同济大学2009高数B期末考试题

同济大学2009-2010学年第一学期高等数学B(上)期终试卷

一. 填空题(4'416'?=)

1. 设函数()f x 具有二阶导数, 且1'0,

'dx y dy y ≠=, 则223

"

'd x y dy

y =-

.

2. 设函数()f u 为可导函数, 且'(0)0f ≠, 由参数方程3(sin 2)(1)

t

x f t y f e π

=-??

=-?所确定的函数的 导数

32

t dy

dx ==.

3. 极限111lim(

)ln 2

12

n n n n n

→∞

+++

=+++.

4. 微分方程22"5'6sin x

y y y xe

x -++=+的特解形式为(不需确定系数)

2()cos2sin 2x x Ax B e C x D x E

-++++.

二． 选择题(4'416'?=) 5. 设函数sin ()bx x

f x a e

=

+在(,)-∞+∞内连续, 且lim ()0x f x →-∞=, 则常数,a b 满足: [D ]. ()0,0A a b <>; ()0,0B a b ><; ()0,0C a b ≤>; ()0,0D a b ≥<

6. 曲线1

ln(1)x y e x

-=

++, [D ] ()A 没有水平渐近线但有铅直渐近线; ()B 没有铅直渐近线但有水平渐近线; ()C 没有水平和铅直渐近线;

()D 有水平和铅直渐近线 7. 将0x +

→时的无穷小量2

sin ,,(1)x

x t tdt tdt e dt αβγ=

==-?

?排列起来, 使

得后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列顺序是: [C ] (),,A αβγ; (),,B αγβ; (),,C βαγ; (),,D γβα 8. 设函数()f x 在点0x =的某个邻域内有定义, 且20

()

(0)0,lim

2x f x f x

→==-, 则在该点处 ()f x : [C ] ()A 不可导; ()B 可导且'(0)0f ≠; ()C 取得极大值; ()D 取得极小值.

三. 解答题(7'428'?=) 9. 求极限30sin sin(sin )lim

x x x x →-, [30sin 1

lim 6

t t t t →-==]

10. 计算定积分

2

4

tan sec x x xdx π

?

[224

400111(tan )(sec 1)28242

xd x x dx ππππ==--=-??]

11. 计算反常积分

22

1

arctan (1)

x

dx x x +∞

+?

[2212210

111113(

)arctan arctan ()[arctan ]ln 2124232

xdx xd x x x x ππ+∞

+∞+∞

=-=--=+++??] 12. 试求微分方程221

(1)dy y x y dx x

+=-的通解

[22

1111()'()1(ln )2

x x x x c y x y y -=-?=-+]

四. (8')求曲线ln y x =上的点, 使此曲线在该点的曲率半径为最小.

[3

122222

21(1)(1)(21)1

(0)'(ln 2)22

x x x R x R K x x ++-==>?=?-] 五. (8')

设不定积分n n I =

,

(1)计算01,I I ; (2)利用变换sin x t =, 建立(2,3,4,)n I n =的递推公式

[(1)01arcsin ,I x c I =+=

[(2)211

n n n n I I x c n n

---=

-] 六. (8')设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续, 且在[,]a b 上()0g x >, 证明至少存在一点

[,]a b ξ∈, 使()()()()b

a

b

a

f x

g x dx

f g x dx

ξ=

??

. [min

max ()()()b

a

b

a

f x

g x dx

f f

g x dx

≤

≤??

]

七. (8')过坐标原点作曲线2

1(0)y x x =+≥的切线, 记该切线与此曲线及y 轴所围成的平 面图形为D , 试求:

(1)平面图形D 的面积; (2)平面图形D 绕直线1x =旋转一周所成的旋转体的体积, [12,,32

y x S V π==

=] 八. (8')已知22123,,x x x x x x x

y xe e y xe e y xe e e --=+=+=+-是某个二阶常系数线性非齐

次微分方程的三个解, 试写出该微分方程的通解并建立此微分方程. [212,"'2(12)x

x x x y c e

c e xe y y y x e -=++--=-]

同济大学2010-2011学年第一学期高等数学B(上)期终试卷

一. 填空题(4'416'?=)

1. 已知极限lim ()x e f x →存在, 且函数()f x 满足: ln 1()lim ()()e

x e x e x x f x f x x e e

-

→-=

+-, 则 2

lim ()1

x e

e f x e →=

-.

2. 设函数2

()ln(23)f x x x =+-, 则()

11(2)(1)(1)!(

1)5n n n

f n -=--+.

3. 不定积分

1tan 1

(tan ln tan )sin 22

x dx x x C x +=++?.

4. 定积分sin 2sin cos 03

33

4

x x

x dx π

π

=+?.

二. 选择题(4'416'?=)

5. 曲线3

2

331(1)31t x t t t y t ?

=??+≠-??=?+?

的斜渐近线方程为 [A ] :1A y x =--; :1B y x =-; :1C y x =-+; :1D y x =+. 6. 曲线2

2

162y x x =-上点(2,0)P 处曲率K = [B ] :0A ; :16B ; 1

:

16

C ; :4

D . 7. 设()f x 为(,)-∞+∞内连续的偶函数, '()()F x f x =, 则原函数()F x [C ] :A 均为奇函数; :B 均为偶函数;

:C 中只一个奇函数; :D 既非奇函数也非偶函数.

8. 设1s 为曲线sin y x =上相应于02x π≤≤的一段弧长, 2s 为椭圆2

2

22x y +=的周长, 则 [D ] 12:A s s π-=; 12:B s s >; 12:C s s <; 12:D s s =. 三. 解答题(4'728'?=)

9. 求极限302cos (

)13lim x x x x

→+-. [2cos ln 333001(cos 1)1lim lim 36x

x x x e x x x x +→→--===-]

10. 设()f x 是(,)-∞+∞内的连续的奇函数, 且0()

lim 2x f x x +→=, 证明()f x 在0x =处可导,

并求'(0)f . [00()(0)()(0)

(0)0,lim lim 2'(0)00

x x f x f f x f f f x x +-

→→--====--] 11. 求定积分

2

1

[]max{1,}x x e dx --?

, 其中[]x 表示不超过x 的最大整数.

[0

12

1

1

02x I e dx dx dx e --=-++=-?

??]

12. 判定反常积分

2ln 1

e x dx x +∞

-?的收敛性, 如果收敛, 求出其值.

[21ln 111

(ln 1)()[]e e x I x d x x x e

+∞+∞-=--=--=?] 四. (8')设()f x 是(,)-∞+∞内的连续函数, 且(0)0f ≠, 试求极限00

()lim

()x

x

x tf x t dt xf x t dt

→--??

.

[0

()()()()1

lim

lim

lim

[()()]2

()()()x x

x

x

x x x x x f u du uf u du

f u du

xf x f x f x f u du

xf x f u du

ξξ→→→∞-====++???

??]

五. (8')设可积函数()f x 在(,)-∞+∞内满足关系式: ()()sin f x f x x π=-+, 且当 [0,)x π∈时()f x x =, 试求

3()f x dx π

π

?.

[2322(sin )(2)2I x x dx x dx π

π

π

π

πππ=

-++-=-??]

六. (8')设n 为正整数, 函数2lim

,0()100nx n x x f x e x x -→∞?

≠?=--??=?

, 求曲线()y f x =与直线

2

x

y =-

所围平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积. [122202001()[()()]()1283,01

x x x f x V dx x x x x πππ

=?=---=-?+-≥?+??] 七. (8')求微分方程2

2

3(1)

20dy

x y xy dx

-+=的通解. [22231111()'()()x x x C y y y y +=?=-]

八. (8')令sin x t =, 化简微分方程22

arcsin 2(1)x d y dy

x x

y e dx dx ---=, 并求其通解. [22222311sin ,cos cos cos dy dy d y d y dy t dx dt t dx dt t dt t ==+2arcsin arcsin arcsin 12

2arcsin 2

t x x

x d y x y e y C e C e e dt -?-=?=++]

同济大学2011-2012学年第一学期高等数学B(上)期终试卷

一. 填空选择题(3'824'?=) 1. 极限3

1lim(

)2

x

x x e x →∞

+=-.

2. 若极限000

(2)()

lim

3h f x h f x h

→--=, 则03'()2

f x =

-

.

3.

积分

2

22

16(3

x x dx -+=

?

.

4. 积分2cos 2cos 1

sin 2

x

x xe

dx e C =

-+?

.

5. 微分方程4"4'0y y y -+=的通解为12

12()x y c x c e

=+.

6. 记41sin I xdx π

π

-=

?, 22sin I xdx ππ

-=?, 23I x dx π

π

-=?, 21sin I x xdx π

π

-=?. 则这4项积

分的大小关系为 [ B ] ()A 2134I I I I >>>;()B 3214I I I I >>>;()C 4132I I I I >>>;()D 1243I I I I >>>.

7. 下列反常积分中收敛的反常积分是 [ A ] 21

1

()

2A dx x +∞

+?

;

()e B +∞?; ()sin C xdx +∞-∞?; 101()1D dx x -? 8. 若函数23ln(1)ln 2

,1()1

1x x f x x a x ?+-≠?=-??=?

在1x =连续, 则常数 [ D ] ()A 23a =

; ()B 23a =-; ()C 13a =-; ()D 13

a =.

二. 解答题(6'530'?=) 1.

计算由曲线y =

340x y -+=所围平面图形的面积.

[2

1

141

)336

A x dx -=

-=?] 2. 若函数()u x 与()v x 具有n 阶导数, 试写出()()u x v x ?计算n 阶导数的莱布尼茨公式, 计算2x

x e ?的10阶导数. [()

()()

2(10)1020[()()]

;()2(5)n

n k k n k x x n k u x v x C u v xe e x -===+∑]

3. 求函数2()(5)x

f x x x e =+-的单调区间以及函数的极大与极小值.

[4max min '(4)(1)(,4],[1,)

;[4,1]

;(4)7;(1)3x

f x x e f e f e -=+-?-∞-+∞--==-]

4. 计算反常积分

22

1

ln(1)x dx x +∞

+?

. [ln 22

I π

=+] 5. 求微分方程2

"2'31,(0),'(0)73

y y y y y +-==

=-的解. [331211

233

x

x x x y c e c e e e --=+-=--]

三. (8')在长度单位为米的坐标中, 由方程2

1x y =-与直线220x y --=围成的薄片铅直 的浸入水中, 其中x 轴平行于水面且在水下1米深处, 试求该薄片的一侧所受的水压力. [1

21

(1)(221)4P g y y y dy g ρρ-=-+-+=?

]

四. (10')

求积分

1)x dx +?

, [28ln 2393

I π

=+-]

五. (10')1. 试求常数,a b , 使得函数在=201

,

12x x y x ax b ≤≤?=?<≤+?

在区间[0,2]上可导; 2. 若由该曲线段绕y 轴旋转形成一个容器, 如果每单位时间以常量0v 向容器均匀 的注水, 试求该容器在水溢出前水深为h 时水面的上升速度.

[2,1a b ==-;022

0002

,01()()'()''4,13(1)

h v h h V h x y dy v V x h h h v h h ππππ?

≤≤??=?==?=??<≤+???]

六. (10')要建一个容积为14, 侧面为圆柱形, 顶部接着一个半球形的仓库(不含底部), 已知

顶部每平方单位的造价是其侧面圆柱部分单位造价的3倍, 试求该仓库的底圆半径, 使得该仓库的造价最省.

[2

223f rh r ππ=+

,2

3

22281414(),'()03

3r h r f r r f r r r πππ+=?=

+=?=]

七. (8')函数()f x 在0[,)x +∞上具有二阶导数, 并且"()0f x <, 对于任意0x x >, 由拉格 朗日中值定理, 存在0x x ξ<<, 使得00()()'()()f x f x f x x ξ-=-. 证明ξ定义了 0(,)x +∞上的一个单调增加函数.

['()f x 递减()x ξξ=唯一确定(函数); 又可证

00

()()

f x f x x x --, 可得()x ξ递增]

同济大学2012-2013学年第一学期高等数学B(上)期终试卷

一. 填空选择题(3'8?)

1. 函数()x

f x xe -=的四阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式为2344

11()()26

f x x x x x o x =-+-+

2. 2(1)

x y e

x -=+在1x =所对应点的曲率1025

K =

3. 极限lim

(1ln )

x a

a x a a x a a a x

→-=--

4. 由方程222y y x x ++=所确定的函数()y y x =在(1,0)点的导数

(1,0)

32

dy

dx =

5. 函数()f x 在[0,)+∞上连续, 则数列极限lim ()n f n →∞

存在是函数极限lim ()x f x →+∞

存在的什

么条件? [ B ] ()A 充分条件; ()B 必要条件; ()C 充分必要条件; ()D 无关条件. 6. 在区间[,]a b 上, 函数()f x 连续的充分条件是: [ B ] ()

()b

a

A f x dx ?

存在; ()()B f x 可导; ()()C f x 具有原函数; ()()D f x 有界.

7. 如果作换元2sin x t =, 则定积分

2

22

(4)f x dx -?

等于 [ C ]

40

()

(2cos )2cos A f t tdt π

??

; 24

()(2cos )2cos B f t tdt π

π??;

4

2

()

(2cos )2cos C f t tdt π

π

??; 0

4

()(2cos )D f t dt π?.

8. 可导函数()f x 在区间[0,1]上单调增加的充分条件是在该区间上 [ D ] 2

()()(1)()x A f x e x o x ?=-?+?; 1

()

()0B f x dx >?

;

()"()0C f x >; 4

()()[1()]()D f x f x x o x ?=+?+?. 二. (4'3?)

1. 如图是函数()y f x =的图像, 试在下列空格中填入恰当的符 号: 0<; 0=或0>.

4

4

()0f x dx -

;

4

4

'()0f x dx -=?

;

4

4

"()0f x dx ->?

;

4

4

"'()0f x dx -

.

2. 求极限12001lim (12)x t x t dt x →+? [1

220

lim 2(14)2x

x x e →=+=]

3. 计算不定积分(1)ln(1)x x dx ++?

[2211

(1)ln(1)(1)24

x x x c ++-++] 三. (6'3?) 1. 求曲线21

x x y e

-=

的凹凸区间与拐点的坐标. [22'(32),"4(2):(,2];:[2,)x

x y e

x y e x --=-=-??-∞?+∞; 拐点:4(2,)e -]

2. 计算反常积分

21(2ln ln )e

dx x x x +∞

+?

. [1ln 1

ln ln 322ln 2

e x x +∞

==+]

3. 一个由曲线段2

4(01)y x x =≤≤绕y 轴旋转形成的容器内装满了比重为γ的均匀液体, 如果要将该容器内的液体全部排空至少需要做多少功. [4

8

(4)43

y W y dy πγπγ=

-=?] 四. (8')试用适当的换元法求微分方程22

222()2()1

dy x y x dx y x -=-+的通解. [2

2

22222arctan 21

du xu y x u x u u x c dx u -=?+=?-=-+?+]

五. (8')试说明闭区间上连续函数的像集是闭区间, 并举例说明在闭区间上, 像集是闭区间

的函数未必连续. [最值定理; 介值定理; 反例略]

六. (10')计算由曲线2x

y e =, 该曲线经过坐标原点的切线以及y 轴所围成图形的面积, 并 求该图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积.

[切线:2y ex =;切点:12

x =; 112

2222

220023(2);[()(2)]412x x x e e A e ex dx V e ex dx ππ--=-=

=-=??] 七. (10')试求微分方程22

"cos y y x x +=+的通解.

[221231

;*cos 2sin 2;cos sin cos 226

i y Ax Bx C D x E x y C x C x x x λ=±=++++=++--] 八. (10')()f x 是以T 为周期的连续函数, 若

()T

f t dt A =?

, 求极限0

1lim

()x

x f t dt x →+∞?.

[0

(0)

(0)

(0)

1()()()()()()lim

lim

lim

T

nT

nT T

nT

n n n T T T f t dt f t dt

f t dt f t dt

n f t dt f t dt

A n nT nT T T n

θ

θ

θ

θθθθθ

θ

+→∞→∞→∞≤<≤<≤<+++====+++?

??

?

??]

同济大学2013-2014学年第一学期高等数学B(上)期终试卷

一. 选择与填空题(3'824'?=) 1. 极限26

2lim(

)1

n

n n e n -→∞

-=+

2. 利用定积分的几何意义，积分

4

-=

?

92

π

3. 微分方程"'120y y y +-=的通解为

4312x x

y C e C e -=+

4. 已知敌方的导弹阵地位于坐标原点处，发射的导弹飞行轨迹为光滑曲线()y f x =，我方 拦截导弹的阵地位于x 轴正向2000公里处，发射的拦截导弹飞行速度是敌方导弹速度的 两倍，如果由计算机控制，在敌方导弹发射时我方的拦截导弹同时发射，并且我方导弹的 运行轨迹是直线，如果两导弹的相撞点为00(,)x y ，则该点满足的方程为

2x =?

5. 0{}x 是有界数列, 则该数列单调是数列极限存在的什么条件 【A 】 ()A 充分条件; ()B 必要条件; ()C 充分必要条件; ()D 无关条件.

6. ()f x 是连续函数, 曲线段()()x

a

f t dt a x b ≤≤?

的弧长s 的计算公式为 【C 】

()a A s =?

; ()a B s =?

;

()a

C s =

?

; ()a

D s =?

无关条件.

7. 函数()f x 具有三阶连续导数，如果"()0,[,]f x x a b >∈，则下列四项积分中，积分值 确定为正数的积分为 【A 】 ()['()'()]b

a A I f

b f x dx =-?

; ()'()b

a

B I f x dx =?;

()[()()]b

a

C I f x f a dx =

-?

; ()'"()b

a

D I f x dx =?.

8. 利用换元ln(1)x t =+, 积分

2

()x f e dx ?

等于 【D 】

2

0(1)

()1f t A dt t ++?; 210()(1)e B f t dt -+?; 20(1)()1e f t C dt t ++?; 210(1)()1

e f t D dt t -++?. 二. 计算下列各题(6'636'?=)

1. 试计算由23

ln 3x x y y +++=所确定的曲线在(1,1)点的切线方程.

[22

213

'3470(31)4

x y x y y x +=-=-?+-=+]

2. 求由参数方程t t

x e y e t

-?=?=+?所确定函数()y y x =的导数22;dy d y

dx dx . [22322

();22t t t t dy d y e e e e dx dx =-+=+] 3. 求不定积分

?

[3

22(1)3x x c +-+] 4. 曲线段3

:()L y x a x a =-≤≤的弧长为s , n D 是xoy 平面上与L 距离不超过n 的点集,

即222{(,)(')('),(',')}n D x y x x y y n x y L =-+-≤∈,n D 的面积为n A ,求极限2lim n

n A n →∞.

[22

2()lim n n n A n A n s n

πππ→∞≤≤+?=]

三. (8')计算反常积分31arctan x dx x +∞?. [121arctan 11[arctan ]22

x x x x +∞

=-++=]

四. (8')()f x 具有二阶导数, 如果极限201()(2)

lim

1x f x xf x x

→++=-, 求(0),'(0),"(0)f f f . [(01,'(0)1,"(0)6f f f =-==-] 五. (8')可导函数()f x 满足方程40

()2

()1x

f x tf t dt x -=--++?

, 求函数()f x .

[2

32(0)1,'()2()4()2(1)3x f f x xf x x f x x e -==-+?=-+] 六. (10')求函数2

31

x

x y xe ++=的单调区间与极值, 并求出该函数在区间[2,2]-上的最值.

[231

11

'(21)(1)(,1],[1,],[,);22

x x y x x e ++=++?-∞-↑--↓-+∞↑

极小

1

()2

y -=,极大1(1)y e -=-

; 11

min max 2(2),(2)2y y e e

-=-=] 七. (10')计算由曲线21x

y e

=-, 直线41y e =-以及y 轴所围图形的面积; 并求出由该图

形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. [2

2424424

0031[(1(1)];2()(51)222x x A e e dx e V x e e dx πππ=

---=+=-=-??] 八. (8')计算极限1

2

ln(1)0(12)

lim

t

x

x x t dt t +→-?.

[

1

12

22ln(1)(12)(12)

1(ln(1)),ln(1)2t

x

x t dt x x x x x L t e

ξ

ξξξξ

+--=-++<

?]

同济大学2014-2015学年第一学期高等数学B(上)期终试卷

一. 填空选择题(3'824'?=)

1. 极限23

232lim(

)1

n

n n n e n -→∞-+=+

2. x

y xe =在1x =对应点的曲率k =

3

22

3(14)

e e +

3.

反常积分

1

1

1

1

dx x

α-+?

?收敛, 则常数α的取值区间是3(,2)2

α∈

4.

1

'(32)(32)2

x x x e f e dx f e c -=-

-+?

5. ()f x 在[,]a b (其中1b a =+)上具有二阶导数,且"()0f x <,下列不等式正确的是 【B 】 ()'()'()()()A f b f a f b f a <<-; ()'()()()'()B f b f b f a f a <-<; ()()()'()'()C f b f a f b f a -<<; ()'()()()'()D f a f b f a f b <-<.

6. ()f x 是连续函数, 极限1

21

lim

(

)n

n k k n f n n

→∞

=-?∑

等于下面的定积分 【D 】 1

1

()

(21)A f x dx --?

; 2

()(21)B f x dx -?; 1

1

()2()C f x dx -?; 1

()(21)D f x dx -?.

7. 如果数列{}n x 在任意区间[,]a b 上只含有有限项, 则下面判断中正确的判断是 【D 】 (){}n A x 是收敛数列; (){}n B x 是有界数列但不收敛;

(){}n C x 是无界数列但是当n →∞时不是无穷大量; ()D 极限lim n n x →∞

=∞.

8. 223

()(1)(2)(3)4f x x x x x =---+, 则'()0f x =在区间(1,1)-内有几个实根 【C 】 ()0A 个; ()1B 个; ()2C 个; ()D 至少3个.

二. 计算下列各题(6'424'?=) 1. 求函数21

232

x x y e

-++=的单调区间与凹凸区间.

[221

1

23232

2

'(2),"(1)(3)x x x x y x e y x x e

-++-++=-=--]

2. 求曲线21

32y x e

y -+=在(1,1)点的切线方程. [230x y +-=]

3. 计算反常积分

3

11arctan xdx x +∞

? [1

2] 4. 求微分方程"3'441y y y x --=+的通解. [41212

x x

y C e C e x -=+-+]

三. (8')分析曲线1(1)ln()(0)y x e x x

=++>是否有铅直、水平与斜渐近线, 如果有则求出 相应的渐近线. [铅直渐近线0x =; 斜渐近线11y x e

=++]

四. (8')已知(),()f x g x 都是非负的连续函数, 曲线()y f x =与()y g x =关于直线y c =对 称,由曲线(),()y f x y g x ==以及直线,()x a x b a b ==<所围成的平面图形的面积为A . (1)证明该图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为2V cA π=; [22

()()()2()b

b b

a

a

a

V f g dx f g f g dx c f g dx πππ=

-=+-=-?

??]

(2)计算椭圆2

214

x y +≤绕直线2y =旋转所得旋转体的体积. [28V π=] 五. (8')设()f x 是可导函数, 并且满足方程220()()12x

t f x tf dt x =

++?, 求函数()f x .

[2231

(0)1,'()4()2()22

x f f x xf x x f x e ==+?=-]

六. (8')(1)写出ln(1)x +的带有佩亚诺余项的n 阶迈克劳林公式;(2)计算极限2

lim 1(1)

x

x x e x →+∞+.

[(1)123

11(1)()23

n n n

x x x x o x n ---++

++;(2)221

ln(1)lim lim 1(1)

x x x x

x x x e e x

-+→+∞→+∞==+七. (10')由方程2

2,4y x y ==所确定的抛物型薄片铅直地浸入水中, 顶端与水面持平(长度

单位为米). (1)试求薄片一侧所受到的水压力; (2)如果此后水面以每分钟

0.5米的速度开 始上涨, 试计算薄片一侧所受到的水压力的变化率. [(1)4

(4

P g y g ρ=

-?

; (2)40(,dP P g h y g dt ρ=-=?]

八. (10')设222(0)n

n n x

y a a +=>所围图形在第一象限部分的面积为n A . (1)利用定积分写

出n A 的计算公式(无需计算n A 的值

); (2)证明极限lim n n A →∞

存在; (3)计算极限lim n n A →∞

.

[(1)0

a

n A =

?

;(2)11

22220

(1)n n a t dt A a a -≤=≤??

;(3)2lim n n A a →∞

=]