经济数学基础综合练习及解答(三)
经济数学基础综合练习及解答（三）
线性代数部分
（一）单项选择题
1．设A 、B 均为n 阶矩阵（)1>n ，则下列命题正确的是 ( )．
A ．若A
B = O ，则A =O 或B = O B ．秩=+)(B A 秩+)(A 秩)(B
C ．2222(B AB A B)A +-=-
D ．T T T A B (AB)=
答案：D
2．设A 为23?矩阵，B 为42?矩阵，C 为24?矩阵，则下列运算中（ ）可以进行．
A ．
B A
C T B ．T T B AC C ．T ACB
D ．ACB
答案：B
3．设A 是可逆矩阵，且A AB I +=，则A -=1（ ）.
A .
B B . 1+B
C . I B +
D . ()I AB --1
答案：C
4．设)21(-=A ，)13(=B ，I 是单位矩阵，则I B A -T ＝（ ）．
A ．????
??--1614 B ．??????--2613 C ．??????--2163 D ．??
????--1164 答案：A 5．设????
??????----=314231003021A ，则r (A ) =（ ）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
答案：C
6．设线性方程组b AX =的增广矩阵为?????
???????-----84020123004201050231，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ ）．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
答案：A
7．线性方程组AX =0满足结论（ ）．
A . 可能无解
B . 只有0解
C . 有非0解
D . 一定有解 答案: D
8．设线性方程组b AX =有唯一解，则相应的齐次方程组O AX =（ ）．
A ．无解
B ．有非0解
C ．只有0解
D ．解不能确定
答案：C
9. 线性方程组??
???=+-=-=++43362323232321x x x x x x x （ ）．
A ．有唯一解
B ．无解
C ．只有0解
D ．有无穷多解. 答案：B
二、填空题
1．设??
????--=2131A ，则A I 2-= ． 填写：??
????--5261 2．若n 阶矩阵A 满足 ，则A 为对称矩阵.
填写：A T = A （或ji ij a a =）
3．设B A ,为两个已知矩阵，且B I -可逆，则方程X BX A =+的解=X . 填写：A B I 1)(--
4．矩阵??????????--330204212的秩为 ．
填写：2
5．已知n 元线性方程组AX b =有解，且n A r <)(，则该方程组的一般解中自由未知量的个数为 ．
填写：)(A r n -
6．当λ= 时，方程组???-=--=+1121
21x x x x λ有无穷多解． 填写：1
7．设齐次线性方程组O X A n n m =??1，且该方程组有非0解，则)(A r ． 填写：},min{n m ≤
8．线性方程组O AX =的系数矩阵A 化成阶梯形矩阵后为
????
??????+-→100140121d A 则当d 时，方程组O AX =有非0解.
填写：1-
三、计算题
1．设矩阵 ??????-=021201A ，??????????=200010212B ，????
??????--=242216C ，计算C BA +T ． 解：C BA +T =??????????200010212??????????-022011??????
????--+242216 =??????????-042006??????
????--+242216 =????
??????200210 问：?)(T
=+C BA r 2．设矩阵A =????
??????---112401211，I 为单位矩阵，求逆矩阵1)(-+A I ． 解 因为????
??????-=+012411210A I ，且 (I +A I ) =????
??????---→??????????-120001010830210411100010001012411210 ????
??????----→??????????---→123124112200010001123001011200210201
??
??
?
?????
----→21123124112100010001
所以 A -1=??
??
?
?????----21123124112
3．设???
???-=???
???--=21,5331B A ，解矩阵方程B X AX +=．
解：由B X AX +=，得B X I A =-)(，且
???
???--=-4332I A
??????--10430132???
???→10431111
???
???--→23101111???
???--→23103401
即???
???--=--2334)(1I A
所以，X =??????-??????--=--212334)(1B I A =???
???-12
4．设矩阵??
??
??????
=??????????--=500050002,322121011B A ，求B A 1
-．
解：利用初等行变换得
??
??
?
??
???--→??????????--102340011110001011100322010121001011
????
???
???----→??????????----→14610013
501000
1011146100011110001011
????
??????-----→146100135010134001 即 ????
??????-----=-1461351341A 由矩阵乘法得
????
??????-----=????????????????????-----=-520125151051585000500021461351341B A 5．求线性方程组
??
???=-+=++-=++032038204214321321x x x x x x x x x x
的一般解．
解： 因为系数矩阵
????
??????--→??????????---→??????????--=000012101301121036300111103238120111A 所以一般解为：???+=--=4
3243123x x x x x x ， 其中3x ，4x 是自由未知量． 6．求线性方程组
?????=-+--=+-+-=-+5352323224321
4321431x x x x x x x x x x x
的一般解
解 因为系数矩阵
????
??????-----→??????????------=111101111021201535123231121201A ????
??????---→000001111021201
所以一般解为???-+-=+-=4
32431122x x x x x x （其中3x ，4x 是自由未知量） 7．当λ取何值时，线性方程组
?????=++=++=++0303202321321321x x x x x x x x x λ
有非0解？并求一般解．
解 因为增广矩阵 ??????????----→??????????=35011012113132121λλA ????
??????+-→200110101λ 所以当λ= -2时，线性方程组有无穷多解，且一般解为：
???-==32
31x x x x (x 3是自由未知量) 8．当λ取何值时，线性方程组?????=-+=++=++λ321
3213212323212x x x x x x x x x 有解？并求一般解．
解 因为增广矩阵 ????? ??-=λ21321
321121A ????
? ??-----→355001101121λ ????
? ??--→300001
101101λ ∴当λ=3时，线性方程组有无穷多解，且一般解为：
??
?-=+=32311x x x x (x 3是自由未知量) 四、证明题
1．设n 阶方阵A 满足I A =2，I AA =T ，试证A 为对称矩阵．
证 因为I A =2，I AA =T
且
A AI AA A A A IA A =====)(T T 2T T
所以 A 为对称矩阵．
2．设A 是n 阶可逆对称矩阵，试证A -1为对称矩阵．
证 因为 A A =T ，A -1
存在，且 11T T 1)()(---==A A A
所以 A 为对称矩阵．
3．试证：设A 是n 阶矩阵，若O A =3
，则21)(A A I A I ++=--． 证 因为 ))((2A A I A I ++-
=322A A A A A I ---++ =3
A I -= I
所以 21)(A A I A I ++=--
4．设n 阶矩阵A 满足0))((=+-I A I A ，则A 为可逆矩阵．
证 因为 0))((2=-=+-I A I A I A ，即I A =2 所以 A 为可逆矩阵．
上面我们给出了本课程的综合练习，这些题都是重点，希望大家在自己复习过程中，重视并要掌握这些例题．