数学建模试题(带答案)四
数学建模部分课后习题解答
1.在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？ 解：
模型假设
（1） 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形 （2） 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），
即从数学角度来看，地面是连续曲面。这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件
（3） 椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。为了保证这一点，要求对于椅脚的间
距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的。因为在地面上椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），此时三只脚是无法同时着地的。
模型建立
在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。
注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。把长方形绕它的对称中心旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。
设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC 所在的直线为x 轴，对称中心O 为原点，建立平面直角坐标系。椅子绕O 点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD 转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角）0（πθθ≤≤表示出椅子绕点O 旋转θ后的位置。
其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数。
由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数，而由假设（3）可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0。因此，只需引入两个距离函数即可。考虑到长方形ABCD 是对称中心图形，绕其对称中心O 沿逆时针方向旋转180度后，长方形位置不变，但A,C 和B,D 对换了。因此，记A ，B 两脚与地面竖直距离之和为)(θf ，C,D 两脚之和为)(θg ，其中[]
πθ，0∈，使得)()(00θθg f =成立。 模型求解 如果0)0()0(==
g f ，那么结论成立。
如果)0(与)
0(g f 不同时为零，不妨设.0)0(,0)0(=>g f 这时，将长方形ABCD 绕点
O 逆时针旋转角度π后，点A,B 分别于与C ，D 互换，但长方形ABCD 在地面上所处的位置不变，由此可知，f （π）＝g （0），g （π）＝f （0）.而由f （0）＞0，g （0）＝0，得g （π）＞0，f （π）＝0。令h （θ）＝f(θ)－g （θ），由f(θ)和g(θ)的连续性知h(θ)也是连续函数。 又0)()()(,0)0()0()0(<-=>-=
πππg f h g f h ，
根据连续函数介值定理，必存在），，0（0πθ∈使得)()(即,0)(000θθθg f h ==； 又因为0)()(所以,0)()(0000===?θθθθg f g f 。于是，椅子的四只脚同时着地，放稳了。 模型讨论
用函数的观点来解决问题，引入合适的函数是关键．本模型的巧妙之处就在于用变量θ表示椅子的位置，用θ的两个函数表示椅子四只脚与地面的竖直距离．运用这个模型，不但可以确信椅子能在不平的地面上放稳，而且可以指导我们如何通过旋转将地面上放不稳的椅子放稳．
2. 人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。问人、狗、鸡、米怎样过河？
模型假设
人带着猫、鸡、米过河，从左岸到右岸，船除了需要人划之外，只能载猫、鸡、米三者之一，人不在场时猫要吃鸡，鸡要吃米。试设计一个安全过河方案，使渡河次数尽量地少。
符号说明
1X ：代表人的状态，人在该左岸或船上取值为1，否则为0;
2X ：代表猫的状态，猫在该左岸或船上取值为1，否则为0； 3X ：代表鸡的状态，鸡在该左岸或船上取值为1，否则为0； 4X ：代表米的状态，米在该左岸或船上取值为1，否则为0:；
),,,(4321X X X X S k =:状态向量，代表时刻K 左岸的状态； ),,,(4321X X X X D k =:决策向量，代表时刻K 船上的状态；
模型建立
限制条件：??
?≠+≠+?=2
2043321X X X X X
初始状态：)0，0，0，0(),1，1，1，
1(00==D S 模型求解
根据乘法原理，四维向量）,,,（4321X X X X 共有162
4
=种情况根据限制条件可以排除
）1,1,0,0）（1，0,1，0）（1,1,1,0（三种情况，其余13种情况可以归入两个集合进行分配，易知
可行决策集仅有五个元素{}
)0，0,，0，0(),0，0，0，1(),1，0，0，1(),0，1，0，1(),0，1，1，
1(=D ,状态集有8个元素，将其进行分配，共有两种运送方案：
方案一：人先带鸡过河，然和人再回左岸，把米带过右岸，人再把鸡运回左岸，人再把猫带过右岸，最后人回来把鸡带去右岸（状态见表1）；
方案二：人先带鸡过河，然后人再回左岸，把猫带过右岸，人再把鸡运回左岸，人再把米带过右岸，最后人回来把鸡带去右岸(状态见表2)；
目标：确定有效状态集合，使得在有限步内左岸状态由）0,0,0,0（）1,1,1,1（→
表二：
3. 学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者. （2）2.1节中的Q 值方法.
（3）d ’Hondt 方法： 将各宿舍的人数用正整数,2,1=n ,3相除，其商数如下表：
将所得商数从大到小取前10个(10为席位数),在数字下标以横线，表中A ，B ，C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配席位.你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额.将3种方法两次分配的结果列表比较.
（4）你能提出其他的方法吗.用你的方法分配上面的名额. 解：先考虑N=10的分配方案，
∑=====3
1
3211000,432,333,235i i p p p p
方法一（按比例分配）
4,33.3,35.2332211======N p q N p q N p q
分配结果为：4,3,3321===n n n 方法二（Q 值方法）
9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：
4,3,3321===n n n
第10个席位：计算Q 值为
92407543333，920417322352221=?==?=Q Q 933125
44322
3=?=Q
Q3最大，第10个席位应给C.分配结果为5,3,2321===n n n 方法三（d ’Hondt 方法）
原理：记pi 和ni 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A 、B 、C 宿舍）,
i
i
n p 是每席位代表的人数，取i n =3,2,1…，从而得到的i i n p 中选较大者，可使对所有的i ，i
i n p
尽量接近。
所以此方法的分配结果为：5,3,2321===n n n
再考虑15=N 的分配方案，类似地可得名额分配结果。现将3中方法两次分配额结果
列表如下：
4. 一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用与测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假设鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到了8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：
先用机理分析，再用数据确定参数。 模型分析
本题为了知道鱼的重量，用估计法来通过估计鱼的长度而确定鱼的重量，这种方法只能针对同一种体形相似鱼，但是一般而言世界上没有两种完全相同的东西，所以对于同一种类的鱼也有可能肥瘦不一。所以在此，我们应该先不妨假设同一种鱼它的整体形状是相似的，密度也大体上是相同的。 模型假设
（1） 设鱼的重量为ω； （2） 鱼的身长记为l ； 模型的构成与求解
因为我们前面假设了鱼的整体形状是相似的，密度也相同，所以鱼的重量ω与身长l 的
立方成正比，为这两者之间的比例系数。即13
1,k k νω=为比例系数。不过常钓得较
肥的垂钓者不一定认可上面的模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待，如果只假定鱼的截
面是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是22
2,k l d k =ω为比例
系数。
利用题中给的数据，估计模型中的系数可得：,0322.0,0146.021==k k 将实际数
通过机理分析，基本上满意 5.生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动物体重与心率之间关系的模型，并用下面的数据加以检验。
解：动物消耗的能量主要用于维持体温，而体内热量通过表面积散失，记动物体重为，
则P S P αω,3
/2-∝∝正比于血流量Q ,而qr Q =，其中q 是动物每次心跳泵出的血流
量，r 为心率。合理地假设
q 与ω成正比，于是r
q ω∝，综上可得
3/13/1或,-=∝ωωk r r 。由所给数据估计得310897.20?=k ，将实际数据与模型
6. 速度为v 的风吹在迎风面积s 为的风车上，空气密度是ρ。用量纲分析方法确定风车获得的功率P 与v ，s ，ρ的关系。
解：
模型分析 设
0),,,(的关系为，，，=ρνρνs P f s P ，其量纲表达式为：
,][,][,][,][32132---====ML L s LT T ML P ρν这里T M L ,,是基本量纲
模型求解
量纲矩阵为：)
()()()(001310013212ρνs P T L
M A ??????????---=
齐次线性方程组??
?
??--=+=-++=021414321300322y y y y y y y y
它的基本解为)1,1,3,
1(-=y 由量纲i P 定理得1
131131,ρλνρνπs P s P ==-，其中λ是无量纲常数
7. 雨速的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数。用量纲分析方法给出速度v 的表达式。
解：
模型分析
设g ,，，μρν的关系为0)g ，，，v (=μρf .其量纲表达式为：
，
]g [，)(]μ[，]ρ[,][2-01122211120310T LM MT L T T MLL L L LT MLT MT L T LM v ======-----------其中T L M ,,是基本量纲 模型求解
量纲矩阵为（ｇ）
）（)()( 210101101131μρνT L
M A ??????????-----=
齐次线性方程组即,0=Ay
??
?
?
?=---=+=+--0
200
3431324321y y y y y y y y y 的基本解为)1,1,1,
3(--=y 由量纲i P 定理得ρ
μλνμρνπg
g 3
13所以.==
--其中λ是无量纲数 8. 在存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用。重新确定最优订货周期和订货批量。证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样。而在允许缺货模型中最优订货周期和定货批量都比原来结果减少。
解：
模型求解
设购买单位重量货物的费用为k
对于不允许缺货模型，每天平均费用为：
kr rT c T c T G ++=
2
）（21 2T -22
1r
c c dT dC +
= 令
,0=dT
dC
解得r
c c T 21
*2=
由2
1**2得,c r
c rT Q rT Q =
==
与不考虑购货费的结果比较，T 、Q 的最优结果没有变 对于允许缺货模型，每天平均费用为：
])(22[1
),(23221
kQ Q rT r
c
r Q c c T Q T c +-++=
令
0,0=??=??Q
c T c 解得3
232222331231*322
3
2321*
)()(2,)
(2c c kr
c c c r k c c c c rc c Q c c k c rc c c c T +-+-+=-+=
**，Q T 均比不考虑费用k 时的结果减小
9. 建立不允许缺货的生产销售存贮模型。设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，
r k >在每个生产周期T 内，开始的一段时间)0(0T t <<一边生产一边销售，后来的一段
时间(t
T <0T <)只销售不生产，画出贮存量)(t q 的图形。设每次生产准备费为1c ，单位
时间每件产品贮存费为2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周期。讨论r k >>和r k ≈的情况。
解：由题意可得贮存量g(t)的图形如下：
q
k-r r
o T t 贮存费为2
)()()(02
21
2
lim T
T r k c dt t g c t g c T
n
i i i t
?-==??=→?ξ
又
)(）（00T T r T r k -=- ∴=
∴,0T k r T 贮存费变为k
T
T r k r c 2)(2?-=
于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为
k
T
r k r c T c kT T r k r c T c T C 2)(2)()(2
1221-+=-+=
k
r k r c T c dT dC 2)
(2
1-+-= 令
)
(2得,021*r k r c k
c T dT
dC
-==
易得函数*
在)(T T C 处取得最小值，即最优周期为)
(221*
r k r c k
c T -=
当r
c c T r k 21
*2,≈
>>，相当于不考虑生产的情况。
当∞→≈*
,T r k ，此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量。
10. 在森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度λ与开始救火时的火势b 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型。
解：
模型分析
考虑灭火速度λ与火势b 有关，可知火势b 越大，灭火速度λ将减小 模型假设
1
）b （+=
b k λ，分母1b +中的1是防止∞→→λ时0b 而加的
模型求解
总费用函数x c b kx b x t c b kx b t c t c C 31221212
11)1()(2)1(2
）x （+--++--++=
β
ββββββ 最优解为k b k c b b b c kb c β
β)1(2)1]()1(2[x 2
3221++
+++=
11． 设某种动物种群最高年龄为30，按10岁为一段将此种群分为3组。设初始时三组中的动物为T
)1000,1000,1000(，相应的Leslie 矩阵为
?????
? ??=02100061
030
L
试求10，20，30年后各年龄组的动物数，并求该种群的稳定年龄分布，指出该种群的
发展趋势。
解：
模型分析：
根据Leslie 矩阵的意义及公式)(*)1(k x L k x =
+很容易求出各年龄组的动物数。
而Leslie 矩阵的唯一的正特征值及对应的特征向量分别表示种群的发展趋势及种群的稳定分布。
模型的建立与求解：
（1）10年后各年龄组的动物数：
t
T
L x L x )
500,3500,
3000()1000,1000,1000()0()1(=?=?= 20年后各年龄组的动物数：T
x L x )3
250,
500,500()1()2(=?= 30年后各年龄组的动物数：T
x L x )
250,3
250,
1500()2()3(=?= （2）很容易求出L 矩阵的大于零的特征值为2
2
=
λ，其对应的特征向量为T d )
2,2,26(= 所以种群的稳定年龄分布：2:2:26::=z y x ，其中，x 表示0-10岁年龄
组的动物数，y 表示10-20岁年龄组的动物数，z 表示20-30岁年龄组的动物数。
由于1<λ，所以该种群动物数会逐渐减少。 12. 对于7．1节蛛网模型讨论下列问题：
（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1+k 时段的价格1+k y 由第1+k 和第k 时段的数量1+k x 和k x 决定．如果仍设1+k x 仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并与7．1节的结果进行比较.
（2）若除了1+k y 由1+k x 和k x 决定之外，1+k x 也由前两个时段的价格k y 和1-k y 确定．试分析稳定平衡的条件是否还会放宽． 解：
（1） 模型假设
简单地假设k k k x x y 和由11++的平均值决定 模型建立
)(0
)2
(
0010101>-=->-+-=-+=+ββαy y x x x x x a y y k k k
k k
模型求解
得012)1(2
2x x x x k k k αβαβαβ+=++++，与7.1节（B ）的结果相同，平衡点稳定的条件仍为2<αβ
（2） 模型假设
设11和也由-+k k k y y x 的平均值决定 模型建立
),2
(
),2(01
010101>-+=->-+-=--++-ββαy y y x x x x x a y y k k k k
k k
模型求解
得00123,，，由,24y x c c x x x x k k k k βααβαβαβ=++++++决定，其特征方程
为0242
3=++=αβαβλαβλλ，该方程所有特征根1<λ的条件（即平衡点稳定的
条件）仍为2<αβ
13. 设n 阶矩阵A 为一致阵，证明A 具有下列性质： （1）A 的秩为1，唯一的非零特征根为n ；
（2）A 的任一列向量都是对应于n 的特征向量。 解： （1）
由一致阵的定义，
n k a a a ij jk
ik
,,2,1, ==，所以A 的任意两行成比例，对A 进行初等变换得B ，则?
??
?
?
?
?
??
???=000
00
011211 n a a a B ，所以A 的秩为1. 由初等变换及初等矩阵的关系得，存在可逆阵P ，使得PA=B ，所以
C c c c BP PAP n =?
??
?
?
?
?
??
???==--000
000112
111
1 ，则A 与C 相似，便有相同的特征根 易知C 的特征根为11c （一次根），0；由于对任意矩阵A 有）（21A tr n =+++λλλ ，于是n c =11，所以A 的唯一非零特征值为n.
(2)
对
于
A 的任一列向
量
[],
,,,21T
nk k k a a a
有：
[]
[]
T
nk k k T
n j n j n
j nk k k T
n j n
j jk nj jk j T
nk k k a a a n a a a a a a a a a a A ,,,,,,,,,,2,11112111121 =?
?
????=?
?????=∑∑∑∑∑=====所以，每一列均为对应于n 的特征向量
14. 若发现一成对比较矩阵A 的非一致性较为严重，应如何寻找引起非一致性的元素？例如，设已构造了成对比较矩阵
??
??
?
?????=16131615311A
（1）对A 作一致性检验；
（2）若A 的非一致性较严重，应如何作修正。 解：
（1） 模型分析
对A 作一致性检验，算出A 的最大特征值， A=[1 1/5 3;5 1 6;1/3 1/6 1]; A=max(eig （A ）)； CI=（a-3）/(3-1); RI=0.58; CR=CI/IR 模型求解
解得CR=0.0810<0.1 （2） 模型求解
根据一致阵的定义，一致阵满足ij kj ik a a a =，所以，应该对不满足这个条件的元素修正。
15. 在传送带效率模型中，设工人数n 固定不变。若想提高传送带效率D ，一种简单的办法是增加一个周期内通过工作台的钩子数m ，比如增加一倍，其它条件不变。另一种办法是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子，其它条件不变，于是每个工人在任何时刻可以同时触到两只钩子，只要其中一只钩子是空的，他就可以挂上产品，这种办法用的钩子数量与第一种办法一样。试推导这种情况下传送带效率的公式，从数量关系上说明这种办法比第一种办法好。（传送带效率模型见姜启源《数学模型》第271页） 解：两种情况的钩子数均为2m 。第一种办法是2m 个位置，单钩放置2m 个钩子；第二种办法是m 个位置，成对放置2m 个钩子。
（1） 由9.1节的传送带效率公式，第一种办法的效率公式为
???
????????? ??--=n
m n m D 21112 当
1较小，2 n m
n
时，有 m
n E E D m n m n n m n m D 4,14118)1(211122≈
-=--=?????????? ??-+--≈
（2） 下面推导第二种办法的传送带效率公式：
对于m 个位置，每个位置放置的两只钩子称为一个钩对，考虑一个周期内通过
的m 个钩对，任一只钩对被一名工人接触到的概率是1/m ；任一只钩对不被一名工人接触到的概率是1-1/m ； 记m
q m
p 1
1,1
-
==
，由工人生产的独立性及事件的互补相容性得，任一
钩对为空的概率为m
q ，其空钩的数为2m ；任一钩对上只挂1件产品的概率
1-n npq ，其空钩数为m 。所以一个周期内通过的2m 个钩子中，空钩的平均数
为)2(211
--+=?+?n n n n npq q m npq
m q m ，于是带走产品的平均数是)2(21-+-n n npq q m m ，未带走产品的平均数是∴+--，))2(2(-n 1n n npq q m m 此时传送带的效率公式为
???
????????? ??--???? ??--=+-=
--1
1'111122)
2(2n n n n m m n m n m n
npq q m m D （3） 近似效率公式：
由于326)
2)(1(2)1(11-1m n n n m n n m n m n
----+-≈???? ?
? 2
2
'
'
'
2
'2
1
6则,1,16)2)(1(12)
2)(1(111-1m n E D E n m n n D m n n m n m n ≈
-=---
≈∴--+--
≈???
?
??-
（4） 两种办法的比较：
E E m
n n m m n E E '',132,当,32/∴=
所以第二种办法比第一种办法好
数学建模试题（带答案）
第一章
4.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为长方形，其余不变。试构造模型并求解。
答：相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为)()(a g a f 和。f 和g 都是连续函数。椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的a ，)()(a g a f 和中至少
有一个不为零。不妨设0)0(,0)0(g >=f 。当椅子旋转90°后，对角线互换，
0π/2)(,0)π/2(>=g f 。这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地。就归结为证
明如下的数学命题：
已知a a g a f 是和)()(的连续函数，对任意0)π/2()0(,0)()(,===?f g a g a f a 且，
0)π/2(,0)0(>>g f 。证明存在0a ，使0)()(00==a g a f
证：令0)π/2(0)0(),()()(<>-=h h a g a f a h 和则， 由g f 和的连续性知h 也是连续函数。 根据连续函数的基本性质，
必存在0a （0＜0a ＜π/2）使0)(0=a h ，即0)()(00==a g a f 因为0)()(00=?a g a f ，所以0)()(00==a g a f
8
第二章7.
10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。
第三章
5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少，则设
kx q x q -=0)( (1)k 是产量增加一个单位时成本的降低 ，
销售量x 与价格p 呈线性关系0,,>-=b a bp a x (2) 收入等于销售量乘以价格p :px x f =)( (3) 利润)()()(x q x f x r -= (4) 将（1）（2）（3）代入（4）求出
ka q kbp pa bp x r --++-=02)(
当k q b a ,,,0给定后容易求出使利润达到最大的定价*p 为
b
a
kb ka q p 2220*+--=
6.根据最优定价模型 px x f =)( x 是销售量 p 是价格，成本q 随着时间增长，ββ,0t q q +=为增长率，0q 为边际成本（单位成本）。销售量与价格二者呈线性关系0,,>-=b a bp a x .
利润)()()(x q x f x u -=.假设前一半销售量的销售价格为1p ，后一半销售量的销售价格为2p 。
前期利润 dt bp a t q p p u T ))](([)(12
/011--=? 后期利润 dt bp a t q p p u T
T ))](([)(22/22--=? 总利润 )()(21p u p u U += 由
0,02
1=??=??p U
p U 可得到最优价格: )]4([2101T q b a b p β++=
)]4
3([2102T
q b a b P β++=
前期销售量 dt bp a T )2
01?
-、（ 后期销售量
dt p a T
T )(2
/2?
-
总销售量 0Q =)(2
21p p bT
aT +-
在销售量约束条件下U 的最大值点为
8~01T bT Q b a p β--= ,8
~02T bT Q b a P β+-= 7.
(1)雨水淋遍全身，22.2)2.0*5.12.0*5.05.0*5.1(*2)(2m ac bc ab s =++=++= 以最大速度跑步，所需时间s v d t m 2005/1000/min ===
(2)顶部淋雨量v bcdw Q /cos 1θ=
雨速水平分量 θsin u ,水平方向合速度 v u +θsin 迎面淋雨量 uv v u abdw Q /)sin (2+=θ 总淋雨量 21Q Q Q +=
当m v v =时，Q 最小，15.10≈=Q ，θL;L 55.1Q 30≈=，。
θ
(3)合速度为
|
sin |v u -α总淋雨量
???????>+-=-+≤-+=-+=ααααααααααsin ,)sin cos ()sin (cos sin ,)sin cos ()sin (cos u v v av a c u u bdw v u v a cu u
bdw u v v
av
a c u u bdw v v u u cu u bdw Q
若0sin cos <-ααa c ,即a c /tan >α,则αsin u v =时Q 最小，
否则m v v =时Q 最小，当。30=α，L Q s m v 24.0,/2,15/2tan ≈=>α最小
（4）雨从背面吹来，满足）。6.7,2.0,5.1(/tan >==>ααm c m a a c ，αsin u v =,Q
最小，人体背面不淋雨，顶部淋雨。 （5）侧面淋雨，本质没有变化
第四章
1.（1）设证券A B C D E 的金额分别为 54321,,,,x x x x x
,,,0
32104,52341590364466,4.152210
4..04
5.0022.0025.0027.0043.0543,2154321543215
432154321543215
43215432143254321≥≤---+≤++++++++≤+--+≤++++++++≤++++≥++++++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x Max 即即
(2)由（1)可知，若资金增加100万元，收益增加0.0298百万元，大于以2.75%的利润借到100万元资金的利息，所以应该借贷。投资方案需要将上面模型第二个约束右端改为11，求解得：证券A ，C ，E 分别投资2.40百万元，8.10百万元，0.50百万元，最大税后收益为0.3007百万元。
(3)由（1）可知，证券A 的税前收益可增加0.35%，若证券A 的税前收益增加为4.5%，投资不应改变。证券C 的税前收益可减少0.112%，故若证券C 的税前收益减少为4.8%，投资应该改变。
6.设1,1z y 分别是产品A 是来自混合池和原料丙的吨数，22,z y 分别是产品B 中是来自混合池和原料丙的吨数；混合池中原料甲乙丁所占的比例分别为421,,x x x ,优化目标是总利润最大，
7.记b=(290,315,350,455)为4种产品的长度，n=(15,28,21,30)为4种产品的产品的需求量，设第i 种切割模式下每根原料钢管生产4种产品的数量分别为
,,,,4321r r r r 该模式使用i x 次，即使用该模式切割i x 根原料钢管（i=1,2,3,4)且切
割模式次序是按照使用频率从高到低排列的。
数学模型第三版课后习题答案.doc
《数学模型》作业解答 第七章（ 2008 年 12 月 4 日） 1．对于节蛛网模型讨论下列问题： （ 1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第 k 1时段的价格y k 1由第k 1 和第 k 时段的数量x k 1和x k决定，如果仍设x k 1仍只取
决于 y k ，给出稳定平衡的条件，并与节的结果进行比较 . （ 2）若除了 y k 1 由 x k 1 和 x k 决定之外， x k 1 也由前两个时段的价格 析稳定平衡的条件是否还会放宽 . 解：（ 1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为： y k 1 f x k 1 x k ) ( 2 x k 1 h( y k ) 在 P 0 (x 0 , y 0 ) 点附近用直线来近似曲线 f , h ，得到 y k 1 y 0 ( x k 1 x k x 0 ), 2 x k 1 x 0 ( y k y 0 ) , 由（ 2）得 x k 2 x 0 ( y k 1 y 0 ) （ 1）代入（ 3）得 x k 2 x 0 ( x k 1x k x 0 ) 2 2x k 2 x k 1 x k 2x 0 2 x 0 对应齐次方程的特征方程为 2 2 ( ) 2 8 特征根为 1, 2 4 y k 和 y k 1 确定 . 试分 (1) ( 2) (3) 当 8 时，则有特征根在单位圆外，设 8 ，则
1,2 ( ) 2 ( ) 2 8 42 2 4 1,2 1 2 即平衡稳定的条件为 2与 P 207 的结果一致 . （ 2）此时需求函数、供应函数在 P 0 (x 0 , y 0 ) 处附近的直线近似表达式分别为： y k 1 y 0 ( x k 1 x k x 0 ), ( 4) 2 x k 1 x 0 ( y k y k 1 y 0 ) , ( 5) 2 由（ 5）得， (x x 0 ) β(y y y k 1 y 0 ) ( 6 ) 2 k 3 k 2 将（ 4）代入（ 6），得 2( x k 3 x 0 ) ( x k 2 x k 1 x 0 ) ( x k 1 x k x 0 ) 2 2 4 x k 3x k 2 2 x k 1 x k 4 x 0 4 x 0 对应齐次方程的特征方程为 4 3 2 2 0 (7) 代数方程（ 7 ）无正实根，且 αβ , , 2 4 不是（ 7）的根 . 设（ 7）的三个非零根分 别为 1, 2, 3，则 1 2 3 4 1 2 2 3 3 1 2 1 2 3 4 对（ 7）作变换： , 则 12 3 q 0, p 其中 p 1 (2 2 2 ), q 1(833 2 2 ) 4 12 4 123 6
数学建模期末考试2018A试的题目与答案
华南农业大学期末考试试卷（A卷） 2012-2013学年第二学期考试科目：数学建模 考试类型：（闭卷）考试考试时间：120 分钟 学号姓名年级专业 一、(满分12分)一人摆渡希望用一条船将一只狼.一只羊.一篮白菜从河岸一边带到河岸对面.由于船的限制.一次只能带一样东西过河.绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起.怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1.2.3.4.当i在此岸时记x i = 1.否则为0；此岸的状态下用s = （x1.x2.x3.x4）表示。该问题中决策为乘船方案.记为d = (u1, u2, u3, u4).当i 在船上时记u i = 1.否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分） (2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分） (3) 写出该问题的状态转移率。（3分） (4) 利用图解法给出渡河方案. （3分） 解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分） (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分） (3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分） (4)方法：人先带羊.然后回来.带狼过河.然后把羊带回来.放下羊.带白菜过去.然后再回来把羊带过去。 或: 人先带羊过河.然后自己回来.带白菜过去.放下白菜.带着羊回来.然后放下羊.把狼带过去.最后再回转来.带羊过去。（12分） . .
数学建模入门试题极其答案
1.你要在雨中从一处沿直线走到另一处，雨速是常数，方向不变。 你是否走得越快，淋雨量越少呢？ 2.假设在一所大学中，一位普通教授以每天一本的速度开始从图书 馆借出书。再设图书馆平均一周收回借出书的1/10，若在充分长的时间内，一位普通教授大约借出多少年本书？ 3.一人早上6：00从山脚A上山，晚18：00到山顶B；第二天，早 6：00从B下山，晚18：00到A。问是否有一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点？ 4.如何将一个不规则的蛋糕I平均分成两部分？ 5.兄妹二人沿某街分别在离家3公里与2公里处同向散步回家，家 中的狗一直在二人之间来回奔跑。已知哥哥的速度为3公里/小时，妹妹的速度为2公里/小时，狗的速度为5公里/小时。分析半小时后，狗在何处？ 6.甲乙两人约定中午12：00至13：00在市中心某地见面，并事先 约定先到者在那等待10分钟，若另一个人十分钟内没有到达，先到者将离去。用图解法计算，甲乙两人见面的可能性有多大？ 7.设有n个人参加某一宴会，已知没有人认识所有的人，证明：至 少存在两人他们认识的人一样多。 8.一角度为60度的圆锥形漏斗装着10 端小孔的 面积为0.5 9.假设在一个刹车交叉口，所有车辆都是由东驶上一个1/100的斜
坡，计算这种情 下的刹车距离。如果汽车由西驶来，刹车距离又是多少？ 10. 水管或煤气管经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用。包扎时用很长的带子缠绕在管道外部。为了节省材料，如何进行包扎才能使带子全部包住管道而且带子也没有发生重叠。 1．解：把人体简化为长方柱，表面积之比为前：侧:顶=1：a:b ，选坐标系将人的速度表示为（v,0,0）,即人沿x 周方向走，v>0,而设语雨速为（x,y,z ）,行走距离为L ，则淋雨量Q 的表达式为： Q=[ Q=|x-a|+a|y|+b|z|]*L/v 记q=a|x|+b|z|,则 L( 1q -+v x ),v≤x Q(v)= L(v x -q +1),v>x 收回书的1/10，设教授已借出书的册数是时间t 的函数小x(t)的函数， 其授借出数的册数为0。
数学建模习题与答案课后习题
第一部分课后习题 1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。 （2）2.1节中的Q值方法。 （3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。 如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。 （4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。 2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。 （1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。 （2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w 的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。 3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部 只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）： 先用机理分析建立模型，再用数据确定参数 4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应 多大（如图）。若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其他形状呢。
数学建模第四版答案
数学建模第四版答案 【篇一：数学建模课后答案】 t>第二章(1)（2012年12月21日） 1．学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍.学生们 要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分 较大者; （2）. 1中的q值方法； （3）.d’hondt方法：将a、b、c各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,??相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中a、b、c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍 分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？ 如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将 3种方法两次分配的结果列表比较. 解：先考虑n=10的分配方案， p1?235,p2?333,p3?432,方法一（按比例分配） ?p i?1 3 i ?1000. q1? p1n ?p i?1 3 ?2.35,q2? p2n i ?p i?1 3 ?3.33, q3? p3n i
?p i?1 3 ?4.32 i 分配结果为： n1?3, n2?3, n3?4 方法二（q值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： n1?2,n2?3, n3?4 第10个席位：计算q值为 235233324322 q1??9204.17, q2??9240.75, q3??9331.2 2?33?44?5 q3最大，第10个席位应给c.分配结果为 n1?2,n2?3,n3?5 方法三（d’hondt方法） 此方法的分配结果为：n1?2,n2?3,n3?5 此方法的道理是：记pi和ni为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表a、b、c宿舍）. pi 是ni 每席位代表的人数，取ni?1,2,?,从而得到的近. pip 中选较大者，可使对所有的i,i尽量接nini 再考虑n?15的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下： 2．试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型. 解：设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本. 考虑t到t??t时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得 vdt?(r?wkn)2?kdn,两边积分，得 ? t vdt?2?k?(r?wkn)dn n 2?rk?wk22n2 2vv 第二章(2)（2008年10月9日）
数学建模模拟试题及答案.pdf
数学建模模拟试题及答案 一、填空题（每题5分，共20分） 1. 若,, x z z y ∝∝则y 与x 的函数关系是. 2. 在超级市场的收银台有两条队伍可选择，队1有1m 个顾客，每人都买了1n 件商品，队2有2m 个顾客，每人都买了2n 件商品，假设每个人付款需p 秒，而扫描每件商品需t 秒，则加入较快队1的条件是 . 3. 马尔萨斯与罗捷斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了 4. 在研究猪的身长与体重关系时，我们通过与已知其相关性质的的弹性梁作 的方法建立了模型. 二、分析判断题（每小题15分，满分30分） 1. 要为一所大学编制全校性选修课程表，有哪些因素应予以考虑？试至少列出5种. 2. 一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是 ),m l /m g (100/56 又过两个小时，含量降为),m l /m g (100/40试判断，当事故发生时，司 机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100)m l /m g (. （提示：不妨设开始时刻为)(,0t C t =表示t 时刻血液中酒精的浓度，则依平衡原理，在时间间隔],[t t t ?+内酒精浓度的改变量为 t t kC t C t t C ??=??+)()()( 其中0>k 为比例常数，负号则表示了浓度随时间的推移是递减的.） 三、计算题（每题25分，满分50分） 1. 一个毛纺厂使用羊毛、兔毛和某种纤维生产甲、乙两种混纺毛料，生产一个单位产品甲需要的三种原料依次为3、2、8个单位，产值为580元；生产一个单位产品乙需要的三种原料依次为2、3、5个单位，产值为680元，三种原料在计划期内的供给量依次为90、30和80单位.试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答： （1） 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由. （2） 原材料的利用情况.
数学建模题目及答案
09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。（15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很 可能是否定的。 因此对这个问题我们假设： （1）地面为连续曲面 （2）长方形桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设 条件成立，那么答案是肯定的。以长方 桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图 所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D 处，A、、D的初始位置在与x轴平行，再 假设有一条在x轴上的线,则也与A、B，C、D平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线与x轴的夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令() fθ为A、B离地距离之和，
()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。由假设（1）， ()f θ,()g θ均为θ的连续函数。又由假设（3） ，三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（?θ）。不妨设(0)0f =(0)0g >（若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为： 已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。 证明：当θ=π时，与互换位置，故()0f π>，()0g π=。作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有00()()0f g θθ==，证毕。 2.学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分） 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为x 人，B 宿舍的委员数为y 人，C 宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。 则 10； 10=235/1000；
数学模型课后答案
《数学模型》作业答案 第二章(1)（2012年12月21日） 1． 学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍.学生们 要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q 值方法； （3）.d ’Hondt 方法：将A 、B 、C 各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？ 如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较. 解：先考虑N=10的分配方案， ,432 ,333 ,235321===p p p ∑==3 1 .1000i i p 方法一（按比例分配） ,35.23 1 11== ∑=i i p N p q ,33.33 1 22== ∑=i i p N p q 32.43 1 33== ∑=i i p N p q 分配结果为： 4 ,3 ,3321===n n n 方法二（Q 值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： 4 ,3 ,2321===n n n
第10个席位：计算Q 值为 ,17.92043223521=?=Q ,75.92404333322=?=Q 2.9331544322 3=?=Q 3Q 最大，第10个席位应给C.分配结果为 5 ,3 ,2321===n n n 方法三（d ’Hondt 方法） 此方法的分配结果为：5 ,3 ,2321===n n n 此方法的道理是：记i p 和i n 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A 、B 、C 宿舍）. i i n p 是每席位代表的人数，取,,2,1 =i n 从而得到的i i n p 中选较大者，可使对所有的,i i i n p 尽量接近. 再考虑15=N 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下： 2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n 时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本. 考虑t 到t t ?+时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdn wkn r vdt π+=两边积分，得 ?? +=n t dn wkn r k vdt 0 )(2π )22 2 n wk k(r n πvt +=∴ .2 22n v k w n v rk t ππ+=∴ 《数学模型》作业解答 第三章1（2008年10月14日）
数学建模模拟试题及参考答案
《数学建模》模拟试题 一、（02'） 人带着猫、鸡、米过河，船除希望要人计划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米，设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。 二、（02'） 雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在六题中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式。 三、（03'） 要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学，模型讨论是否跑都越快，淋雨量越少。 将人体简化成一个长方体，高m a 5.1=（颈部以下），宽m b 5.0=厚m c 2.0=，设跑步距离 ,1000m d =跑步最大速度s m v m /5=，雨速s m u /4= ，降雨量h cm w /2=，记跑步速度为v ，按以下步骤进行讨论； （1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量 （2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为θ，如图1建立总淋雨量与速度v 及参数θ,,,,,,w u d c b a 之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算0 30,0==θθ时的总淋雨量。 （3））雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为?，如图2建立总淋雨量与速度v 及参数?,,,,,,w u d c b a 之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算030=θ时的总淋雨量。 四、（03'） 建立铅球掷远模型，不考虑阻力，设铅球初速度为v ，出手高度为h 出手角度为α（与地面夹角），建立投掷距离与α,,h v 的关系式，并在h v ,一定的条件下求最佳出手角度。
数学建模课后答案
第一章 4.在1、3节“椅子能在不平的地面上放稳不”的假设条件中,将四脚的连线呈正方形改为长方形,其余不变。试构造模型并求解。 答:相邻两椅脚与地面距离之与分别定义为)()(a g a f 和。f 与g 都就是连续函数。椅子在任何位置至少有三只脚着地,所以对于任意的a ,)()(a g a f 和中至少有一个不为零。不妨设0)0(,0)0(g >=f 。当椅子旋转90°后,对角线互换,0π/2)(,0)π/2(>=g f 。这样,改变椅子的位置使四只脚同时着地。就归结为证明如下的数学命题: 已 知 a a g a f 是和)()(的连续函数,对任意 0)π/2()0(,0)()(,===?f g a g a f a 且,0)π/2(,0)0(>>g f 。证明存在0a ,使0)()(00==a g a f 证:令0)π/2(0)0(),()()(<>-=h h a g a f a h 和则, 由g f 和的连续性知h 也就是连续函数。 根据连续函数的基本性质, 必存在0a (0＜0a ＜π/2)使0)(0=a h ,即0)()(00==a g a f 因为0)()(00=?a g a f ,所以0)()(00==a g a f
8 第二章
10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘,给出几种简便有效的排列方法,使加工出尽可能多的圆盘。
第三章 5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少,则设 kx q x q -=0)( (1)k 就是产量增加一个单位时成本的降低 , 销售量x 与价格p 呈线性关系0,,>-=b a bp a x (2) 收入等于销售量乘以价格p :px x f =)( (3) 利润)()()(x q x f x r -= (4) 将(1)(2)(3)代入(4)求出 ka q kbp pa bp x r --++-=02)( 当k q b a ,,,0给定后容易求出使利润达到最大的定价*p 为 b a kb ka q p 2220*+--=
数学模型期末考试试题及答案
试卷学期《数学模型》期末考试A山东轻工业学院08/09学年II 页）本试卷共4< 题说明总号考次开试分考卷试，参加考试的同学可以携带任何资料，可以 使用计算器，但上述物品严禁相互借用。16分，每小题8分）一、简答题<本题满分得分）式，写出与§2.2录像机计数器的用途中，仔细推算一下<11、在阅卷人<2）式的差别，并解释这个差别；中不允许缺货的存储模型中为什么没有考虑生产 费用，在什么条件下可2、试说明在§3.1 以不考虑它；8分）二、简答题<本题满分16分，每小题得分1阅卷人?s)(ti的变化情时、对于1§5.1传染病的SIR 模型，叙述当0?况并加以证明。 E 2、在§6.1捕鱼业的持续收获的效益模型中，若单位捕捞强度的费用为捕捞强度的减函数，)0?0,b?c?a?bE,(a即，请问如何达到最大经济效益？本题满分16分，每小题8分）三、 简答题<得分s程是法图解说明为什么方策、1在§9.3 随机存储略中，请用)S?(x)?cI(I的最小正根。阅卷人0、请结合自身特点谈一下如何培养数学建模 的能力？2 分）四、<本题满分20得分219人，二年级有某中学有三个年级共1000名学生，一年级有人。现要选20名校级优秀学生，请用下列办316人，三年级有465 阅卷人Q ;<2））按比例加惯例的方法法分配各年级的优秀学生名额：<1值法。另外如果校级优秀学个，重新进行分配，并按照席位分配的理想生名额增加 到21化准则分析分配结果。得分分）16五、<本题满分阅
卷人大学生毕业生小李为选择就业岗位建立了层次分析模型，影响就业的因素考虑了收入情况、发展空间、社会声誉三个方面，有三个层次结构图如图，已知准则层。 选可业就岗位供择对目标层的成对比较矩阵1 / 4 选择就业岗位 71/1/43511????????23111/2/AB??41，比较矩阵分别为成，方案层对准则层的对 ????1????22171/51/1????117463????????3112/B?3B?1/41。，JhYEQB29bj ????32????1/21/6111/71/3????请根据层次分析方法为小李确定最佳的工作岗位。 16分）六、<本题满分得分某保险公司欲开发一种人寿保险，投保人需要每年缴纳一定数的阅卷人<额保险费，如果投保人某年未按时缴纳保费则视为保险合同终止保险公司需要对投保人的健康、疾病、死亡和退保的情况作出评估，从而制退保）。 定合适的投保金额和理赔金额。各种状态间相互转移的情况和概率如图。试建立马氏链模型分析在投保人投保时分别为健康或疾病状态下，平均需要经过多少年投保人就会出现退保或死亡的情况，以及出现每种情况的概率各是多少？5Y944Acbad 退保死亡II 学期《数学模型》期末考试A试卷解答山东轻工业 学院08/09学年0.05 0.03 分）分，每小题8一、简答题<本题满分160.15 0.07 m(m?1)???2mr?vt2?）得4分1、答：由<1，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。20.1 健康疾病2???knk2?)t?2r?n?(knm?代入得。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。，6分将 vv0.6 ???2r?r2??r，则得<2因为）。所以。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 crc，每天的平均费用是，则平均每天的生产费用为2、答：假设每件产品的生产费用为 33ccrT112??crC(T)?4分，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 1132T1)TdC()TdC(11)T(TC?下面求最小，发现使，所以111dTdT12c1??TT，与生产费用无关，所以不考虑。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。81cr2分 二、简答题<本题满分16分，每小题8分） 1di??s?),(1s??i，1、答：由<14若）0?dtdi1s)(t??s,?0i时，4增 加; 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。分当0?dtdi1?i(ts),?0i时，达到最大值当；
数学建模课后习题答案
第一章 课后习题6. 利用1.5节药物中毒施救模型确定对于孩子及成人服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量。 解：假设病人服用氨茶碱的总剂量为a ，由书中已建立的模型和假设得出肠胃中的药量为： )()0(mg M x = 由于肠胃中药物向血液系统的转移率与药量)(t x 成正比，比例系数0>λ，得到微分方程 M x x dt dx =-=)0(,λ（1） 原模型已假设0=t 时血液中药量无药物，则0)0(=y ，)(t y 的增长速度为x λ。由于治疗而减少的速度与)(t y 本身成正比，比例系数0>μ，所以得到方程： 0)0(,=-=y y x dt dy μλ（2） 方程（1）可转换为：t Me t x λ-=)( 带入方程（2）可得：)()(t t e e M t y λμμ λλ ----= 将01386=λ和1155.0=μ带入以上两方程，得： t Me t x 1386.0)(-= )(6)(13866.01155.0---=e e M t y t 针对孩子求解，得： 严重中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 87.494=； 致命中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 8.4694= 针对成人求解： 严重中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 83.945= 致命时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 74.1987= 课后习题7. 对于1.5节的模型，如果采用的是体外血液透析的办法，求解药物中毒施救模型的血液用药量的变化并作图。
解：已知血液透析法是自身排除率的6倍，所以639.06==μu t e t x λ-=1100)(，x 为胃肠道中的药量，1386.0=λ )(6600)(t t e e t y λμ---= 1386.0,639.0,5.236)2(,1100,2,====≥-=-λλλu z e x t uz x dt dz t 解得：()2,274.112275693.01386.0≥+=--t e e t z t t 用matlab 画图: 图中绿色线条代表采用体外血液透析血液中药物浓度的变化情况。 从图中可以看出，采取血液透析时血液中药物浓度就开始下降。T=2时，血液中药物浓度最高，为236.5；当z=200时，t=2.8731，血液透析0.8731小时后就开始解毒。 第二章 1.用 2.4节实物交换模型中介绍的无差别曲线的概念，讨论以下的雇员和雇主之间的关系： 1）以雇员一天的工作时间和工资分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别曲线族的示意图，解释曲线为什么是那种形状； 2）如果雇主付计时费，对不同的工资率画出计时工资线族，根据雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议； 3）雇员和雇主已经达成了协议，如果雇主想使用雇员的工作时间增加到t 2，他有两种
数学模型(第四版)课后详细答案
数学模型作业 六道题 作业一 1.P56.8一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）： 解： 要求鱼的体重，我们利用质量计算公式：M=ρV。我们假定鱼池中是同一种鱼，于是可以近似地考虑其密度是相同的。至于鱼的体积问题，由于是同一种类，可以假定这种鱼在体型上是一致的。我们假设鱼的体积和鱼身长的立方成正比。即：V=k 1 L3，因此，模型为： 33 111 M V k l K L ρρ ===……………………………模型一 利用Eviews软件，用最小二乘法估计模型中的参数K 1 ，如下图1所示： 图1 从图1结果可以得到参数K 1 =0.014591，所以模型为： 3 1 M0.014591 L = 上述模型存在缺陷，因为它把肥鱼和瘦鱼同等看待。因此，有必要改进模型。如果只假定鱼的横截面是相似的，假设横截面积与鱼身最大周长的平方成 正比，即：V=k 2 d2L，因此，模型为： 身长 /cm 36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1 质量 /g 765 482 1162 737 482 1389 652 454 胸围 /cm 24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6
22222M V k d K d L L ρρ===……………………………… 模型二 利用Eviews 软件，用最小二乘法估计模型中的参数K 2，如下图2所示： 图2 从图2可以得到参数K 2=0. 032248，所以模型为： 22M 0.032248d L = 将实际数据与模型结果比较如表1所示： 实际数 据M 765 482 1162 737 482 1389 652 454 模型一M 1 727.165 469.214 1226.061 727.165 482.629 1338.502 675.108 482.619 模型二M 2 729.877 465.248 1099.465 729.877 482.960 1470.719 607.106 483.960 2.P131.2 一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，向7个区的大学生售书，每个区的大学生数量（单位：千人）已经表示在图上。每个销售代理点只能向本区和一个相邻区的大学生售书，这两个代理点应该建在何处，才能使所能供应的大学生的数量最大？建立该问题的整数线性规划模型并求解。 解： 将大学生数量为34、29、42、21、56、18、71的区分别标号为1、2、3、4、5、6、7区，画出如下区域区之间的相邻关系： 2 5
数学模型吕跃进数学建模A试卷及参考答案
数学建模A试卷参考答案 一．概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分） 1、什么是数学模型？(5分) 答：数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。 2、数学建模有哪几个过程？(5分) 答：数学建模有如下几个过程：模型准备，模型假设，模型构成，模型求解，模型分析，模型检验，模型应用。 3、试写出神经元的数学模型。 答：神经元的数学模型是 其中x＝（x1，…x m）T输入向量，y为输出，w i是权系数；输入与输出具有如下关系： θ为阈值，f（X）是激发函数；它可以是线性函数，也可以是非线性函数．（5分） 二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分） 1、（l）以雇员一天的工作时间t和工资w分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别曲线族的示意图。解释曲线为什么是你画的那种形状。(5分) （2）如果雇主付计时工资，对不同的工资率(单位时间的工资)画出计时工资线族。根据雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议。(5分) 答：（l）雇员的无差别曲线族f（w，t）=C是下凸的，如图1，因为工资低时，他愿以较多的工作时间换取较少的工资；而当工资高时，就要求以较多的工资来增加一点工作时间． （2）雇主的计时工资族是w=at，a是工资率．这族直线与f（w，t）=c的切点P1，P2，P3，…的连线PQ为雇员与雇主的协议线．通常PQ是上升的（至少有一段应该是上升的），见图1． 2、试作一些合理的假设，证明在起伏不平的地面上可以将一张椅子放稳。(7分)又问命题对长凳是否成立，为什么？(3分) 答：(一)假设：电影场地面是一光滑曲面，方凳的四脚连线构成一正方形。 如图建立坐标系：其中A,B,C,D代表方凳的四个脚,以正方形ABCD的中心为坐标系原点。 记H为脚A,C与地面距离之和， G为脚B,D与地面距离之和， θ为AC连线与X轴的夹角， 不妨设H(0)>0,G(0)=0,(为什么?) 令X f(θ)=H(θ)-G(θ)图二 则f是θ的连续函数,且f(0)=H(0)>0 将方凳旋转90°,则由对称性知H(π/2)=0,G(π/2)=H(0) 从而f(π/2)=-H(0)<0 由连续函数的介值定理知，存在θ∈(0,π/2)，使f(θ)=0 (二)命题对长凳也成立，只须记H为脚A,B与地面距离之和， G为脚C,D与地面距离之和， θ为AC连线与X轴的夹角 将θ旋转1800同理可证。 三、模型计算题（共5小题，每小题9分，本大题共45分）
数学建模考试题(开卷)及答案
2010年上学期2008级数学与应用数学，信息与计算科学专业 《数学建模》课程考试供选试题 第1题 4万亿投资与劳动力就业： 2008以来，世界性的金融危机席卷全球，给我国的经济发展带来很大的困难。沿海地区许多中小企业纷纷裁员，造成大量的人员失业。据有关资料估计，从2008年底，相继有2000万人被裁员，其中有1000万人是民工。部分民工返乡虽然能够从一定程度上缓解就业压力，但2009年的600多万毕业大学生给我国就业市场带来巨大压力。但可喜的是，我国有庞大的外汇储备，民间资本实力雄厚，居民储蓄充足。中国还是发展中国家，许多方面的建设还处于落后水平，建设投资的潜力巨大。为保持我国经济快速发展，特别是解决就业问题带来希望，实行政府投资理所当然。在2009年两代会上，我国正式通过了4万亿的投资计划，目的就是保GDP增长，保就业，促和谐。但是有几个问题一直困扰着我们，请你运用数学建模知识加以解决。问题如下： 1、GDP增长8%，到底能够安排多少人就业？如果要实现充分就业，2009年的GDP到底要增长多少？ 2、要实现GDP增长8%，4万亿的投资够不够？如果不够，还需要投资多少？ 3、不同的产业(或行业)吸纳的劳动力就业能力不同，因此投资的流向会有所不同。请你决策，要实现劳动力就业最大化，4万亿的投资应该如何分配到不同的产业(或行业)里？ 4、请你给出相关的政策与建议。 第2题 深洞的估算：假如你站在洞口且身上仅带着一只具有跑秒功能的计算器，你出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计洞的深度，假定你捡到一块质量是1KG的石头，并准确的测定出听到回声的时间T=5S，就下面给定情况，分析这一问题，给出相应的数学模型，并估计洞深。 1、不计空气阻力； 2、受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度成正比，比例系数k1=0.05； 3、受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度的平方成正比，比例系数k2=0.0025； 4、在上述三种情况下，如果再考虑回声传回来所需要的时间。 第3题 优秀论文评选：在某数学建模比赛的评审过程中，组委会需要在一道题目的150 篇参赛论文中选择4 篇论文作为特等奖论文。评审小组由10 名评委组成，包括一名小组组长(出题人)，4 名专业评委(专门从事与题目相关问题研究的评委)，5 名普通评委(从事数学建模的教学和组织工作，参与过数学建模论文的评审)。组委会原先制定的评审步骤如下： step1:首先由普通评委阅读所有150 篇论文，筛选出20 篇作为候选论文。 Step2:然后由小组内的所有评委阅读这些候选论文，每人选择4 篇作为推荐的论文。 Step3:接着进入讨论阶段，在讨论阶段中每个评委对自己选择的 4 篇论文给出理由，大家进行讨论，每个评委对论文的认识都会受到其他评委观点的影响。 Step4:在充分讨论后，大家对这些推荐的论文进行投票，每个评委可以投出4票，获得至少6 票的论文可以直接入选，如果入选的论文不足，对剩余的论文(从20篇候选论文中除去已经入选的论文)重复step2至step4 步的评审工作。如果三轮讨论后入选的论文仍然不够，则由评选小组组长确定剩下名额的归属。 如果有超过4 篇的论文获得了至少6票，则由评选小组组长确定最终的名额归属。问题:
数学建模期末考试2018A试的题目与答案.doc
. . 华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2012-2013学年第 二 学期 考试科目：数学建模 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、(满分12分) 一人摆渡希望用一条船将一只狼.一只羊.一篮白菜从河岸一边带到河岸对面.由于船的限制.一次只能带一样东西过河.绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起.怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分 别记为i = 1.2.3.4.当i 在此岸时记x i = 1.否则为0；此岸的状态下用s =（x 1.x 2.x 3.x 4）表示。该问题中决策为乘船方案.记为d = (u 1, u 2 , u 3, u 4).当i 在船上时记u i = 1.否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分） (2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分） (3) 写出该问题的状态转移率。（3分） (4) 利用图解法给出渡河方案. （3分） 解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分） (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分） (3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分） (4)方法：人先带羊.然后回来.带狼过河.然后把羊带回来.放下羊.带白菜过去.然后再回来把羊带过去。 或: 人先带羊过河.然后自己回来.带白菜过去.放下白菜.带着羊回来.然后放下羊.把狼带过去.最后再回转来.带羊过去。 （12分）
数学建模题目及其答案(疾病诊断)
数学建模疾病的诊断 现要你给出疾病诊断的一种方法。 胃癌患者容易被误诊为萎缩性胃炎患者或非胃病者。从胃癌患者中抽 取5人（编号为1-5），从萎缩性胃炎患者中抽取5人（编号为6-10），以及非胃病者 中抽取5人（编号为11-15），每人化验4项生化指标：血清铜蓝蛋白（ X）、 1 蓝色反应（ X）、尿吲哚乙酸（3X）、中性硫化物（4X）、测得数据如表1 2 所示： 表1. 从人体中化验出的生化指标
* 根据数据，试给出鉴别胃病的方法。 论文题目：胃病的诊断 摘要 在临床医学中，诊断试验是一种诊断疾病的重要方法。好的诊断试验方法将对临床诊断的正确性和疾病的治疗效果起重要影响。因此，对于不同疾病不断发现新的诊断试验方法是医学进步的重要标志。传统的诊断试验方法有生化检测、DNA检测和影像检测等方法。而本文则通过利用多元统计分析中的判别分析及SPSS软件的辅助较好地解决了临床医学中胃病鉴别的问题。在临床医学上，既提高了临床诊断的正确性，又对疾病的治疗效果起了重要效果，同时也减轻了病人的负担。 判别分析是在分类确定的条件下，根据某一研究对象的各种特征值判别其类型归属问题的一种多变量统计分析方法。 其基本原理是按照一定的判别准则，建立一个或多个判别函数，用研究对象的大量资料确定判别函数中的待定系数，并计算判别指标。 , 首先，由判别分析定义可知，只有当多个总体的特征具有显著的差异时，进行判别分析才有意义，且总体间差异越大，才会使误判率越小。因此在进行判别分析时，有必要对总体多元变量的均值进行是否不等的显著性检验。 其次，利用判别分析中的费歇判别和贝叶斯判别进行判别函数的建立。 最后，利用所建立的判别函数进行回判并测得其误判率，以及对其修正。 本文利用SPSS软件实现了对总体间给类变量的均值是否不等的显著性检验并根据样本建立了相应的费歇判别函数和贝叶斯判别函数，最后进行了回判并测得了误判率，从而获得了在临床诊断中模型，给临床上的诊断试验提供了新方法和新建议。 关键词：判别分析；判别函数；Fisher判别；Bayes判别 一问题的提出 在传统的胃病诊断中，胃癌患者容易被误诊为萎缩性胃炎患者或非胃病患者，为了
最新数学建模(数学模型)期末考试试题及答案详解
1 数学模型（数学建模）期末考试试卷（A 卷） 2012-2013学年第 二 学期 考试科目：数学建模 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、(满分12分) 一人摆渡希望用一条船将一只狼，一只羊，一篮白菜从河岸一边带到河岸对面，由于船的限制，一次只能带一样东西过河，绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起，怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白 菜分别记为i = 1，2，3，4，当i 在此岸时记x i = 1，否则为0；此岸的状态下用s =（x 1，x 2，x 3，x 4）表示。该问题中决策为乘船方案，记为d = (u 1, u 2, u 3, u 4)，当i 在船上时记u i = 1，否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分） (2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分） (3) 写出该问题的状态转移率。（3分） (4) 利用图解法给出渡河方案. （3分） 解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分） (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分） (3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分） (4)方法：人先带羊，然后回来，带狼过河，然后把羊带回来，放下羊，带白菜过去，然后再回来把羊带过去。 或: 人先带羊过河，然后自己回来，带白菜过去，放下白菜，带着羊回来，然后放下羊，把狼带过去，最后再回转来，带羊过去。 （12分） 1、 二、(满分12分) 在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就