西北角法：运筹学表上作业法初始基可行解的确定

《运筹学》第三版（清华大学出版社）P79例1，表上作业法，运用西北角法确定初始基可行解。

西北角法是从西北角（左上角）格开始，在格内的右下角标上允许取得的最大数；然后按行（列）标下一格的数；若某行（列）的产量（销量）已满足，则把该行（列）的其他格划去；如此进行下去，直至得到一个基本可行解的方法。

西北角法的例子：P79例1

从表1中可知，总的产量=总的销量，故产销是平衡的。

第一步：列出运价表和调运物资平衡表。

运用表上作业法时，首先要列出被调运物资的运价表和供需平衡表（简称平衡表），如表1，2所示。

第二步：编制初始调运方案。

首先在表2的西北角方格（即左上角方格，对应变量x11），尽可能取最大值：

x

=min{3,7}=3

11

将数值3填入该方格(见表3)。由此可见x21,x31必须为0，即第一列其他各方格都不能取非零值，划去第一列。在剩下的方格中，找出其西北角方格x12，x

=min{6,7-3}=4

12

将4填入它所对应方格，第一行饱和，划去该行。再找西北角方格x22，

x

=min{6-4,4}=2

22

将2填入x22所对应方格，于是第二列饱和，划去该列。继续寻找西北方格为x23，

x

=min{5,4-2}=2

23

将2填入x23所对应方格，第二行饱和，划去该行。剩下方格的西北角方格为x33，

x

3=min{5-2,9}=3

3

将3填入x33所对应方格，第三列饱和，划去该列。最后剩下x34方格，取x34 = 6。

这样我们就找到了m＋n-1＝3＋5-1＝7个基变量，它们为：x11= 3,x12= 4,x22 = 2,x23 = 2,x33 = 3,x34 = 6。显然它们用折线连接后不形成闭回路。这就是西北角法所找初始基可行解，所对应的目标值为：

2×200＋1×250＋3×150＋1×150＋3×250＋3×300＋4×200＝4000

我们找到的初始基可行解可通过各行方格中数值之和是否等于产量，各列方格中数值之和是否等于销量来简单验证。

利用西北角法找初始基可行解简单可行，但也存在问题。例如在表3中可见c

= 4，单价高于该行其他各方格，最简单想法是单价小的情况下多运些货物，35

这样总运费会更小些，最小元素法就改进了西北角法的缺点。