2021届高三新高考统一适应性考试江苏省南通中学上学期(12月)考前热身练数学试题

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2021届高三新高考统一适应性考试 江苏省南通中学考前热身练数学试题

试卷满分：150分 考试时间：120分钟

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．）

1.集合A ＝{1，x ，y }，B ＝{1，x 2,2y }，若A ＝B ，则实数x 的取值集合为( ) A ． {1

2} B ． {1

2，?1

2} C ． {0，1

2} D ． {0，1

2，?1

2

}

2.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，设a ＝f (－)，b ＝f ，c ＝f ，则a ，b ，c 的大小关系是( )

A ． a ＜c ＜b

B ． b ＜a ＜c

C ． b ＜c ＜a

D ． c ＜b ＜a

3.欧拉公式e ix ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中位于( ) A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限

4.电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为( )

A ． 1

180 B ． 1

288 C ． 1

360 D ． 1

480 5.函数f (x )＝

e x +e ?x e x ?e ?x

的大致图象是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

注意事项：

1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。

4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

6.如图所示，扇形OPQ 的半径为2，圆心角为π

3，C 是扇形弧上的动点，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，则SABCD 的最大值是( )

A ． 2√33

B ． 2√3

C ． √3

D ． 2

3

7.将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( ) A ． 对任意的a ，b ，e 1>e 2

B ． 当a >b 时，e 1>e 2；当a

C ． 对任意的a ，b ，e 1

D ． 当a >b 时，e 1e 2

8.设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( ) A ． [?

32e

,1) B ． [?

32e ,34) C ． [32e ,34) D ． [3

2e

,1) 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．）

9.为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：其中根据茎叶图能得到的统计结论为( )

A.甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；

B.甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；

C.甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；

D.甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．

10.如图，在透明塑料制成的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法中正确的是（ ）

A.水的部分始终呈棱柱状；

B.水面四边形EFGH 的面积不改变；

C.棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；

D.当E ∈AA 1时，AE ＋BF 是定值．

11.已知{an }为等比数列．下面结论中错误的是( )

A ． a 1＋a 3≥2a 2

B ． a 12＋a 32≥2a 2

2 C ． 若a 1＝a 3，则a 1＝a 2 D ． 若a 3＞a 1，则a 4＞a 2 12.在△OAB 中，OA

????? ＝4OC ????? ，OB ????? ＝2OD ?????? ，AD ，BC 的交点为M ，过M 作动直线l 分别交线段AC ，BD 于E ，F 两点，若OE ????? ＝λOA ????? ，OF ????? ＝μOB ????? (λ，μ＞0)，则λ＋μ的不可能取到的值为( ) A ． 2+√37

B ． 3+√37

C ． 3+2√37

D ． 4+2√37

三、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)

13.已知AB 是平面α的垂线，AC 是平面α的斜线，CD ?平面α，CD ⊥AC ，则面面垂直的有________________________________.

14.已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝________；a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝________；a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝________；|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝________.

15.如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC (端点除外)上一动点.现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC .在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足.设AK ＝t ，则t 的取值范围是____________.

16.设函数f (x )＝

e 2x 2+1x

，g (x )＝

e 2x e x

，对任意x 1、x 2∈(0，＋∞)，不等式

g (x 1)k

≤

f (x 2)k+1

恒成立，则正数k 的取值范

围是________．

四、解答题（本题共6小题，70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17.（本题10分）

在△ABC 中，角A ，B ，C 的对应分别是a ，b ，c ，c ＝2，sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝sin A sin B . (1)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积； (2)求AB 边上的中线长的取值范围． 18.（本题12分）

已知数列{an }与{bn }满足bn ＋1an ＋bnan ＋1＝(－2)n ＋1，bn ＝3+(?1)n?1

2

，n ∈N*，且a 1＝2.

(1)求a 2，a 3的值；

(2)设cn ＝a 2n ＋1－a 2n －1，n ∈N*，证明：{cn }是等比数列； (3)设Sn 为{an }的前n 项和，证明：S 1a 1

＋S 2a 2

＋…＋S 2n?1

a

2n?1

＋S 2n a 2n

≤n －1

3，n ∈N*.

19.（本题12分）

如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，AC ＝2√2，PA ＝2，E 是PC 上的一点，PE ＝2EC .

(1)证明：PC ⊥平面BED ；

(2)设二面角A －PB －C 为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小. 20.（本题12分）

某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A ，B ，C ，D 四个问题，规则如下：

①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A ，B ，C ，D 分别加1分，2分，3分，6分，答错任一题减2分；

②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮； ③每位参加者按问题A ，B ，C ，D 顺序作答，直至答题结束．

假设甲同学对问题A ，B ，C ，D 回答正确的概率依次为3

4，1

2，1

3，1

4，且各题回答正确与否相互之间没有影响．

(1)求甲同学能进入下一轮的概率；

(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)． 21.（本题12分）

已知椭圆C ：x 2

a

2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，离心率为12.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)已知点A (a,0)，B (0，b )，直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点(点A ，B 位于直线l 的两侧)．

①若直线l 过坐标原点O ，设直线AP ，AQ ，BP ，BQ 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4.求证：k 1k 2＋k 3k 4为定值； ②若直线l 的斜率为√32

，求四边形APBQ 的面积的最大值．

22.（本题12分）

设函数f (x )＝(x ＋a )ln x ，g (x )＝x 2

e x . 已知曲线y ＝

f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0平行．

(1)求a 的值；

(2)是否存在自然数k，使得方程f(x)＝g(x)在(k，k＋1)内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；

(3)设函数m(x)＝min{f(x)，g(x)}(min{p，q}表示p，q中的较小值)，求m(x)的最大值．

答案解析

1. A

2. C

3. B

4. C

5. A

6. A

7. D

8. D

9. AD 10. ACD 11. ACD 12. ABC

13. 平面ABC ⊥平面ACD ，平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABD ⊥平面BCD . 14. －2 －1 094 1 093 2 187 15. (1

2,1)

16. [1，＋∞)

17. (1)由sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝sin A sin B ， 利用正弦定理化简得：a 2＋b 2－c 2＝ab ， ∴cos C ＝

a 2+

b 2?

c 2

2ab

＝ab 2ab ＝12，即C ＝π

3，

∵sin C ＋sin(B －A )＝sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝2sin 2A ， ∴sin B cos A ＝2sin A cos A ， 当cos A ＝0，即A ＝π

2，此时S △ABC ＝

2√3

3

； 当cos A ≠0，得到sin B ＝2sin A ，利用正弦定理得b ＝2a ，此时S △ABC ＝2√33

.

即△ABC 的面积为

2√3

3

. (2)设AB 边的中点为D ， ∵CD

????? ＝12

(CA ????? ＋CB ????? )，∴|CD |2

＝a 2+b 2+2abcos

π3

4

＝

a 2+

b 2+ab

4

，

∵cos C ＝1

2，c ＝2，∴由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即a 2＋b 2－ab ＝4，

∴|CD |2＝

a 2+

b 2+ab

4

＝

4+2ab 4

＞1，且|CD |2＝

4+2ab 4

≤3，

则CD 的范围为(1，√3]．

18. (1)解 由bn ＝

3+(?1)n?1

2

，n ∈N*，可得bn ＝{

2，n 为奇数，1，n 为偶数，

又bn ＋1an ＋bnan ＋1＝(－2)n ＋1，

当n ＝1时，a 1＋2a 2＝－1，由a 1＝2，可得a 2＝－3

2；

当n ＝2时，2a 2＋a 3＝5，可得a 3＝8； (2)证明 对任意n ∈N*， a 2n －1＋2a 2n ＝－22n －1＋1，① 2a 2n ＋a 2n ＋1＝22n ＋1，②

②—①，得a 2n ＋1－a 2n －1＝3×22n －1，即cn ＝3×22n －1，于是c n+1c n

＝4，

所以{cn }是等比数列．

(3)证明 a 1＝2，由(2)知，当k ∈N*且k ≥2时，

a 2k －1＝a 1＋(a 3－a 1)＋(a 5－a 3)＋(a 7－a 5)＋…＋(a 2k －1－a 2k －3)

＝2＋3(2＋23＋25＋…＋22k －

3)＝2＋3×

2(1?4k?1)

1?4

＝22k －

1.

故对任意k ∈N*，a 2k －1＝22k －1.

由①得22k －1＋2a 2k ＝－22k －1＋1，所以a 2k ＝1

2－22k －1，k ∈N*. 因此，S 2k ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2k －1＋a 2k )＝k

2. 于是，S 2k －1＝S 2k －a 2k ＝k?12

＋22k －

1.

故S 2k?1

a 2k?1

＋S 2k

a 2k

＝

k?1

2

+22k?122k?1

＋

k 21

2

?22k?1＝

k?1+22k

22k

－k 2?1＝1－14k －k

4k (4k ?1).

19. (1)证明 因为底面ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC . 又PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥BD .

又因为AC ∩PA ＝A ，所以BD ⊥平面PAC ，所以PC ⊥BD . 如图，设AC ∩BD ＝F ，连接EF . 因为AC ＝2√2，PA ＝2，PE ＝2EC ， 故PC ＝2√3，EC ＝

2√3

3

，FC ＝√2，从而PC FC ＝√6，AC EC ＝√6. 因为PC

FC ＝AC

EC ，∠FCE ＝∠PCA ，

所以△FCE ∽△PCA ，∠FEC ＝∠PAC ＝90°. 由此知PC ⊥EF .

因为PC 与平面BED 内两条相交直线BD ，EF 都垂直， 所以PC ⊥平面BED .

(2)解 在平面PAB 内过点A 作AG ⊥PB ，G 为垂足. 因为二面角A －PB －C 为90°，所以平面PAB ⊥平面PBC .

又平面PAB ∩平面PBC ＝PB ，故AG ⊥平面PBC ，AG ⊥BC . 又PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥BC .

因为BC 与平面PAB 内两条相交直线PA ，AG 都垂直， 故BC ⊥平面PAB ，于是BC ⊥AB ，

所以底面ABCD 为正方形，AD ＝2，PD ＝√PA 2+AD 2＝2√2. 设D 到平面PBC 的距离为d .

因为AD ∥BC ，且AD ?平面PBC ，BC ?平面PBC ，

故AD ∥平面PBC ，A ，D 两点到平面PBC 的距离相等，即d ＝AG ＝√2. 设PD 与平面PBC 所成的角为α，则sin α＝d PD ＝1

2. 所以PD 与平面PBC 所成的角为30°.

20. 设A ，B ，C ，D 分别为第一，二，三，四个问题．用

Mi (i ＝1,2,3,4)表示甲同学第

i 个问题回答正确，用

Ni (i ＝1,2,3,4)表示甲同学第

i 个问题回答错误，则

Mi

与

Ni

是对立事件(i ＝1,2,3,4)．由题意得，P (M 1)＝3

4，

P (M 2)＝12，P (M 3)＝1

3，P (M 4)＝1

4，

所以P (N 1)＝1

4，P (N 2)＝1

2，P (N 3)＝2

3，P (N 4)＝3

4. (1)记“甲同学能进入下一轮”为事件Q ，

Q ＝M 1M 2M 3＋N 1M 2M 3M 4＋M 1N 2M 3M 4＋M 1M 2N 3M 4＋N 1M 2N 3M 4， P (Q )＝P (M 1M 2M 3＋N 1M 2M 3M 4＋M 1N 2M 3M 4＋M 1M 2N 3M 4＋N 1M 2N 3M 4) ＝P (M 1M 2M 3)＋P (N 1M 2M 3M 4)＋P (M 1N 2M 3M 4)＋P (M 1M 2N 3M 4)＋P (N 1M 2N 3M 4) ＝34×12×1

3＋14×12×13×1

4＋34×12×13×1

4＋34×12×23×1

4＋14×12×23×1

4＝1

4

. (2)由题意，随机变量ξ的可能取值为2,3,4.由于每题答题结果相互独立， 所以P (ξ＝2)＝1

8，

P (ξ＝3)＝34×12×1

3＋34×12×2

3＝3

8， P (ξ＝4)＝1－P (ξ＝1)－P (ξ＝2)＝1

2.

随机变量ξ的分布列为

所以E (ξ)＝2×18＋3×38＋4×12＝27

8.

21. (1)由题意得{2a =4,

√a 2?b 2

a

=12

,

解得a 2＝4，b 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 24

＋y 23

＝1.

(2)①点A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0，√3)．

设点P 的坐标为(m ，n )，由对称性知点Q 的坐标为(－m ，－n )． 所以k 1＝n

m?2，k 2＝n

m+2.所以k 1k 2＝n

m?2·n

m+2＝n 2m 2?4

.

又因为点P 在椭圆C ：x 2

4

＋y 2

3＝1上，所以

m 24

＋n 23＝1，即m 2－4＝－4

3n 2，

所以k 1k 2＝n 2

?43

n 2＝－3

4.

同理k 3k 4＝－34.所以k 1k 2＋k 3k 4＝(?34)＋(?34)＝－3

2，为定值． ②由题意，A (2,0)，B (0，√3)．设l ：y ＝√32

x ＋t .

由点A (2,0)，B (0，√3)位于直线l 的两侧，得(√32×2－0＋t)(√3

2×0－√3＋t)＜0，

解得－√3＜t ＜√3.

由{y =√3

2x +t,

x 24+y

23=1,消去y 并整理，得3x 2＋2√3tx ＋2t 2－6＝0. 由判别式Δ＝(2√3t )2－4×

3×(2t 2－6)＞0，得t 2＜6. 当－√3＜t ＜√3时，显然，判别式Δ＞0.

设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－

2√3t

3

，x 1x 2＝2t 2?63. |PQ |＝(√32)√(x 1+x 2)2?4x 1x 2＝√72·√(?2√3t 3)2

?4·2t 2

?63

＝√73·√18?3t 2. 点A (2,0)到直线

l ：y ＝√32

x ＋t 的距离

d 1＝

|√32

×2－0＋t|

√1+

4

＝

√3+t|√7

.

因为－√3＜t ＜√3，所以d 1＝

√3+t)

√7

. 点B (0，√3)到直线l ：y ＝√3

2

x ＋t 的距离d 2＝

|√32

×0－√3＋t|

√1+

34

＝

√3?t|√7

.

因为－√3＜t ＜√3，所以d 2＝

√3?t)

√7

. 因此，四边形APBQ 的面积S 四边形APBQ ＝S △APQ ＋S △BPQ ＝1

2·

|PQ |·(d 1＋d 2) ＝1

2×√7

3×√18?3t 2×

[√3+t)

√7

√3?t)

√7

]＝2√6?t 2.

因为－√3＜t ＜√3，显然，当t ＝0时，(S 四边形APBQ )max ＝2√6.

22. 解 (1)由题意知，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2，所以f ′(1)＝2， 又f ′(x )＝ln x ＋a

x ＋1，所以a ＝1.

(2)当k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(1,2)内存在唯一的根． 设h (x )＝f (x )－g (x )＝(x ＋1)ln x －x 2

e x ，

当x ∈(0,1]时，h (x )＜0.又h (2)＝3ln 2－4e 2＝ln 8－4

e 2＞1－1＝0，

所以存在x 0∈(1,2)，使得h (x 0)＝0. 因为h ′(x )＝ln x ＋1

x ＋1＋

x (x?2)e x

，所以当x ∈(1,2)时，h ′(x )＞1－1

e ＞0，

当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )＞0，

所以当x ∈(1，＋∞)时，h (x )单调递增，

所以当k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根．

(3)由(2)知，方程f (x )＝g (x )在(1,2)内存在唯一的根x 0，且x ∈(0，x 0)时，f (x )＜g (x )； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f (x )＞g (x )， 所以m (x )＝{(x +1)lnx,x ∈(0,x 0],

x 2

e

x

,x ∈(x 0,+∞). 当x ∈(0，x 0)，且x ∈(0,1]时，m (x )≤0； 若x ∈(1，x 0)，由m ′(x )＝ln x ＋1

x ＋1＞0， 可知0＜m (x )≤m (x 0)，故m (x )≤m (x 0)． 当x ∈(x 0，＋∞)时，由m ′(x )＝

x (2?x )e x ，可得若x ∈(x 0,2)，m ′(x )＞0，m (x )单调递增；

当x ∈(2，＋∞)时，m ′(x )＜0，m (x )单调递减，可知m (x )≤m (2)＝4

e 2，且m (x 0)＜m (2)． 综上可得，函数m (x )的最大值为4

e 2.