第六章 数理统计的基本知识课后习题参考答案

第六章 数理统计的基本知识

1

．10

2

21

1

()

210110(,,)i i x f x x e μσ=--∑=K ；2

2()12*10

1(),1x f x e

x μσ--

-∞<<+∞=。

2．t 分布；9.

3．11,, 2.20100

4．解： 0

(0,1)0.3

i X N -~Q

10

1

22

(

)(10)0.3

i i X χ=∴~∑ {}

{}1010222

2

11 1.441.44()(10)160.10.3

0.3i i i i X P X P P χ==??∴>=>=>=∑∑???? ５．解：4

(12,)5

X N : 可参考书中67P 页

（1）{

}

121210.7372P X -<=Φ-=； （2）{}125max(,,,)15P X X X

5

512515,15,,15150.9332P X X X P X <<<=<=L

（3）{}125min(,,,)10P X X X

1

1110i

i P X

=-

-<∏

{}()()5

5

5111011(1)10.8413i P X =--<=--Φ-=-

第七章 参数估计

1． 样本均值74.002X =

样本方差8

2

261

1() 6.8571081i i S X X -==-=?-∑ 样本二阶中心矩°8

2261

1()6108i i S X X -==-=?∑ 均值与方差的矩估计值分别为：μμ2

674.002610μσ-= =?

2．（1）矩估计

(1)

()1

c

c

c

E X x c x

dx c x dx θθθθθθθθ+∞

+∞

-+-===

-?

? 令

1c X θθ=-，得θ的估计量为$X X c

θ

=-，θ的估计值为$1

1

11n i i n

i i x n x c

n

θ===-∑∑

（2）极大似然估计

(1)(1)(1)11()()()n n n L c x c x c x x θθθθθθθθθθ-+-+-+==L L

1

ln ()ln()(1)ln n

i i L n c x θ

θθθ==-+∑

令1

ln ln ln 0n

i i L n

n c x θθ=?=+-=?∑ 得θ的估计值为$1

ln ln n

i

i n

x n c

θ

==-∑，θ的估计量为$1

ln ln n

i

i n

X

n c

θ

==-∑

3．（1） 矩估计

1214

33

X ++=

= 22()122(1)3(1)32E X θθθθθ=?+?-+?-=-

令()E X X = 得θ的估计值为$5

6

θ

= 极大似然估计

2256112233()()()()2(1)22L P X x P X x P X x θθθθθθθ=====?-?=-

令

ln 5101L θθθ?=-=?-，得θ的估计值为$56

θ= （2）矩估计量

1

1n

i i X X n λ===∑

极大似然估计

1

111211()()()...()...

!

!

!...!

i

n

x x x n

n n n n e e L P X x P X x P X x e

x x x x λ

λ

λλλλλ---∑

=====

=

令

ln ()0i x L n λθλ

?=-+=?∑，得λ的似然估计值为$i

x

n

λ=∑，

从而λ的似然估计量为1

1n

i i X X n λ===∑。

4．解： 当1=α时, X 的概率密度为

?????≤>=+，

，，

101,),(1x x x ββx f β

(Ⅰ) 由于

??

+∞

++∞

∞

--=

?

==

1

1

,1

);(ββ

dx x βx dx βx xf EX β 令 X ββ

=-1， 解得 参数β的矩估计量为1

X X β=-)。 (Ⅱ) 对于总体X 的样本值n x x x ,,,21Λ，似然函数为

∏=+??

?

??=>==n

i i βn

n

i n i x x x x βαx f βL 1121.,0),,,2,1(1,)();()(其他ΛΛ

当),,2,1(1n i x i Λ=>时，0)(>βL ，取对数得 ∑=+-=n

i i

x

ββn βL 1

ln )

1(ln )(ln ，

对β求导数，得

∑=-=n

i i x βn

βd βL d 1

ln )]([ln ， 令

0ln )]([ln 1

=-=∑=n

i i x βn βd βL d ， 解得 β的最大似然估计量为∑==n

i i

x

n

β1

ln ?。

( Ⅲ) 当2=β时, X 的概率密度为

???

??≤>=，

，，αx αx x αβx f 0,2),(32

对于总体X 的样本值n x x x ,,,21Λ，似然函数为

∏=??

?

??=>==n

i i n

n

n i n i αx x x x ααx f βL 13212.,0),,,2,1(,)(2);()(其他ΛΛ

当),,2,1(n i αx i Λ=>时，α越大，)(αL 越大, 即α的最大似然估计值为

},,,m in{?21n x x x α

Λ=， 于是α的最大似然估计量为

},,,m in{?21n X X X α

Λ=。 5．（1）123(),()2,()E T E T E T θθθ=== 1T ，3T 是无偏估计量 （2）22222221311541()()()()36918164

D T D T θθθθθθθ=+++= , ==

所以31()()D T D T <，因此3T 较有效。

6．（1）σ

已知时，置信区间为2

2,X u X u αα??

??

?

6X =，2

1.96u α=，9n =

置信区间为（5.608，6.392） （2）σ

未知时，置信区间为22(1),(1)X t n X t n αα??-+- ???

S ==0.57，0.025(8) 2.306t = 得置信区间为（5.5584，6.4416）。

7．解：由于2

,μσ均未知，则μ

的置信区间为22(1),(1)X t n X t n αα??

-- ???

， 2

σ的置信区间为

22

22122()(),(1)(1)i i

x x x x n n ααχχ-

??-- ? ?

-- ???

∑∑，亦即

2222

221(1),(1)(1)(1)S S n n n n ααχχ-?? ?-- ?--??

。 （1）0.05(5) 2.015t =， 6.6782X =，0.00387S =所以μ的置信区间为（6.6750，6.6814）

-51

()7.483310n

i

i X

X =-=?∑，220.050.95(5)11.07,(5) 1.15χχ==

所以2σ的置信区间为（-66.760610?，-56.507810?）

（2）0.05(4) 2.132t =， 6.664X =，0.003S =所以μ的置信区间为（6.6611，6.6671）

-51

() 4.510n

i

i X

X =-=?∑，220.050.95(4)9.49,(4)0.71χχ==

所以2σ的置信区间为（-63.793510?，-55.070410?） 8．解：

（1）12

()()()()y

y Y E X E e e f y dy e

b μ+∞

+-∞

==

==?

；

（2）置信区间μ为

2

2

(,)Y u Y u αα，代人样本数据得(0.97,0.99)-；

（3）由（1）式μ与b 的关系及（2）中μ的置信区间得b 的置信区间为0.47

1.49(,)e e -。