(完整版)刚体的基本运动(可编辑修改word版)
第三章刚体力学
§3.1 刚体运动的分析§3.2 角速度矢量
§3.3 刚体运动微分方程§3.4 刚体平衡方程
§3.5 转动惯量§3.6 刚体的平动与定轴转动
§3.7 刚体的平面平行运动
§3.1 刚体运动的分析
一、描述刚体位置的独立变量
1.刚体是特殊质点组 dr ij=0,注意:它是一种理想模型,形变大小可忽略时可视为刚体。
2.描述刚体位置的独立变数
描述一个质点需(x,y,z), 对刚体是否用 3n 个变量?否,由于任意质点之间的距离不变, 如确定不在同一直线上的三点,即可确定刚体的位置,需 9 个变量,由于两点间的距离保持不变,所以共需 9-3=6 个变量即可。
刚体的任意运动=质心的平动+绕质心的转动,描述质心可用(x,y,z), 描述转轴可由α, β,γ。
二、刚体的运动分类
1.平动:刚体在运动过程中,刚体上任意直线始终平行.
任意一点均可代表刚体的运动,通常选质心为代表.需要三个独立变量,可以看成质点力学问题.(注意:平动未必是直线运动)
2.定轴转动: 刚体上有两点不动,刚体绕过这两点的直线转动,该直线为转轴. 需要一个独立变
量φ
3.平面平行运动: 刚体上各点均平行于某一固定平面运动。可以用平行于固定平面的截面代
表刚体。需要三个独立变量。
4.定点运动: 刚体中一点不动,刚体绕过固定点的瞬转转动。需三个独立的欧拉角。
5.一般运动: 平动+转动
§3.2 角速度矢量
定轴转动时角位移用有向线段表示,右手法确定其方向.有向线段不一定是矢量,必须满足平行四边形法则,对定点转动时,不能直接推广,因不存在固定轴.
ω = lim ?n
=
d n
刚体在 dt 时间内转过的角位移为 d n ,则角速度定义为
角速度反映刚体转动的快慢。
?t →0 ?t dt
线速度与角速度的关系:d r =d n ?r , ∴ v =
d r
dt
=ω ?r
F 1 F ? M
§3.3 刚体运动微分方程一、 基础知识
1.力系:作用于刚体上里的集合。
平衡系:使静止刚体不产生任何运动的力系。等效系:二力系对刚体产生的运动效果相同。
力系的简化:用一简单力系等效地代替一复杂力系称为力系的简化或合成。二、公理: 1)二力平衡原理:自由刚体在等大、反向、共线二力作用下必呈平衡。
2) 加减平衡力学原理:任意力系加减平衡体系,不改变原力系的运动效应。 3) 力的可传性原理:力沿作用线滑移,并不改变其作用效果,F 与 F `等效。
三、力偶力偶矩
1. 力偶:等大、反向、不共线的两个力组成的利系。力偶所在平面叫力偶面。
2. 力偶矩: 力 F 对任意一点 O 的位置矢量为 r ,则力偶矩为 ,d 为力偶臂。上式表明:
M = r ? F ,其大小为 M=Fd 1) 力偶矩与矩心无关,故 M 可画在过力偶面任意点且与力偶面垂直的直线上,它是一自由矢量; 2) M 的唯一效果是引起转动效应;
3) 力偶不能与一力等效.(因为若等效,则可取其作用线上任意一点为矩心,则有 M=0, 发生矛盾). 3. 等效力偶:
(1)力偶可在力偶面内任意般动, M 不变时等效; (2)可使 M 不变,改变 F,d, 与原力偶等效。 四、力的平移定理
若将作用于刚体上的力 F 平移至同一刚体上不在力 F
的作用线上的其它点O ,则必须
相应增加一个附加力偶,其力偶矩 M 等于原力 F
对平移点O 的矩,才能保证原力对刚体的作用效果。这一结论称为力的平移定理。显然 M 垂直于由点O 与原力 F
的作用线所作出的 平面。
上述定理的逆定理也成立,即当作用于刚体上某点O
的某个力 1 与作用于同一刚体上 的某个力偶的力偶矩 M 垂直时,则该力和力偶可以合成为一个力 F
,其力矢与原长 F 相同,
平移的垂直方向为
1 方向,平移和垂直距离为 M / F 1 。
M
F 力的平移定理表明,一个力可以等效于一个力和一个力偶。而其逆定理则表明,可以将同一平面内的一个力和一个力偶等效于一个力。力的平移定理是任意力系向某点简化的理论基础。
五、空间任意力系的简化
空间任意力系向任一点O (称为简化中心)简化后,一般可得一个力和一个力偶。其
中这个力的作用线过简化中心,其力矢与该力系主矢 R
相同,这个力偶的力偶矩与该力系
对简化中心的主矩 O 相同。
M 上表说明,力系的主矢
R 和主矩 O 完全确定了力系的最简简化结果,由此也就不难
理解力系的主矢和主矩为什么是力系两个极其重要的特征量了。六、平行力系
平行力系中心若平行力系存在合力,当平行力系的各力保持其大小和作用点不变,而将它们的作用线沿相同方向转过任意相同角度,所得到的所有平行力系的合力作用线始终通过 的那个唯一确定的点C ,称为平行力系中心。取力的作用线的某一方向为正向,其单位矢
F = F e (i = 1,2,..., n )
量为e ,则平行力系中各力可表示为 i i ,若它们的作用点相对于空间某 一确定点O 的矢径为 r
(i = 1,2,..., n ) ,则平行力系中心相对于点 O 的矢径公式为
r =
∑ F r
i i ∑ F
i
F F
F 例 沿图示长方体三个互不相交且互不平行的棱边分别作用着力 1 、 2
和 3
,它们的大小
均等于 F ,当它们能简化为一合力时,长方体的长、宽、高的尺寸 a 、b 、c 之间的关系如何? 解 1) 建立图示直角坐标系oxyz
2)
1
= Fi , F = F j , F = Fk
于是力系的主矢为
2
3
C
1 2
3 = ' i k n
n
n
R = ∑3 i =1
= Fi + F
j + F
3) 取点O 为简化中心,各力对点O 的矩为
m O (F ) = 0 , m O (F ) = -Fci
,
m O (F
) = Fbi - Fa j
于是力系对点O 的主矩为
3
M O = ∑ m O (F i ) = (Fb - Fc )i - Faj
i =1
4) 显然 R ≠ 0, M O ≠ 0 ,因此,该力系要简化为一个合力,则必须 R ? M O = 0 ,即
F (Fb - Fc ) + F (-Fa ) = 0
于是有
a =
b - c
七、刚体运动微分方程
取刚体的质心为简化中心,把质点组的质心运动定理和对质心的动量矩定理应用到刚体
上,就是刚体运动微分方程,即
m a c = F
,
d J ' = M ' dt
,在直角坐标系中为
ma = F
ma = F
ma = F
dJ '
x
= M ' dJ ' y
= M ' dJ '
z
M cx
x
cy
y
cy
y
dt
x dt
y dt
z 对保守力系,机械能守恒定律成立,即有 T + V = E §3.4 刚体平衡方程
一、刚体的平衡
刚体相对于惯性参考系处于静止或匀速直线平动状态,称为物体的平衡。物体在平衡力系的作用下不一定处于平衡状态,这一点将在动力学中看到,但物体若平衡,则作用于其上的力系必为平衡力系,即力系的平衡仅是物体的平衡的必要条件,而非充分条件。
二、平面任意力系的平衡方程
1) 一矩式
∑ i =1
F ix
= 0, ∑
i =1
F iy
= 0, ∑ i =1
m A (F i ) = 0
其中 x 、y 轴不平行,可以是正交的,也可以是斜交的。
F
n
n
2) 二矩式
n n
n ∑ m A (F i ) = 0, ∑ m B (F i ) = 0, ∑ F il = 0 i =1
i =1
i =1
其中 A 、B 两点的连线不与投影轴 l 垂直, F il 表示 F i 在 l 轴上的投影。
3) 三矩式
n n n
∑ m A (F i ) = 0, ∑ m B (F i ) = 0, ∑ m C (F i ) = 0 i =1
i =1
i =1
其中 A 、B 、C 三点不共线。
三、平面特殊力系的平衡方程
1) 平面汇交力系
n
n
∑ F
ix
= 0, ∑ F iy = 0
(1)
(2)
i =1
∑ i =1
F ix i =1
= 0, ∑ i =1
m A (F i ) (其中 x 、y 轴不平行)
= 0
(其中点 A 与汇交点的连线不与 x 轴垂直)
n
n
∑ m A (F i ) = 0, ∑ m B (F i ) = 0 (3)
i =1
i =1
(其中点 A 、B 与汇交点不共线)
2) 平面力偶系
∑ M i
= 0
i =1
( M i 为平面力偶系中第i 个力偶的力偶矩,它为一个代数量)
3) 平面平行力系
(1)
∑ i =1 F ix
= 0, ∑ i =1
m A (F i ) = 0
(其中 x 轴不与各力的作用线垂直)
n
n
∑ m A (F i ) = 0, ∑ m B (F i ) = 0 (2)
i =1
i =1
(其中 A 、B 两点的连线不与各力的作用线平行)
四、空间任意力系的平衡方程的基本形式
∑ i =1
F ix = 0, ∑ i =1
F iy = 0, ∑ i =1
F iz = 0, ∑ i =1
m x (F i ) = 0, ∑ i =1
m y (F i )
= 0, ∑ i =1
m z (F i ) = 0
n n n n n n n n n
n
m I = ∑ m c i i z z 空间力系的平衡方程还有其它形式的方程组及相应的附加条件,但讨论起来比较麻烦,一般不作教学要求。 §3.5 转动惯量
一、转动动能
T =
1
∑
n
m (? r ) (? r ) = 1 ∑
n
m
2 r 2
sin 2
=
1
2
∑n
m
2
2 i =1
i
i
2 i =1
i
i
i
2
i i
i =1
I = ∑ 2
令
i =1
则转动动能为
T = 1
2 I
2
二、转动惯量
转动惯量计算公式为:
n
2
i i
i =1
对刚体可用积分形式
I = ? m r 2
dm
式中i 是质点 m i (dm ) 到 z 轴距离, dm 是微元体的质量。
转动惯量反映物体转动时惯性的大小。物体的转动惯量,一方面决定于物体的形状,另
一方面又决定于转动轴的位置。
平行轴定理
I = I + md 2
z 轴与 z c 轴平行,两者之间的距离为 d , C 为刚体的质心。
三、惯量张量
刚体对坐标轴的轴转动惯量
I xx = ? ( y 2 + z 2 )dm ,
I yy = ? (z 2 + x 2 )dm ,
I zz = ? (x 2 + y 2 )dm
惯量积的定义为
I xy = I yx = ? xydm ,
I yz = I zy = ? yzdm ,
I zx = I zx = ? zxdm
若刚体绕任一转动轴转动,其相对于坐标轴的方向余弦为α、β、γ ,则刚体绕此转动
I = I 2 + I 2 + I 2 - 2I - 2I - 2I
轴的转动惯量为
xx
yy
zz
xy
yz
zx
3 个轴转动惯量和 6 个惯量积作为统一的一个物理量,来代表刚体转动时惯性的量度,
i
? ? 1 2 3
? 可以排成一个矩阵形式,我们把它叫惯量张量
? I xx - I xy - I xz ? -I I - I ? -I yx yy yz ? zx - I zy I zz ?
? I xx
- I xy
- I xz
?
??
-I I - I ? ?
刚体的转动惯量可表示为 I =(α β γ)
?
yx yy yz zx - I zy I zz ? ? ? ? ? ?
四、惯量主轴
选择适当的坐标轴,可以使惯量积等于零。这样使惯量积等于零的坐标轴就叫惯量主轴。对均质刚体,其对称轴就是惯量主轴。对惯量主轴的转动惯量叫主转动惯量,用 I 1,I 2,I 3 表示。这时,刚体的转动惯量、动量矩和转动动能将简化为
I = I 2 + I 2
+ I 2 J = I 1x i + I 2y j + I 3z k
T = 1
(I 2 + I 2 + I 2 )
2 1 x 2 y
3 z
§3.6 刚体的平动与定轴转动
1. 刚体的平动
刚体在运动过程中,若其上任一直线的方位相对于所选参考系始终保持不变,则称此刚体相对于该参考系作平动。根据刚体上各点的轨迹可能是直线或曲线,又将平动分为直线平动和曲线平动。
当刚体作平动时,刚体内各点的轨迹具有相同的形状;在每一瞬时,各点具有相同的速度和加速度。
对平动刚体的研究可以归结为质点的运动的研究。
2. 刚体的定轴转动
刚体运动时,如果相对于某一参考系而言,刚体内(或其延拓部分)有一条直线保持不动,则称此刚体相对于该空间作定轴转动。
(1) 刚体的运动方程、角速度和角加速度
-I
定轴转动刚体时,具有一个自由度,可以用广义坐标,即转角来确定任一瞬刚体时在空间的位置。运动变化规律可由运动方程描述,即
=(t)
上述方程描述了转角的变化规律,也称为刚体的转动方程。
随时间的变化情况可进一步用其对时间的一阶、二阶导数刻画。这些量反映了刚体转动快慢和转动方向,它们是角速度和角加速度.
=d
d t
=d
=
d 2
d t d t 2
物理量角速度和角加速经常用矢量表示
→→
=k
→→
=k
→→→
其中k 是沿转轴正向的单位矢量。与有下述关系
→
→d
=
d t
(2)转动刚体上任意一点的运动
刚体作定轴转动时,除了转轴以外,刚体上各点的轨迹均是位于垂直于转轴平面内的圆,圆心在转轴上,半径等于点到转轴的距离,称为转动半径。其运动方程为
s =R R 是转动半径,是定轴转动刚体的转角。
该点的速度为
=R
沿轨迹的切向,指向与的转向一致。
切向加速度和法向加速度分别为
n a = R ,
a = R
2
→
全加速度 a 的大小为
a = R
→
a 与转动半径的夹角为
tg =
2
(3) 转动刚体上任一点速度和加速度的矢量表示法
→
→
→
刚体的角速度、角加速度矢量、,体上任一点的矢径为 r ,那么该点的速度
→
→ →
= ? r
加速度为
→
→ →
→ →
a = ? r +?
其中 ? r 为切向加速度分量 a , ? v 为法向加速度分量 a n
例 图示折杆OAB ,已知OA = AB = l ,
∠OAB = 120 , O 与固定铰连接,、
大小已知,转向如图所示。试求 AB 中点C 的速度和加速度。
解:
1°研究点 C 。OAB 作定轴转动,可由定
轴转动刚体的运动确定其上点C 的速度和加速度。
2°速度分析
v c = oc ?
其中
OC 2 = OA 2 + AC 2 - 2 ? OA ? AC ? cos120
2
+4
= l 2 + ( l )2 + 2 ? l ? l sin30 = 7
l 2
2 2 4
OC =
7 l
2
v C = 所以
3 l
2
方向如图所示
3° 加速度分析
=
7
l
n
2
=
7 l
2
a c = oc ?
2
a c = oc ?
2
方向如图示。
例
图示机构, 杆 AB 在 = 45
时以匀速 u 作直线平动, 试求在任意位置
(0 < < 45 ) 时,杆OD 的角速度、角加速度。
解:
1°研究系统。OD 作定轴转动, AB 作直线平动,取
为杆OD 的转角。由题意知杆
OD 的角速度 转向如图示,并设出 的转向。
2°运动速度分析。杆
AB 上点 A 的运动方程为
y A = l tg
1
y ?
= f
其速度、加速度为v Ay =y A=l
cos2
由图示杆AB 的速度知
v Ay =u
?
j =-u
cos 2 a =v =l 2sin 2 =0
=-u 因此l Ay Ay
cos3
+
cos2
根据图示、的转向有
cos2=- ,=- =+
=-
u 2 2
=u
所以l ,
l 2
sin2? cos
计算结果说明,的真实转向与图示所设相反。
§3.7 刚体的平面平行运动
1.刚体平面运动的描述
刚体运动时,如果其上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变,则刚体的这种运动称为刚体的平面运动。
(1)对刚体平面运动的研究可简化为对平面图形(此图形所在平面与上述固定平面相平行,图形的大小、形状不受限制,可以根据需要进行延伸)在其自身所在平面内运动的研究。
(2)平面图形S 在其平面内的位置,完全可由图形上任一直线AB 的位置来确定。
(3)直线AB 的位置可由其上的任一点(不妨取为点A )和AB 的方位角来确定。若S 所在面为oxy 平面,则刚体平面运动方程为:
?x A=f1 (t)
?
? A 2 (t)
?= f
3
(t)
如果刚体运动不再受其它限制时,上述三个量是独立的,这样的平面运动刚体具有三个自由度。
上述方程的前两个方程是关于点的方程。点的运动研究已在第二章学习过;第三个方程
l
是对刚体整体运动?—方位的描述,与描述定抽转动刚体运动的转角有相似之处,但又
不完全一样。
2. 平面图形的角速度和角加速度
平面图形上任意两直线方位角的变化率均相同,因此将某一直线方位角的变化率称为平
=
d 面图形的角速度,以
表示。为代数量,其数值为:
d t ,表示了刚体方位变化的
快慢,正、负号表示刚体方位的转向情况。
通常,在图上用一带箭头的弧线表示转向。由 所得,其箭头应画在增加的方向上, 当
> 0 ,表明刚体的方位改变方向与图中一致;当< 0 ,刚体的方位变化与图示相反。
平面图形角速度对时间t 的变化率称为平面图形的角加速度,以表示。为代数
量,其数值为:
=
d
= d t
d 2
d t 2
=
反映了刚体角速度的变化情况。同样用带箭头的弧线表示的转向,其转向的确定,以 及正、负号的含意与类似。物理量、也可以用矢量表示,则
=
,
=
,其
k
k
=
d
中
k 为垂直于平面图形的单位矢量,且有 d t
3. 平面图形上各点的速度
(1)
速度瞬心法
平面图形在运动过程中的任一瞬时,图形上(或其延伸部分)都惟一地存在速度等于零的点 P —? 瞬时速度中心。不同瞬时,图形有不同的速度瞬心。刚体的平面运动是由一系列绕不同速度瞬心的瞬时转动所组成。图形上各点的速度分布与定轴转动完全一样,转轴为过点 P 与图形垂直的直线,因此其上任一点 A 的速度为
v A
或
= ? →
PA
v A = PA ?
其方向垂直于 PA ,与图形角速度
的转向一致。
如果已知某瞬时平面图形的角速度及其速度瞬心的位置,由上式可求出图形上任一点的速度。这种方法称为瞬心法
速度瞬心 P 的位置的确定方法见表 3.1
沿固定面只滚不滑
已知
的方向,但不平行
已知平行反向,并垂
直于 AB
已知
平行同向,大
小不等,并垂直于 AB
已知
,并垂直于 A B ,则 P 在无穷远处,刚体做瞬时 平动。
此时, ,各点具有相同的速度。
已知
平行,并垂直于
AB 。则 P 在无穷远处,刚体做瞬时运动。此时,
,
各点具有相同的速度。
B A BA A AB B AB + a a a AB → BA
AB (2) 平面图形上两点的速度关系
平面图形上任意两点的速度具有如下关系
v = v + v
式中
v BA = ? →
或
v BA = AB ?
方向垂直于 AB ,并与图形角速度
的转向相一致。
上式又称为基点法, A 是基点。它表明平面图形上某点的速度等于基点的速度与图形以其角速度绕基点转动时该点所具有速度的矢量和。 (3) 速度投影定理
平面图形上任意两点的速度在其连线上投影具有相等关系,即
( v ) = ( v )
这就是速度投影定理。此定理对于任何形式的刚体运动均成立。
4. 平面图形上各点的加速度
平面图形上任意两点的加速度具有如下关系
a B = a n BA BA
n 式中 BA = ? ( ? AB ) , = ? →
a n = AB ?2
a = AB ?
或
BA
,
BA
a n
a
BA 的方向由
B 指向 A ,
BA 的方向垂直于
AB ,并与图形角加速度 的转向一致。
上式表明平面图形上某点的加速度等于基点的加速度与图形以其角速度,角加速度
绕基点转动时该点所具有加速度的矢量和。
5. 刚体作平面平行运动时,动力学方程
+ a A
Ma
cx
=∑F x
Ma
cy
=∑F y
→
I
c
=∑m c(F)
如果作用于刚体上的外力只有保守力,则由机械能守恒律可知
1
mv2+1
I 2+V=E
2 2 zz
例:一匀质的圆柱重W ,半径为r ,无初速地放在倾角为的斜面上,不计滚动阻力,求其质心C 的加速度。
解:滚动物体在斜面上的运动情况,根据接触处的光滑而有所不同。下面分三种情况讨论:(1)接触处是理想光滑的,斜面对滚动物体的约束力与斜面垂直而通过物体的质心C ,这种情况下,物体上的作用力对质心的主矩等于零。因此,它只能在斜面上滑下而不发生滚动。此时,可以把物体作为质点处理而求得其平动加速度为g ?sin。(2)设接触处相当粗糙,就是说有足够大的摩擦阻力来阻止接触点A 的相对滑动。在此
情况下,滚动物体在斜面上作纯滚动,其摩擦阻力F 小于其极限值F
m 。
取x、y 轴如图所示,列出动力学方程,有
ma
cx
=∑F x
ma
cy =∑F y
→ma
c
=W sin-F
→0 =N -W?cos
→
c ,
c I c = ∑ m c (F )
→
I c = Fr
此外,由运动学知,作纯滚动时, a c = r 。于是得:
a c =
W sin
(m + I c )
r 2
令c 为滚动物体对于其质心C 的回转半径,则 I c = m
2
∴ a = g ? sin
c 1 + ( )2
r
F =
I c a c
= WSin
同时得到:
r
2
1 + ( r )2
c
由于物体作纯滚动, F ≤ F m ,而F m = fN = fW cos
,所以
fW cos
≥ W sin
?
f ≥
tg 1 + ( r )2
c
1 + ( r )2
c
上述关系式给出了滚动物体在斜面上作纯滚动的条件。
(3)设接触处的摩擦系数并不满足上述条件,即当
f <
tg 1 + ( r )2 c
时,则物体在斜面上不能保持纯滚动而将连滚带滑地运动。在这个情
况下,将不存在 a c = r 这个关系式,但是,满足另一关系式 F =
fN 。与动力学方程联立,
可以求得:
= Fr
= I c
fNr = I c
fWr cos = I c
frg cos
2 c
a c = 1
(W sin
- F ) =
m
1
(W sin - fW cos ) = g (sin - f cos )
m
例 半径为
r 的圆盘在水平面上作直线纯滚动,其轮心O 的速度v O 为常量。杆 AB 长
l ,其B 端用铰链与圆盘边缘相连接。求在水平面上运动的A 端的加速度(以转角表示之)。
解:这是两个作平面运动刚体组成的系统。每个刚体均有自己的运动量,,而点B
为两刚体的连接点,应为求解本题的关键点。解决本题所用知识为平面运动点的速度、加速度分析,具体步骤为:
1°运动分析。杆AB 作平面运动,其上点A 的轨迹为直线。圆轮作平面运动,且为纯滚;其上轮心的轨迹为直线,而且运动是已知的。
2°速度分析
圆轮:速度瞬心为点P1,角速度1转向如图(b)所示。
1=v
O
/r
v =PB ?= 2r sin v
O = 2v sin
B 1 2 ?
r O 2
杆AB的速度瞬心为点P2 ,角速度2转向如图(b)所示,其大小可由速度瞬心法或由定义求出。下面用定义求。因为
l sin=BP?sin=2r sin2
1 2 2
该式两边对时间求一阶导数,有
l cos? =2r?2sin cos 1
??2 2 2
= a
AB A v v
l cos ? = r sin ?
由图示、知:它们分别是平面图形的方位角,因此
1
=
, = 2
= sin ? v O 可求出
2
cos l
3°加速度分析
轮: 1 = a O / r = 0
→
→ n B BO
v 2
a n = r
2
= O BO
1
其中
r ,方向如图
杆 AB
→
a A
=
→
a B +
→ n AB
l
2
→ AB
l ?
大小
?
√
2 √
2
作出加速度矢量图(图(b )。该方程在轴上投影
a ? cos
= a n v + a B
2 ? c os ( 90 --) sin = O sin (+) + l( r v )2
l cos O
a A = sin (+) 2 r cos O + l sin 2
2 l 2cos
3 O sin (+) 2 sin 2
2 = r cos v + v O l cos
3 O
a n = BP ?
2
求轮上点 B 的加速度时,经常犯这样的错误,即使用这样的结果: B
1
1 ,
a = BP ? = 0
P O 、P
B
1
1
。点 1 是速度瞬心,其加速度不为 0,由
1 两点加速度关系可知
a = a n = r
2
a n ,a
P
P
P 1
P 1O
1 。上面 B B 的计算结果,实际是以点 1 为基点,点
B 相对 1 的法向加
a a
a +
a n=BP?2a=BP ?
速度和切向加速度:P1B 1 1 ,P1B 1 1 。
第六章刚体的基本运动习题解答
第六章刚体的基本运动习题解答 习题 6-1 杆O 1A 与O 2B 长度相等且相互平行,在其上铰接一三角形板ABC ,尺寸如图 6-16所示。图示瞬时,曲柄O 1A 的角速度为ω=5rad/s,角加速度为α=2rad/s2, 试求 三角板上点C 和点D 在该瞬时的速度和加速度。 图6-16 v C =v D =O 1A ω=0. 1?5=0. 5m/s a C =a D =O 1A ω τ τ n n 2 =0. 1?5=2. 5m/s 2 22 a C =a D =O 1A α=0. 1?2=0. 2m/s 6-2 如图6-17所示的曲柄滑杆机构中,滑杆BC 上有一圆弧形轨道,其半径R =100mm,圆心O 1在导杆BC 上。曲柄长OA =100mm,以等角速度ω=4rad/s绕O 轴转动。设t =0时,求导杆BC 的运动规律以及曲柄与水平线的夹角?=30?时,导杆BC 的速度和加速度。?=0, 图6-17 x O 1=2OA cos ?=2R cos ωt =2?0. 1?cos 4t =0. 2cos 4t m O 1=-0. 8sin 4t m/s ?=30?时 x O 1=-0. 4m / s x O 1=-3. 2cos 4t m/s2 O 1=-1. 63m /s 2 x x v =0. 4m /s a =1. 63m /s 2=2. 771m /s 2 6-3 一飞轮绕定轴转动,其角加速度为α=-b -c ω2, 式中b 、c 均是常数。设运 动开始时飞轮的角速度为ω0,问经过多长时间飞轮停止转动? α=-b -c ω
2 d ωb +c ω 2 =-d t ? d ωb +c ω 2 ω0 = ? t -d t arctan(1bc c b ω) |ω=-t arctan( c b ω0) 6-4 物体绕定轴转动的转动方程为?=4t -3t 3。试求物体内与转轴相距R =0.5m的一点,在t =0及t =1s时的速度和加速度度的大小,并问物体在什么时刻改变其转向。 2 =4-9t 2 ? =-18t ?=4t -3t ? t =0时 =4 ? =0 ? v =R ω=0. 5?4=2m/s
最新第六章刚体的基本运动习题解答
习 题 6-1 杆O 1A 与O 2B 长度相等且相互平行,在其上铰接一三角形板ABC ,尺寸如图6-16所示。图示瞬时,曲柄O 1A 的角速度为rad/s 5=ω,角加速度为2rad/s 2=α,试求三角板上点C 和点D 在该瞬时的速度和加速度。 图6-16 m/s 5.051.01=?===ωA O v v D C 2221n n m/s 5.251.0=?===ωA O a a D C 21ττm/s 2.021.0=?===αA O a a D C 6-2 如图6-17所示的曲柄滑杆机构中,滑杆BC 上有一圆弧形轨道,其半径R =100mm ,圆心O 1在导杆BC 上。曲柄长OA =100mm ,以等角速度rad/s 4=ω绕O 轴转动。设t =0时, 0=?, 求导杆BC 的运动规律以及曲柄与水平线的夹角?=30?时,导杆BC 的速度和加速度。 图6-17 m 4cos 2.04cos 1.02cos 2cos 21t t t R OA x O =??===ω? m/s 4sin 8.01t x O -= ?=30?时 m/s 4.01-=O x 21m/s 4cos 2.3t x O -= 21m/s 36.1-=O x m /s 4.0=v 2 2m/s 771.2m/s 36.1==a 6-3 一飞轮绕定轴转动,其角加速度为2ωαc b --=,式中b 、c 均是常数。设运动开始时飞轮的角速度为0ω,问经过多长时间飞轮停止转动? 2ωαc b --= t c b d d 2-=+ω ω ??-=+t t c b 002d d 0ωωω t b c bc -=00|)arctan(1ωω )arctan(10ωb c bc t = 6-4 物体绕定轴转动的转动方程为334t t -=?。试求物体内与转轴相距R =0.5m 的一点,在t =0及t =1s 时的速度和加速度度的大小,并问物体在什么时刻改变其转向。 234t t -=? 294t -=? t 18-=? t =0时 4=? 0=? m/s 245.0=?==ωR v
第七章 刚体的简单运动
1 在刚体运动过程中,若其上有一条直线始终平行于它的初始位置,这种刚体的运动 就是平动。() 2 刚体平动时,若刚体上任一点的运动已知,则其它各点的运动随之确定。()3 在任意初始条件下,刚体不受力的作用、则应保持静止或作等速直线平动。() 4 平动刚体上各点的运动轨迹可以是直线,可以是平面曲线,也可以是空间任意曲线。( ) 5 平动刚体上点的运动轨迹不可能是空间曲线。( ) 6 刚体作平动时,其上任意点的轨迹可以是直线,也可以是曲线。( ) 7 如图所示机构在某瞬时A点和B点的速度完全相同(等值,同向)则AB板的运动是平动。( ) 8 如果刚体上每一点轨迹都是圆曲线,这刚体一定作定轴转动。( ) 9 如图所示定轴轮系,中间齿轮对主、从动轮的传动比和对从动轮的轮向有影响。( ) 1 020601A070101AB##B###2602 下列刚体运动中,作平动的刚体是。 A.沿直线轨道运动的车箱;B.沿直线滚动的车轮; C.在弯道上行驶的车厢;D.直线行驶自行车脚蹬板始终保持水平的运动;E.滚木的运动;F.发动机活塞相对于汽缸外壳的运动; G.龙门刨床工作台的运动。 2 图中AB、BC、CD、DA段皮带上各点的速度大小,加速度大小,皮带上和轮接触和A点和轮上与A接触的点的速度,它们的加速度。(1)相等;(2)不相等。
3 平行四连杆机构如图所示:AB O O =21=2L ,O B O A O 21==DC=L 。A O 1杆以ω绕1O 轴匀速转动。在图示位置,C 点的加速度为 。 A.0 B.2 ωL C.2 2ωL D.2 5ωL 4 时钟上分针转动的角速度等于( ) A.1/60rad/s B.π/30rad/s C.2πrad/s 5 圆盘绕O 轴作定轴转动,其边缘上一点M 的全加速度a 如图(a)、(b)、(c)所示。在 情况下,圆盘的角加速度为零。 A.(a)种; B.(b)种; C.(c)种。 1 齿轮半径为r ,绕定轴O 转动,并带动齿条AB 移动。已知某瞬时齿轮的角速度为ω,角加速度为ε,齿轮上的C 点与齿条上的C '点相接触,则C 点的加速度大小为 ;C '点的加速度大小为 。(方向均应表示在图上)。
第6章刚体的平面运动习题解答080814
第六章 刚体的平面运动 本章要点 一、刚体平面运动的描述 1 刚体的平面运动方程:)(t x x A A =,)(t y y A A =,)(t ??=. 2 平面图形的运动可以看成是刚体平移和转动的合成运动:刚体的平面运动(绝对运动)便可分解为随动坐标系(基点)的平移(牵连运动)和相对动坐标系(基点)的转动(相对运动)。其平移部分与基点的选取有关,而转动部分与基点的选取无关。因此,以后凡涉及到平面图形相对转动的角速度和角加速度时,不必指明基点,而只说是平面图形的角速度和角加速度即可。 二、平面运动刚体上点的速度 1 基点法:平面图形内任一点B 的速度,等于基点A 的速度与B 点绕基点转动速度的矢量和,即 BA A B v v v +=, 其中BA v 的大小为ωAB v BA =,方向垂直于AB ,指向与图形的转动方向相一致。 2投影法 速度投影定理:在任一瞬时,平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等,即 AB A AB B v v ][][= 3瞬心法 任意瞬时平面运动图形上都存在速度为零的点,称为该平面图形的瞬时速度中心,简称瞬心。 平面图形上各点速度在某瞬时绕瞬心的分布与绕定轴转动时的分布相同,但有本质区别。绕定轴转动时,转动中心是一个固定不动的点,而速度瞬心的位置是随时间而变化的。 面图形内任意一点的速度,其大小等于该点到速度瞬心的距离乘以图形的角速度,即 ωCM v M =, 其方向与CM 相垂直并指向图形转动的一方。若在某瞬时,0=ω,则称此时刚体作瞬时平移,瞬时平移刚体的角加速度不为零。 解题要领: 1 建立平面运动刚体的运动方程时要注意选取合适的点为基点,以使问题简单,。 2 由于在基点建立的是平移坐标系,因此,相对基点的角速度就是相对惯性坐标系的角速度。 3 平面运动刚体上点的速度计算的3种方法各有所长:基点法包含刚体运动的速度信息,但过程繁杂;速度投影法能快捷地求出一点的速度,但失去角速度信息;瞬心法简单明了和直观是
刚体简单运动(23题)
刚体简单运动(23题) 一、是非题(正确用√,错误用×,填入括号内。) 1. 定轴转动刚体上与转动轴平行的任一直线上的各点加速度的大小相等,而且方向也相同。 ( √ ) 2. 刚体作平动时,其上各点的轨迹可以是直线,可以是平面曲线,也可以是空间曲线。 ( √ ) 3. 刚体作定轴转动时,垂直于转动轴的同一直线上的各点,不但速度的方向相同而且其加速度的方向也相同。 ( √ ) 4. 两个作定轴转动的刚体,若其角加速度始终相等,则其转动方程相同。 ( × ) 5. 刚体平动时,若刚体上任一点的运动已知,则其它各点的运动随之确定。 ( √ ) 6. 如果刚体上各点的轨迹都是圆,则该刚体一定作定轴转动。( × ) 7. 刚体的平动和定轴转动都是刚体平面运动的特殊情形。( × ) 8. 刚体绕定轴转动时,下列说法是否正确: (1)当转角? >0时,角速度ω为正。(×) (2)当角速度0>ω时,角加速度为正。(×) (3)当? >0,0>ω时,必有? >0。(×) (4)当?>0时为加速转动, ? >0时为减速转动。(×) (5)当?与ω同号时为加速转动, 当α与ω异号时为减速转动。(√) 9. 刚体绕定轴OZ 转动,其上任一点M 的矢径、速度和加速度分别为a a a v OM 、、、、τn ,问下述说法是否正确: (1) n a 必沿OM 指向O 点。(×) (2) τa 必垂直于矢径OM 。(√) (3) a 方向同OM ,指向可与OM 同向或反向。(×) (4) v 必垂直于OM 、a 与n a 。(√)
二、单选题 10. 在图示机构中,杆B O A O 21//,杆D O C O 32//,且201=A O cm ,402=C O cm, CM=MD =30cm, 若杆1AO 以角速度 ω=3rad/s 匀速转动,则D 点的速度 的大小为____B_____cm ,M 点的加 速度的大小为____D_____。 A. 60; B. 120; C. 150; D. 360。 11. 圆轮绕固定轴O 转动,某瞬时轮缘上一点的速度v 和加速度a 如图所示,试问哪些情 况是不可能的?答:___B____。 A. (a )、(b)的运动是不可能的; B. (a)、(c)的运动是不可能的; C. (b)、(c)的运动是不可能的; D. 均不可能。 12. 复摆由长为L 的细杆OA 和半径为r 的圆盘固连而成,动点M 沿盘的边缘以匀速率u 相 对于盘作匀速圆周运动。在图示位置,摆的角速度为ω,则该瞬时动点M 的绝对速度的大小等于____C____。 A. u L =ω; B. u r L ++ω)(; C. u r L ++ω)2(; D. u r L -+ω)2(。 13. 圆盘作定轴转动,轮缘上一点M 的加速度a 分 别有图示三种情况。则在该三种情况下,圆盘 的角速度ω、角加速度ε 哪个等于零,哪个不 等于零? 图(a)ω____ A_____,ε ______B______; 图(b)ω____ B_____,ε ______B______; 图(c)ω____ B_____,ε ______A______。
第六章刚体动力学_大学物理
第七章机械振动 刚体转动的角坐标、角位移、角速度和角加速度的概念以及它们和有关线量的关系 刚体定轴转动的动力学方程,熟练使用刚体定轴转动定律 刚体对固定轴的角动量的计算,正确应用角动量定理及角动量守恒定理 掌握刚体的概念和刚体的基本运动 理解转动惯量的意义及计算方法,会利用平行轴定理和垂直轴定理求刚体的转动惯量 掌握力矩的功,刚体的转动动能,刚体的重力势能等的计算方法 了解进动现象和基本描述 §6.1 刚体和自由度的概念 一. 力矩 力是引起质点或平动物体运动状态(用动量描述)发生变化的原因.力矩则是引起转动物体 运动状态(用动量聚描述)发生变化的原因. 将分解为垂直于z 轴和平行于z 轴的两个力及,如右图.由于 不能改变物体绕z 轴的转动状态,因此定义对转轴z 的力矩为零.这样,任意力对z 轴的力矩就等于力对z 轴的力矩,即 力矩取决于力的大小、方向和作用点.在刚体的定轴转动中,力矩只有两个指向,因此一般可视为代数量.根据力对轴的力矩定义,显然,当力平行于轴或通过轴时,力对该轴的力矩皆为零. 讨论: (1)力对点的力矩. (2) 力对定轴力矩的矢量形式 力矩的方向由右螺旋法则确定. (3) 力对任意点的力矩,在通过该点的任一轴上的投影,等于该力对该轴的力矩.
例: 已知棒长L,质量M,在摩擦系数为μ 的桌面转动(如图) 求摩擦力对y 轴的力矩. 解: 以杆的端点O 为坐标原点,取Oxy坐标系,如 图在坐标为x 处取线元dx,根据题意,这一线元的质量和摩擦力分别为 则该线元的摩擦力对y轴的力矩为 积分得摩擦力对y轴的力矩为 注: 在定轴转动中,力矩可用代数值进行计算,例如
第6章刚体的基本运动习题
第6章 刚体的基本运动习题 1.是非题(对画√,错画×) 6-1.平移刚体上各点的轨迹一定是直线。( ) 6-2.在每一瞬时刚体上各点的速度相等,刚体作平移运动。( ) 6-3.某瞬时刚体有两点的速度相等,刚体作平移运动。( ) 6-4.研究刚体的平移运动用点的运动学知识即可。( ) 6-5.平移刚体上各点的轨迹形状相同,同一瞬时刚体上各点的速度相等,各点的速度相等。( ) 6-6.刚体在运动的过程中,存在一条不动的直线,则刚体作定轴转动。 6-7.刚体作定轴转动时各点的速度大小与到转轴的距离成正比,各点的加速度大小与到转轴的距离成反比。 6-8.刚体作定轴转动时法向加速度ωr a n 2=。( ) 6-9.齿轮传递时其角速度的比等于半径的正比。( ) 6-10.刚体作定轴转动时角速度与角加速度同号时,刚体作加速转动。( ) 2.简答题 6-11.刚体作匀速转动时,各点的加速度等于零吗?为什么? 6-12.齿轮传递时,如图6-12所示,接触点的速度相等,加速度也相等吗?为什么? 6-13.下列刚体作平移还是作定轴转动: (1)在直线轨道行驶的车箱。 (2)在弯道行驶的车箱。 (3)车床上旋转的飞轮。 (4)在地面滚动的圆轮。 6-14.如图所示,直角刚杆AO=1m ,BO=2m ,已知某瞬时A 点的速度V A =4m/s ,而B 点的加速度与BO 成α=45°,则该瞬时刚杆的角加速度α为多少?。 6-15.如图所示,鼓轮的角速度由下式 题6-14图 题6-15图
r x tan 1 -=? 求得, (dt d dt d ω==?r x tan 1-) 问此解法对吗?为什么? 3.计算题 6-16.如图所示的机构中,已知O 1A=O 2B=AM=r=0.2m ,O 1O 2=AB ,轮O 1的运动方程为t π15=?(rad ),试求当s 50.t =时,杆AB 上的点M 的速度和加速度。 6-17.揉茶机的揉桶有三个曲柄支持,曲柄支座A 、B 、C 与支轴a 、b 、c 恰好组成等边三角形,如图所示。三个曲柄长相等,长为cm 15=l ,并以相同的转速r/min 45=n 分别绕其支座转动,试求揉桶中心点O 的速度和加速度。 题6-16图 题6-17图 6-18.如图所示,带有水平滑槽的套杆可沿固定板的铅锤导轨运动,从而带动销钉B 沿半径R =100mm 的圆弧滑槽运动。已知套杆以匀速度2=o v m/s 铅直向上运动,试求当y =100mm 时,线段OB 的角速度。
第7章 刚体的简单运动概要
第七章 刚体的简单运动 在工程实际中,最常见的刚体运动有两种基本运动形式:平动和转动。一些较为复杂的刚体运动,如车轮在直线轨道上的滚动等,都可以归结为这两种基本运动的组合。因此,平动和转动是分析一般刚体运动的基础。 §7-1 刚体的平行移动 平动是刚体最简单的一种运动。例如,车刀的刀架,摆式输送机的料槽,以 及沿直线轨道行驶的列车的车厢等,都是平动的实例。这些刚体的运动具有一个共同的特点:运动时,刚体上任一直线始终与原来位置保持平行。刚体的这种运动称为平行移动,简称为平动。 刚体作平动时,刚体上的点可以是直线运动(刀架),也可以是曲线运动(送料槽)。 现在就一般情形,研究刚体内各点的运动轨迹,速度和加速度。 刚体作平动在刚体上任取一线段AB 。该刚体的运动可由AB 在空间的位置确定。为研究刚体内各点的运动,可以O 为参考点,向A 、B 两点分别引矢径r A 和r B ,则点A 和B 的运动方程分别为 r A =r A (t), r B =r B (t) 且二者之间有下列关系 AB B A r r r += (*) 由于刚体作平动,在运动中矢量AB 的大小和方向都不改变,所以AB 为一常矢量。这说明:点A 和B 不仅运动轨迹形状相同,而且运动规律也相同。如上面的各例中,刀架上各点的轨迹是相互平行的直线;料槽上各点的轨迹都是半径等于AC 的圆弧。将式(*)对时间t 取一阶和二阶导数,同时注意到常矢量AB 的导数等于零,于是有
B A v v = B A a a = 这说明:刚体内任意两点的速度、加速度相等。 综合以上分析,可得如下结论: (1) 刚体平动时,其上各点的轨迹形状相同; (2) 同一瞬时各点的速度彼此相等,各点的加速度也彼此相等。 因此,在研究刚体平动时,只要知道刚体上某一点的运动,就能知道所 有点的运动。所以,刚体的运动可归结为点的运动。 §7-2 刚体绕定轴的转动 定轴转动是工程中常见的一种运动,如电动机的转子,机床中的胶带轮、 齿轮以及飞轮等的运动,都是定轴转动的实例。这些刚体的运动具有一个共同的特点:当刚体运动时,刚体内有一直线始终固定不动,而这条直线以外的各点则绕此直线作圆周运动,刚体的这种运动叫做绕定轴转动,简称转动。保持不动的那条直线叫做转动轴。 一、转动方程 一刚体绕固定轴z 转动。为了确定刚体在转动过程中的位置,可先通过 转轴z 作一固定平面I ,再通过转轴及刚体内任一点A 作一随刚体转动的平面Ⅱ。这样,任一瞬时刚体的位置,可以用动平面Ⅱ与固定平面Ⅰ的夹角φ来确定。φ角称为转角。当刚体转动时,φ随时间不断变化,是时间t 的连续函数,即 f(t)=? 上式称为刚体绕定轴转动的转动方程。它表示了刚体的转动规律,用一 个参变量φ就可以决定刚体的位置。转角φ是代数量。我们规定:从转轴z 的正端向负端看,逆时针转动为正,顺时针转动为负。转角φ的单位是弧度(rad )。
第6章刚体的基本运动
第6章 刚体的基本运动 在上一章的基础上本章的研究对象是刚体,学习的内容是刚体的平行移动和定轴转动,它构成刚体的两个基本运动,也是研究刚体复杂运动的基础。 6.1 刚体平行移动 工程实际中,如气缸内活塞的运动,打桩机上桩锤的运动等等,其共同的运动体点是在运动过程中,刚体上任意直线段始终与它初始位置相平行,刚体的这种运动称为平行移动,简称平移。如图6-1所示车轮的平行推杆AB 在运动过程中始终与它初始位置相平行,因此推杆AB 作平移。 确定平移刚体的位置和运动状况,只需研究刚体上任意直线段AB ,A 、B 两点的矢径为A r 和B r ,A 、B 两点间的有向线段AB r 之间的关系为 AB B A r r r += (6-1) 图6-1 图6-2
由平动定义知AB r 为恒矢量,A 、B 两点的轨迹只相差AB r 的恒矢量,即A 、B 两点的轨迹形状相同。 式(6-1)对时间求导,得 B A v v = (6-2) B A a a = (6-3) 结论: (1)平移刚体上各点的轨迹形状相同; (2)在同一瞬时平移刚体上各点的速度相等,各点的加速度相等。 因此,刚体的平行移动可以转化一点的运动来研究,即点的运动学。 6.2 刚体的定轴转动 工程实际中绕固定转动的物体很多,如飞论、电动机的转子、卷扬机的鼓轮、齿轮等均绕定轴转动。这些刚体的运动特点是:在运动过程中,刚体上存在一条不动的直线段,刚体的这种运动称为刚体的绕定轴转动,简称转动,转动刚体的不动的直线段称为刚体的转轴。 6.2.1转动刚体的运动描述 如图6-3所示,选定参考坐标系oxyz ,设z 轴与刚体的转轴重合,过z 轴作一个不动的平面0P (称为静平面),再作一个与刚体一起转动的平面P (称为动平面),令静平面0P 位于oxz 面上,初始瞬时这两个平面重合,当刚体转动到t 瞬时,两个平面间的夹角为?,?称为刚体的转角,用来描述转动刚体的代数量。按照右手螺旋法则规定转角?的符号,其单位为弧度(rad )。 刚体定轴转动的运动方程是 f(t)=? (6-4) f(t)是时间t 的单值连续函数。
《理论力学》第六章 刚体的基本运动习题全解
图 题46-第六章 刚体的基本运动 习题全解 [习题6-1] 物体绕定轴转动的运动方程为334t t -=?(?以rad 计,t 以s 计)。试求物体内与转动轴相距m r 5.0=的一点,在00=t 与s t 11=时的速度和加速度的大小,并问物体在什么时刻改变它的转向? 解: 角速度: 2394)34(t t t dt d dt d -=-== ?ω 角加速度:t t dt d dt d 18)94(2-=-==ωα 速度: )94(2t r r v -==ω 切向加速度:rt t r a t 18)18(-=-==ρα 法向加速度:222 22 )94()]94([t r r t r v a n -=-==ρ 加速度: 422222222)94(324])94([)18(t t r t r rt n a a n t -+=-+-=+= 物体改变方向时,速度等于零。即: [习题6-2] 飞轮边缘上一点M,以匀速v=10m/s运动。后因刹车,该点以 )/(1.02s m t a t =作减速运动。设轮半径R=0.4m,求M点在减速运动过程中的运动方程及 t=2s时的速度、切向加速度与法向加速度。 解: t dt d a t 1.04.022-===? ρα (作减速运动,角加速度为负) 02=C ,故运动方程为: 速度方程:1005.02 +-=t v 切向加速度:)/(2.021.01.0|22s m t a t t -=?-=-== 法向加速度:222)25125.0(4.0+-?==t a n ρω [习题6-3] 当起动陀螺罗盘时,其转子的角加速度从零开始与时间成正比地增大。经过5分钟 后,转子的角加速度为)/(600 s rad πω=。试求转子在这段时间内转了多少转? 解:kt dt d ==ωα ππ?60000450 300|3300=?==s t , 转数)30000260000N r (= π π [习题6-4] 图示为把工件送入干燥炉内的机构,叉杆m OA 5.1=,在铅垂面内转动,杆m AB 8.0=,A端为铰链,B端有放置工件的框架。在机构运动时,工件的速度恒为s m /05.0,AB杆始终铅垂。设运动开始时,角0=?。求运动过程中角?与时间的关系。并求点B的轨 迹方程。 解: OA作定轴转动;AB作刚体的平动。 01=C 故
《理论力学》第六章 刚体的基本运动习题全解
第六章 刚体的基本运动 习题全解 [习题6-1] 物体绕定轴转动的运动方程为334t t -=?(?以rad 计,t 以s 计)。试求物体内与转动轴相距m r 5.0=的一点,在00=t 与s t 11=时的速度和加速度的大小,并问物体在什么时刻改变它的转向? 解: 角速度: 2 394)34(t t t dt d dt d -=-==?ω 角加速度:t t dt d dt d 18)94(2 -=-== ωα 速度: )94(2t r r v -==ω )/(2)094(5.0|2 0s m r v t =?-?===ω )/(5.2)194(5.0|2 1s m v t -=?-?== 切向加速度:rt t r a t 18)18(-=-==ρα 法向加速度:2 22 22 )94()] 94([t r r t r v a n -=-= =ρ 加速度: 4 222 2 2 2 2 2 )94(324] )94([)18(t t r t r rt n a a n t -+=-+-= += )/(8165.0)094(0324|2 4 2 2 0s m r a t =?=?-+?== )/(405.1581.305.0)194(1324|2 4 2 2 1s m r a t =?=?-+?== 物体改变方向时,速度等于零。即: 0)94(2 =-=t r v )(667.0)(3 2s s t == [习题6-2] 飞轮边缘上一点M,以匀速v=10m/s运动。后因刹车,该点以 )/(1.02 s m t a t =作减速运动。设轮半径R=0.4m,求M点在减速运动过程中的运动方程及 t=2s时的速度、切向加速度与法向加速度。 解: t dt d a t 1.04.02 2 -===?ρα (作减速运动,角加速度为负) t dt d 25.022 -=? 12 125.0C t dt d +-=? 2130417.0C t C t ++-=? 12 124.005.0)125.0(4.0C t C t dt d R v +-=+-?==? 104.0005.0|12 0=+?-==C v t
第8章 刚体的简单运动练习题
第七章刚体的简单运动练习题 一、判断题 1. 在刚体运动过程中,若其上有一条直线始终平行于它的初始位置,这种刚体的运动就是平动。() 2.定轴转动刚体上与转动轴平行的任一直线上的各点加速度的大小相等,而且方向也相同。 3.刚体作平动时,其上各点的轨迹可以是直线,可以是平面曲线,也可以是空间曲线。 4. 刚体作定轴转动时,垂直于转动轴的同一直线上的各点,不但速度的方向相同而且其加速度的方向也相同。 5. 两个作定轴转动的刚体,若其角加速度始终相等,则其转动方程相同。 6. 刚体平动时,若刚体上任一点的运动已知,则其它各点的运动随之确定。 7.定轴转动刚体上点的速度可以用矢积表示为v=ω×r,其中,ω是刚体的角速度矢量,r 是从定轴上任一点引出的矢径。() 二、选择题 1.圆轮绕固定轴O转动,某瞬时轮缘上一点的速度v和加速度a如图所示,试问那些情况是不可能的? A(a)(b)的运动是不可能的; B(a)(c)的运动是不可能的; C(b)(c)的运动是不可能的; D均不可能。 2. 在图示机构中,杆,杆, 且cm,cm, CM = MD = 30cm, 若杆以角速度 匀速转动,则D点的速度的大小为------cm/3,M点 的加速度的大小为------。 A.60 B.120 C.150. D.360
3. 圆盘作定轴转动,轮缘上一点M 的加速度a 分别有图示三种情况。则在该三种情况下,圆盘的角速度、角加速度 哪个等于零,哪个不 等于零? 图(a) ﹍﹍﹍,α﹍﹍﹍ 图(b) ﹍﹍﹍,α﹍﹍﹍ 图(c)﹍﹍﹍,α﹍﹍﹍ ① 等于零 ② 不等于零 4. 已知正方形板 ABCD 作定轴转动,转轴垂直于板面,A 点的速 度 ,加速度,方向如图。则正方形板转动的角速度的大小为---- ① ② ③ 无法确定 三、填空题 1.图中轮的角速度是 ,则轮的角速度=_________;转向为_________。 2. 已知直角T 字杆某瞬时以角速度ω、角加速 度α在图平面内绕O 转动,则C 点的速度为 ( );加速度为( )(方向均应在图 上表示)。 答案: 答案:一、1. ×2. √3. √4. √5. ×6. √ 二、1.B;2.B,D;3.a (1)(2),b (2)(2), c(2)(1) 4.(1) 三、1.1133R R ωω= 逆时针方向 2. ω22b a v +=()()4222ω++=a b a a ω22b a v +=()()4222ω++=a b a a
初二物理物体的简单运动测试题及答案(1)[1]
一、理解与应用 1.明代诗人曾写下这样一首诗:“空手把锄头,步行骑水牛;人在桥上走,桥流水不流”.其中“桥流水不流”之句应理解成其选择的参照物是( ) A.水 B.桥 C.人 D.地面 2.如图测3-1所示是频闪照相每隔 30 1 s 拍摄下来的棒球沿斜面运动的位置照片.则下列说法正确的是( ) A.若棒球自左向右运动,照片显示了棒球沿斜面做减速直线运动 B.若棒球自右向左运动,照片显示了棒球沿斜面做加速直线运动 C.若棒球运动到某点时,棒球所受的所有力突然全部消失,则棒球将做匀速直线运动 D.若棒球运动到某点时,棒球所受的所有力突然全部消失,则棒球将变为静止 3.课堂上老师让小明上讲台演讲,他从座位到讲台步行的速度大约是( ) B.1m/s C.10 m/s D.20 m /s 4.下面关于平均速度与瞬时速度的说法中不正确的是( ) A.平均速度是反映物体位置变化的物理量 B.平均速度只能大体上反映物体运动的快慢程度 C.瞬时速度可以精确反映物体在某一时刻运动的快慢程度 D.瞬时速度可以精确反映物体在某一位置运动的快慢程度 5.汽车在公路上以10m /s 的速度匀速直线前进,驾驶员发现前方路口灯号转为红灯,经的反应时间后,开始踩刹车,汽车车速v 随时间t 变化关系如图测3-2所示,下列叙述正确的是( ) A.在的反应时间内,车子前进了10m B.从开始刹车到停止,车子滑行距离为5m C.从开始刹车后1s 钟,车速为5m /s D.从灯号转为红灯起到汽车完全静止,车子共前进了15 m 6.下面叙述的几种测量圆柱体周长的方法中,不能用的是( ) A.把一纸条紧包在圆柱体上,在纸条重叠处用大头针扎个孔,然后把纸条展开,用刻度尺量出两孔之间的距离即是圆柱体的周长 B.在圆柱体上某点涂上颜色,使圆柱体在纸上滚动一圈.用刻度尺量出纸上两颜色处之间的距离,即是圆柱体的周长 C.用细丝线在圆柱体上绕上一圈,量出丝线的长度即可 D.用一根橡皮筋拉紧在圆柱体上绕一圈,量出绕过圆柱体橡皮筋的长度即是圆柱体的周长 7.一摄影师用照相机对一辆运动的汽车连续进行两次拍照,拍照时间间隔为2s ,先后拍的照片如图测3-3A 、B 所示,已知汽车长是5m ,那么根据以上条件( ) A.能算出这2s 内车的平均速度,但不能判断出车运动的方向 B.不能算出这2s 内车的平均速度,但能判断出车运动的方向 C.不能算出这2s 内车的平均速度,也不能判断出车运动的方向 D.既能算出这2s 内车的平均速度,又能判断出车运动的方向 8.我们利用一部每秒打点50次的纸带打点计时器记录一个皮球下坠的情况如图测3-4,纸带上的记录如下.则皮球下落至地面的平均速度多大( ) A.0.5 m /s B.0.58 m /s C.0.7 m /s D.0.8 m /s