2015年湖北数学高考卷 理科(含答案)
绝密★启用前
2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)
数学(理工类)
本试题卷共6页,22题,其中第15、16题为选考题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项:
1.答卷前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑,再在答题卡上对应的答题区域内答题。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的.
1.i为虚数单位,607
i的共轭
..为
..复数
A.i B.i-C.1 D.1-
2.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为
A.134石B.169石C.338石D.1365石
3.已知(1)n
x
+的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为A.122B.112C.102D.92
4.设211(,)X
N μσ,2
22(,)Y N μσ,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是
A .21()()P Y P Y μμ≥≥≥
B .21()()P X P X σσ≤≤≤
C .对任意正数t ,()()P X t P Y t ≤≥≤
D .对任意正数t ,()()P X t P Y t ≥≥≥
5.设12,,
,n a a a ∈R ,3n ≥. 若p :12,,
,n a a a 成等比数列;
q :22
222
2
21212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --+++++
+=+++,则
A .p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件
B .p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件
C .p 是q 的充分必要条件
D .p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件
6.已知符号函数1,0,
sgn 0,0,1,0.x x x x >??
==??-
()f x 是R 上的增函数,()()()(1)g x f x f ax a =->,则
A .sgn[()]sgn g x x =
B .sgn[()]sgn g x x =-
C .sgn[()]sgn[()]g x f x =
D .sgn[()]sgn[()]g x f x =-
7.在区间[0,1]上随机取两个数,x y ,记1p 为事件“12
x y +≥”的概率,2p 为事件“1
||2x y -≤”的
概率,3p 为事件“1
2
xy ≤”的概率,则 A .123p p p << B .231p p p << C .312p p p <<
D .321p p p <<
8.将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位 长度,得到离心率为2e 的双曲线2C ,则 A .对任意的,a b ,12e e > B .当a b >时,12e e >;当a b <时,12e e < C .对任意的,a b ,12e e <
D .当a b >时,12e e <;当a b <时,12e e >
9.已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ,{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ,定义集合 12
121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈,则
A B ⊕中元素的个数为 A .77 B .49 C .45 D .30
10.设x ∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ,使得[]1t =,2[]2t =,…,[]n t n = 同时成立....
,则正整数n 的最大值是 A .3 B .4 C .5 D .6
第4题图
二、填空题:本大题共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应.....
题号..
的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11—14题)
11.已知向量OA AB ⊥,||3OA =,则OA OB ?= .
12.函数2π
()4cos cos()2sin |ln(1)|22
x f x x x x =---+的零点个数为 .
13.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的
方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD = m.
14.如图,圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ,与y 轴正半轴交于两点,A B (B 在A 的上方), 且2AB =.
(Ⅰ)圆C 的标准..
方程为 ; (Ⅱ)过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点,下列三个结论:
①NA MA NB
MB
=; ②
2NB MA NA
MB
-
=;
③
NB MA NA
MB
+
=
其中正确结论的序号是 . (写出所有正确结论的序号)
(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号
后的方框用2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.) 15.(选修4-1:几何证明选讲)
如图,P A 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线, 且3BC PB =,则
AB
AC
= . 16.(选修4-4:坐标系与参数方程)
在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方
第13题图
A
B
第15题图
A
P B
C
程为(sin 3cos )0ρθθ-=,曲线C 的参数方程为1,1x t t
y t t ?=-????=+
??
( t 为参数) ,l 与C 相交于A ,B 两
点,则||AB = .
三、解答题:本大题共6小题,共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分11分)
某同学用“五点法”画函数π
()sin()(0,||)2f x A x ω?ω?=+><在某一个周期内的图象
时,列表并填入了部分数据,如下表:
(Ⅰ)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置...........,并直接写出函数()f x 的解 析式;
(Ⅱ)将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度,得到()y g x =的图
象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5π
(
,0)12
,求θ的最小值.
18.(本小题满分12分)
设等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的公比为q .已知11b a =,22b =,
q d =,10100S =.
(Ⅰ)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (Ⅱ)当1d >时,记n
n n
a c
b =,求数列{}n
c 的前n 项和n T . 19.(本小题满分12分)
《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.
如图,在阳马P ABCD -中,侧棱PD ⊥底面ABCD , 且PD CD =,过棱PC 的中点E ,作EF PB ⊥交PB 于 点F ,连接,,,.DE DF BD BE
(Ⅰ)证明:PB DEF ⊥平面.试判断四面体DBEF 是
否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写 出结论);若不是,说明理由;
(Ⅱ)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为
π3
, 求DC
BC 的值.
20.(本小题满分12分)
某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍,设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位:吨)是一个随机变量,其分布列为
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z (单位:元)是一个随机变量.
(Ⅰ)求Z 的分布列和均值;
(Ⅱ) 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概
率.
21.(本小题满分14分)
一种作图工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点,短杆ON 可绕O 转动,长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接,MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动,且1DN ON ==,3MN =.当栓子
D 在滑槽AB 内作往复运动时,带动..N 绕O 转动一周
(D 不动时,N 也不动),M 处的笔尖画出的曲线记为C .以第19题图
O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系.
(Ⅰ)求曲线C 的方程;
(Ⅱ)设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点.若直线l
总与曲线C 有且只有一个公共点,试探究:△OPQ 的面积是否存在最小值?若 存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.
22.(本小题满分14分)
已知数列{}n a 的各项均为正数,1
(1)()n n n b n a n n
+=+∈N ,e 为自然对数的底数.
(Ⅰ)求函数()1e x f x x =+-的单调区间,并比较1
(1)n n +与e 的大小;
(Ⅱ)计算
11b a ,1212b b a a ,123123b b b a a a ,由此推测计算1212
n
n
b b
b a a a 的公式,并给出证明; (Ⅲ)令1
12()n
n n c a a a =,数列{}n a ,{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T , 证明:e n n T S <.
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第21题图
1
2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)
数学(理工类)试题参考答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
1.A 2.B 3.D 4.C 5.A 6.B 7.B 8.D 9.C 10.B 二、填空题(本大题共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分)
11.9
12.2 13
.
14.(Ⅰ
)22(1)(2x y -+=;(Ⅱ)①②③ 15.1
2
16
. 三、解答题(本大题共6小题,共75分) 17.(11分)
(Ⅰ)根据表中已知数据,解得π
5,2,6
A ω?===-. 数据补全如下表:
且函数表达式为()5sin(2)6
f x x =-.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 π()5sin(2)6f x x =-,得π
()5sin(22)6
g x x θ=+-.
因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ,k ∈Z .
令π22π6x k θ+-=,解得ππ
212
k x θ=+-,k ∈Z .
由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称,令ππ5π
21212
k θ+-=,
解得ππ23k θ=-,k ∈Z . 由0θ>可知,当1k =时,θ取得最小值π
6
.
18.(12分) (Ⅰ)由题意有,111045100,2,a d a d +=??=? 即11
2920,
2,a d a d +=??=?
解得11,2,a d =??=? 或19,2.9a d =??
?=?? 故1
21,2.n n n a n b -=-???=??或11(279),929().9n n n
a n
b -?
=+????=???
(Ⅱ)由1d >,知21n a n =-,12n n b -=,故1
21
2n n n c --=
,于是 234
1357921
122222n n n T --=+
+++++
, ① 234511357921
2222222n n
n T -=++++++
. ② ①-②可得
22
11112123
23222222n n n n
n n T --+=++++
-
=-
, 故n T 1
23
62n n -+=-
. 19.(12分) (解法1)
(Ⅰ)因为PD ⊥底面ABCD ,所以PD BC ⊥, 由底面ABCD 为长方形,有BC CD ⊥,而PD
CD D =,
所以BC PCD ⊥平面. 而DE PCD ?平面,所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =,点E 是PC 的中点,所以DE PC ⊥. 而PC
BC C =,所以DE ⊥平面PBC . 而PB PBC ?平面,所以PB DE ⊥.
又PB EF ⊥,DE
EF E =,所以PB ⊥平面DEF .
由DE ⊥平面PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形,
即四面体BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠,,
EFB DFB ∠∠,. (Ⅱ)如图1,在面PBC 内,延长BC 与FE 交于点G ,则DG 是平面DEF 与平面ABCD
的交线. 由(Ⅰ)知,PB DEF ⊥平面,所以PB DG ⊥. 又因为PD ⊥底面ABCD ,所以PD DG ⊥. 而PD
PB P =,所以DG PBD ⊥平面.
故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角,
设1PD DC ==,BC λ=,有BD = 在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π
3
DPF FDB ∠=∠=,
则 πtan
tan 3BD DPF PD
=∠=解得λ
所以
1DC BC λ==
故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π
3
时,DC BC =
第19题解答图2
第19题解答图1
(解法2)
(Ⅰ)如图2,以D 为原点,射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系. 设
1PD DC ==,BC λ=,则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)
D P B C λ,(,1,1)PB λ=-,点
E 是PC 的
中点,所以11(0,
,)22E ,11
(0,,)22
DE =, 于是0PB DE ?=,即PB DE ⊥. 又已知EF PB ⊥,而DE
EF E =,所以PB DEF ⊥平面.
因(0,1,1)PC =-, 0DE PC ?=, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面.
由DE ⊥平面PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形,
即四面体BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠,,
EFB DFB ∠∠,.
(Ⅱ)由PD ABCD ⊥平面,所以(0,0,1)DP =是平面ABCD 的一个法向量;
由(Ⅰ)知,PB DEF ⊥平面,所以(,1,1)BP λ=--是平面DEF 的一个法向量.
若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3
,
则π1cos
32
||||
BP DP
BP DP
λ?===?, 解得λ所以
1DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π
3
时,DC BC = 20.(12分)
(Ⅰ)设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ,相应的获利为z ,则有
33
11(1)10.30.973.
p p =--=-=2 1.5,1.512, 20,0, 0.
x y W x y x y x y +≤??+≤?
?
-≥??≥≥? (1) 目标函数为 1000
1200z x y =+.
当12W =时,(1)表示的平面区域如图1,三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C .
将10001200z x y =+变形为561200z
y x =-+,
当 2.4, 4.8x y ==时,直线l :561200z
y x =-+在y 轴上的截距最大,
最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==?+?=.
当15W =时,(1)表示的平面区域如图2,三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C .
将10001200z x y =+变形为561200z
y x =-+,
当3, 6x y ==时,直线l :561200
z
y x =-+在y 轴上的截距最大,
最大获利max 310006120010200Z z ==?+?=. 当18W =时,(1)表示的平面区域如图3,
四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D .
将10001200z x y =+变形为561200z
y x =-+,
当6,4x y ==时,直线l :561200
z
y x =-+在y 轴上的截距最大,
最大获利max 610004120010800Z z ==?+?=.
因此,()81600.3102000.5108000.29708.E Z =?+?+?= (Ⅱ)由(Ⅰ)知,一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=,
由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为
21.(14分)
(Ⅰ)设点(,0)(||2)D t t ≤,00(,),(,)N x y M x y ,依题意,
第20题解答图1 第20题解答图2
第20题解答图
3
2MD DN =,且||||1DN ON ==,
所以00(,)2(,)t x y x t y --=-,且22
0022
00()1,
1.x t y x y ?-+=??+=?? 即0022,
2.t x x t y y -=-??=-?
且0(2)0.t t x -=
由于当点D 不动时,点N 也不动,所以t 不恒等于0,
于是02t x =,故00,42x y x y ==-,代入22
001x y +=,可得221164
x y +=,
即所求的曲线C 的方程为22
1.164
x y +=
(Ⅱ)(1)当直线l 的斜率不存在时,直线l 为4x =或4x =-,都有1
4482
OPQ S ?=??=.
(2)当直线l 的斜率存在时,设直线1
:()2
l y kx m k =+≠±,
由22
,416,
y kx m x y =+??+=? 消去y ,可得222(14)84160k x kmx m +++-=. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点,
所以2222644(14)(416)0k m k m ?=-+-=,即22164m k =+. ① 又由,20,y kx m x y =+??-=?
可得2(,)1212m m P k k --;同理可得2(,)1212m m Q k k -++.
由原点O 到直线PQ
的距离为d =
|||P Q PQ x x =-,可得
22
111222||||||||222121214OPQ
P Q m m m S PQ d m x x m k k k ?=?=-=?+=-+-. ② 将①代入②得,22
2241281441
OPQ
k m S k k ?+==--. 当2
1
4k >时,2224128()8(1)84141OPQ k S k k ?+==+>--;
当2
1
04k ≤<时,22
2
4128()8(1)1414OPQ k S k k ?+==-+--. 因2104k ≤<
,则20141k <-≤,22214k ≥-,所以2
28(1)814OPQ S k ?=-+≥-, 当且仅当0k =时取等号.
第21题解答图
所以当0k =时,OPQ S ?的最小值为8.
综合(1)(2)可知,当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时,△OPQ 的面积取得最小值8.
22.(14分)
(Ⅰ)()f x 的定义域为(,)-∞+∞,()1e x f x '=-.
当()0f x '>,即0x <时,()f x 单调递增; 当()0f x '<,即0x >时,()f x 单调递减.
故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞,单调递减区间为(0,)+∞. 当0x >时,()(0)0f x f <=,即1e x x +<.
令1x n
=,得1
11e n n +<,即1
(1)e n n +<. ①
(Ⅱ)11111(1)1121b a =?+=+=;222121212121
22(1)(21)32
b b b b a a a a =?=?+=+=;
23331233121231231
33(1)(31)43
b b b b b b a a a a a a =?=?+=+=. 由此推测:
12
12(1).n n
n
b b b n a a a =+ ② 下面用数学归纳法证明②.
(1)当1n =时,左边=右边2=,②成立. (2)假设当n k =时,②成立,即1212(1)k k
k
b b b k a a a =+. 当1n k =+时,1
111(1)(1)1
k k k b k a k +++=+++,由归纳假设可得 1
112112
112
112
11(1)(1)(1)(2)1
k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=?=+++=++. 所以当1n k =+时,②也成立.
根据(1)(2),可知②对一切正整数n 都成立. (Ⅲ)由n c 的定义,②,算术-几何平均不等式,n b 的定义及①得
123n n T c c c c =+++
+=11113
1
2
11212312()()()()n
n a a a a a a a a a +++
+
1111
3
1
2
12312
112()()()()
2341
n
n b b b b b b b b b n =
+++++ 123
12112122334(1)n b b b b b b b b b n n ++++++≤++++???+ 1211111
1
1
[][]1223
(1)2334
(1)
(1)
n b b b n n n n n n =++
+
+++
+
+
+?
??+??++
1211111
(1)()()121
1
n b b b n n n n =-+-++-+++
12
12n b b b n <
+++
121211
1
(1)(1)(1)12
n n a a a n
=++++++
12e e e n a a a <+++=e n S .
即e n n T S <.
2015年湖北数学高考卷 理科(含答案)
绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学(理工类) 本试题卷共6页,22题,其中第15、16题为选考题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项: 1.答卷前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑,再在答题卡上对应的答题区域内答题。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.i为虚数单位,607 i的共轭 ..为 ..复数 A.i B.i-C.1 D.1- 2.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为 A.134石B.169石C.338石D.1365石 3.已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为A.122B.112C.102D.92
4.设211(,)X N μσ,2 22(,)Y N μσ,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是 A .21()()P Y P Y μμ≥≥≥ B .21()()P X P X σσ≤≤≤ C .对任意正数t ,()()P X t P Y t ≤≥≤ D .对任意正数t ,()()P X t P Y t ≥≥≥ 5.设12,, ,n a a a ∈R ,3n ≥. 若p :12,, ,n a a a 成等比数列; q :22 222 2 21212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --+++++ +=+++,则 A .p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件 B .p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件 C .p 是q 的充分必要条件 D .p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件 6.已知符号函数1,0, sgn 0,0,1,0.x x x x >?? ==??- ()f x 是R 上的增函数,()()()(1)g x f x f ax a =->,则 A .sgn[()]sgn g x x = B .sgn[()]sgn g x x =- C .sgn[()]sgn[()]g x f x = D .sgn[()]sgn[()]g x f x =- 7.在区间[0,1]上随机取两个数,x y ,记1p 为事件“12 x y +≥”的概率,2p 为事件“1 ||2x y -≤”的 概率,3p 为事件“1 2 xy ≤”的概率,则 A .123p p p << B .231p p p << C .312p p p << D .321p p p << 8.将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位 长度,得到离心率为2e 的双曲线2C ,则 A .对任意的,a b ,12e e > B .当a b >时,12e e >;当a b <时,12e e < C .对任意的,a b ,12e e < D .当a b >时,12e e <;当a b <时,12e e > 9.已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ,{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ,定义集合 12 121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈,则 A B ⊕中元素的个数为 A .77 B .49 C .45 D .30 10.设x ∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ,使得[]1t =,2[]2t =,…,[]n t n = 同时成立.... ,则正整数n 的最大值是 A .3 B .4 C .5 D .6 第4题图
湖北省八校2015届高三第一次联考理科数学试卷(解析版)
湖北省八校2015届高三第一次联考理科数学试卷(解析版) 一、选择题 1.已知复数∈+=a ai z (21R ),i z 212-=,若2 1 z z 为纯虚数,则=||1z ( ) A .2 B .3 C .2 D .5 【答案】D 【解析】由于 ()()()5 422521221221i a a i ai i ai z z ++-=++=-+=为纯虚数,则1=a ,则=1z 5, 故选择D. 考点:复数的概念,复数的代数运算,复数的模 2.如图给出的是计算11112462014 ++++L 的值的程序框图,其中判断框内应填入的是( ) A .2013≤i B .2015≤i C .2017≤i D .2019≤i 【答案】B 【解析】由程序知道,2,4,6,2014i =L 都应该满足条件,2016=i 不满足条件,故应该选择B. 考点:算法,程序框图 3.设2 2 4a x dx π ππ-? ?=+ ????,则二项式6(展开式中含2x 项的系数是( ) A .192- B .193 C .6- D .7 【答案】A 【解析】由于()2 2222 22 2 cos sin cos sin 24a x dx x x dx xdx x π ππππππππ- --- ? ?=+=-=== ???? ?? 则6( 含2x 项的系数为192)1(25 16-=-C ,故选择A.
考点:定积分,二项式定理 4.棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体的体积是( ) A . 314 B .4 C .3 10 D .3 【答案】B 【解析】几何体如图,体积为:422 1 3=?,故选择B 考点:三视图,几何体的体积 5.“5≠a 且5-≠b ”是“0≠+b a ”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既非充分条件也非必要条件 【答案】D 【解析】5≠a 且5-≠b 推不出0≠+b a ,例如2,2-==b a 时0=+b a 0≠+b a 推不出5≠a 且5-≠b ,例如6,5-==b a ,故“5≠a 且5-≠b ”是“0≠+b a ”的既不充分又不必要条件,故选择D 考点:充要条件 6.已知实数等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则下列结论中一定成立的( ) A .若03>a ,则02013a ,则02014a ,则02013>S
2015年湖北省高考数学试卷(理科)
1.(5分)(2015?湖北)i为虚数单位,i607的共轭复数为() A.i B.﹣i C.1 D.﹣1 2.(5分)(2015?湖北)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为() A.134石B.169石C.338石D.1365石 3.(5分)(2015?湖北)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为() A.212B.211C.210D.29 4.(5分)(2015?湖北)设X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是() A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t) 5.(5分)(2015?湖北)设a1,a2,…,a n∈R,n≥3.若p:a1,a2,…,a n成等比数列;q:(a12+a22+…+a n﹣12)(a22+a32+…+a n2)=(a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n)2,则() A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件 B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件 C.p是q的充分必要条件 D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件 6.(5分)(2015?湖北)已知符号函数sgnx=,f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)﹣f(ax)(a >1),则() A.sgn[g(x)]=sgnx B.sgn[g(x)]=﹣sgnx C.sgn[g(x)]=sgn[f(x)]D.sgn[g(x)]=﹣sgn[f(x)] 7.(5分)(2015?湖北)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记P1为事件“x+y≥”的概率,P2为事件“|x﹣y|≤”的概 率,P3为事件“xy≤”的概率,则() A.P1<P2<P3B.P2<P3<P1C.P3<P1<P2D.P3<P2<P1 8.(5分)(2015?湖北)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则() A.对任意的a,b,e1>e2 B.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2 C.对任意的a,b,e1<e2 D.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2 9.(5分)(2015?湖北)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为() A.77 B.49 C.45 D.30 10.(5分)(2015?湖北)设x∈R,[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t,使得[t]=1,[t2]=2,…,[t n]=n同时成立,则正整数n的最大值是() A.3 B.4 C.5 D.6
2015年湖北省高考数学试卷理科(Word版下载)
2015年湖北省高考数学试卷(理科) 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(5分)i为虚数单位,i607的共轭复数为() A.i B.﹣i C.1 D.﹣1 2.(5分)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为() A.134石B.169石C.338石D.1365石 3.(5分)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为() A.212B.211C.210D.29 4.(5分)设X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是() A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y ≥t) 5.(5分)设a1,a2,…,a n∈R,n≥3.若p:a1,a2,…,a n成等比数列;q: (a12+a22+…+a n ﹣12)(a22+a32+…+a n2)=(a1a2+a2a3+…+a n ﹣1 a n)2,则() A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件 D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
6.(5分)已知符号函数sgnx=,f(x)是R上的增函数,g(x)=f (x)﹣f(ax)(a>1),则() A.sgn[g(x)]=sgnx B.sgn[g(x)]=﹣sgnx C.sgn[g(x)]=sgn[f(x)] D.sgn[g(x)]=﹣sgn[f(x)] 7.(5分)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记P1为事件“x+y≥”的概率,P2为事件“|x﹣y|≤”的概率,P3为事件“xy≤”的概率,则() A.P1<P2<P3B.P2<P3<P1C.P3<P1<P2D.P3<P2<P1 8.(5分)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则() A.对任意的a,b,e1>e2 B.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2 C.对任意的a,b,e1<e2 D.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2 9.(5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为() A.77 B.49 C.45 D.30 10.(5分)设x∈R,[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t,使得[t]=1,[t2]=2,…,[t n]=n同时成立,则正整数n的最大值是() A.3 B.4 C.5 D.6 二、填空题:本大题共4小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11.(5分)已知向量⊥,||=3,则?=. 12.(5分)函数f(x)=4cos2cos(﹣x)﹣2sinx﹣|ln(x+1)|的零点个数
湖北省武汉市部分学校2015届高三9月起点调研数学理试题 Word版含答案
武汉市2015届高三9月调研测试 数 学(理科) 2014.9.5 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.1+2i (1-i)2 = A .-1-12i B .-1+12i C .1+12i D .1-1 2i 2.已知集合A ={1,a },B ={1,2,3},则“a =3”是“A ?B ”的 A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 3.已知变量x 与y 正相关,且由观测数据算得样本平均数x -=3,y -=3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是 A .y ^=0.4x +2.3 B .y ^=2x -2.4 C .y ^=-2x +9.5 D .y ^=-0.3x +4.4 4.已知向量a ,b 的夹角为45°,且|a |=1,|2a -b |=10,则|b |= A . 2 B .2 2 C .3 2 D .4 2 5.若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为 A .112 B .5 C .92 D .4 6.在△ABC 中,AC =7,BC =2,B =60°,则BC 边上的高等于 A .32 B .33 2 C .3+62 D .3+394 7.x ,y 满足约束条件???? ? x +y -2≤0,x -2y -2≤0,2x -y +2≥0.若z =y -ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数a 的值为 A .12或-1 B .2或1 2 C .2或1 D .2或-1 8.如图,互不相同的点A 1,A 2,…,A n ,…和B 1,B 2,…,B n ,…分别在角O 的两条边上,所有A n B n 相互平行,且所有梯形A n B n B n +1A n +1的面积均相等.设OA n =a n ,若a 1=1,a 2=2,则a 9= A .19 B .22 C .5 D .27 9.已知F 为抛物线y 2=x 的焦点,点A ,B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧,→OA ·→ OB =2(其中O 为坐标原点),则△AFO 与△BFO 面积之和的最小值是
2015湖北理科数学试题及标准答案(word解析版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学(理科) 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. (1)【2015年湖北,理1,5分】i 为虚数单位,607i 的共轭复数....为( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1- 【答案】A 【解析】60741513i i i i ?=?=-,共轭复数为i ,故选A . 【点评】本题考查复数的基本运算,复式单位的幂运算以及共轭复数的知识,基本知识的考查. (2)【2015年湖北,理2,5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( ) (A )134石 (B )169石 (C )338石 (D )1365石 【答案】B 【解析】依题意,这批米内夹谷约为28 1534169254 ?=石,故选B . 【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查学生的计算能力,比较基础. (3)【2015年湖北,理3,5分】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式 系数和为( ) (A )122 (B )112 (C )102 (D )92 【答案】D 【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以37n n C C =,解得10n =,所以二项式(1)n x + 中奇数项的二项式系数和为1091 222 ?=,故选D . 【点评】本题考查二项式定理的应用,组合数的形状的应用,考查基本知识的灵活运用 以及计算能力. (4)【2015年湖北,理4,5分】设211(,)X N μσ,2 22 (,)Y N μσ,这两个正态分布密 度曲线如图所示.下列结论中正确的是( ) (A )21()()P Y P Y μμ≥≥≥ (B )21()()P X P X σσ≤≤≤ (C )对任意正数t ,()()P X t P Y t ≤≥≤ (D )对任意正数t ,()()P X t P Y t ≥≥≥ 【答案】C 【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称,所以12μμ<,从图中容易得到 ()()P X t P Y t ≤≥≤,故选C . 【点评】本题考查了正态分布的图象与性质,学习正态分布,一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量, 结合正态曲线的图形特征,归纳正态曲线的性质. (5)【2015年湖北,理5,5分】设12,,,n a a a ∈R ,3n ≥.若p :12,,,n a a a 成等比数列; q :222222 21212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --+++++ +=+++,则( ) (A )p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件 (B )p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件 (C )p 是q 的充分必要条件 (D )p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件 【答案】A 【解析】对命题12:,,,n p a a a 成等比数列,则公比()1 3n n a q n a -=≥且0n a ≠; 对命题q ,①当时,成立; ②当时,根据柯西不等式,等式成 立,则 ,所以成等比数列,所以p 是q 的充分条件,但不是q 的必要 条件.故选A . 0=n a 22222 2 212 12312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --+++++ +=++ +0≠n a 22 222 2 21212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=++ +n n a a a a a a 132 21-=???==12,,,n a a a
2015年湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析
2015年湖北省高考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 607 2.(5分)(2015?湖北)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内 × 3.(5分)(2015?湖北)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇 的展开式中奇数项的二项式系数和为:
4.(5分)(2015?湖北)设X~N(μ1,?12),Y~N(μ2,?22),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是() 5.(5分)(2015?湖北)设a1,a2,…,a n∈R,n≥3.若p:a1,a2,…,a n成等比数列;q: 2222222
成等比数列,即有== 6.(5分)(2015?湖北)已知符号函数sgnx=,f(x)是R上的增函数,g(x) , ,
7.(5分)(2015?湖北)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记P1为事件“x+y≥”的概率, P2为事件“|x﹣y|≤”的概率,P3为事件“xy≤”的概率,则() ,, = ×=1=, ×+dx=+lnx|=﹣ln=+
8.(5分)(2015?湖北)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时 = ∴﹣, 9.(5分)(2015?湖北)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为()
2015年高考湖北理科数学试题与答案(word解析版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试(卷) 数学(理科) 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. (1)【1,5分】i 为虚数单位,607 i 的共轭复数.... 为( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1- 【解析】60741513i i i i ?=?=-,共轭复数为i ,故选A . (2)【2015年,理2,5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534 石,验得米夹谷,抽样取米一把,数得254粒夹谷28粒,则这批米夹谷约为( ) (A )134石 (B )169石 (C )338石 (D )1365石 【答案】B 【解析】依题意,这批米夹谷约为28 1534169254 ?=石,故选B . (3)【2015年,理3,5分】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数 ) (A )122 (B )112 (C )102 (D )92 【答案】【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以37n n C C =,解得10n =,所以二项式(1)n x + 中奇数项的二项式系数和为 10 91222 ?=,故选D . 以及计算能力. (4)【2015年,理4,5分】设211(,)X N μσ:,2 22 (,)Y N μσ:,这两个正态分布密 (A )21()()P Y P Y μμ≥≥≥ (B )21()()P X P X σσ≤≤≤ (C )对任意正数t ,()()P X t P Y t ≤≥≤ (D )对任意正数t ,()()P X t P Y t ≥≥≥ 【答案】【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称,所以12μμ<,从图中容易得到 ()()P X t P Y t ≤≥≤,故选C . 【点评】本题考查了正态分布的图象与性质,学习正态分布,一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键 (5)【2015年,理5,5分】设12,,,n a a a ∈R L ,3n ≥.若p :12,,,n a a a L 成等比数列; q :2222222 1212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L ,则( ) (A q 的充分条件 (C )p 是q 的充分必要条件 (D )p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件 【答案】A 【解析】对命题12:,,,n p a a a L 成等比数列,则公比()1 3n n a q n a -=≥且0n a ≠; 对命题q ,①当0=n a 时,22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立; ②当0≠n a 时,根据柯西不等式,等式2222222 1212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成 立,则 n n a a a a a a 132 21-=???==,所以12,,,n a a a L 成等比数列,所以p 是q 的充分条件,但不是q 的必要
2015年高考理科数学湖北卷及答案
数学试卷 第1页(共24页) 数学试卷 第2页(共24页) 数学试卷 第3页(共24页) 绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理科) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟. 注意事项: 1.答卷前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑. 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑,再在答题卡上对应的答题区域内答题.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 5.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交. 第Ⅰ卷(选择题 共50分) 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.i 为虚数单位,607i 的共轭复数为 ( ) A .i B .i - C .1 D .1- 2.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为 ( ) A .134石 B .169石 C .338石 D .1 365石 3.已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为 ( ) A .122 B .112 C .102 D .92 4.设211(,)X N μσ~,2 22 (,)Y N μσ~,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是 ( ) A .21()()P Y P Y μμ≥≥≥ B .21()()P X P X σσ≤≤≤ C .对任意正数t ,()()P X t P Y t ≤≥≤ D .对任意正数t ,()()P X t P Y t ≥≥≥ 5.设12,, ,n a a a ∈R ,3n ≥.若p :12,, ,n a a a 成等比数列;q :222121()n a a a -+++2 2(a + 2 2 2 312231)()n n n a a a a a a a a -+ +=+++,则 ( ) A .p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件 B .p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件 C .p 是q 的充分必要条件 D .p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件 6.已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >?? ==??- ()f x 是R 上的增函数,()()()(1)g x f x f ax a =->, 则 ( ) A .sgn[()]sgn g x x = B .sgn[()]sgn g x x =- C .sgn[()]sgn[()]g x f x = D .sgn[()]sgn[()]g x f x =- 7.在区间[0,1]上随机取两个数,x y ,记1p 为事件“1 2 x y +≥ ”的概率,2p 为事件“1 ||2 x y -≤”的概率,3p 为事件“12 xy ≤”的概率,则 ( ) A .123p p p << B .231p p p << C .312p p p << D .321p p p << 8.将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度,得到离心率为2e 的双曲线2C ,则 ( ) A .对任意的,a b ,12e e > B .当a b >时,12e e >;当a b <时,12e e < C .对任意的,a b ,12e e < D .当a b >时,12e e <;当a b <时,12e e > 9.已知集合22{(,)|1,,}A x y x y x y =+∈Z ≤,{(,)|||2,||2,,}B x y x y x y =∈Z ≤≤,定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈,则A B ⊕中元素的个数为 ( ) A .77 B .49 C .45 D .30 10.设x ∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数.若存在实数t ,使得[]1t =,2[]2t =,…,[]n t n =同时成立,则正整数n 的最大值是 ( ) A .3 B .4 C .5 D .6 第Ⅱ卷(非选择题 共100分) 二、填空题:本大题共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上. (一)必考题(11~14题) 11.已知向量OA AB ⊥,||3OA =,则OA OB =___________. 12.函数2π ()4cos cos( )2sin |ln(1)|22 x f x x x x =---+的零点个数为___________. 13.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在 西偏北30的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD =___________m . 14.如图,圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ,与y 轴正半轴交于两点,A B (B 在A 的上方), 且2AB =. (1)圆C 的标准方程为___________; (2)过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于M ,N 两点,下列三个结论: ① ||||||||NA MA NB NB =; ②||||2||||NB MA NA MB -=; ③|||| |||| NB MA NA MB += 其中正确结论的序号是___________(写出所有正确结论的序号). -------------在 --------------------此--------------------卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效 ---------------- 姓名________________ 准考证号_____________
2015年浙江省高考数学试卷理科解析
2015年浙江省高考数学试卷(理科) 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分2015年普通高等学校招生全国统一 考试(浙江卷)数学(理科) 1.(5分)(2015?浙江)已知集合P={x|x2﹣2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(?R P)∩Q=()A.[0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.[1,2] 2.(5分)(2015?浙江)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是() A.8cm3B.12cm3C.D. 3.(5分)(2015?浙江)已知{a n}是等差数列,公差d不为零,前n项和是S n,若a3,a4, a8成等比数列,则() A.a1d>0,dS4>0 B.a1d<0,dS4<0 C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0 4.(5分)(2015?浙江)命题“?n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是()A.?n∈N*,f(n)?N*且f(n)>n B.?n∈N*,f(n)?N*或f(n)>n C.?n0∈N*,f(n0)?N*且f(n0)>n0D.?n0∈N*,f(n0)?N*或f(n0)>n0 5.(5分)(2015?浙江)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不 同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之 比是()
A.B.C.D. 6.(5分)(2015?浙江)设A,B是有限集,定义:d(A,B)=card(A∪B)﹣card(A∩B),其中card(A)表示有限集A中的元素个数() 命题①:对任意有限集A,B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要条件; 命题②:对任意有限集A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C) A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立 C.命题①成立,命题②不成立D.命题①不成立,命题②成立 7.(5分)(2015?浙江)存在函数f(x)满足,对任意x∈R都有() A.f(sin2x)=sinx B.f(sin2x)=x2+x C.f(x2+1)=|x+1| D.f(x2+2x)=|x+1| 8.(5分)(2015?浙江)如图,已知△ABC,D是AB的中点,沿直线CD将△ACD折成△A′CD,所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α,则() A.∠A′DB≤αB.∠A′DB≥αC.∠A′CB≤αD.∠A′CB≥α 二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分. 9.(6分)(2015?浙江)双曲线=1的焦距是,渐近线方程 是. 10.(6分)(2015?浙江)已知函数f(x)=,则f(f(﹣3))=,f(x)的最小值是. 11.(6分)(2015?浙江)函数f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是,单调递减区间是. 12.(4分)(2015?浙江)若a=log43,则2a+2﹣a=. 13.(4分)(2015?浙江)如图,三棱锥A﹣BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别是AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是.
2015年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)
2015年普通高等学校招生全国统一测试(湖北卷) 数学(理科) 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. (1)【2015年湖北,理1,5分】i 为虚数单位,607i 的共轭复数....为( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1- 【答案】A 【分析】60741513i i i i ?=?=-,共轭复数为i ,故选A . 【点评】本题考查复数的基本运算,复式单位的幂运算以及共轭复数的知识,基本知识的考查. (2)【2015年湖北,理2,5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( ) (A )134石 (B )169石 (C )338石 (D )1365石 【答案】B 【分析】依题意,这批米内夹谷约为28 1534169254 ?=石,故选B . 【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查学生的计算能力,比较基础. (3)【2015年湖北,理3,5分】已知(1)n x +的展开式中第4项和第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式 系数和为( ) (A )122 (B )112 (C )102 (D )92 【答案】D 【分析】因为(1)n x +的展开式中第4项和第8项的二项式系数相等,所以37n n C C =,解得10n =,所以二项式(1)n x + 中奇数项的二项式系数和为1091 222 ?=,故选D . 【点评】本题考查二项式定理的使用,组合数的形状的使用,考查基本知识的灵活运用 以及计算能力. (4)【2015年湖北,理4,5分】设211(,)X N μσ,2 22 (,)Y N μσ,这两个正态分布密 度曲线如图所示.下列结论中正确的是( ) (A )21()()P Y P Y μμ≥≥≥ (B )21()()P X P X σσ≤≤≤ (C )对任意正数t ,()()P X t P Y t ≤≥≤ (D )对任意正数t ,()()P X t P Y t ≥≥≥ 【答案】C 【分析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称,所以12μμ<,从图中容易得到 ()()P X t P Y t ≤≥≤,故选C . 【点评】本题考查了正态分布的图象和性质,学习正态分布,一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量, 结合正态曲线的图形特征,归纳正态曲线的性质. (5)【2015年湖北,理5,5分】设12,,,n a a a ∈R ,3n ≥.若p :12,,,n a a a 成等比数列; q :222222 21212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --+++++ +=+++,则( ) (A )p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件 (B )p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件 (C )p 是q 的充分必要条件 (D )p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件 【答案】A 【分析】对命题12:,,,n p a a a 成等比数列,则公比()1 3n n a q n a -=≥且0n a ≠; 对命题q ,①当时,成立; ②当时,根据柯西不等式,等式成 立,则 ,所以成等比数列,所以p 是q 的充分条件,但不是q 的必要 条件.故选A . 0=n a 22222 2 212 12312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --+++++ +=++ +0≠n a 22 222 2 21212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=++ +n n a a a a a a 132 21-=???==12,,,n a a a
15年高考真题——理科数学(湖北卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(湖北卷) 一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.i 为虚数单位,607 i =( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1- 2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( ) (A )134石 (B )169石 (C )338石 (D )1365石 3.已知()1n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( ) (A )12 2 (B )11 2 (C )10 2 (D )9 2 4.设()211,X N μσ,()2 22,Y N μσ,这两个正态分布密度曲线如图所示,下列结 论中正确的是( ) (A )()()21P Y P Y μμ≥≥≥ (B )()()21P X P X σσ≤≤≤ (C )对任意正数t ,()()P X t P Y t ≤≥≤ (D )对任意正数t ,()()P X t P Y t ≥≥≥ 5.设12,, ,n a a a R ∈,3n ≥,若p :12,, ,n a a a 成等比数列; q :()()()2 22 222 2 1212312231n n n n a a a a a a a a a a a a --++ +++ +=++ +,则( ) (A )p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件 (B )p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件 (C )p 是q 的充分必要条件 (D )p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件 6.已知符号函数()()() 10sgn 0010x x x x >?? ==?? -,()f x 是R 上的增函数,()()()g x f x f ax =-, 其中1a >,则( ) (A )()sgn sgn g x x =???? (B )()sgn sgn g x x =-???? (C )()()sgn sgn g x f x =???????? (D )()()sgn sgn g x f x =-???????? 7.在区间[]0,1上随机取两个数,x y ,记1p 为事件“1 2 x y +≥”的概率,2p 为事件“1||2x y -≤ ”的概率,3p 为事件“12 xy ≤1 2xy ≤”的概率,则( ) (A )123p p p << (B )231p p p << (C )312p p p << (D )321p p p <<
2015年湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析资料
2015年湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析资料
2015年湖北省高考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(5分)(2015?湖北)i 为虚数单位,i 607的共轭复数为( ) A . i B . ﹣i C . 1 D . ﹣1 2.(5分)(2015?湖北)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( ) A . 134石 B . 169石 C . 338石 D . 1365石 3.(5分)(2015?湖北)已知(1+x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( ) A 212 B 211 C 210 D 29
. . . . 4.(5分)(2015?湖北)设X ~N (μ1,σ12),Y ~N (μ2,σ22),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( ) A . P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1) B . P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1) C . 对任意正数t ,P (X ≤t )≥P (Y ≤t ) D . 对任意正数t ,P (X ≥t )≥P (Y ≥t ) 5.(5分)(2015?湖北)设a 1,a 2,…,a n ∈R ,n ≥3.若p :a 1,a 2,…,a n 成等比数列;q :(a 12+a 22+…+a n ﹣1 2 )(a 22+a 32+…+a n 2)=(a 1a 2+a 2a 3+…+a n ﹣ 1a n )2,则 ( ) A . p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件 B . p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件