锐角三角函数--讲义资料
锐角三角函数 讲义
一、基础知识点: 1.定义:
如图在△ABC 中，∠C 为直角,
我们把锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ；c
a A =sin 把锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ;c
b A =cos 把锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记作tan A ;b
a A =tan 2、三角函数值
(1）特殊角的三角函数值
角度 三角函数 0° 30° ４5° ６０° 90° s ｉｎA 0 12 22 32
１
cosA １ 32 2
2 12 0
ｔanA
3
1
3
不存在
(２）锐角三角函数值的变化：（1)当α为锐角时，各三角函数值均为正数,且0
（3）当0°<α<45°时,ｓin α__＿＿_c ｏs α;当45°＜α<90°时,ｓin α______c ｏs α.
3、 同角、互余角的三角函数关系:
(1)同角三角函数关系：1cos sin 22=+A A .； A
A A cos sin tan =；
(２)互余锐角的三角函数关系:)90cos(cos sin A B A -?==，)90sin(sin cos A B A -?==。
1、 解直角三角形:由直角三角形中除直角以外的两个已知元素(其中至少有一条边),求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。直角三角形的可解条件及解直角三
角形的基本类型如下表： 已知条件 解法 一条边和一个锐角 斜边ｃ和 锐角Ａ
2
90,sin ,cos ,sin cos B A a c A b c A S c A A ο=-===
直角边a 和
锐角A 90,,,tan sin a a
B A b c A A
ο=-==
两条边
两条直角 边a 和b 22c a b =
+,1
,90,2
A B A S ab ο
=-=
直角边ａ和 斜边c
2
2
,sin ,,90a
b c a A A B A c
ο=-==-
备注:a 、ｂ、c 为三角形的三边;A 、B 、C 为三角形的三个内角、S 为三角形的面积 三、典型例题：
1． 锐角三角函数的相关概念
例1、如图１，在RT △A ＢＣ中，∠C=９0°,si ｎA ＝5
3
,则tanB 的值为（?）
A ．34? B.54 ?C ．45 ??D ．4
3
例5
例2、如图,⊙O 是△A ＢC 的外接圆,A Ｄ是⊙Ｏ的直径,若⊙O 的半径是2
3
，AC=２,则ｓinB 的值是（ )
Ａ.32?? B.23???C ．43 ??D ．3
4?
例3：已知在Rt ABC △中,∠C 为直角，A Ｃ = ４cm ，ＢＣ = 3cm ，sin ∠A ＝ ． 例4：在Rt ABC △中,90C ∠=°，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，的对边，若2b a =，则
tan A = ．
例5:如图,在Rt △ABC 中,∠C ＝9０°,ＡB =5,AC ＝２，则cos Ａ的值是( ) A.错误! B.错误! C.错误! D ．错误!
A C
B
图1
A B
C
D
O
例2
A
C
B A
C
B
D
B
A
C
D
E 例6：如图2,在△ABC 中,∠C =９0°，ＡB =1０cm ,sinA =5
4
，则B Ｃ的长为 __＿c ｍ． 例6
例７:正方形网格中，AOB ∠如图3放置，则cos AOB ∠的值为（ ）
A.
55
? Ｂ．
255? C.1
2
??D.2 典型例题题型一：求锐角三角函数的值
例1 在Ｒt △ＡＢC 中,∠C ＝90°，sin Ｂ=3
5
,点D 在ＢＣ边上，且∠ADC=45°，DC=6，
求∠ＢAD 的正切值.
变式训练1 如图,在ABC △中,90ACB ∠=，CD AB ⊥于D ,若23AC =,32AB =,则tan BCD ∠的值为（ ) A.2 B ．
2
C ．6?
D ．3
变式训练2如图,在等边△ABC 中,D 为BC 边上一点,E 为AC 边上一点,
且∠ＡDE=6０°,BD=4,CE=4
3
，则△ABC 的面积为( )
A.83
B.１5?
C.3
D.3题型三:化简计算
例1(1））计算：20113015
(1)()(cos68)338sin 602π
---+++-.
A
B
O
例7
变式1图 变式2图
变式:已知α是锐角，且s ｉn(α+15°）＝
3
2
。计算1
0184cos ( 3.14)tan 3απα-??
---++ ???。
特殊角的三角函数值
例１菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示,452AOC OC ∠==°，，则点B 的坐标为( )
A.(21)，
B ．(12)，
C ．(211)
+， Ｄ.(121)+， 变式训练2. 如图,直径为10的⊙A 经过点C (0,5)和点Ｏ (0,０)，B 是y 轴右侧⊙Ａ优
弧上一点，则∠OBC 的余弦值为( ).
A ．12 B. 34 Ｃ
. 32 D.
4
5
概念巩固练习
1.已知ABC ?中,A Ｃ＝4,BC =3,AB =5,则sin A =（ ） A ． 3
5
B ．
45 C. 53 D ． 34
2.已知α为锐角,且2
3
)10sin(=
?-α，则α等于( ） A.?50 Ｂ.?60 Ｃ.?70 Ｄ．?80
3.如图，已知直角三角形ABC 的斜边AB 长为m ,40B ∠=,则直角边BC 的长是( ） Ａ.sin 40m ??Ｂ.cos 40m ?C ．tan 40m D ．
tan 40
m
４.正方形网格中，AOB ∠如图放置，则sin AOB ∠=( )
A
B O
例1图
变式1图
第3图
第4图
Ａ．
55 Ｂ.255 C ．12
D ．2 5.在△A ＢC 中,∠Ｃ＝90°，ｔａn A ＝3
1
，则sin B =( ） Ａ.
10
10 B.32 Ｃ.43 Ｄ．1010
3
6.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ,则tan CBE 的值是( ） A ．
247? B ．73 C.7
24
D.1
3
7、如图,A Ｂ是⊙O 的直径，Ｃ、D 是圆上的两点(不与Ａ、B 重合），已知BC ＝2，tan ∠ADC =1,则A Ｂ＝__________.
2、锐角三角函数的应用性问题 (1)求线段长、面积、周长
例1如图，测量河宽AB (假设河的两岸平行），在C 点测得∠ACB =30°,D 点测得∠A ＤＢ＝60°,又CD =6０m,则河宽AB 为 m(结果保留根号).
变式１如图，一个小球由地面沿着坡度ｉ＝1∶2的坡面向上前进了10 m,此时小球距离地面的高度为( )
A ．５ m B.25m C.45ｍ D.3
10m
变式2 如图是一个半圆形桥洞截面示意图,圆心为O ,直径AB 是河底线,弦CD 是水位线，CD ∥ＡB ，且ＣD ＝ ２4 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得s ｉｎ∠D ＯE =
12
13
. （１）求半径OD ；（2)根据需要,水面要以每小时0.5 m 的速度下降,则经过多长时间才能将水排干？
6 8
C
E
A
B
D
（第6题）
A
B
C
D
O
E
C D 第7图 例1图
例2如图,菱形ABＣD的边长为1０cm，DＥ⊥ＡB，
3
sin
5
A=,则这个菱形的面积＝
ｃｍ２．
（2）测量问题
例２、某学校宏志班的同学们五一期间去双塔寺观赏牡丹,同时对文宣塔的高度进行了
测量,如图2,他们先在A处测得塔顶C的仰角为３0°;再向塔的方向直行80步到达B 处，又测得塔顶C的仰角为60°,请用以上数据计算塔高。(学生的身高忽略不计，1步
＝0.８m,结果精确到1m）
（３）、航海问题
例3、如图3,灯塔A在港口0的北偏东55°的方向，且与港口的距离为８0海里，一艘
船上午９时从港口0出发向正东方向航行，上午１1时到达B处，看到灯塔A在它的正
北方向,试求这艘船航行的速度（精确到０.０１海里/小时）(供选数据:ｓｉn55°＝0.81９２,cos55°＝０.5７36，taｎ５5°=1.428１）
四、巩固练习:
1.如图，在Rt ABC
△中，ACB
∠=Rt∠，1
BC=,2
AB=,则下列结论正确的是( ）
A.
3
sin A=Ｂ.
1
tan
2
A= C.
3
cos B= D.tan3
B=
B
C
A
A
B
O
北
东
西
南
)
55
2. 如图,在坡屋顶的设计图中,AB=AC,屋顶的宽度l 为１0米,坡角α为３5°,则坡屋顶的高度h 为 米.（结果精确到0．1米)
3. △AB Ｃ中，∠C ＝９0°，ＡB ＝8，cos Ａ=4
3
，则AC 的长是 ；
4.先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米,那么这两树在坡面上的距离AB 为( ）
A. αcos 5 Ｂ. αcos 5 C ． αsin 5 D. α
sin 5
5.如图１0,已知R ｔ△AB Ｃ中,ＡC=3，ＢC= 4，过直角顶点C 作CA 1⊥AB,垂足为A １，再过A １作Ａ1C 1⊥BC,垂足为C 1,过C 1作C 1A 2⊥ＡB,垂足为A ２,再过Ａ２作A 2Ｃ２⊥BC,垂足为Ｃ2,…,这样一直做下去,得到了一组线段CA 1,A 1C １,12C A ，…，则CA 1= ,
=5
55
4C A A C
第５题图 填空第１题图 填空第2题图
6.某人沿着有一定坡度的坡面前进了１0米,此时他与水平地面的垂直距离为52米,则这个破面的坡度为____＿＿＿＿＿_.
7.如图所示，小华同学在距离某建筑物６米的点A 处测得广告牌B 点、C 点的仰角分别为５2°和35°，则广告牌的高度BC 为_＿_____＿_____米(精确到０.1米).(sin35°≈０.５7,ｃｏs35°≈0.８2,tan35°≈0.70；ｓin52°≈0.７9，co ｓ5２°≈0.6２，t ａn52°≈1.2８)
8. 104cos30sin 60(2)(20092008)-??+---＝_＿_＿__．
9. (１) 计算2(2)tan 452cos 60-+-。。= (2）计算：()0
2cos602009π9--+°=
五、课后练习
1．如图，小颖利用有一个锐角是３0°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离ＢE 为５m,AB 为１．5m （即小颖的眼睛距地面的距离)，那么这棵树高是
B A E
D C
30
图
A B
C
D 6米 52° 35°
(第7题图)
C
B
A
( ) A.（
533
32+)m Ｂ．
（3532
+）m C. 533ｍ D ．4m 2．如图,在等腰R ｔ△AB Ｃ中，∠Ｃ=90o ,AC =6，D 是AC 上一点,若tan∠ＤBA ＝5
1
，则
AD 的长为（ )（Ａ) 2 (B ）3 （C ）2 (Ｄ）１ 3.已知在ABC △中，90C ∠=，设sinB n =,当B ∠是最小的内角时,n 的取值范围是
A.202n <<
B ．1
02
n << C ．303n << D.302n << 4.如图，每个小正方形的边长为１,A 、B 、C 是小正方形的顶点,则∠ABC 的度数为( ） A.90° B ．６0° C.45° Ｄ．30°
５．如图，矩形ＡＢCD 中,AB ＞AD ，ＡＢ=a ,AN 平分∠DAB ,D Ｍ⊥ＡN 于点Ｍ,CN ⊥A Ｎ于点N ．则ＤM ＋CN 的值为（用含a 的代数式表示）( ） A ．a B ．a 5
4
Ｃ.a 22 D ．a 2
3 6．在△ABC 中,∠Ｃ＝90°,s ｉnA=
4
5
，则ｔanB=( ） A ．43 B ．34 C.35 Ｄ．4
5
7．在正方形网格中,ABC △的位置如图所示,则cos B ∠的值为( ）
Ａ．1
2
? Ｂ．22
C ．
32??D ．3
3
８.计算2sin 45°的结果等于＿___＿___.
9.在Rt△ABC 中,∠C=90°，若ＡC ＝２ＢC,则si ｎ A 的值是( ) A ．1
2
B ．２ Ｃ．
5 Ｄ.5 10．在Rt △ABC 中,∠Ｃ=90°，AC=2，B Ｃ=1,则ｔａｎB= ，ｓinA ＝ 。
11．直角梯形ＡＢＣD 中,AB ⊥BC ，ＡＤ∥BC ，BC ＞AD ，AD ＝2,ＡB =4,点E 在AB 上， 将△ＣBE 沿CE 翻折，使得B 点与D 点重合，则∠ＢＣE 的正切值
为 .
a
M C
D
A
B
（第5题）
第7题
第11题
第4题
１2.如图,在△ABC 中,∠B ＝4５°,ｃos ∠C
＝5
3
,AC=５a ，则△ＡBC 的面积用含ａ的式
子表示是 .
13．如图,某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的Ａ点处发现海中的Ｂ点有人求救，便立
即派三名救生员前去营救.1号救生员从A 点直接跳入海中；２号救生员沿岸边（岸边看成是直线)向前跑到C 点,再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑3 0 O 米到离B 点最近的D 点，再跳人海中．救生员在岸上跑的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是２米／秒.若∠ＢAD=４ 5°,∠BCD=6 0°，三名救生员同时从Ａ点出发,请说明谁先到达营救地点B. (参考数据2≈１．4，3≈1.7)
14．如图13，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离()AB 是 1.7m ，看旗杆顶部M 的仰角为45;小红的眼睛与地面的距离()CD 是1.5m,看旗杆顶部M 的仰角为30．两人相距28米且位于旗杆两侧(点B N D ，，在同一条直线上).请求出旗杆MN 的高度.(参考数据:2 1.4≈,3 1.7≈,结果保留整数)
M
N
B A D
C
30° 45°
D
A
B
C
E
F
1５．小刚有一块含有３0°角的直角三角板，他想测量其短直角边的长度,而手中另外只有一个量角器，于是他采用了如下的办法，并获得了相关数据：第一步，他先用三角板标有刻度的一边测出量角器的直径AB 的长度为9c ｍ；
第二步,将三角板与量角器按如图所示的方式摆放，并量得∠ＢOC 为8０°(O 为AB 中点).请你根据小刚测得的数据，求出三角板的短直角边ＡＣ的长.
(参考数据：sin8０°＝０．9８,cos80°=0.１7,ｔa ｎ８0°＝５.６7;ｓin ４0°＝
0.6４，
cos ４０°=０．7７,tan ４０°＝0.84，结果精确到0.1cm .)
１6.如图，在矩形ABCD 中,E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥,垂足为F ,连接
DE .
（1)求证：ABE △DFA ≌△;
（2)如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值.
A
B
C
O
培优锐角三角函数辅导专题训练含详细答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°
在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再
锐角三角函数--讲义资料
锐角三角函数 讲义 一、基础知识点: 1.定义: 如图在△ABC 中，∠C 为直角, 我们把锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ；c a A =sin 把锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ;c b A =cos 把锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记作tan A ;b a A =tan 2、三角函数值 (1）特殊角的三角函数值 角度 三角函数 0° 30° ４5° ６０° 90° s ｉｎA 0 12 22 32 １ cosA １ 32 2 2 12 0 ｔanA 3 1 3 不存在 (２）锐角三角函数值的变化：（1)当α为锐角时，各三角函数值均为正数,且0
角形的基本类型如下表： 已知条件 解法 一条边和一个锐角 斜边ｃ和 锐角Ａ 2 90,sin ,cos ,sin cos B A a c A b c A S c A A ο=-=== 直角边a 和 锐角A 90,,,tan sin a a B A b c A A ο=-== 两条边 两条直角 边a 和b 22c a b = +,1 ,90,2 A B A S ab ο =-= 直角边ａ和 斜边c 2 2 ,sin ,,90a b c a A A B A c ο=-==- 备注:a 、ｂ、c 为三角形的三边;A 、B 、C 为三角形的三个内角、S 为三角形的面积 三、典型例题： 1． 锐角三角函数的相关概念 例1、如图１，在RT △A ＢＣ中，∠C=９0°,si ｎA ＝5 3 ,则tanB 的值为（?） A ．34? B.54 ?C ．45 ??D ．4 3 例5 例2、如图,⊙O 是△A ＢC 的外接圆,A Ｄ是⊙Ｏ的直径,若⊙O 的半径是2 3 ，AC=２,则ｓinB 的值是（ ) Ａ.32?? B.23???C ．43 ??D ．3 4? 例3：已知在Rt ABC △中,∠C 为直角，A Ｃ = ４cm ，ＢＣ = 3cm ，sin ∠A ＝ ． 例4：在Rt ABC △中,90C ∠=°，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，的对边，若2b a =，则 tan A = ． 例5:如图,在Rt △ABC 中,∠C ＝9０°,ＡB =5,AC ＝２，则cos Ａ的值是( ) A.错误! B.错误! C.错误! D ．错误! A C B 图1 A B C D O 例2
培优锐角三角函数
锐角三角函数 题型：锐角三角函数基本概念(1) 例：已知α为锐角，下列结论： （1）sin α+cos α=1;（2）若α>45°,则sin α>cos α;（3）若cos α> 2 1 ,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。正确的有（ ）A.(1) (2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3) 变式： 1、下列各式中，不正确的是（ ） A.160cos 60sin 0 2 2 =+ B .130cos 30sin 0 =+ C.0 55cos 35sin = °>sin45° 2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-，那么∠A 的取值范围是（ ） °<∠A ≤90° °<∠A<180° °≤∠A<90° °≤∠A ≤90° 3．α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 4。若sin53018\=，则cos36042\= 题型：锐角三角函数基本概念(2) 例：已知sin α·cos α= 8 1 ，且45°<α<90°，则COS α-sin α的值为（ ） A. 23 B.23- C.4 3 D.23± 变式： 1、已知△ABC 中，∠C=90°，下列各式中正确的是（ ） A.sinA+cosB=sinC +sinB=sinC C.2cos 2sin C B A += D.2 tan 2tan C B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ，则m,n 的关系式（ ） A.m=n =2n+1 C.122 +=n m D.n m 212 -= 题型：求三角函数值 例：如图，菱形的边长为5，AC 、BD 相交于点O ，AC=6，若a ABD =∠，则 下列式子正确的是（ ） A.sin α= 54 α=53 α=34 α=3 4 变式：1、设0°<α<45°，sin αcos α= 16 7 3,则sin α= 2、已知sin α-cos α= 51，0°<α<180°，则tan α的值是（ ）43 B.43- C.34 D.3 4- 3、如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，E 为AB 上一点，且BE=3AE ，求sin ∠ECM 。
培优锐角三角函数之欧阳光明创编
锐角三角函数 欧阳光明（2021.03.07） 题型：锐角三角函数基本概念(1) 例：已知α为锐角，下列结论： （1）sin α+cos α=1;（2）若α>45°,则sin α>cos α;（3）若 cos α>21,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。正确的有（）A.(1)(2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3) 变式： 1、下列各式中，不正确的是（） A.160cos 60sin 0202=+ B .130cos 30sin 00=+ C.0055cos 35sin = D.tan45°>sin45° 2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-，那么∠A 的取值范围是（） A.0°<∠A ≤90° B.90°<∠A<180° C.0°≤∠A<90° D.0°≤∠A ≤90° 3．α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 4。若sin53018\=0.8018，则cos36042\= 题型：锐角三角函数基本概念(2) 例：已知 sin α·cos α=81，且45°<α<90°，则COS α-sin α的值为（） A.23B.2 3- C.43D.23± 变式： 1、已知△ABC 中，∠C=90°，下列各式中正确的是（）
A.sinA+cosB=sinC B.sinA+sinB=sinC C.2cos 2sin C B A += D.2tan 2tan C B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ，则m,n 的关系式（） A.m=n B.m=2n+1 C.122+=n m D.n m 212 -= 题型：求三角函数值 例：如图，菱形的边长为5，AC 、BD 相交于点O ， AC=6，若a ABD =∠，则下列式子正确的是（） A.sin α=54 B.cos α=53 C.tan α=34 D.cot α=34 变式：1、设0°<α<45°，sin αcos α=167 3,则sin α= 2、已知sin α-cos α=5 1，0°<α<180°，则tan α的值是（ ）43B.43- C.34D.34- 3、如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，E 为AB 上一点，且BE=3AE ，求sin ∠ECM 。 4、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE 。 （1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。 题型：三角函数值的计算(1) 例：计算：000020246tan 45tan 44tan 42sin 48sin ??-+= 变式：1、计算： 2002020010)60cot 4()60tan 25.0(?= 2、计算：0 000002000027tan 63tan 60cot 360sin 60cot 45cos )45sin 30)(cos 45cos 60(sin -++- 题型：三角函数值的计算(2)
完整九年级数学锐角三角函数学生讲义.docx
锐角三角函数与解直角三角形 【考纲要求】 1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题 . 题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现； 2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题 . 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在 Rt △ABC中，∠ C＝ 90°，∠ A 所对的边的邻边，∠ B 所对的边 AC记为 b，叫做∠ B 的对边，也是∠叫做斜边．BC记为 a，叫做∠ A 的对边，也叫做∠B A 的邻边，直角 C 所对的边 AB 记为 c， B c a A b C 锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的正弦，记作sinA ，即sin A A的对边 a ； 斜边c 锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的余弦，记作cosA，即cos A A的邻边 b ； 斜边c 锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的正切，记作tanA ，即tan A A的对边 a . A的邻边b 同理 sin B B的对边b ； cos B B的邻边 a ； tan B B的对边 b ． 斜边c斜边c B的邻边a 要点诠释： (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条
，， ，不能理解成sin 与∠ A，cos 与∠ A， tan 与∠ A 的乘积．书写时习惯上省略∠ A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角( 如∠ AEF)，其正切应写成“ tan ∠ AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、
数学锐角三角函数的专项培优练习题(含答案)及详细答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，海上观察哨所B 位于观察哨所A 正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B 同时发现一走私船，其位置C 位于哨所A 北偏东53°的方向上，位于哨所B 南偏东37°的方向上． （1）求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离； （2）若观察哨所A 发现走私船从C 处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D 处成功拦截．（结果保留根号） （参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37 ＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈） 【答案】（1）观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里；（2）当缉私艇以每小时617D 处成功拦截. 【解析】 【分析】 （1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB ＝90°，再解Rt △ABC ，利用正弦函数定义得出AC 即可； （2）过点C 作CM ⊥AB 于点M ，易知，D 、C 、M 在一条直线上．解Rt △AMC ，求出CM 、AM ．解Rt △AMD 中，求出DM 、AD ，得出CD ．设缉私艇的速度为x 海里/小时，根据走私船行驶CD 所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程，解方程即可． 【详解】 （1）在ABC △中，180180375390ACB B BAC ?????∠=-∠-∠=--=. 在Rt ABC 中，sin AC B AB = ，所以3sin 3725155 AC AB ? =?=?=（海里）. 答：观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里. （2）过点C 作CM AB ⊥，垂足为M ，由题意易知，D C M 、、在一条直线上. 在Rt ACM 中，4 sin 15125 CM AC CAM =?∠=? =，3 cos 1595 AM AC CAM =?∠=?=. 在Rt ADM △中，tan MD DAM AM ∠=， 所以tan 7636MD AM ?=?=. 所以222293691724AD AM MD CD MD MC = +=+==-=，.
锐角三角函数超经典讲义
锐角三角函数 知识点一：锐角三角函数 1、锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。 2、锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边 A A ∠= sin 。 3、锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边 A A ∠=cos 。 4、锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即的邻边 的对边 A A A ∠∠=tan 。 sin α，cos α，tan α都是一个完整的符号，单独的 “sin”没有意义，其中α前面的“∠”一般省略不写；但当用三个大写字母表示一个角时，“∠”的符号就不能省略。 考点一：锐角三角函数的定义 1、在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosB=5 4 ，则AC ：BC ：AB=（ ） A 、3：4：5 B 、5：3：4 C 、4：3：5 D 、3：5：4 2、已知锐角α，cosα= 3 5 ，sinα=_______，tanα=_______。 3、在△ABC 中，∠C=90°，若4a=3c ，则cosB= = ______。 4、在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA= 1 3 ，则BC 等于_______。 5、在△ABC 中，∠C=90°，若把AB 、BC 都扩大n 倍，则cosB 的值为（ ） A 、ncosB B 、1 n cosB C 、cos n B D 、不变 考点二：求某个锐角的三角函数值——关键在构造以此锐角所在的直角三角形 例1、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE 。 （1）求证：ABE △DFA ≌△； （2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。 6、如图，在△ABC 中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求△ABC 面积（结果可保留根号）。 注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三
锐角三角函数(培优)
知识要点 1、 锐角三角函数定义？ 斜边的对边αα∠= sin 斜边的邻边αα∠=cos 的邻边的对边 ααα∠∠= t a n 的对边的邻边ααα∠∠=cot 2、 特殊角的三角函数值300 、450 、600 、的记忆规律： 3、 角度变化与锐角三角函数的关系 当锐角α在00∽900 之间变化时，正弦（切）值随着角度的增大而增大；余弦（切）值随着角度的增大而减少。 4、 同角三角函数之间有哪些关系式 平方关系：sin 2A ＋cos 2 A ＝1； 商数关系：sinA/cosA ＝tanA ； 倒数关系：tanA ·tan B ＝1； 5、 互为余角的三角函数有哪些关系式？ Sin （900－A ）＝cosA ； cos （900－A ）＝sin A ； tan （900 －A ）＝ctan A ； 一、选择题 1．在Rt △ABC 中，∠C ＝900 ，∠A ＝∠B ，则sinA 的值是（ ）．A ． 2 1 B ．22 C ．23 D ．1 2．在△ABC 中，∠A ＝105°，∠B ＝45°，tanC 的值是（ ）． A ． 2 1 B ．33 C ．1 D ．3 3．在Rt △ABC 中，如果各边的长度都缩小至原来的 5 1 ，那么锐角A 的各个三角函数值（ ）． A ．都缩小 5 1 B ．都不变 C ．都扩大5倍 D ．仅tan A 不变 4．如图，菱形ABCD 对角线AC ＝6，BD ＝8，∠ABD ＝α．则下列结论正确的是（ ）． A ．sin α＝ 54 B ．cos α＝ 53 C ．tan α＝ 34 D ．tan α＝ 4 3 5．在Rt △ABC 中，斜边AB 是直角边AC 的3倍，下列式子正确的是（ ）． A ．423sin = A B ．3 1 cos =B C ．42tan =A D ．tan 4B = 6．已知ΔABC 中，∠C ＝90?，CD 是AB 边上的高，则CD ：CB 等于（ ）． A ．sinA B ．cosA C ．tanA D ． 1 tan A 7．等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）．A. 513 B. 1213 C.10 13 D.512 8．如图，在△EFG 中，∠EFG ＝90°，FH ⊥EG ，下面等式中，错误．．的是（ ）． A. sin EF G EG = B. sin EH G EF = C. sin GH G FG = D. sin FH G FG = 9．身高相同的三个小朋友甲、乙、丙风筝，他们放出的线长分别为300米、250米、200米，线与地面所成的角为30°、45°、60°（风筝线是拉直的），则三人所放的风筝（ ）．
锐角三角函数培优题目
锐角三角函数培优题目 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质： 1．单调性； 2．互余三角函数间的关系； 3．同角三角函数间的关系． 平方关系：sin 2α+cos 2α=1； 商数关系：tgα=ααcos sin ，ctgα=α αsin cos ； 倒数关系：tgαctgα=1． 【例题求解】 【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝ 135，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ． 思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA= 135=AC CD ，tanB=2=BD CD ，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值． 注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不 难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 21sin 21sin 21== ； （2）R C c B b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，BC=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32- C ．0.3 D ．23- 思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化． 注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形． （2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．
初中锐角三角函数专题
第1页 目录 课题：锐角三角函数课件 ........................................................................................................................................ 1 解直角三角形应用题 ................................................................................................................................................ 5 解直角三角形的方法技巧 ...................................................................................................................................... 10 锐角三角函数考点 .................................................................................................................................................. 15 锐角三角函数 课后检测 . (18) 课题：锐角三角函数课件 【引题】 例题1：操作与探究 （1）度量下列一组直角三角形30度角所对的边与斜边，计算它们的比值，发现什么规律？ （2）度量下列一组直角三角形45度角所对的边与斜边，计算它们的比值，发现什么规律？ （3）猜想：当∠A 取其它一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比值是否定值？为什么？ （4）用同样的方法探讨∠A 的邻边与斜边、∠A 的对边与邻边的比有什么规律？为什么？ 45? 45? 45? C 2 B 2 A 2 A 1 B 1 C 1B ★【归纳与总结】 三角函数的定义：如图，在RtΔABC 中,∠C=90°， 例题2：如图：利用特殊直角三角形求特殊角的三角函数。 （1）已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，求30°角、60°角的三角函数，并填出表格。 （2）已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，求45°角的三角函数，并填出表格。 （3）分析上面特殊角的三角函数，你能从表格中发现什么规律？ A C B 45? 60? C B A 30?
九年级下册锐角三角函数专题讲义
1 九年级下册锐角三角函数专题讲义 一．知识框架 二．锐角三角函数 1.Rt △ABC 中: (1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作sinA ＝ ∠A 的对边 斜边 (2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦，记作cosA ＝ ∠A 的邻边 斜边 (3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作tanA ＝ ∠A 的对边 ∠A 的邻边 2.特殊角的三角函数: A sinA cosA tanA 30° 12 32 33 45° 22 22 1 60° 32 12 3
2基础训练： 例1.把Rt △ABC 各边的长度都扩大2倍得Rt △A ′B ′C ′，那么锐角A 、A ′的正弦值的关系为（ ） A ． sinA ＝sinA ′ B ． sinA ＝2sinA ′ C ． 2sinA ＝sinA ′ D ． 不能确定 例2.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝5，AC ＝4，则sinB 的值是（ ） A ． 35 B ． 45 C ． 34 D ． 4 3 练习1.在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，2 sin 3 A =，则边AC 的长是（ ） A B ．3 C ．4 3 D 练习2.如图，△ABC 中，AB=25，BC=7，CA=24．求sinA 的值 25 24 7C B A 练习3.等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，求sinA 、sinB 练习4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，若b=3a ，则tanA= 练习5.在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝ 4 ，c ＝2，则a ＝ 练习6.如果a ∠是等腰直角三角形的一个锐角，则cos α的值是（ ） Ａ．12 Ｂ．2 Ｃ．1
锐角三角函数-基础+培优
A B C D α A （第7题） 1l 3l 2l 4l A D E B 图 C 一、锐角三角函数定义：sin αα∠= 的() （ ） cos αα∠=的（）（） tan α= （） （） 例1．在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝3 2 ，求cosA 、tanB ． 例2．△ABC 中，已知∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝63，BD ＝3. （1）求cosA （2）求BC 的长及△ABC 的面积． 例3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是∠BAC 的角平分线，与BC 相交于点D ，且AB ＝43，求AD 的长． 例4.如图1，已知AD 是等腰△ABC 底边上的高，且tan ∠B=43 ,AC 上有一点E ，满足AE:CE=2:3则tan ∠ADE 的值是 练习．1.在7,35,90==∠=AB B 中，则BC 的长为（ ） （A ） 35sin 7 （B ） 35 cos 7（C ） 35cos 7 （D ）． 35tan 7 2．在Rt △ABC 中，斜边AB 是直角边AC 的3倍，下列式子正确的是（ ）． A ．423sin = A B ．3 1 cos =B C ．42tan =A D ．2tan B = 3．已知ΔABC 中，∠C ＝90 ，CD 是AB 边上的高，则CD ：CB 等于（ ）． A ．sinA B ．cosA C ．tanA D ． 1 tan A 4. Rt△ABC 中，∠C =90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，那么c 等于（ ） A.cos sin a A b B + B.sin sin a A b B + C sin sin a b A B +. D.cos sin a b A B + 5. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D ．若AC=5，BC=2，则sin∠ACD 的值为 6. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cot A = a b ．则下列关系式中不成立．．．的是（ ）（A ）tan A ·cot A =1 （B ）sin A =tan A ·cos A （C ）cos A =cot A ·sin A （D ）tan 2A +cot 2A =1 7.如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α= ． 8．如图，已知矩形ABCD 的两边AB 与BC 的比为4:5，E 是AB 上的一点，沿CE 将ΔEBC 向上翻折，若B 点恰好落在边AD 上的F 点，则tan ∠DCF 等于 C B A E F D 第8题 C M B A 第7题 D B C A C B 第2题
锐角三角函数—知识讲解
锐角三角函数—知识讲解 责编：康红梅 【学习目标】 1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义； 2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”. 【要点梳理】 要点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边． 锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A a A c ∠= =的对边斜边； 锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A b A c ∠= =的邻边斜边； 锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A a A A b ∠= =∠的对边的邻边. 同理sin B b B c ∠= =的对边斜边；cos B a B c ∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边． 要点诠释： (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成 C a b
，， ，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成 “tanAEF”；另外，、
中考数学锐角三角函数(大题培优 易错 难题)附详细答案
中考数学锐角三角函数(大题培优易错难题)附详细答案 一、锐角三角函数 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°
在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再
九年级数学锐角三角函数(学生讲义)之欧阳光明创编
锐角三角函数与解直角三角形 欧阳光明（2021.03.07） 【考纲要求】 1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现； 2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB 记为c，叫做斜边． 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即 sin A a A c ∠ == 的对边 斜边； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即 cos A b A c ∠ == 的邻边 斜边； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即 C a b
tan A a A A b ∠ == ∠ 的对边 的邻边. 同理 sin B b B c ∠ == 的对边 斜边； cos B a B c ∠ == 的邻边 斜边； tan B b B B a ∠ == ∠ 的对边 的邻边． 要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知： 当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA ＞0． 考点二、特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下： 要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了
初三锐角三角函数复习讲义
锐角三角函数： 知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义： 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA ∠A 的余弦可表示为：cosA ∠A 的正切可表示为：tanA ，它们称为∠A 的锐角三角函数 ①斜边 ) (sin =A ＝______， ②斜边 ) (cos =A ＝______， ③的邻边 A A ∠= ) (tan ＝______， 【特别提醒：1、sinA 、cosA 、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关。 2、取值范围
类型二. 利用角度转化求值： 1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点． DE ∶AE ＝1∶2． 求：sin B 、cos B 、tan B ． 2． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ， 和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ） A ．12 B ．32 C ．35 D ．4 5 5.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为 3 2 ，2AC =，则sin B 的值是（ ） A ． 23 B ．32 C ．34 D ．43 6. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( ) Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．3 5 Ｄ． 45 A D E C B F 7. 如图6，在等腰直角三角形ABC ?中，90C ∠=?，6AC =，D 为AC 上一点，若 1 tan 5 DBA ∠= ，则AD 的长为( ) A ．2 B ．2 C ．1 D ．22 D C B A O y x 第8题图
中考数学锐角三角函数(大题培优)及答案
中考数学锐角三角函数(大题培优)及答案 一、锐角三角函数 1．如图，山坡上有一棵树AB ，树底部B 点到山脚C 点的距离BC 为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F 处测量这棵树的高，点C 到测角仪EF 的水平距离CF=1米，从E 处测得树顶部A 的仰角为45°，树底部B 的仰角为20°，求树AB 的高度．（参考数 值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 【答案】6.4米 【解析】 解：∵底部B 点到山脚C 点的距离BC 为6 3 米，山坡的坡角为30°． ∴DC=BC?cos30°=3 639=?=米， ∵CF=1米， ∴DC=9+1=10米， ∴GE=10米， ∵∠AEG=45°， ∴AG=EG=10米， 在直角三角形BGF 中， BG=GF?tan20°=10×0.36=3.6米， ∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米， 答：树高约为6.4米 首先在直角三角形BDC 中求得DC 的长，然后求得DF 的长，进而求得GF 的长，然后在直角三角形BGF 中即可求得BG 的长，从而求得树高 2．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60??,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处. （1）求之间的距离 （2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值.
【答案】（1）120米；（2）23 5 . 【解析】 【分析】 （1）解直角三角形即可得到结论； （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==， '30CE AA ==3，在Rt △ABC 中，求得DC= 3 3 AC=203，然后根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】 解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt △ABC 中，AC=60m ， ∴AB=sin 30AC ? =6012 =120（m ） （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ， 则'60A E AC ==， '30CE AA ==3， 在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°， ∴DC=3AC=203 ∴DE=503 ∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC= 'A E DE =503= 2 35 答：从无人机'A 上看目标D 的俯角的正切值是 2 35 ． 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键. 3．如图，在△ABC 中，AB=7.5，AC=9，S △ABC = 81 4 ．动点P 从A 点出发，沿AB 方向以每秒5个单位长度的速度向B 点匀速运动，动点Q 从C 点同时出发，以相同的速度沿CA 方向向A 点匀速运动，当点P 运动到B 点时，P 、Q 两点同时停止运动，以PQ 为边作正△PQM
锐角三角函数讲义全
锐角三角函数 第一课时:三角函数定义与特殊三角函数值 知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义： 在Rt △ABC 中，∠C=900 , ∠A、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA= ， ∠A 的余弦可表示为cosA= ∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数 例1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°． ①斜边 )(sin =A ＝______， 斜边 ) (sin = B ＝ ______； ②斜边 )( cos =A ＝______， 斜边 ) (cos = B ＝ ______； ③的邻边 A A ∠=) ( tan ＝______， ) (tan 的对边 B B ∠= ＝
______． 例2. 锐角三角函数求值： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______． 例3．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3． 求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ． 对应练习: 1、 在Rt△ABC 中，a ＝5，c ＝13，求sinA ，cosA ，tanA ． 2、 如图，△ABC 中，AB=25，BC=7，CA=24．求sinA 的值． 3、 已知α是锐角，且cos α=34 ，求sin α、tan α的值． 4、在Rt ABC △中，90C ∠=o ，5AC =，4BC =， 则tan A = ． 5、在△ABC 中，∠C=90°，sinA=5 3，那么tanA 的值等于 （ ）.