大一高数期末考试试题
一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）
1． 2
1
lim()
x
x x e x →-=
.2．
()()1
2005
1
1x
x x x e e dx --+-=
?
.3．设函数()y y x =由方程
2
1
x y t e dt x
+-=?
确定，则
x dy dx
==
.4. 设()x f 可导，且1
()()x
tf t dt f x =?，1)0(=f ，
则()=x f .5．微分方程044=+'+''y y y 的通解
为 .
二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分） 1．设常数0>k ，则函数
k e x x x f +-
=ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）.
(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分
方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（ ）.
（A ）cos2y A x *=; （B ）cos 2y Ax x *
=;
（C ）cos2sin 2y Ax x Bx x *
=+; （D ）
x A y 2sin *=.3．下列结论不一定成立的是（ ）.
（A ）若[][]b a d c ,,?,则必有
()()??≤b
a
d c
dx x f dx x f ;（B ）若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,
则()0b a
f x dx ≥?;（C ）若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有
()()??
+=T
T a a
dx
x f dx x f 0
;（D ）若可积函数()x f 为奇函数,则()0
x
t f t dt ?也为奇函数.4. 设
()x
x e e
x f 11
321++=
, 则0=x 是)(x f 的（ ）.
(A) 连续点; (B) 可去间断点; (C)
跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分）
1．
计算定积分
2
30
x e dx
-
2．2．计算不定积分dx x x
x ?
5
cos sin .
求摆线???-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在
2π=
t 处的切线的方程.
设20
()cos()x
F x x t dt
=-?，求)(x F '.
5．设n n n n n x n
n )
2()3)(2)(1( +++=
，求n
n x ∞→lim .
四．应用题（共3小题，每小题9分，共计27分）1．求由曲线2-=
x y 与该曲
线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.
2．设平面图形D 由2
2
2x y x +≤与y x ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积.
设1,a >at a t f t
-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为 (). t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求最小值.
五．证明题（7分）
设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且1
(0)=(1)0,()12f f f ==，
试证明至少存
在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ' 一．填空题（每小题4分，5题共20分）：
1． 2
1
lim()
x
x x e x →-=
2
1
e .2．()()1
2005
1
1x
x
x x
e e dx --+-=?e 4
.3．设函数()y y x =由方程
2
1
x y t e dt x
+-=?
确定，则0
x dy
dx
==
1-e .4. 设()x f 可导，且1()()x
tf t dt f x =?，1
)0(=f ，
则()=x f 22
1x e
.5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为x
e
x C C y 221)(-+=.二．选择
题（每小题4分，4题共16分）：1．设常数0>k ，则函数k
e x
x x f +-
=ln )( 在
),0(∞+内零点的个数为（ B ）.
(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为 （ C ）
（A ）cos2y A x *=； （B ）cos 2y Ax x *
=；
（C ）cos2sin 2y Ax x Bx x *
=+； （D ）
x A y 2sin *=3．下列结论不一定成立的是 （ A ）
(A)
(A) 若[][]b a d c ,,?,则必有()()??≤b
a
d c dx x f dx x f ;
(B) (B) 若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0b
a
f x dx ≥?;
(C) (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有
()()??
+=T
T a a
dx
x f dx x f 0
;
(D) (D) 若可积函数()x f 为奇函数,则()0x
t f t dt ?也为奇函数.4. 设
()x
x e e
x f 11
321++=
, 则0=x 是)(x f 的（ C ）.
(A) 连续点 (B) 可去间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（每小题6分，5题共30分）：1．计算定积分?-2
32
dx
e x x .
解：
??
?
----===2
02
02
322121,2
t t x tde dt te dx e x t x 则设 -------2
?
??
???--=?--200221dt e te t t -------2
22
23210221----=--=e e e t --------22．计算不定积分dx x x x ?5cos sin .解：
???
???-==???x dx x x x xd dx x x x 4445cos cos 41)cos 1(41cos sin --------3
C x x x x x d x x x +--=+-=
?tan 41tan 121cos 4tan )1(tan 4
1cos 43
4
2
4 -----------33．求摆线???-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在
2π
=
t 处的切线的方程.解：切点为)
),12
(
(a a -π
-------2
2
π==
t dx dy k 2
)cos 1(sin π
=-=
t t a t
a 1= -------2
切线方程为 )
12
(
--=-π
a x a y 即
a
x y )22(π
-+=. -------2 4. 设
?-=x dt
t x x F 0
2)cos()(，则=')(x F )cos()12(cos 22
2
x x x x x ---.5．设
n n n n n x n
n )
2()3)(2)(1( +++=
，求n
n x ∞→lim . 解：
)
1ln(1ln 1∑=+=n i n n i n x ---------2 ?∑+=+==∞→∞→101)1ln(1
)1ln(lim ln lim dx
x n n i x n
i n n n --------------2
=12ln 211
)1ln(1
010-=+-+?dx x x
x x ------------2
故 n
n x ∞→lim =e e 41
2ln 2=- 四．应用题（每小题9分，3题共27分）1．求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.
解：
设切点为
),00y x （，则过原点的切线方程为x
x y 221
0-=
，
由于点
),00y x （在切线上，带入切线方程，解得切点为2,400==y x .-----3
过原点和点)2,4(的切线方程为
22x y =
-----------------------------3 面积
dy
y y s )222(2
2?-+==32
2-------------------3
或
322)22
21(
2
2120
4
2
=
--+=?
?dx x x xdx s
2．设平面图形D 由2
2
2x y x +≤与y x ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积.
解： 法一：21V V V -=
[]
[]
?
??---=-----=10
22
1
21
2
2)1(12)2()11(2dy
y y
dy
y dy y πππ -------6
)
314(201)1(3
1423-=??????--=ππππy --------3 法二：V =
?---1
2)2)(2(2dx
x x x x π
??----=10
10
22
)2(22)2(2dx
x x dx x x x ππ ------------------ 5
[]
?--+--=1
0223
4
222)22(π
πdx x x x x x ππππππ
ππ32213421323
4141201)2(322223
2-=-+=-????????+-=x x ------------- 4
3. 设
1,a >at a t f t
-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为 (). t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求最小值.解: .ln ln ln 1)(0ln )(a a
a t a a a t f t -
==-='得由
--------------- 3
0)(ln 1ln ln )(2
e
e a a a a a t ==-=
'得唯一驻点又由------------3
.)(,0)(,;0)(,的极小值点为于是时当时当a t e a a t e a a t e a e e e =<'<>'>-----2
故
.1
1ln 1)(,)(e e e e t a t e a e e -=-
==最小值为的最小值点为--------------1
五．证明题（7分）
设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且1
(0)=(1)0,()12f f f ==，
试证明至
少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ'证明：设()()F x f x x =-，()F x 在[0,1]上连续在
f f, (0,1)可导，因(0)=(1)=0
有(0)(0)00,(1)(1)11F f F f =-==-=-,--------------- 2
又由1()=12f ，知11111()=()-=1-=2
2222F f ，在1[1]2，
上()F x 用零点定理，
根据11(1)()=-0
22F F <，--------------- 2 可知在1(1)2，内至少存在一点η，使得1
()=0(,1)(0,1)
2F ηη∈?，,(0)=()=0F F η由ROLLE 中值定理得 至少存在一点
(0,)(0,1)ξη∈?使得()=0F ξ'即()1=0f ξ'-，证毕. --------------3 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！