考研数学一真题及答案

2017年全国硕士研究生入学统一考试

数学（一）试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1

）若函数

0(),0x f x b x >=?≤?

在0x =处连续，则 (A)

12

ab =

． (B)

1

2

ab =-

． (C) 0ab =． (D) 2ab =．

【答案】A

【详解】由0

1lim

2x b a +

→==,得1

2

ab =.

（2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则

(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-． ??(C)

()()11f f >-．

(D)

()()

11f f <-.

【答案】C 【详解】

2()

()()[]02

f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-.

（3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为

(A) 12． (B) 6． (C) 4． (D)2 ．

【答案】D

【详解】方向余弦12

cos ,cos cos 33

=

==αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.

（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，

实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线

2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为

10，20，3，计

时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则

(A)

010t =．

(B) 01520t <<． (C)

025t =．

(D)

025t >．

【答案】C

【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处.

（5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则

(A) T E -αα不可逆． (B) T E +αα不可逆． (C)

T 2E +αα不可逆．

(D)

T 2E -αα不可逆．

【答案】A

【详解】可设T α=(1,0,

,0),则T αα的特征值为1,0,

,0,从而T αα-E 的

特征值为011,,,,因此T αα-E 不可逆.

（6）设有矩阵200021001A ?? ?= ? ???，210020001B ?? ?= ? ???，122C ??

?

= ? ???

(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C

不相似．

(C) A 与C 不相似，B 与C 相似．

(D) A 与C 不相似，B 与

C 不相似．

【答案】B

【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而

B 只有两个,所以A 可对角化, B 则不行.

.（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)

P A B P B A >的

充分必要条件

(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C)

(|)(|)P B A P B A >．

(D)

(|)(|)P B A P B A <．

【答案】A 【详解】由

(|)(|)

P A B P A B >得

()()()()

()()1()

P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即

()>()()P AB P A P B ;

由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B . （8）设

12,,,(2)

n X X X n …为来自总体

(,1)

N μ的简单随机样本，记

1

1n

i

i X X n ==∑，则下列结论不正确的是

(A)21

()n

i i X μ=-∑服从2χ分布 ．

(B)

212()n X X -服从2

χ分

布．

(C) 21()n

i i X X =-∑服从2χ分布．

(D)

2

()n X -μ服从2χ分

布．

【答案】B 【详解】

22

2211

~(0,1)()~(),()~(1)1n n

i i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ; 22

1~(,),()~(1);X N n X n

-μμχ2211()~(0,2),

~(1)2n n X X X X N --χ.

二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题．．纸．

指定位置上． （9）已知函数2

1(),1f x x

=+(3)

(0)f = ．

【答案】0 【详解】242

1

()1(11)1f x x x x x

=

=-++-<<+,没有三次项.

（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为 ．

【答案】12e ()x y C C -=+

【详解】特征方程

223

0r r ++=

得

1r =-+,因

此

12e ()x y C C -=+.

（11）若曲线积分?-+-L y x aydy

xdx 1

2

2在区域{}1),(22<+=y x y x D 内与路径无关，

则=a

．

【答案】1-

【详解】有题意可得

Q P

x x

??=

??,解得1a =-. （12）幂级数11

1)1(-∞

=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．

【答案】

2

1(1)x +

【详解】1

1

2

1

1

1(1)

[()](1)n n n n n nx

x x ∞

∞

--=='-=--=

+∑∑.

（13）???

?

? ??=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则()

321,,αααA A A 的秩为 ． 【答案】2

【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A

（14）设随即变量X 的分布函数4

()0.5()0.5()2

x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ． 【答案】2

【详解】00.54()d [0,5()()]d 222

x EX xf x x x x x +∞

+∞

-∞-==+

=????. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）．

设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),x

y f x =求

2200

,x x dy

d y dx

dx

==.

【答案】

(e ,cos )x y f x =

（16）（本题满分10分）．

求2lim

ln(1)n k k n n

→∞

+. 【答案】

（17）（本题满分10分）．

已知函数)(x y 由方程333320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】333320x y x y +-+-=①，

方程①两边对x 求导得：22''33330x y y y +-+=②， 令'0y =，得233,1x x ==±. 当1x =时1y =，当1x =-时0y =.

方程②两边再对x 求导：'22''''66()330x y y y y y +++=， 令'0y =，2''6(31)0x y y ++=，

当1x =，1y =时''3

2

y =-，当1x =-，0y =时''6y =.

所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0. （18）（本题满分10分）．

设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0()

lim 0x f x x

+

→<.证明：

（I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;

（II ）方程2()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)0()

lim

0x f x x

+

→<，

由极限的局部保号性，(0,),()0c f c δ?∈<使得，又(1)0,f >

由零点存在定理知，(c,1)ξ?∈，使得，()0f ξ=. (2)构造

()

()'F x f x f x =，(0)(0)'(0)0

F f f ==，

()()'()0

F f f ξξξ==，0()

lim 0,'(0)0,x f x f x

+

→<∴<由

拉格朗日中值定理

知

(1)(0

)

(0,1),'()

010

f f f ηη-?∈=>

-，

'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知

1(0,)(0,1)ξη?∈?，使得1'()0f ξ=，111()()'()0,F f f ξξξ∴==

所以原方程至少

有两个不同实根。 （19）（本题满分10分）．

设薄片型物体S 是圆锥面22y x z +=被x z 22=割下的有限部分，其上任意一点处的密度为2229),,(z y x z y x ++=μ，记圆锥面与柱面的交线为C ；

（I ）求C 在xOy 平面上的投影曲线的方程； （II ）求S 的质量

M 。 【答案】(1)C 的方程为

22z z x

?=??=??，投影到x o y 平面的方程为：

22(1)1

x y z ?-+=?

=? （20）(本题满分11分)．

设3矩阵123(,,)A ααα=有3个不同的特征值，3122ααα=+ （I ）证明：(A)2r =;

（II ）若123βααα=++，求方程组Ax β=的解. 【答案】

又A 有三个不同的特征值，故01=λ为单根，且A 一定能相似对角化. （2）由（1），0=Ax 的通解为()T k 1,2,1-，

321αααβ++= ，故有()()ββααα==????

?

??T

A 1,1,1111,,321，即.

（21）（本题满分11分）．

设二次型222

123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换Qy x =

下的标准形为221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q 。

【答案】二次型的矩阵???

?

? ??---=a A 14111412

，

因为二次型在正交变换下的标准形为221122y y λλ+，故A 有特征值0，

0=∴A ，故2=a .

由0)6)(3(2

1

4

11

14

12=-+=---+---=

-λλλλλλλA E 得特征值为

0,6,3321==-=λλλ.

解齐次线性方程组()0=-x A E i λ，求特征向量.

对31-=λ，????? ??-→????? ??-------=--0001101015141214153A E ,得???

?? ??-=1111α；

对62=λ，????? ??→????? ??----=-0000101014141714146A E ,得???

?? ??-=1012α；

对03=λ，????? ??--→????? ??------=-0002101012141114120A E ,得???

?

? ??=1213α；

因为123,,ααα属于不同特征值，已经正交，只需规范化： 令()()()T T T 1,2,16

1,1,0,121,1,1,131

3222111=-==-=

=

βααβααβ， 所求正交矩阵为????????

? ??--=612

13

16

20316121

3

1Q ,对应标准形为2

22163y y f +-=. （22）（本题满分11分）．

设随机变量X 与Y 相互独立，且X 的概率分布为

1

{X 0}{X 2}2P P ====，Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <

?

其他. （I ）求{Y EY}P ≤

（II ）求Z X Y =+的概率密度。 【答案】（1）3

2d 2d )(1

0=?==??+∞∞-y y y y y yf EY Y ，

{}9

4d 2d )(320

32

=

==≤∴??∞

-y y y y f EY Y P Y . （2）Z 的分布函数为 故Z 的概率密度函数为

[]???

??<≤-<≤=??

???????≥<≤-<≤<≤<=-+='=其它,03

2,210,3,

032,221,010,0,

0)2()(21)()(z z z z z z z z z z z z f z f z F z f Z Z . （23）（本题满分11分）．

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n 次测量，该物体的质量μ是已知的.设n 次测量结果n X X X ,,21相互独立且均服从正态分布),(2σμN .该工程师记录的是n 次测量的绝对误差),,2,1(n i X Z i i =-=μ.利用n Z Z Z ,,21估计σ. （I ）求i Z 的概率密度；

（II ）利用一阶矩求σ的矩估计量； （III ）求σ的最大似然估计量.

【答案】1Z 的分布函数为{}{}?

???

??≤-=≤-=≤=σ

σμμz X P z X P z Z P z F Z 111)(1

，

所以i Z

的概率密度均为22

2e ,0()()0,

z Z Z

z f z F z -

?

>'==?

其他

σ. （2）πσπ

σπ

σσπσσ

2222d 22d 220

20

2

20

12

2

22

=???

? ?

?-=

?=∞+-∞

+-

=-∞

+?

=?t t z t z e t te

z e z EZ 令，

令Z EZ =1，即

Z =π

σ

22，得σ的矩估计量为：

Z 22?πσ

=，其中∑==n

i i Z n Z 1

1. （3）记n Z Z Z ,,,21 的观测值为n z z z ,,,21 ，当),,2,1(0n i z i =>时， 似然函数为∑??====-

---==∏

∏n

i i i z n n n z n

i n

i i e

e z

f L 1

2

2

22

212

21

1

)2(222

);()(σ

σσπσ

πσσ，

∑=-

--=∴n

i i z n n n L 1

2

2

21

ln )2ln(22ln )(ln σσπσ，

令∑∑====+-=n i i

n i i z n z n d L d 12123101)(ln σσσσσ，得

∑==∴n i i Z n 1

2

1?σσ的最大似然估计量为.