圆的参数方程及应用
对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达 形式cos sin x a R y b R θθ=+??=+?(θ为参数） ，在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。 一、求最值 例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。 【解】圆2 2 1x y +=的参数方程为：cos sin x y θθ=??=? 。 则2223x xy y ++=22cos 2sin cos 3sin θθθθ++ = 1cos 21cos 2sin 2322θθθ+-++? 2sin 2cos 2θθ=+-=22sin(2)4π θ+-，则38k πθπ=+（k ∈Z ）时，2223x xy y ++的最大值为：22+；8 k π θπ=-（k ∈Z ） 时，2223x xy y ++的最小值为22-。 【点评】解某些与圆的方程有关的条件制问题，可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的方法解决。 二、求轨迹 例2 在圆224x y +=上有定点A （2，0），及两个动点B 、C ，且A 、B 、C 按逆时针方向排列， ∠BAC=3π ，求△ABC 的重心G （x ，y ）的轨迹 方程。 【解】由∠BAC= 3 π，得∠BOC=23π，设∠ABO=θ（403π θ<<），则B(2cos θ,2sin θ)，C(2cos(θ+23π)，2sin(θ+23 π ))，由重心坐标公式并化简，得： 22cos()333 2sin()33x y πθπθ? =++??? ?=+?? ，由5333πππθ<+<，知0≤x ＜1， C x y O A B 图1
第四章 4.2.3 直线与圆的方程的应用
4．2.3 直线与圆的方程的应用 学习目标 1.理解直线与圆的位置关系的几何性质；2.会建立平面直角坐标系，利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题；3.会用“数形结合”的数学思想解决问题． 知识点 坐标法解决几何问题的步骤 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示 问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论 . 类型一 直线与圆的方程的应用 例1 某圆拱桥的水面跨度20 m ，拱高4 m ．现有一船，宽10 m ，水面以上高3 m ，这条船能否从桥下通过？ 解 建立如图所示的坐标系． 依题意，有A (－10,0)，B (10,0)，P (0,4)，D (－5,0)，E (5,0)． 设所求圆的方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 于是有???? ? (a ＋10)2＋b 2＝r 2， (a －10)2 ＋b 2 ＝r 2 ， a 2 ＋(b －4)2 ＝r 2 . 解此方程组，得a ＝0，b ＝－10.5，r ＝14.5. 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是
x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)． 把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1. 由于船在水面以上高3 m,3＜3.1， 所以该船可以从桥下通过． 反思与感悟解决直线与圆的实际应用题的步骤： (1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知； (2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素； (3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知； (4)还原：将运算结果还原到实际问题中去． 跟踪训练1如图，一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为________米． 答案251 解析如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴， 建立直角坐标系，设圆心为C，圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2，水面所在弦 的端点为A，B，则A(6，－2)，将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，∴ 圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1米后，可设点A′(x0，－3)(x0 ＞0)，将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝51，∴当水面下降1米后，水面宽为2x0＝251米． 类型二坐标法证明几何问题 例2如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于H，求证：EF平分CD.
圆系方程及其应用
圆系方程及其应用 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020
圆系方程及其应用 一、常见的圆系方程有如下几种： 1、以(,)a b 为圆心的同心圆系方程：222()()(0)x a y b λλ-+-=> 与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０同心的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋λ＝０ 2、过直线Ax ＋By ＋Ｃ＝０与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＋λ（Ax ＋By ＋Ｃ）＝０（λ∈Ｒ） 3、过两圆1C :22y x +＋111F y E x D ++＝0，2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０交点的圆系方程为：22y x +＋111F y E x D ++＋λ（22y x +＋222F y E x D ++）＝0（λ≠-１，此圆系不含2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０） 特别地，当λ＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程． 注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C ，可等价转化为过圆1C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-= 二、圆系方程在解题中的应用： 1、利用圆系方程求圆的方程： 例1 求经过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点，并且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程。
直线与圆的方程的应用
4.2.3 直线与圆的方程的应用 学习目标 1.理解直线与圆的位置关系的几何性质.2.会建立平面直角坐标系，利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题.3.会用“数形结合”的数学思想解决问题． 知识点 坐标法解决几何问题的步骤 用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示 问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论． 类型一 直线与圆的方程的应用 例1 某圆拱桥的圆拱跨度为20 m ，拱高为4 m ．现有一船，宽10 m ，水面以上高3 m ，这条船能否从桥下通过？ 解 建立如图所示的坐标系．依题意，有A (－10,0)，B (10,0)， P (0,4)，D (－5,0)，E (5,0)． 设所求圆的方程是 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)， 于是有???? ? (a ＋10)2＋b 2＝r 2，(a －10)2＋b 2＝r 2， a 2＋( b －4)2＝r 2， 解此方程组，得a ＝0，b ＝－10.5，r ＝14.5， 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是 x 2＋(y ＋10.5)2＝14.52(0≤y ≤4)． 把点D 的横坐标x ＝－5代入上式，得y ≈3.1. 由于船在水面以上高3 m,3＜3.1，
所以该船可以从桥下通过． 反思与感悟解决直线与圆的实际应用题的步骤 (1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知． (2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素． (3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知． (4)还原：将运算结果还原到实际问题中去． 跟踪训练1如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为________米． 答案251 解析如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系． 设圆心为C，圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2(r＞0)，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)．将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10， ∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1米后，可设点A′(x0，－3)(x0＞0)，将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝51， ∴当水面下降1米后，水面宽为2x0＝251(米)． 类型二坐标法证明几何问题 例2如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切于点D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于H，求证：EF平分CD. 证明以AB所在直线为x轴， O为坐标原点，建立直角坐标系， 如图所示，设|AB|＝2r，D(a,0)，
直线与圆的方程的应用理解练习知识题
4.2.3 直线与圆的方程的应用 练习一 一、 选择题 1、ABC ?的顶点A 的坐标为（3，-1），AB 边上的中线所在直线方程为08=-+y x ，直线L ：012=+-y x 是过点B 的一条直线，则AB 的中点D 到直线L 的距离是（ ） A 、 55 2 B 、 55 3 C 、 55 4 D 、5 2、两直线l 1：mx-y+n=0和l 2：nx-y+m=0在同一坐标系中，则正确的图形可能是（ ） A B C D 3、已知点A(-7，1)，B(-5，5)，直线：y=2x-5，P 为上的一点，使|PA |＋|PB |最小时P 的坐标为 ( ) (A) (2，-1) (B) (3，-2) (C) (1，-3) (D) (4，-3) 4、如果点A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)到直线x=my 的距离平方和取最大值，那么m 的值等于 ( ) (A) 0 (B) －1 (C) 1 (D) 2 5、已知直线b x y += 2 1 与x 轴、y 轴的交点分别为A ，B ，如果△AOB 的面积(O 为原点)小于等于1,那么b 的取值范围是 ( ) (A) b ≥ －1 （B ）b ≤1且0≠b (C) －1 ≤b ≤1 且0≠b (D) b ≤－1或b ≥1 6、通过点M （1，1）的直线与坐标轴所围成的三角形面积等于3，这样的直线共有
( ) (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条 7、点P （x,y ）在直线x+2y+1=0上移动，函数f(x,y)=2x +4y 的最小值是 ( ) (A) 2 2 (B) 2 (C)22 (D)42 8、已知两点O(0,0) , A(4,－1)到直线mx+m 2y+6=0的距离相等, 则实数m 可取的不同值共有 ( ) (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 二、填空题 9、菱形ABCD 的相对两个顶点是B(1,3),D(0,4),如果∠BAD=60o ,那么顶点A 和C 的坐标是________. 10、与直线3x+4y-7=0平行，且和两轴围成的三角形面积等于24的直线方程是_____ 11、如果对任何实数k ，直线(3＋k)x ＋(1-2k)y ＋1＋5k=0都过一个定点A ，那么A 的坐标是______。 12、已知y 轴上有一点P ，它与点(－3、1)连成的直线的倾斜角为1200，则点P 的坐标为 三、解答题 13、求与直线0534=+-y x 垂直，且与两坐标轴围成的三角形周长为10的直线的方程． 14、、已知圆0242 2 =++-+m y x y x 与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若?=∠90APB 。 求m 的值。 15、已知定点)0,2(A ，点在圆12 2 =+y x 上运动，AOP ∠的平分线交PA 于Q 点，其中O 为坐标原点， 求Q 点的轨迹方程．
圆的标准方程与一般方程 (1)
圆的标准方程 1、情境设置： 在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究： 2、探索研究： 确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条 件 r = ① 化简可得：222 ()()x a y b r -+-= ② 引导学生自己证明2 2 2 ()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。 3、知识应用与解题研究 例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。 分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。 探究：点00(,)M x y 与圆222 ()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （1）2200()()x a y b -+->2 r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2 r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2 r ，点在圆内 例（2）：ABC ?的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程
师生共同分析：从圆的标准方程222 ()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决） 例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程. 师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点 (1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分 线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或 CB 。 （教师板书解题过程） 总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例(3)可得出ABC V 外接圆的标准方程的两种求法： ①、根据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的 标准方程. 根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 课堂练习：课本127p 第1、3、4题 4.提炼小结： 1、 圆的标准方程。 2、 点与圆的位置关系的判断方法。 3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。
圆系方程及其应用
圆系方程及其应用 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
圆系方程及其应用 一、常见的圆系方程有如下几种： 1、以(,)a b 为圆心的同心圆系方程：222()()(0)x a y b λλ-+-=> 与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０同心的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋λ＝０ 2、过直线Ax ＋By ＋Ｃ＝０与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＋λ（Ax ＋By ＋Ｃ）＝０（λ∈Ｒ） 3、过两圆1C :22y x +＋111F y E x D ++＝0，2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０交点的圆系方程为： 22y x +＋111F y E x D ++＋λ（22y x +＋222F y E x D ++）＝0（λ≠-１，此圆系不含2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０） 特别地，当λ＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程． 注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C ，可等价转化为过圆1C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-= 二、圆系方程在解题中的应用： 1、利用圆系方程求圆的方程： 例1 求经过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点，并且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程。 解一：求出两交点（-1,3）（-6,-2），再用待定系数法：1．用一般式； 2．用标准式。 （注：标准式中可先求圆心的两个坐标，而圆心正好在两交点的中垂线上。） 解二：用两点的中垂线与直线的交点得圆心： 1．两交点的中垂线与直线相交；
中职数学基础模块下册《直线与圆的方程的简单应用》word练习题
直线与圆的方程的应用_基础 1.直线()()110a x b y +++=与圆22 2x y +=的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.相切或相交 D.相切或相离 2.圆C 1：x 2+y 2+4x-4y+7=0与圆C 2：x 2+y 2-4x-10y+13=0的公切线有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 3.与圆x 2+(y-2)2=1相切，且在两轴上截距相等的直线有( ) A.2条 B.3条 C.4条 D.6条 4.直线ax+by=c 与圆x 2+y 2=1相切，且a 、b 、c 均不为零，则以|a|、|b|、|c|为长度的线段 能构成( ) A.不等边锐角三角形 B.等腰锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 5．点M 、N 在x 2+y 2+kx+2y －4=0上，且点M 、N 关于直线x －y+1=0对称，则该圆的半径等于（ ）． A ． B C ．1 D ．3 6．直线2x －y=0与圆C ：(x －2)2+(y+1)2=9交于A 、B 两点，则△ABC （C 为圆心）的面积等于（ ）． A ． B ． C ． D ．7．圆(x －4)2+(y －4)2=4与直线y=kx 的交点为P 、Q ，原点为O ，则|OP|·|OQ|的值为（ ）． A ． B ．28 C ．32 D ．由k 确定 8．点P 是直线2x+y+10=0上的动点，直线PA 、PB 分别与圆x 2+y 2=4相切于A 、B 两点，则四边形PAOB （O 为坐标原点）的面积的最小值等于（ ）． A ．24 B ．16 C ．8 D ．4 9．已知圆C 的圆心是直线x －y+1=0与x 轴的交点，且圆C 与直线x+y+3=0相切，则圆C 的方程为________． 10．过原点的直线与圆x 2+y 2－2x －4y+4=0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________． 11.设圆22 450x y x +--=的弦AB 的中点为(3,1)P ，则直线AB 的方程是 ． 12．直线0x m +-=与圆221x y +=在第一象限内有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是 ． 13．已知圆O 1：x 2+y 2+2x+6y+9=0与圆O 2：x 2+y 2―6x+2y+1=0．求圆O 1和圆O 2的公切线方程．
圆系方程的应用及要点
圆系方程的应用及要点 1. 引子 题: 求经过两条曲线x 2+y 2+3x -y=0和3x 2+3y 2+2x+y=0交点的直线方程. 常规解法是: 联立方程 ?????=+++=-++)2(0233)1(032222y x y x y x y x 求方程组解 )3(047) 2(3)1(=--?y x 得 得代入即),1(,4 7x y = .137134;00313 4,0,0473164922112122???????-=-=???==-===-++ y x y x x x x x x x ），得分别代入（解得 即两交点坐标为 A(0,0), ).13 7,134(--B 过两交点的直线方程为 7x -4y=0. (4) 观察分析以上解题过程,可发现所得结果(4)与中间状态(3)是一样的.这个是不是普遍规律,本质是什么? 2. 曲线系方程 由上面(1),(2)得到(3),这是解方程的基本步骤,这一步的几何意义是什么呢?我们可得以下结论 结论1: 如果两条曲线方程是 f 1(x,y)=0 和 f 2(x,y)=0, 它们的交点是P(x 0,y 0),则 方程 f 1(x,y)+λf 2(x,y)=0的曲线也经过P(x 0,y 0) (是任意常数). 此结论即由联立方程???==)6(0),()5(0 ),(21y x f y x f 得到 )7(0),(),(21=+y x f y x f λ 只须将（x 0,y 0）代入（7），可立即证明。 有了这个结论，有些题目可快速求解。过两圆交点的公共弦所在直线方程就是将两圆方程联立消去二次项所得方程。 例2 (课本P70.13题) 求经过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点,并且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程. 解: 构造方程 x 2+y 2+6x -4+λ(x 2+y 2+6y -28)=0 即 (1+λ)x 2+(1+λ)y 2+6x+6λy -(4+28λ)=0 此方程的曲线是过已知两圆交点的圆,且圆心为)13,13(λλλ+-+- 当该圆心在直线x -y -4=0上时,即 .7,041313-==-+++-λλ λλ得 ∴ 所求圆方程为 x 2+y 2-x+7y -32=0
专题强化练5 圆的方程及其应用
专题强化练5 圆的方程及其应用 一、选择题 1.(2020湖南雅礼中学高二月考, )在平面直角坐标系xOy 中,圆C 与圆 O:x 2+y 2=1外切,且与直线x-2y+5=0相切,则圆C 的面积的最小值为( ) A.4 5π B.(3-√5)π C. 3-√52 π D.(6-2√5)π 2.(多选)(2020山东省实验中学高三月考,)若实数x,y 满足x 2+y 2+2x=0,则下列 关于y x -1 的判断正确的是( ) A. y x -1 的最大值为√3 B. y x -1 的最小值为-√3 C.y x -1的最大值为√3 3 D.y x -1的最小值为-√3 3 3.(2020浙江杭州高三质检,)一条光线从点(-2,-3)射出,经y 轴反射后与圆 (x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( ) A.-5 3或-3 5 B.-3 2或-2 3 C.-54 或-45 D.-43 或-34 4.(2020安徽安庆一中高二期末, )曲线y=1+√4-x 2与直线y=k(x-2)+4有两个不 同的交点,则实数k 的取值范围是( ) A.k≥3 4 B.-34 ≤k<-5 12 C.k>5 12 D.512 二、填空题 5.(2020山东临沂高三一模,)已知圆M的圆心在x轴上,且在直线l 1:x=-2的右侧,若圆M截直线l1所得的弦长为2√3,且与直线l2:2x-√5y-4=0相切,则圆M的标准方程为. 6.(2019河北唐山高三三模,)已知A(-2,0),B(0,2),实数k是常数,M,N是圆 x2+y2+kx=0上两个不同的点,P是圆x2+y2+kx=0上的动点,如果M,N关于直线x-y-1=0对称,则△PAB面积的最大值是. 7.(2020江苏扬州高三月考,)在平面直角坐标系xOy中,过点P(-2,0)的直线与 圆x2+y2=1相切于点T,与圆(x-a)2+(y-√3)2 =3相交于两点R,S,且PT=RS,则正数a 的值为. 8.(2020湖北八校高三期末联考,)过点(√2,0)作直线l与曲线y=√1-x2相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等 于. 三、解答题 9.(2020安徽黄山高二期末,)已知点M(3,1),圆O 1:(x-1)2+(y-2)2=4. (1)若直线ax-y+4=0与圆O1相交于A,B两点,且弦AB的长为2√3,求a的值; (2)求过点M的圆O1的切线方程.
圆的一般方程
《圆的一般方程》教案设计 一、学情分析： 圆的一般方程是学生在掌握了求曲线方程一般方法的基础上，在学习过圆的标准方程之后进行研究的，是研究二次曲线的开始。这里主要是用解析法研究它的方程及与其它图形的位置和应用。但由于学生学习解析几何的时间还不长，学习程度较浅，对坐标法的运用还不够熟练，学生在探究问题的能力方面比较薄弱。 因此，根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认识结 构，我特制定如下教学目标。 二、教学目标： 1、知识与技能目标： (1 )将圆的标准方程(x - a)2+(y - b)2=r2，展开得x2+y2—2ax —2by+a2+b2- r2=0——①令D= - 2a, E= - 2b, F=a2+b2- r2,则①式可写成x2+y2+Dx+Ey+F=0 ,从而得到圆的一般方程及其方程特点，同时也让学生掌握了这一知识点。 (2)通过设问：是不是任何一个形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示 的曲线都是圆？ D E D2+E2—4F 将方程配方得(x+D)2+(y+E)2= ---- 4—，对比圆的标准方程：(x -a)2+(y - b)2=r2，让学生学会能将圆的一般方程化为圆的标准方程， D E \/D2+E2 - 4F 从而求出其圆心(-D,-刁,r二2— (3)通过例2,培养学生能用待定系数法来求圆的方程。 (4)通过例3,提高学生用坐标法求动点轨迹方程的通知 2、过程与方法目标： 通过展开圆的标准方程(x - a)2+(y - b)2=r2导出圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0这一过程加深了学生在研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，培养了学生严密的逻辑思维和严谨的科学态度，通过例1、例3补充题的练习，培养学生数形结合思想、方程思想，提高
圆方程的应用(讲义)
圆方程的应用（讲义） ?知识点睛 一、圆与圆的位置关系 1.判断圆与圆的位置关系：比较圆心距和两圆半径长的和、差． 2.公共弦所在的直线方程：两圆标准方程或一般方程相减． 3.公共弦相关的几何特征：两圆圆心所在直线垂直平分公共弦． 二、半圆的方程 三、与圆有关的最值问题 1.求过圆内一点的弦长的最值：最长弦为过该点的直径；最短弦为垂直于此直 径的弦． 2.求圆上的点与圆外一点距离的最值：先求出圆外的点到圆心的距离，再加、 减半径求出最值． 3.求圆上的点到直线的距离的最值：先求出圆心到直线的距离，再加、减半径 求出最值． ?精讲精练 1.若圆22 1460 C x y x y +-+= ：和圆22 260 C x y y +-= ：交于A，B两点，则线 1
2 段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．30x y ++= B ．250x y --= C ．330x y +-= D ．4370x y -+= 2. 圆22150C x y +=：与圆222126400C x y x y +--+=：的公共弦AB 的长为 （ ） A B C ． D ． 3. 若圆22 ()()4C x a y a -+-=： 上，总存在不同的两点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是（ ） A ．22， B ．()22 -- C ．23(( -， D ．(22 -， 4. 若直线y x b =-+与曲线x =则b （ ） A ．[33]- ， B ．[33)-， C ．[33){32}-， D ．(33)-， 5. 若直线y x b =+与曲线3y =有公共点，则b 的取值范围是（ ） A ．[11-+ B ．[13] C ．[11-+， D ．[13]-
圆系方程及其应用
直线系、圆系方程 1、过定点直线系方程在解题中的应用 过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A,B 不同时为0）. 例 1 求过点(1 4)P -，圆22(2)(3)1x y -+-=的切线的方程． 分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法. 解析：设所求直线的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零）， 则整理有40Ax By A B ++-=， ∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径1 1=， 整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或3 04 A B =≠． 故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=． 点评：对求过定点（0x ，0y ）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为: 00()()0A x x B y y -+-=，注意的此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象． 练习： 过点(1 4)P -，作圆22 (2)(3)1x y -+-=的切线l ，求切线l 的方程． 解：设所求直线l 的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零）， 则整理有40Ax By A B ++-=， ∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ， 到直线l 的距离等于半径1 1=， 整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或3 04 A B =≠． 故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=． 2、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用 过直线l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）交点的直线系方程为：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）. 例2 求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解. 解析：设所求直线方程为：21(21)0x y x y λ+++-+=， 当直线过原点时，则1λ+=0，则λ=－1，
知识梳理圆的方程(基础)
圆的方程 【考纲要求】 1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程， 2.能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程. 3.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径； 4.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． 【知识网络】 【考点梳理】 【高清课堂：圆的方程405440 知识要点】 考点一：圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径. 要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是222 x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：2 2 2 a b r +=. (2)圆的标准方程2 2 2 ()()x a y b r -+-=?圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点. (3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法. 考点二：圆的一般方程 当2 2 40D E F +->时，方程22 0x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ?? - - ?? ? 为圆心，. 圆的方程 圆的一般方程 简单应用 圆的标准方程 点与圆的关系
要点诠释：由方程2 2 0x y Dx Ey F ++++=得22 224224D E D E F x y +-? ???+++= ? ?? ??? (1)当22 40D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =- =-.它表示一个点(,)22 D E --. (2)当2 2 40D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． (3)当22 40D E F +->时，可以看出方程表示以,2 2D E ?? -- ???. 考点三：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有 (1)若点()00M x y ，在圆上()()2 2 2 00||CM r x a y b r ?=?-+-= (2)若点()00M x y ，在圆外()()2 2 2 00||CM r x a y b r ?>?-+-> (3)若点()00M x y ，在圆内()()2 2 2 00||CM r x a y b r ?
直线与圆的方程的应用
4.2.3 直线与圆的方程的应用 一、【问题导学】 (1) 直线方程有几种形式? (2) 圆的方程有几种形式? (3) 求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程? (4) 如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ (5) 如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系? 二、【小试牛刀】 2.若直线1ax by +=与圆22 1x y +=相交，则(,)P a b 与圆的位置关系为 . 3．求圆229x y +=与圆222440x y x y +---=的公共弦的长 4.求圆22(1)(1)4x y -++=关于点(2,2)对称的圆的方程 三、【合作、探究、展示】 例1、如图是一桥圆拱的示意图，根据提供信息完成以下计算：圆拱跨度AB ＝84米，拱高A 6P 6=15米，在建造时每隔7米需用一个支柱支撑，求：支柱A 3P 3的长度（精确到0.01米）． 【规律方法总结】_________________________________________________ 变式训练：某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米。有一货船，装满货过桥，顶部宽4米，水面以上高3米，请问此船能否通过？当卸完货返航时，船水面以上高3.9米，此时能否通过？ 例2、已知内接于圆P 的四边形ABCD 的对角线互相垂直，AD PE ⊥于E ，求证： BC PE 2 1=.
【规律方法总结】： 解决应用问题的步骤： (1)审题(2)建模 (3)解模(4) 还原 流程图： 实际问题 数学问题 数学结论 实际问题结论 （审题） （建模） （解模） （还原） 注：用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”： 第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论 例3已知圆22262(1)102240()x y mx m y m m m R +---+--=∈. （1）求证：不论m 为何值，圆心在同一直线l 上； （2）与l 平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离； （3）求证：任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等. 【规律方法总结】________________________________________________ 例4从点A （-3，3）发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆224470x y x y +--+=相切，求光线l 所在直线的方程. 【规律方法总结】_______________________________________________ 例5.求过点A(4,0)作直线l 交圆22 :4O x y +=于B,C 两点,求线段BC 的中点P 的轨迹方程
解析几何专题2圆的方程及应用
《高中数学专题题型分类大全》解析专题二圆的方程及应用 『知识与方法梳理』？ （一）圆的方程的两种形式 方程形式方程相关参数意义 标准式(x - a)1 2+ (y - b)2= r2圆心（a,b）,半径：r 一般式 2 2 x + y2+ Dx + Ey + F = 0 (D2+ E2- 4F > 0 ) 圆心(--D，- E )， 半径： r= 2/ D2+ E2- 4F (二)点与圆的位置关系的判定 点P(x°, y o). 圆M 方程 (1) (x -a)2 + (y -b)2 = r2; (2) x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0. (1) (X0 -a)2+ (y0 -b)2= r2; 2 2 (2) X0 + y0 + Dx。+ Ey0 + F = 0. 1.点p在圆上. (1) (X0 -a)2+ (y0 -b)2< r2; 2 2 (2) X。+ y°+ Dx 0 + Ey 0 + F < 0. 2.点P在圆内. (1)(X。-a)2+ (y°-b)2> r2; 2 2 ⑵ X0 + y°+ Dx0 + Ey°+ F > 0 3.点P在圆夕卜. 圆方程点p（x0, y0）到圆上的切线长 1. x2+y2=r2|PT| ^X02+ y02- r2 2 2 2 2. (x-a) 2+(y 七)2=r2|PT| 珂(x°- a)2+( y°- b)2- r2 2 2 3. x2+y2+Dx+Ey+F=0|PT| 珂X02+ y02+ Dx0 + Ey°+F 圆方程切线方程 1. x2+y2=r22 X0X + y°y = r 2 2 2 2. (x-a)2+(y-b)2=r22 (X0 - a)(x - a) + (y0 - b)(y - b) = r 2 2 3. x2+y2+Dx+Ey+F=0 X0X + y°y + D号+ 誓+F = 0 1. 直线I:Ax+By+C=0,圆C: x2+y2+Dx+Ey+F=0 当直线l与圆 C相交时，过两交点的圆的方程可设成 （三）直线与圆的关系 方 法 已 知 细 d 直 M 圆 旳 X F D 4 < + 2 - 2 一 二 A 卜 + 2X 线 ： — 直 M 圆 2 2 2 C1: x +y +D1x+E1y+F1=0 C2： x2+y2+D2X+E2y+F2=0 (1 )当5与C2相交时，两圆公共弦所在直线方程为 （D1 - D2）X + （E1 - E2）y + （F1 - F2） = 0 （2）当C1与C2相交时，过两圆交点的圆的方程可设为 _x2+y2+D1x+E1y+F1 + X (xhy2+D2x+E2y+F2) = 0_ 或—'"_ _ x2+y2+D j x+E 1y+Fj_+ X [(D- D2)x+(E^ - E2)y+(F 1 - F2)] = 0 相 关 运 算 离 距 N = ( d 心 凰 =0 那 +F 判 M+CDX 脚 立 BV2+ 尹 耽 用 2x ， Ax 元 { 艄《必修2》解析专题 、圆的方程及应用 圆|G半径D,圆C2半径r2.圆C1与圆C?位置关系. （1）皿施心内含 (2)也-呵=15。| ;内切 (3)『1-"|<101。2|<口+「2相交 (4) |&。2| =「1 +「2外切 (5) |C1C2l>「1+r2外离 『题型分类例析』？ （一）圆的切线问题 1.切线方程 题型结构特征：求切线方程或相关参数（基础题）. 【例题1】将直线2x-y 0，沿x轴向左平移1个单 位，所得直线与圆x2* y2* 2x-4y=0相切，则实数'的值为（ ） A. _3或7 B. -2或8 C.0或10 D.1 或11 （四）圆与圆位置系的判 定
(完整版)圆的参数方程及应用
圆的参数方程及应用 对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达 形式cos sin x a R y b R θθ=+??=+?(θ为参数） ，在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。 一、求最值 例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。 【解】圆221x y +=的参数方程为：cos sin x y θθ=??=?。 则2223x xy y ++=22cos 2sin cos 3sin θθθθ++ = 1cos 21cos 2sin 2322θθθ+-++?2sin 2cos2θθ=+-=22sin(2)4π θ+-，则38k πθπ=+（k ∈Z ）时，2223x xy y ++的最大值为：22+；8 k π θπ=-（k ∈Z ） 时，2223x xy y ++的最小值为22-。 【点评】解某些与圆的方程有关的条件制问题，可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的方法解决。 二、求轨迹 例2 在圆2 2 4x y +=上有定点A （2，0），及 两个动点B 、C ，且A 、B 、C 按逆时针方向排列， ∠BAC= 3 π ，求△ABC 的重心G （x ，y ）的轨迹方程。 【解】由∠BAC=3 π ，得∠BOC=23π，设∠ABO=θ（403πθ<<），则B(2cos θ,2sin θ)，C(2cos(θ+23π)，2sin(θ+23π ))，由重心坐标公式并化简，得： C x y O A B 图1
