第9讲：一次函数与正比例函数_教案

概述
适用学科
初中数学
适用年级
初二
适用区域 北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点 函数及其表示方法
函数的值及自变量的取值范围
一次函数与正比例函数
教学目标 1、根据两个变量间的关系式，给定其中一个量，相应地会求出另一个量的值。
2、判断两个变量之间的关系是否可看作函数。
3、理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系。
4、能根据所给条件写出简单的一次函数表达式。
5、经历一般规律的探索过程、发展学生的抽象思维能力。
6、通过由已知信息写一次函数表达式的过程，发展学生的数学应用能力。
教学重点 1、一次函数、正比例函数的概念及关系。
2、会根据已知信息写出一次函数的表达式。
教学难点 会根据已知信息写出一次函数的表达式。
【教学建议】 本节课从生活实例中引入函数的概念，注意引导学生探索发现及由实例到数学模型的抽象思维能力．
【知识导图】
1

一次函数与正比例函数
函数及其表示方法 函数自变量的取值范围 一次函数及正比例函数
一、导入
1.如图所示堆放钢管.
（1）填表
层数
1
2
3
…
x
钢管总数
（2）对于给定的层数，钢管的总数确定吗？
二、知识讲解
考点 1 函数及其表示
1.如图所示堆放钢管.
（1）填表
层数
1
2
3
…
x
2

钢管总数 （2）对于给定的层数，钢管的总数确定吗？
2、声音在空气中传播的速度 y（m/s）（简称音速）与气温 x（℃）之间的关系：y= 3 x+331，x≥0， 5
（1）当 x 分别为 5，15，30 时，你能求出相应的 y 值吗？ （2）给出任意 x，你能求出对应的 y 值吗？ 在上面各例中，都有两个变量，给定其中一个变量的值，相应地就确定了另外一个变量的值。 一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值 与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数． 在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做 自变量；数值始终不变的量叫做常量 ； 函数有三种表示形式： （1）解析式法；（2）列表法；（3）图象法
考点 2 函数自变量的取值范围
函数中自变量取值范围的求法： （1）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。 （2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为 0 的一切实数。 （3）用奇次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围 是使被开方数为非负数的一切实数。 （4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量 的取值范围。 （5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。
考点 3 一次函数及正比例函数
有关函数问题在我们日常生活中随处可见，如弹簧秤有自然长度，在弹性限度内，随着所挂物体的重
量的增加，弹簧的长度相应的会拉长，那么所挂物体的重量与弹簧的长度之间就存在某种关系，究竟是什
么样的关系，请看：
某弹簧的自然长度为 3 厘米，在弹性限度内，所挂物体的质量 x 每增加 1 千克、弹簧长度 y 增加 0.5
厘米。
（1）计算所挂物体的质量分别为 1 千克、2 千克、3 千克、4 千克、5 千克时弹簧的长度，并填入下表：
x/千克
0
1
2
3
4
5
y/厘米
3
3.5
4
4.5
5
5.5
（2）你能写出 x 与 y 之间的关系式吗？ 分析：当不挂物体时，弹簧长度为 3 厘米，当挂 1 千克物体时，增加 0.5 厘米，总长度为 3.5 厘米， 当增加 1 千克物体，即所挂物体为 2 千克时，弹簧又增加 0.5 厘米，总共增加 1 厘米，由此可见，所挂物 体每增加 1 千克，弹簧就伸长 0.5 厘米，所挂物体为 x 千克，弹簧就伸长 0.5x 厘米，则弹簧总长为原长加
3

伸长的长度，即 y=3+0.5x。
2、做一做
某辆汽车油箱中原有汽油 100 升，汽车每行驶 50 千克耗油 9 升。
（1）完成下表：
汽车行驶路程 x/千米
0
50
100
150
200
300
油箱剩余油量 y/升
你能写出 x 与 y 之间的关系吗？（y=100-0.18x 或 y=100- 9 x ） 50
3、一次函数，正比例函数的概念
上面的两个函数关系式为 y=0.5x+3，y=100-0.18x，都是左边是因变量 y，右边是含自变量 x 的代数式。
并且自变量和因变量的指数都是一次。若两个变量 x,y 间的关系式可以表示成 y=kx+b（k，b 为常数 k≠0）
的形式，则称 y 是 x 的一次函数（x 为自变量，y 为因变量）.特别地，当 b=0 时，称 y 是 x 的正比例函数。
三 、例题精析
类型一 函数及其表示
1.对于圆的面积公式 S=πR2,下列说法中，正确的为（ ）
A.π是自变量
B.R2 是自变量
C.R 是自变量
D.πR2 是自变量
【解析】C
【总结与反思】自变量与因变量.
2.下列四个图形中，不是以 x 为自变量的函数的图象是（ ）
A．
B.
C.
D.
【解析】C
【总结与反思】函数的概念.
3.已知两个变量 x 和 y，它们之间的 3 组对应值如下表所示：
x
-1
0
1
Y
-1
1
3
则 y 与 x 之间的函数关系式可能是（ ）
4

A. y x B. y 2x 1 C. y x2 x 1
【解析】B 【总结与反思】用关系式表示函数.
D. y 3 x
类型二 函数值及自变量的取值范围
1.已知： y 2x 4 , 求：（1）求当 x 取 1，-1 时的值；（2）求当 y 1 , 1 ,2 时 x 的值．
x3
33
【解析】(1) x=1 时,y=-3， x=-1 时，y= 1 ； 2
（2） y 1 时,x= 9 , y= 1 时，x=-3，
3
7
3
【总结与反思】函数求值.
y=-2 时， x 1 ． 2
2.函数 y x 3 中自变量的取值范围是（ ） x 1
A. x 3 B. x 3 C. x 0 且 x 1
【解析】D 【总结与反思】自变量的取值范围.
D. x 3 ，且 x 1
类型三 一次函数及正比例函数
1.下列函数中，一次函数是（ ）
A． y 8x2 B. y x 1 C. y 8 D. y 1
x
x 1
【解析】B 【总结与反思】一次函数概念. 2.下列函数中，是正比例函数的是（）
A.y = -8x B . y 8 C. y=5x2+6 D.y=-0.5x-1 x
【解析】A 【总结与反思】正比例函数概念.
四 、课堂运用
基础
1.为迎接省运会在某市召开，市里组织了一个梯形鲜花队参加开幕式，要求共站 60 排，第一排站 40 人，
5

后面每一排都比前一排多站一人，则每排的人数 y 与该排的排数 x 之间的函数关系式
.
2.已知函数 y x 3 ，当 x 10 时，y 的值为（ ） x 1
A. 7
B. 9
9
7
C. 7 3
3.下列问题中，变量之间的关系是正比例函数关系的是（） A.长方形的面积固定，长和宽之间的关系 B.正方形的面积和边长之间的关系 C.三角形的面积一定，底边和底边上的高之间的关系 D.匀速运动中，路程和时间之间的关系
D. 3 7
4.下列函数：① y x ；② y x ；③ y 4 ；④ y 2x 1；⑤ y 2 x ；⑥ y 1 3x ；⑦ y 3x2 2 .
4
x
2
其中是一次函数的个数是（ ）
A.3
B.4
C.5
D.6
答案与解析
1.【答案】 y 39 x ， 1 x 60
【解析】用关系式表示函数. 2.【答案】C 【解析】求函数值. 3.【答案】D 【解析】用函数关系式表示变量之间的关系及正比例函数. 4.【答案】C 【解析】一次函数概念.
巩固
1.下列变量之间的关系： （1）多边形的对角线条数与边数； （2）三角形面积与它的底边长； （3）x-y=3 中的 x 与 y；
（4） y 2x 3 中的 y 与 x；
（5）圆面积与圆的半径。 其中成函数关系的有（ ）．
6

A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个
2.若 y=（m 1）x2m2 是正比例函数，则 m 的值为（）
B.-1 C.1 或-1 D.√2或-√2
3.下列函数：① y kx ，② y 2 x ，③ y x2 x 1 x ，④ y x2 1，⑤ y 22 x ，一定是一次函
3
数的有（ ）
A.3 个
B.2 个
C.4 个
D.5 个
4.下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（ ）
A. y x 3
B. y 3 x
C. y x 1 2
D. y 2x2 1 2x
答案与解析
1.【答案】C
【解析】本题主要考查函数的概念.
2.【答案】B
【解析】本题主要考查正比例函数的概念.
3.【答案】A
【解析】本题主要考查一次函数的概念
4.【答案】C
【解析】本题主要考查一次函数与正比例函数的区别.
拔高
1.下列各曲线中，反映了变量 y 是 x 的函数的是（ ）
A.
B.
C.
2.函数 y x x 20 中，自变量 x 的取值范围是
x3
7
D. .

3.下列说法中正确的是（ ）
A．一次函数是正比例函数
B.正比例函数不是一次函数
C. 不是正比例函数就不是一次函数 D.不是一次函数就不是正比例函数
4.若 y=（m-2）x+(m2-2)是正比例函数，则 m 的值为（）
A. 2 B.-2 C. ±2 D.任意实数 答案与解析
1.【答案】C
【解析】本题主要考查函数的概念.
2.【答案】 x 0 且 x 3
【解析】本题主要考查函数自变量的取值范围. 3.【答案】D 【解析】本题主要考查一次函数与正比例函数的区别与联系. 4.【答案】B 【解析】本题主要考查正比例函数的概念.
五 、课堂小结
本节讲了 3 个重要内容： 1.函数及其表示方法 2.函数的值及自变量的取值范围 3.一次函数与正比例函数
六 、课后作业
8

基础
1.甲、乙两地相距 S 千米，某人行完全程所用的时间 t（时）与他的速度 v（千米/时）满足 vt=S，在这个 变化过程中，下列判断中错误的是（ ）.
A.S 是变量 C.v 是变量
B.t 是变量 D.S 是常量
2.假设甲、乙两人在一次赛跑中，路程 S 与时间 t 的关系如图，那么可知道：
（1）这是一次
米赛跑；
（2）甲、乙两人中先到达终点是
.
3.如果函数 y n 2 x|n|1 4 是一次函数，则此函数的关系式为（ ）
A． y 4x B. y 4x 4 C. y 4x 4 D. y 4x 4
答案与解析 1.【答案】A 【解析】函数中变量与常量的判定. 2.【答案】（1）100 米； （2）甲． 【解析】由图像表示函数关系. 3.【答案】D 【解析】本题主要考查一次函数的概念.
巩固
1.等腰三角形顶角的度数 y（单位：度）与底角的度数 x（单位：度）之间的函数关系式及 x 的取值范围是
（）
A． y 180 2x0 x 90
B. y 180 x0 x 90
C． y 180 2x0 x 90
D. y 180 x0 x 90
2.如果函数 y (a 2)x 3是一次函数，那么 a 的取值范围是____________.
3.已知 y 3 与 x 成正比例，且当 x 2 时， y 7 .
9

（1）写出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当 x 4 时，求 y 的值；（3）当 y 4 时，求 x 的值；
4.容积为 800L 的水池内已贮水 200L，若每分钟注入的水量是 15L，设池内的水量为 Q（L），注水时间为 t （min）. （1）请写出 Q 与 t 的函数关系式.（2）注水多长时间可以把水池注满？（3）当注水时间为 0.2h 时，池中 水量是多少？ 答案与解析 1.【答案】C 【解析】用关系式表示函数及自变量的取值范围.
2.【答案】 a 2
【解析】本题主要考查一次函数的概念.
3.【答案】(1) y 2x 3 ；(2)11；(3) 1 2
【解析】本题主要考查正比例关系式及函数求值.
4.【答案】 a 2
【解析】（1）Q=200+15t，0≤t≤40.（2）注水 40min 可以把水池注满.（3）380L
拔高
1.已知函数 y 3 a x 1 2a .
（1）当 a 取何值时，这个函数是一次函数？（2）当 a 取何值时，这个函数是正比例函数？
2.如图,在三角形 ABC 中,∠B 与∠C 的平分线交于点 P,
设∠A= x ,∠BPC= y ,当∠A 变化时,求 y 与 x 之间的函数关 系式,并判断 y 是不是 x 的一次函数.
A P
B
C
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3.我国现行个人工资薪金所得税征收办法规定：月收入低于 2000 元的部分不收税；月收入超过 2000 元但 低于 2500 元的部分征收 5%的所得税…如某人月收入 2300 元，他应缴个人工资薪金所得税为（2300-2000） ×5%=15（元）． （1）当月收入大于 2000 元而又小于 2500 元时，写出应缴所得税 y（元）与月收入 x（元）之间的关系式； （2）某人月收入为 2100 元，他应缴所得税多少元？ （3）如果某人本月缴所得税 1.92 元，那么此人本月工资薪金是多少元？ 答案与解析
1.【答案】（1）a≠3 时；（2） 1 2
【解析】本题主要考查一次函数及正比例函数的概念.
2.【答案】 y 90 1 x ， (0o x 180o) ； y 是 x 的一次函数. 2
【解析】用关系式表示函数的应用. 3.【答案】解：（1）∵ 月收入大于 2000 元而又小于 2500 元， ∴ 应缴所得税 y（元）与月收入 x（元）之间的关系式为； y=（x-2000）×5% =0.05x-100； （2）根据题意得： （2100-2000）×5%=5（元）， 答：他应缴所得税 5 元． （3）此人本月工资薪金是 x 元，根据题意得： （x-2000）×5%=1.92， 解得：x=2038.4， 则此人本月工资薪金是 2038.4 元． 【解析】用关系式表示函数的应用.
七 、教学反思
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