专题12概率与统计热点问题(专项训练)-2019年高考数学六大题解满分解题技巧秘籍(解析版)

2019年高考数学六大题解满分解题技巧秘籍

专题12概率与统计热点问题(专项训练)

1. (2019淮北一模)如图为2018届淮北师范大学数学与应用数学专业N名毕业生的综合测评成绩(百分制)分

布直方图，已知80?90分数段的学员数为21人.

(1) 求该专业毕业总人数N和90?95分数段内的人数n；

(2)现欲将90?95分数段内的n名毕业生随机地分配往A, B, C三所学校，每所学校至少分配两名毕业生

①若这n名毕业生中甲、乙两人必须进同一所学校，共有多少种不同的分配方法?

②若这n名毕业生中恰有两名女生，设随机变量E表示n名毕业生中分配往B学校的两名毕业生中女生的

人数，求E的分布列和数学期望.

解(1)80?90 分数段的频率p i = (0.04 + 0.03) X 5 = 0.35,

此分数段的学员总数为21人,

? ??毕业生的总人数N = g = 60,

0.35

90?95 分数段的频率p2= 1 —(0.01 + 0.04 + 0.05+ 0.04+ 0.03 + 0.01) X 5= 0.1.

??? 90?95分数段内的人数n= 60X 0.1 = 6.

(2) ①将90?95分数段内的6名毕业生随机地分配往A, B, C 三所学校，每所学校至少分配两名毕业生,

2 2

且甲、乙两人必须进同一所学校，则共有C警A3= 18种不同的分配方法.

A2

②E的所有可能取值为0, 1, 2,

产品50天，统计发现每天的销售量

x 分布在［50, 100)内，且销售量x 的分布频率

P

6 8 1

15 15

15

所以随机变量 E 的数学期望为E( 3=

+ 1X 8

+ = 2.

15 15

15 3

2. (2019济南调研)甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出 3人组成甲、乙两支代表队，首轮比赛每人

3 2 1

一道必答题，答对则为本队得

1分，答错或不答都得 0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为 4，2，1，

4 3 2

乙队每人答对的概率都是 3，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用

3表示甲队总得分.

3 (1) 求3= 2的概率；

⑵求在甲队和乙队得分之和为

4的条件下，甲队比乙队得分高的概率

.

解(1) 3= 2,则甲队有两人答对，一人答错， 故 p (￡= 2)= 3x f x 1- 1 + 1

-1 x 1+ 1-4 x 訂扌=14.

⑵设甲队和乙队得分之和为

4为事件A ，甲队比乙队得分高为事件

B.设乙队得分为 n 贝y n ?B ［3,彳］

p (3= 1)=3 x 1 - 2 x 1-1 +1 - 3 x I x 1 - 2+1-4x 1-2 x 1=4，

彳肿“ 1

P( 3= 3)= x_x_=_, P(3 3)

4 3 2

4'

2

2 1 = 2

3 3 9'

??? P(A) = P( 3= 1)P( n= 3) + P( 3= 2)P(n= 2) + P( 3= 3) P(n= 1) 8 + 如 x 4+ 1x 2= 1,

27 24 9 4 9 3' P(AB) =P(3= 3) P(n= 1) = 4x 9 =君

1

P (AB )

18 1

?所求概率为 P(B|A)= P ( A ) = — = 6

3

3. (2019北京海淀区一模)某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该P( n =

1) = C 3

2 P( n = 2) =

C 3

3 1=9,

3

P(n= 3)= 33

_8_

27

， 4

(1) 求a 的值并估计销售量的平均数；

(2) 若销售量大于或等于 70,则称该日畅销，其余为滞销 .在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取

8天，再从

这8天中随机抽取3天进行统计，设这 3天来自X 个组，求随机变量 X 的分布列及数学期望(将频率视为概 率).

10n >50,

解 (1)由题意知

解得5w n w 9, n 可取5, 6, 7, 8, 9,

|10 (n + 1 )w 100,

需—0.5, 10n w x<10 (n + 1), n 为偶数，

结合f(x)=

120-a , 10n w x<10 (n + 1), n 为奇数，

得扫-°-5 + 10-

°-5 + 詁a + 詁a + ^- a =1，则 a = °.15-

可知销售量分布在[50, 60), [60, 70), [70 , 80), [80, 90), [90, 100)内的频率分别是 0.1, 0.1 , 0.2, 0.3, 0.3, ???销售量的平均数为 55 X 0.1 + 65 X 0.1 + 75 X 0.2+ 85 X 0.3+ 95 X 0.3= 81.

⑵销售量分布在[70, 80) , [80, 90) , [90 , 100)内的频率之比为 2 : 3 : 3,所以在各组抽取的天数分别为

2 ,

3 , 3 ,

X 的所有可能取值为1 , 2 , 3 , 2 2 1 P(X =1)

=C 8=56= 28，

1 1 1 C 2C 3C 3

18 9 P

(x =3)=~CT=56= 28，

1 9

9

P (x =2) =1 —

28—28=材

数学期望 E(X)= 1X 28+ 2X 1^+ 3X 28=孚.

4. 中石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分油井中的几口井，取 得了地质资料，进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探

.由于勘探一口井的费用很

f(x) =

,10n w x<10 (n + 1), n 为偶数,

10n w x<10 (n + 1), n 为奇数.

高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费 用，勘探初期数据资料见下表:

(1)1?6号旧井位置线性分布，借助前 5组数据求得回归直线方程为 y = 6.5x + a ,求a ,并估计y 的预报值；

A

A

A

A

⑵现准备勘探新井7(1, 25)，若通过1, 3, 5, 7号井计算出的b , a 的值(b , a 精确到0.01)相比于⑴中b , a 的值之差都不超过 10%，则使用位置最接近的已有旧井 6(1 , y)，否则在新位置打井，请判断可否使用旧

井？

n

——

A

刀 X i y i 一 nx y A — A —

i = 1

(参考公式和计算结果：b = ―n , a = y — bx ,

刀 x 2 — nx 2

i =1

4

4

刀 x 2i -

1 = 94,刀 X 2i -1y 2i -

1= 945)

i =1

i =1

(3)设出油量与勘探深度的比值 k 不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有 6 口井中任意勘探4 口井，求

勘探优质井数X 的分布列与数学期望? 解(1)因为 x = 5, y = 50.

回归直线必过样本中心点 (x , y)，贝y a = y — bx = 50 — 6.5X 5 = 17.5，故回归直线方程为 y = 6.5x + 17.5. 当x = 1时，y = 6.5 + 17.5 = 24,即y 的预报值为24. (2) 因为 x = 4, y = 46.25. 4

4

刀 x

2

i -1 = 94,刀 X 2i - 1y 2i -1= 945. i =1 i =1

a — y —

b x — 46.25— 6.83 X 4— 18.93.

A

A

即b — 6.83, a — 18.93, b = 6.5, a — 17.5.

A

刀 x 2i — 1y 2i — 1 — 4x

y

所以b =

刀 x2i -

1 — 4x 2

945 — 4X 4X 46.25

------------------ 2 ---- ?6.83.

94 — 4X 4

A

A

b — b a — a ?5%, ?8%,均不超过10% ,

b

a

因此可以使用位置最接近的已有旧井

6(1 , 24).

(3) 由题意，1，3，5，6这4 口井是优质井，2，4这两口井是非优质井, ???勘察优质井数 X 的可能取值为2, 3, 4,

? X 的分布列为:

X 2 3

4

P

2

_8

5

15

15

2 8 i 8

E(X) = 2X 5 + 3X 亦 + 4X 丁 8.

5. (2017全国n 卷)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 个网箱，测量各箱水产品的产量

(单位：kg)，其频率分布直方图如下:

(1) 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于

50 kg ，新养殖法的箱产量不

低于50 kg ,估计A 的概率；

(2) 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有

99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量＜50 kg

箱产量》50 kg

旧养殖法

新养殖法

(3)

根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖

法箱产量的中位数的估计值 (精确到0.01).

附：

P(X = 2)=

"CT

2 5, P (X = 3)= 此1 "CT 8

15,

P(X = 4)=

C ；C 0 C 6

丄

15. 100

-

□.也

il

0.1 HiH-

a ■ ■ 一 -

* —

n

(J v XR UJ 4 □ 55,曲J

70 '

IH 养殖法

箱产

新养殖法

解(1)记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg ”，

C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于 50 kg ”

由题意知，P(A)= P(BC)= P(B)P(C). 旧养殖法的箱产量低于 50 kg 的频率为

(0.012 + 0.014+ 0.024+ 0.034 + 0.040)X 5= 0.62, 故P(B)的估计值为0.62.

新养殖法的箱产量不低于 50 kg 的频率为 (0.068 + 0.046 + 0.010+ 0.008) X 5 = 0.66, 故P(C)的估计值为0.66.

因此，事件 A 的概率估计值为 0.62 X 0.66 = 0.409 2.

(3) 因为新养殖法的箱产量的频率分布直方图中，箱产量低于 0.044) X 5 = 0.34<0.5 ,

箱产量低于55 kg 的直方图面积为

(0.004 + 0.020 +

0.044 + 0.068) X 5 = 0.68>0.5 , 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为

6.

(2019肇庆二模)某工厂对A , B 两种型号的产品进行质量检测，从检测的数据中随机抽取 6次，记录数据

如下:

A : 8.3, 8.4, 8.4, 8.5, 8.5, 8.9;

K 2=

(a + b ) n (ad — bc )

(c + d )( a + c )

(b + d )

50 kg 的直方图面积为

(0.004 + 0.020 +

50 + 0.5 —

0.34

0.068 52.35 (kg).