数学 平行四边形的专项 培优易错试卷练习题
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．
（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）当点P在边AD上移动时，求证：△PDH的周长是定值；
（3）当BE+CF的长取最小值时，求AP的长．
【答案】（1）证明见解析．（2）证明见解析．（3）2．
【解析】
试题分析：（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出
∠APB=∠PBC即可得出答案；
（2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出
PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；
（3）过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB，证明△EFM≌△BPA，设AP=x，利用折叠的性质和勾股定理的知识用x表示出BE和CF，结合二次函数的性质求出最值．
试题解析：（1）解：如图1，
∵PE=BE，
∴∠EBP=∠EPB．
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．
即∠PBC=∠BPH．
又∵AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC．
∴∠APB=∠BPH．
（2）证明：如图2，过B 作BQ ⊥PH ，垂足为Q ．
由（1）知∠APB=∠BPH ， 又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP ， 在△ABP 和△QBP 中，
{90APB BPH
A BQP BP BP
∠=∠∠=∠=?=， ∴△ABP ≌△QBP （AAS ）， ∴AP=QP ，AB=BQ ， 又∵AB=BC ， ∴BC=BQ ．
又∠C=∠BQH=90°，BH=BH ， 在△BCH 和△BQH 中，
{90BC BQ
C BQH BH BH
=∠=∠=?=， ∴△BCH ≌△BQH （SAS ）， ∴CH=QH ．
∴△PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8． ∴△PDH 的周长是定值．
（3）解：如图3，过F 作FM ⊥AB ，垂足为M ，则FM=BC=AB ．
又∵EF 为折痕， ∴EF ⊥BP ．
∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°， ∴∠EFM=∠ABP ．
又∵∠A=∠EMF=90°， 在△EFM 和△BPA 中，
{EFM ABP EMF A FM AB
∠=∠∠=∠=， ∴△EFM ≌△BPA （AAS ）． ∴EM=AP ． 设AP=x
在Rt △APE 中，（4-BE ）2+x 2=BE 2．
解得BE=2+2
8
x ，
∴CF=BE-EM=2+2
8
x -x ，
∴BE+CF=2
4
x -x+4=14（x-2）2+3．
当x=2时，BE+CF 取最小值， ∴AP=2．
考点：几何变换综合题．
2．如图，正方形ABCD 的边长为8，E 为BC 上一定点，BE ＝6，F 为AB 上一动点，把△BEF 沿EF 折叠，点B 落在点B ′处，当△AFB ′恰好为直角三角形时，B ′D 的长为？
4
655
22【解析】 【分析】
分两种情况分析：如图1，当∠AB′F=90°时，此时A 、B′、E 三点共线，过点B′作
B′M ⊥AB ，B′N ⊥AD ，由三角形的面积法则可求得B′M=2.4，再由勾股定理可求得B′N=3.2，在Rt △CB′N 中，由勾股定理得，2222+DN = 3.2 5.6B N '+；如图2，当∠AFB′=90°时，由题意可知此时四边形EBFB′是正方形，AF=2，过点B′作B′N ⊥AD ，则四边形AFB′N 为矩形，在Rt △CB′N 中，由勾股定理得，2222+DN =22B N '+； 【详解】
如图1，当∠AB′F=90°时，此时A 、B′、E 三点共线， ∵∠B=90°，∴2222AB BE =86++， ∵B′E=BE=6，∴AB′=4，
∵B′F=BF，AF+BF=AB=8，
在Rt△AB′F中，∠AB′F=90°，由勾股定理得，AF2=FB′2+AB′2，
∴AF=5，BF=3，
过点B′作B′M⊥AB，B′N⊥AD，由三角形的面积法则可求得B′M=2.4，再由勾股定理可求得B′N=3.2，
∴AN=B′M=2.4，∴DN=AD-AN=8-2.4=5.6，
在Rt△CB′N中，由勾股定理得，B′D=2222
+DN= 3.2 5.6
B N'+ =4
65
5
；
如图2，当∠AFB′=90°时，由题意可知此时四边形EBFB′是正方形，∴AF=2，
过点B′作B′N⊥AD，则四边形AFB′N为矩形，∴AN=B′F=6，B′N=AF=2，∴DN=AD-AN=2，在Rt△CB′N中，由勾股定理得，B′D=2222
+DN=22
B N'+ =22；
综上，可得B′D 4
65
5
或2
【点睛】
本题主要考查正方形的性质与判定，矩形有性质判定、勾股定理、折叠的性质等，能正确地画出图形并能分类讨论是解题的关键.
3．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，在Rt△PFE中，∠EPF=90°，点E、F分别在边AD、AB上．
（1）如图1，若点P与点O重合：①求证：AF=DE；②若正方形的边长为3，当
∠DOE=15°时，求线段EF的长；
（2）如图2，若Rt△PFE的顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD=3BP 时，证明：PE=2PF．
【答案】（1）①证明见解析，②
22；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）①根据正方形的性质和旋转的性质即可证得：△AOF ≌△DOE 根据全等三角形的性质证明；
②作OG ⊥AB 于G ，根据余弦的概念求出OF 的长，根据勾股定理求值即可；
（2）首先过点P 作HP ⊥BD 交AB 于点H ，根据相似三角形的判定和性质求出PE 与PF 的数量关系． 【详解】
（1）①证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴OA=OD ，∠OAF=∠ODE=45°，∠AOD=90°， ∴∠AOE+∠DOE=90°， ∵∠EPF=90°， ∴∠AOF+∠AOE=90°， ∴∠DOE=∠AOF ， 在△AOF 和△DOE 中，
OAF ODE OA OD
AOF DOE ＝＝＝∠∠??
??∠∠?
， ∴△AOF ≌△DOE ， ∴AF=DE ；
②解：过点O 作OG ⊥AB 于G ，
∵正方形的边长为3 ∴OG=
1
2
3
∵∠DOE=15°，△AOF ≌△DOE ， ∴∠AOF=15°， ∴∠FOG=45°-15°=30°， ∴OF=
OG
cos DOG
∠=2，
∴EF=22=22OF OE +；
（2）证明：如图2，过点P 作HP ⊥BD 交AB 于点H ，
则△HPB 为等腰直角三角形，∠HPD=90°， ∴HP=BP ， ∵BD=3BP ， ∴PD=2BP ， ∴PD=2HP ，
又∵∠HPF+∠HPE=90°，∠DPE+∠HPE=90°， ∴∠HPF=∠DPE ， 又∵∠BHP=∠EDP=45°， ∴△PHF ∽△PDE ，
∴
1
2PF PH PE PD ==， ∴PE=2PF ． 【点睛】
此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
4．如图1，在正方形ABCD 中，AD=6，点P 是对角线BD 上任意一点，连接PA ，PC 过点P 作PE ⊥PC 交直线AB 于E ． （1） 求证：PC=PE;
（2） 延长AP 交直线CD 于点F.
①如图2，若点F 是CD 的中点，求△APE 的面积； ②若ΔAPE 的面积是
216
25
，则DF 的长为 （3） 如图3，点E 在边AB 上，连接EC 交BD 于点M,作点E 关于BD 的对称点Q ，连接
PQ，MQ，过点P作PN∥CD交EC于点N，连接QN，若PQ=5，MN=72
3
，则△MNQ的
面积是
【答案】（1）略；（2）①8，②4或9；（3）5 6
【解析】
【分析】
（1）利用正方形每个角都是90°，对角线平分对角的性质，三角形外角等于和它不相邻的两个内角的和，等角对等边等性质容易得证;
（2）作出△ADP和△DFP的高，由面积法容易求出这个高的值.从而得到△PAE的底和高，并求出面积.第2小问思路一样，通过面积法列出方程求解即可;
（3）根据已经条件证出△MNQ是直角三角形，计算直角边乘积的一半可得其面积.
【详解】
(1) 证明：∵点P在对角线BD上，
∴△ADP≌△CDP,
∴AP=CP, ∠DAP =∠DCP,
∵PE⊥PC，∴∠EPC=∠EPB+∠BPC=90°,
∵∠PEA=∠EBP+∠EPB=45°+90°-∠BPC=135°-∠BPC,
∵∠PAE=90°-∠DAP＝90°-∠DCP,
∠DCP=∠BPC-∠PDC=∠BPC-45°,
∴∠PAE=90°-(∠BPC-45°)= 135°-∠BPC,
∴∠PEA=∠PAE,
∴PC=PE;
（2）①如图2，过点P分别作PH⊥AD,PG⊥CD,垂足分别为H、G.延长GP交AB于点
M.
∵四边形ABCD 是正方形，P 在对角线上， ∴四边形HPGD 是正方形， ∴PH=PG,PM ⊥AB, 设PH=PG=a,
∵F 是CD 中点，AD ＝6，则FD=3,ADF
S =9,
∵ADF S =ADP DFP S
S
+=
11
22
AD PH DF PG ?+?, ∴
11
63922
a a ?+?=,解得a=2, ∴AM=HP=2,MP=MG-PG=6-2=4, 又∵PA=PE, ∴AM=EM,AE=4,
∵APE S =11
44822
EA MP ?=??=,
②设HP ＝b,由①可得AE=2b,MP=6-b,
∴APE S
=
()121626225
b b ??-=, 解得b=2.4 3.6或,
∵ADF S
=ADP DFP S
S
+=
11
22
AD PH DF PG ?+?, ∴111
66222
b DF b DF ??+?=?, ∴当b=2.4时，DF=4；当b ＝3.6时，DF ＝9, 即DF 的长为4或9; （3）如图，
∵E 、Q 关于BP 对称，PN ∥CD, ∴∠1＝∠2，∠2+∠3＝∠BDC=45°, ∴∠1+∠4=45°, ∴∠3=∠4,
易证△PEM ≌△PQM, △PNQ ≌△PNC, ∴∠5=∠6, ∠7=∠8 ,EM=QM,NQ=NC, ∴∠6+∠7=90°, ∴△MNQ 是直角三角形, 设EM=a,NC=b 列方程组
222252372 3a b a b ?+=?
?
?
??+= ?
???
, 可得12ab=56
, ∴MNQ
5
6
S
=
, 【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.要注意运用数形结合思想.
5．猜想与证明：
如图1，摆放矩形纸片ABCD 与矩形纸片ECGF ，使B 、C 、G 三点在一条直线上，CE 在边CD 上，连接AF ，若M 为AF 的中点，连接DM 、ME ，试猜想DM 与ME 的关系，并证明你的结论． 拓展与延伸：
（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，其他条件不变，则DM 和ME 的关系为 ．
（2）如图2摆放正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，使点F 在边CD 上，点M 仍为AF
的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．
【答案】猜想：DM=ME，证明见解析；（2）成立，证明见解析.
【解析】
试题分析：延长EM交AD于点H，根据ABCD和CEFG为矩形得到AD∥EF，得到△FME和△AMH全等，得到HM=EM，根据Rt△HDE得到HM=DE，则可以得到答案；（1）、延长EM交AD于点H，根据ABCD和CEFG为矩形得到AD∥EF，得到△FME和△AMH全等，得到HM=EM，根据Rt△HDE得到HM=DE，则可以得到答案；（2）、连接AE，根据正方形的性质得出∠FCE=45°，∠FCA=45°，根据RT△ADF中AM=MF得出DM=AM=MF，根据
RT△AEF中AM=MF得出AM=MF=ME，从而说明DM=ME.
试题解析：如图1，延长EM交AD于点H，∵四边形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM，
又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，
在△FME和△AMH中，
∴△FME≌△AMH（ASA）
∴HM=EM，
在RT△HDE中，HM=DE，
∴DM=HM=ME，
∴DM=ME．
（1）、如图1，延长EM交AD于点H，
∵四边形ABCD和CEFG是矩形，
∴AD∥EF，
∴∠EFM=∠HAM，
又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，
在△FME和△AMH中，
∴△FME≌△AMH（ASA）
∴HM=EM，
在RT△HDE中，HM=EM
∴DM=HM=ME，
∴DM=ME，
（2）、如图2，连接AE，
∵四边形ABCD和ECGF是正方形，
∴∠FCE=45°，∠FCA=45°，
∴AE和EC在同一条直线上，
在RT△ADF中，AM=MF，
∴DM=AM=MF，
在RT△AEF中，AM=MF，
∴AM=MF=ME，
∴DM=ME．
考点：（1）、三角形全等的性质；（2）、矩形的性质.
6．(1)问题发现
如图1,点E. F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°，连接EF、则EF=BE+DF，试说明理由；
(2)类比引申
如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,点E. F分别在边BC、CD上,∠EAF=45°，若
∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF；(3)联想拓展
如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°，猜想BD、DE、EC
满足的等量关系，并写出推理过程。
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.
【解析】
试题分析：（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出
△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFE≌△AFG，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；
（3）把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，证明△AFE≌△AFG（SAS），则EF=FG，
∠C=∠ABF=45°，△BDF是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断．
试题解析：(1)理由是：如图1，
∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图1，
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F. D. G共线，
则∠DAG=∠BAE，AE=AG，
∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°?45°=45°=∠EAF，
即∠EAF=∠FAG，
在△EAF和△GAF中，
AF=AF，∠EAF=∠GAF，AE=AG，
∴△AFG≌△AFE(SAS)，
∴EF=FG=BE+DF；
(2)∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF；
∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图2，
∴∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=90°,∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠ADC+∠B=180°，
∴∠FDG=180°，点F. D. G共线，
在△AFE和△AFG中，
AE=AG，∠FAE=∠FAG，AF=AF，
∴△AFE≌△AFG(SAS)，
∴EF=FG，
即：EF=BE+DF，
故答案为：∠B+∠ADC=180°；
(3)BD2+CE2=DE2.
理由是：把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，
则∠FAB=∠CAE.
∵∠BAC=90°,∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠CAE=45°，
又∵∠FAB=∠CAE，
∴∠FAD=∠DAE=45°，
则在△ADF和△ADE中，
AD=AD，∠FAD=∠DAE，AF=AE，
∴△ADF≌△ADE，
∴DF=DE,∠C=∠ABF=45°，
∴∠BDF=90°，
∴△BDF是直角三角形,
∴BD2+BF2=DF2，
∴BD 2+CE 2=DE 2.
7．如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，过点E 的切线与AB 的延长线交于点D ，连接BE ，过点O 作BE 的平行线，交⊙O 于点F ，交切线于点C ，连接AC （1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）连接EF ，当∠D= °时，四边形FOBE 是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）30. 【解析】 【分析】
（1）由等角的转换证明出OCA OCE ??≌，根据圆的位置关系证得AC 是⊙O 的切线. （2）根据四边形FOBE 是菱形，得到OF=OB=BF=EF ，得证OBE ?为等边三角形，而得出
60BOE ∠=?，根据三角形内角和即可求出答案. 【详解】
（1）证明：∵CD 与⊙O 相切于点E ， ∴OE CD ⊥， ∴90CEO ∠=?，
又∵OC BE ，
∴COE OEB ∠=∠，∠OBE=∠COA ∵OE=OB ，
∴OEB OBE ∠=∠， ∴COE COA ∠=∠， 又∵OC=OC ，OA=OE ， ∴OCA OCE SAS ??≌（）， ∴90CAO CEO ∠=∠=?， 又∵AB 为⊙O 的直径， ∴AC 为⊙O 的切线；
（2）解：∵四边形FOBE 是菱形， ∴OF=OB=BF=EF ， ∴OE=OB=BE ，
∴OBE ?为等边三角形， ∴60BOE ∠=?，
而OE CD ⊥， ∴30D ∠=?． 故答案为30． 【点睛】
本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.
8．如图，在矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将该矩形沿AE 折叠，使点D 落在边BC 上的点F 处，过点F 作FG ∥CD ，交AE 于点G ，连接DG ．
（1）求证：四边形DEFG 为菱形； （2）若CD =8，CF =4，求
的值．
【答案】（1）证明见试题解析；（2）． 【解析】
试题分析：（1）由折叠的性质，可以得到DG=FG ，ED=EF ，∠1=∠2，由FG ∥CD ，可得∠1=∠3，再证明 FG=FE ，即可得到四边形DEFG 为菱形； （2）在Rt △EFC 中，用勾股定理列方程即可CD 、CE ，从而求出的值．
试题解析：（1）由折叠的性质可知：DG=FG ，ED=EF ，∠1=∠2，∵FG ∥CD ，∴∠2=∠3，
∴FG=FE ，∴DG=GF=EF=DE ，∴四边形DEFG 为菱形；
（2）设DE=x ，根据折叠的性质，EF=DE=x ，EC=8﹣x ，在Rt △EFC 中，，
即
，解得：x=5，CE=8﹣x=3，∴
=．
考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．勾股定理；3．菱形的判定与性质；4．矩形的性质；5．综合题．
9．已知：在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上，AE＝2．
（1）如图①，当四边形EFGH为正方形时，求△GFC的面积；
（2）如图②，当四边形EFGH为菱形，且BF＝a时，求△GFC的面积（用a表示）；（3）在（2）的条件下，△GFC的面积能否等于2？请说明理由．
【答案】（1）10；（2）12－a；（3）不能
【解析】
解：（1）过点G作GM⊥BC于M．在正方形EFGH中，
∠HEF＝90°，EH＝EF，
∴∠AEH＋∠BEF＝90°．
∵∠AEH＋∠AHE＝90°，
∴∠AHE＝∠BEF．
又∵∠A＝∠B＝90°，
∴△AHE≌△BEF．
同理可证△MFG≌△BEF．
∴GM＝BF＝AE＝2．∴FC＝BC－BF＝10．
∴．
（2）过点G作GM⊥BC交BC的延长线于M，连接HF．
∵AD∥BC，∴∠AHF＝∠MFH．
∵EH∥FG，∴∠EHF＝∠GFH．
∴∠AHE＝∠MFG．
又∵∠A＝∠GMF＝90°，EH＝GF，
∴△AHE≌△MFG．∴GM＝AE＝2．
∴．
（3）△GFC的面积不能等于2．
说明一：∵若S△GFC＝2，则12－a＝2，∴a＝10．
此时，在△BEF中，
．
在△AHE中，
，
∴AH＞AD，即点H已经不在边AD上，故不可能有S△GFC＝2．
说明二：△GFC的面积不能等于2．∵点H在AD上，
∴菱形边EH的最大值为，∴BF的最大值为．
又∵函数S△GFC＝12－a的值随着a的增大而减小，
∴S△GFC的最小值为．
又∵，∴△GFC的面积不能等于2．
10．已知边长为1的正方形ABCD中， P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点P作PE⊥PB ，PE交射线DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．
（1）当点E落在线段CD上时（如图），
①求证：PB=PE；
②在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；
（2）当点E落在线段DC的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；
（3）在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能，试求出AP的长，如果不能，试说明理由．
【答案】（1）①证明见解析；②点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为
2
2
；（2）
画图见解析，成立；（3）能，1.
【解析】
分析：（1）①过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．要证PB=PE，只需证到△PGB≌△PHE即可；②连接BD，如图2．易证△BOP≌△PFE，则有BO=PF，只需求出BO的长即可．
（2）根据条件即可画出符合要求的图形，同理可得（1）中的结论仍然成立．
（3）可分点E在线段DC上和点E在线段DC的延长线上两种情况讨论，通过计算就可求出符合要求的AP的长．
详解：（1）①证明：过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．
∵四边形ABCD 是正方形，PG ⊥BC ，PH ⊥DC ， ∴∠GPC=∠ACB=∠ACD=∠HPC=45°． ∴PG=PH ，∠GPH=∠PGB=∠PHE=90°． ∵PE ⊥PB 即∠BPE=90°， ∴∠BPG=90°﹣∠GPE=∠EPH ． 在△PGB 和△PHE 中，
PGB PHE PG PH
BPG EPH ∠∠??
??∠∠?
＝＝＝， ∴△PGB ≌△PHE （ASA ）， ∴PB=PE ．
②连接BD ，如图2．
∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BOP=90°． ∵PE ⊥PB 即∠BPE=90°， ∴∠PBO=90°﹣∠BPO=∠EPF ． ∵EF ⊥PC 即∠PFE=90°， ∴∠BOP=∠PFE ． 在△BOP 和△PFE 中，
PBO EPF BOP PFE PB PE ∠∠??
∠∠???
＝＝＝ ∴△BOP ≌△PFE （AAS ）， ∴BO=PF ．
∵四边形ABCD 是正方形， ∴OB=OC ，∠BOC=90°， ∴2OB ． ∵BC=1，∴2， ∴PF=
22
．
∴点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为2
2
．
（2）当点E落在线段DC的延长线上时，符合要求的图形如图3所示．
同理可得：PB=PE，PF=
2
2
．
（3）①若点E在线段DC上，如图1．
∵∠BPE=∠BCE=90°，∴∠PBC+∠PEC=180°．
∵∠PBC＜90°，∴∠PEC＞90°．
若△PEC为等腰三角形，则EP=EC．
∴∠EPC=∠ECP=45°，
∴∠PEC=90°，与∠PEC＞90°矛盾，
∴当点E在线段DC上时，△PEC不可能是等腰三角形．②若点E在线段DC的延长线上，如图4．
若△PEC是等腰三角形，
∵∠PCE=135°，
∴CP=CE，
∴∠CPE=∠CEP=22.5°．
∴∠APB=180°﹣90°﹣22.5°=67.5°．
∵∠PRC=90°+∠PBR=90°+∠CER，
∴∠PBR=∠CER=22.5°，
∴∠ABP=67.5°，
∴∠ABP=∠APB．
∴AP=AB=1．
∴AP的长为1．
点睛：本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、四边形的内角和定理、三角形的内角和定理及外角性质等知识，有一定的综合性，而通过添加辅助线证明三角形全等是解决本题的关键．