①得到，求x z

??，y

z ??，y x z ???2.

【解】（一）①式两端对x 求导并注意到z 是关于y x ,的二元函数得

012=-??+??-x e x

z

z x z ，即 211x e x z

z -=????? ?

?+ . ②

由②式解得

2

1x e z

z x z -+=??. ③ （二）①式两端对y 求导并注意到z 是关于y x ,的二元函数得

012=+??+??-y e y

z

z y z ，即 2

11y e y z z --=????

? ??+ . ④ 由④ 式解得 2

1y e z

z y z -+-=??. ⑤ （三）由③式得

212x y e z z y x z -'

??????+=???()2.11

2x e y z z -??

??????+=【代入④】 ()2

2.1.11

2x y e e z z z --??

????+-+=

()

2

2

.13

y x e z z

--+-

=.

10.设f 可微，试验证： （1）()

22y

x f y z -=

① 满足方程2

11y z

y z y x z x =??+??； 【证】()x y x f y x z '??????-=??221(

)

()[]

x y x f y x f y '

?

?????---=2

22

221

()()()

??

????'--'--

=x

y x y x f y

x f

y

22222

2

2

.

(

)

()

222

22

2y x f y

x f

xy

-'--

=； ()

y

y x f y y z '

?

?

????-=??221

.()

()

y y x f y y x f '

??

????-+-=

222

211 ()()()()????????????'--'--+-=

y y x y x f y x f y y x f 22222222

2.1

1

()(

)(

)

222

222

2221y x f y

x f y y x f -'---=. 所以

y

z y x z x ??+??11

()()??????-'--=2222221y x f y x f xy x ()()()??

????-'---+22222222211y x f y x f y y x f y ()

221.1y x f y -=

【由①式】..12

y z y z y == （2）()y x f z ,=满足方程t z s z y z x z ????=???

?

????-??? ????.2

2

，其中t s y t s x -=+=,. 【证】

y z

x z s y y z s x x z s z ??+??=????+????=??..； y

z x z t y y z t x x z t z ??-??=????+????=??... 故 t z s z ????.???? ????+??=y z x z ???? ????-??y z x z .2

2

???

?

????-??? ????=y z x z . 14.设函数()y x f ,具有二阶连续偏导数，且满足等式

0512422222=??+???+??y

u

y x u x u . ①

试确定b a ,的值，使等式在变换by x ay x +=+=ηξ,下化为

02=???η

ξu

. 【解】因为

η

ξηξηηξξ??+

??=??+??=????+????=??u

u u u x u x u x u

1.1...；

η

ξηξηηξξ??+??=??+??=????+????=??u b u a b u a u y u y u y u ..... 故有

???

?

??????+?????+???? ???????+????='

???

?

????+'???? ????=??x u x u x u x u u u x u x

x ηηξξηηηξξξηξ (2222222)

2 2

22222ηηξξ

??+???+??=u

u u . ② ???

?

??????+?????+???? ???????+????='

???

?

????+'???? ????=???y u y u y u y u u u y x u y

y ηηξξηηηξξξηξ....2222222 ()22222..ηηξξ??+???++??=u

b u b a u a . ③

???

?

??????+?????+???? ???????+????='

???

? ????+'???? ????=??y u y u b y u y u a u b u a y u

y

y ηηξξηηηξξξηξ (2222222)

2

2

2

22222

2η

ηξξ??+???+??=u b u ab u a . ④ 将②、③、④代入①式左边，得

①左???? ????+???+??=2222224ηηξξu u u ()???

?

????+???++??+22222.12ηηξξu b u b a u a

???

? ????+???+??+22

2222225ηηξξu b u ab u a (

)()()

2

2

22222

512410121285124η

ηξξ??+++???++++??++=u b b u ab b a u a a 因此方程①化为

(

)()()

05124101212851242

2

22222

=??+++???++++??++η

ηξξu b b u ab b a u a a . ⑤