高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义

高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义

一、基础知识【理解去记】

1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c).

第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0

e d

PF =|

|(0

若焦点在y

3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b ), (±

4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆=+22

22b

y a x 1(a>b>0), F 1(-c, 0), F 2(c, 0)是它的两焦点。若P(x, y)是椭圆上的任意一

点，则|PF 1|=a+ex, |PF 2|=a-ex.

5.补充知识点： 几个常用结论：

1）过椭圆上一点P(x 0, y 0)的切线方程为：

12020=+b

y

y a x x ； 2）斜率为k 的切线方程为222b k a kx y +±=；3）过焦点F 2(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为

θ

2222

cos 2c a ab l -=。

6．双曲线的定义，第一定义：

满足||PF 1|-|PF 2||=2a(2a<2c=|F 1F 2|, a>0)的点P 的轨迹；

第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。 7．双曲线的方程：中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线方程为

参数方程为?

??==??

tan sec b y a x （?为参数）。

焦点在y

8．双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x a 称半实轴长，b 称为半虚轴长，c 为半焦距，实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为F 1(-c,0), F 2(c, 0)，对应

9．补充知识点：

双曲线的常用结论，

1）焦半径公式，对于双曲线122

22=-b

y a x ，F 1（-c,0）, F 2(c, 0)是它的两个焦点。设P(x,y)是双曲线上的任一点，若

P 在右支上，则|PF 1|=ex+a, |PF 2|=ex-a ；若P （x,y ）在左支上，则|PF 1|=-ex-a ，|PF 2|=-ex+a.

2) 过焦点的倾斜角为θ的弦长是θ

2222

cos 2c a ab -。

抛物线常用结论：若P(x 0, y 0)为抛物线上任一点， 1）焦半径|PF|=2

p x +

； 2）过点P 的切线方程为y 0y=p(x+x 0)；3）过焦点倾斜角为θ的弦长为

θ

2

cos 12-p

。 二、直线与圆锥曲线的位置关系

一、知识整理：

1.考点分析：此部分的解答题以直线与圆锥曲线相交占多数，并以椭圆、抛物线为载体较多。

多数涉及求圆锥曲线的方程、求参数的取值范围等等。

2．解答直线与圆锥曲线相交问题的一般步骤：

设线、设点， 联立、消元， 韦达、代入、化简。

第一步：讨论直线斜率的存在性，斜率存在时设直线的方程为y=kx+b （或斜率不为零时，设x=my+a ）； 第二步：设直线与圆锥曲线的两个交点为A(x 1,y 1)B(x 2,y 2);

第三步：联立方程组?

??=+=0)y ,x (f b

kx y ，消去y 得关于x 的一元二次方程；

第四步：由判别式和韦达定理列出直线与曲线相交满足的条件?

??>?0二次系数不为零，???=?=

+2121x x x x

第五步：把所要解决的问题转化为x 1+x 2 、x 1x 2 ，然后代入、化简。

3．弦中点问题的特殊解法-----点差法：即若已知弦AB 的中点为M(x o ,y o )，先设两个交点为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2);分别代入圆锥曲线的方程，得0)y ,x (f ,0)y ,x (f 2211==，两式相减、分解因式，再将o 21o 212y y y ,2x x x =+=+代入其中，即可求出直线的斜率。 4.弦长公式:]x 4x )x x )[(k 1(|x x |k 1|AB |212212212-++=

-+=( k 为弦AB 所在直线的斜率)

高考真题:

1.【2012高考新课标文4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32

a

x =

上一点，12PF F ?是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）

()

A 12 ()

B 23 ()

C 3

4

()

D 4

5

【答案】C

【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题.

【解析】∵△21F PF 是底角为030的等腰三角形， ∴322

c a =

，∴e =34，

∴0

260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ，故选C.

2.【2012高考新课标文10】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162

=的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ）

()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8

【答案】C

【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题.

【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：2

2

2

x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解得y =216a ±-，∵||AB =43，∴2216a -=43，解得a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C.

3.【2012高考山东文11】已知双曲线1C ：22

221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点

到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 283x y = (B) 2163

x y = (C)28x y = (D)216x y = 【答案】D

考点：圆锥曲线的性质

解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2）

到直线x y 3=

的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。

4\【2012高考全国文10】已知1F 、2F 为双曲线22

:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则

12cos F PF ∠=

（A ）

14 （B ）35 （C ）34 （D ）45

【答案】C

【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。 【解析】解：由题意可知，2,2a b c =

=

∴=，设12||2,||PF x PF x ==，则12||||222PF PF x a -===，故

12||42,||22PF PF ==，124F F =，利用余弦定理可得22222212121212(42)(22)43

cos 2422242

PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===???。

5\(2011年高考广东卷文科8)设圆C 与圆 错误！未找到引用源。 外切，与直线0y =错误！未找到引用源。相切．则C 的圆心轨迹为（ ）

A ． 抛物线

B ． 双曲线

C ． 椭圆

D ． 圆

6.【2012高考四川文9】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ）

A 、22

B 、23

C 、4

D 、5【答案】B

[解析]设抛物线方程为y 2=2px(p>0),则焦点坐标为（

0,2p ），准线方程为x=2

p

-, 3

2)22(2||22,22

2,13

2p 22p -222022

02=+=∴∴===+=+∴∴OM M y p y M M 有：），根据两点距离公式（点解得：）（）（线的距离，即到焦点的距离等于到准在抛物线上，

Θ

[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M 为抛物线上任意一点，F 为抛物线的焦点，d 为点M 到准线的距离).

7.（2011年高考湖南卷文科6)设双曲线22

21(0)9

x y a a -

=>的渐近线方程为320,x y ±=则a 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案：C

解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3

y x a

=±

，故可知2a =。

8.【2012高考四川文15】椭圆22

21(5

x y a a +

=为定值，

且a >的的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，FAB ?的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。

【答案】3

2

，

[解析]根据椭圆定义知：4a=12, 得a=3 , 又52

2

=-c a Θ

3

2,2==

∴=∴a c e c [点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.

9.【2012高考辽宁文15】已知双曲线x 2

- y 2

=1,点F 1,F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若P F 1⊥P F 2,则∣P F 1∣+∣P F 2∣的值为___________________.

【答案】【命题意图】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力，难度适

中。

【解析】

由双曲线的方程可知121,22,a c PF PF a ==∴-==

22

112224PF PF PF PF ∴-+=

22

21212122

1212,(2)8,24,()8412,PF PF PF PF c PF PF PF PF PF PF ⊥∴+==∴=∴+=+=∴+=Q

【点评】解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差—积—和的转化。

10.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22

214

x y m m -=+

，则m 的值为

▲ ． 【答案】2。

【考点】双曲线的性质。

【解析】由22

214x y m m -=+

得a b c

∴=c e a 244=0m m -+，解得=2m 。 11.【2012高考安徽文14】过抛物线2

4y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点，若||3AF =，则||BF =______。 【答案】

32

【解析】设(0)AFx θθπ∠=<<及BF m =；则点A 到准线:1l x =-的距离为3 得：1323cos cos 3θθ=+?=

又232cos()1cos 2

m m m πθθ=+-?==+ 12.（2011年高考辽宁卷文科7)已知 F 是抛物线2

y x = 的焦点，A ．B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段

AB 的中点到y 轴的距离为——————。

解析：设A 、B 的横坐标分别是m 、n ，由抛物线定义，得AF BF 3+==m+

14+n+14= m+n+12=3，故m+n=52

，524

m n +=，故线段AB 的中点到y 轴的距离为5

4。

13、【2012高考广东文20】（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22

221x y a b

+=（0a b >>）的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1

C 上.

（1）求椭圆1C 的方程；

（2）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C ：2

4y x =相切，求直线l 的方程. 【解析】（1）因为椭圆1C 的左焦点为1(1,0)F -，所以1c =，

点(0,1)P 代入椭圆22221x y a b +=，得21

1b

=，即1b =，

所以2

2

2

2a b c =+=，

所以椭圆1C 的方程为2

212

x y +=. （2）直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y kx m =+，

2

212

x y y kx m ?+=???=+?

，消去y 并整理得222

(12)4220k x kmx m +++-=， 因为直线l 与椭圆1C 相切，所以2

2

2

2

164(12)(22)0k m k m ?=-+-=， 整理得2

2

210k m -+= ①

24y x y kx m

?=?

=+?，消去y 并整理得222

(24)0k x km x m +-+=。 因为直线l 与抛物线2C 相切，所以2

2

2

(24)40km k m ?=--=， 整理得1km = ②

综合①②，解得2k m ?=???=?

或2k m ?=-?

??=?

。

所以直线l

的方程为2y x =

+

2

y x =-。

如图，21,F F 分别是椭圆C ：22a x +22

b

y =1（0>>b a ）的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线2

AF 与椭圆C 的另一个交点，1F ∠A 2F =60°.

（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；

（Ⅱ）已知△A B F 1的面积为403，求a, b 的值. 【解析】（I ）121

6022

c F AF a c e a ο

∠=?=?=

= （Ⅱ）设2BF m =；则12BF a m =-

在12BF F ?中，222

12122122cos120BF BF F F BF F F ο

=+-?? 2

2

2

3

(2)5

a m m a am m a ?-=++?=

1AF B ?面积211133sin 60()403

2252

10,5,53

S F F AB a a a a c b ο=??????+?=?===

15.【2102高考北京文19】(本小题共14分)

已知椭圆C ：22x a

+2

2y b =1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （2,0），离心率为22， 直线y=k(x-1)与椭圆C 交与不同的

两点M,N

（Ⅰ）求椭圆C 的方程 （Ⅱ）当△AMN 10

k 的值 【考点定位】此题难度集中在运算，但是整体题目难度确实不大，从形式到条件的设计都是非常熟悉的，相信平时对曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的。

解：（1）由题意得222

22a c

a a

b

c =??

?=

??=+??

解得2b =所以椭圆C 的方程为22142x y +=. （2）由22(1)142

y k x x y =-???+

=??得2222

(12)4240k x k x k +-+-=.

设点M,N 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则11(1)y k x =-，22(1)y k x =-，2122412k x x k +=+，2122

24

12k x x k -=+.

所以2

2

2121()()x x y y -+-2

2

1212(1)[()4]k x x x x ++-222(1)(46)

k k ++ 由因为点A(2,0)到直线(1y k x =-）的距离2

12d k

=+

所以△AMN 的面积为21||46||2k k S MN d +=?=. 由22

||4610

123

k k k +=+，解得 1k =±.

如图，等边三角形OAB 的边长为

83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2=2py （p ＞0）上。

（1） 求抛物线E 的方程；

（2） 设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y=-1相较于点Q 。证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点。

考点：圆锥曲线的定义，直线和圆锥曲线的位置关系，定值的证明。

难度：难。

分析：本题考查的知识点为抛物线方程的求解，直线和圆锥曲线的联立，定值的表示及计算。 解答：

（I ）设1122(,),(,)A x y B x y ；则22

11222,2x py x py ==

222222

11221122

1212121222()(2)0(2,,0)

OA OB x y x y py y py y y y p y y y y p y y =?+=+?+=+?-++=?=>Q

得：点,A B 关于y 轴对称（lfxlby ）

83(43,12),(43,12)OA OB AB A B ===?-

代入抛物线E 的方程得：2

22x p y

==?抛物线E 的方程为24x y =

（II ）设200(,)4x P x ；则211

42

y x y x '=?=

过点P 的切线方程为200011()42y x x x x -

=-即2

00

1124

y x x x =- 令2

00

4

1(,1)2x y Q x -=-?-

设(0,)M t 满足：0MP MQ =u u u r u u u u r g 及200004

(,),(,1)2x MP x y t MQ t x -=-=--u u u r u u u u r

得：22

04(2)(1)0t t t x +-+-=对00x ≠均成立

2

20,101t t t t ?+-=-=?= 以PQ 为直径的圆恒过y 轴上定点(0,1)M

17.【2012高考上海文22】（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分

在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22

:21C x y -=

（1）设F 是C 的左焦点，M 是C

右支上一点，若MF =M 的坐标；

（2）过C 的左焦点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；

（3）设斜率为k

（k <）的直线l 交C 于P 、Q 两点，若l 与圆22

1x y +=相切，求证：OP ⊥OQ [解]（1）双曲线1:

22

1

2

=-y C x ，左焦点)0,(2

6-

F .

设),(y x M ，则2

2

2222

62)

3()(||+

=++=x y x MF ， ……2分

由M 是右支上一点，知2

2≥x ，所以223||2

2=+

=x MF ，得2

6=

x .

所以)2,(

2

6

±M . ……5分

（2）左顶点)0,(2

2-A ，渐近线方程：x y 2±=.

过A 与渐近线x y 2=

平行的直线方程为：)(22

2+

=x y ，即12+=x y .

解方程组???+=-=122x y x y ，得?????=-

=2

1

4

2y x . ……8分

所求平行四边形的面积为4

2

||||=

=y OA S . ……10分

（3）设直线PQ 的方程是b kx y +=.因直线与已知圆相切，故

11

||2=+k b ，

即12

2

+=k b (*). 由??

?=-+=1

22

2y x b kx y ，得012)2(2

22=----b kbx x k . 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则?????==+----2

2

2

21212221k b k kb

x x x x . ))((2121b kx b kx y y ++=，所以

2

212122121)()1(b x x kb x x k y y x x OQ OP ++++=+=?

2

2

222

22

2221222)

1)(1(k k b k b k k b k --+-----+=

+.

由(*)知0=?OQ OP ，所以OP ⊥OQ . ……16分

【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为x y ±=，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题 ．