上海市闵行区2021届新高考第二次质量检测数学试题含解析

上海市闵行区2021届新高考第二次质量检测数学试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()f x 是奇函数，且22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x -=+---

-，若对

11

[,]62

x ?∈，(1)(1)f ax f x +<-恒成立，则a 的取值范围是（ ）

A ．(3,1)--

B ．(4,1)--

C ．(3,0)-

D ．(4,0)-

【答案】A 【解析】 【分析】

先根据函数奇偶性求得()(),f x f x '，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解不等式即可. 【详解】

因为函数()f x 是奇函数， 所以函数

'()f x 是偶函数.

2

2

()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x ---=--+-

-， 即22

()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x --=--+--，

又2

2

()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x -=+----，

所以()ln(1)ln(1)f x x x =+--，2

2

'()1f x x =-. 函数()f x 的定义域为(1,1)-，所以22

'()01f x x =

>-， 则函数()f x 在(1,1)-上为单调递增函数.又在(0,1)上，

()(0)0f x f >=，所以()f x 为偶函数，且在(0,1)上单调递增.

由(1)(1)f ax f x +<-，

可得11111

ax x ax ?+<-?-<+

则1120

ax x a x ?+<-?

?-<

11

20a x a x

?-<<-????-<

得3140a a -<<-??-<

，

所以a 的取值范围是(3,1)--.

故选：A. 【点睛】

本题考查利用函数单调性求解不等式，根据方程组法求函数解析式，利用导数判断函数单调性，属压轴题. 2．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面积为（ ）

A ．2

B ．5

C ．13

D ．22

【答案】D 【解析】 【分析】

根据三视图还原出几何体，找到最大面，再求面积. 【详解】

由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，将其放在一个长方体中，并记为三棱锥

P ABC -.13PAC PAB S S ??==，22PAC S ?=，2ABC S ?=，故最大面的面积为22.选D.

【点睛】

本题主要考查三视图的识别，复杂的三视图还原为几何体时，一般借助长方体来实现.

3．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝3，那么原△ABC 的面积是( )

A 3

B ．2

C D ．

4

【答案】A 【解析】 【分析】

先根据已知求出原△ABC 的高为AO △ABC 的面积. 【详解】

由题图可知原△ABC 的高为AO

∴S △ABC ＝12×BC×OA ＝1

2

× A 【点睛】

本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

4．设()f x =

()00O ，

，()01A ，，()()n A n f n ，，*n N ∈，设n n AOA θ∠=对一切*n N ∈都有不等式22223

122222

sin sin sin sin 123n n

θθθθ+++??????+ 222t t <--成立，则正整数t 的最小值为（ ） A ．3 B ．4

C ．5

D ．6

【答案】A 【解析】 【分析】

先求得222

sin 111

n 1

n n n n n θ==-++，再求得左边的范围，只需2221t t --≥，利用单调性解得t 的范围. 【详解】

由题意知sin

n θ=，∴2

22

sin 111

n 1

n n n n n θ==-++， ∴22223122222sin sin sin sin 11111111

1112322334n 1n 1

n n n θθθθ+++??????+=-+-+-+?+-=-

++，随n 的增大而增大，∴

11

112n 1

≤-<+, ∴2221t t --≥，即2210t t --≥，又f(t)=221t t --在t 1≥上单增，f(2)= -1<0，f(3)=2>0， ∴正整数t 的最小值为3. 【点睛】

本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题.

5．若复数()(1)2z i i =++（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

【答案】A 【解析】 【分析】

将z 整理成a bi +的形式，得到复数所对应的的点，从而可选出所在象限. 【详解】

解：2

21()()2313z i i i i i =++=++=+，所以z 所对应的点为()1,3在第一象限.

故选:A. 【点睛】

本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应的坐标.易错点是误把2i 当成1进行计算.

6．已知,a b ∈R ，函数32

,0

()11(1),032x x f x x a x ax x

=?-++≥??

，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ） A ．1,0a b <-< B ．1,0a b <-> C ．1,0a b >-< D ．1,0a b >->

【答案】C 【解析】 【分析】

当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x 时，

32321111

()(1)(1)3232

y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=

-++--=-+-，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得． 【详解】

当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1b

x a

=-；()y f x ax b =--最多一个零点；

当0x 时，32321111

()(1)(1)3232

y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=

-++--=-+-， 2(1)y x a x =+-'，

当10a +，即1a -时，0y '，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；

当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；

根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点?函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点，

如图：

∴01

b a <-且32

11(1)(1)(1)03

2b a a a b ->???+-++-，31

0(116

,)b a a >>-+∴>-． 故选C ．

【点睛】

遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.

7．已知圆22670x y x +--=与抛物线()2

20y px p =>的准线相切，则p 的值为（）

A ．1

B ．2

C ．

12

D ．4

【答案】B 【解析】 【分析】

因为圆22

670x y x +--=与抛物线()2

20y px p =>的准线相切，则圆心为（3,0），半径为4，根据相

切可知，圆心到直线的距离等于 半径，可知p 的值为2，选B. 【详解】 请在此输入详解！

8．水平放置的ABC ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的A B C '''，其中2,O A O B ''''==

3O C ''=，则ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ）

A ．83π

B ．163π

C ．(833)π+

D ．(16312)π+

【答案】B 【解析】 【分析】

根据斜二测画法的基本原理，将平面直观图还原为原几何图形，可得2AO BO ==，23OC =,ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体,圆锥的侧面展开图是扇形根据扇形面积公式即可求得组合体的表面积. 【详解】

根据“斜二测画法”可得2AO BO ==，23OC =，4AB AC BC ===，

ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体，

它的表面积为22234163S rl πππ==?=. 故选:B 【点睛】

本题考查斜二测画法的应用及组合体的表面积求法,难度较易.

9．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（ ） A ．-2 B ．-1

C ．1

D ．2

【答案】B 【解析】 【分析】

求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可； 【详解】

f （x ）的定义域为（﹣1，+∞）， 因为f′（x ）1

1

x =

-+a ，曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝2x ， 可得1﹣a ＝2，解得a ＝﹣1， 故选：B ． 【点睛】

本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力．

10．已知函数()f x 满足当0x ≤时，2(2)()f x f x -=，且当(2,0]x ∈-时，()|1|1f x x =+-；当0x >时，()log (0a f x x a =>且1a ≠).若函数()f x 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a 的取值范围是（ ） A ．(625,)+∞ B ．(4,64)

C ．(9,625)

D ．(9,64)

【答案】C 【解析】 【分析】

先作出函数()f x 在(,0]-∞上的部分图象，再作出()log a f x x =关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可. 【详解】

先作出函数()f x 在(,0]-∞上的部分图象，再作出()log a f x x =关于原点对称的图象， 如图所示，当01a <<时，对称后的图象不可能与()f x 在(,0]-∞的图象有3个交点； 当1a >时，要使函数()f x 关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，

则

1

1 log3

2

1

log5

4

a

a

a

?

?>

?

?

->-

?

?

?

-<-

??

，解得9625

a

<<.

故选：C.

【点睛】

本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，是一道中档题.

11．如图所示，已知双曲线

22

22

:1(0,0)

x y

C a b

a b

-=>>的右焦点为F，双曲线C的右支上一点A，它关于原点O的对称点为B，满足120

AFB

∠=?，且||2||

BF AF

=，则双曲线C的离心率是（）.

A．

3

3

B．

7

2

C3D7

【答案】C

【解析】

【分析】

易得||2

AF a

=，||4

BF a

=，又

1

()

2

FO FB FA

=+，平方计算即可得到答案.

【详解】

设双曲线C的左焦点为E，易得AEBF为平行四边形，

所以||||||||2

BF AF BF BE a

-=-=，又||2||

BF AF

=，

故||2

AF a

=，||4

BF a

=，

1

()

2

FO FB FA

=+，

所以222

1

(41624)

4

c a a a a

=+-?，即22

3

c a

=，

故离心率为3

e=

故选：C.

【点睛】

本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立,,

a b c的方程或不等关系，是一道中档题.

12．已知

0.2

1

2

a

??

= ?

??

，12

0.2

b-

=，1

3

log2

c=

，则( )

A ．a b c >>

B ．b a c >>

C ．b c a >>

D ．a c b >>

【答案】B 【解析】 【分析】

利用指数函数和对数函数的单调性，将数据和0,1做对比，即可判断. 【详解】

由于0.2

110122????

<<= ? ???

??

，

12

0.2

-

=

=， 113

3

log 2log 10<=

故b a c >>. 故选：B. 【点睛】

本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若31a =，且522S S =+，则公比q 的值为_____.

【解析】 【分析】

将已知由前n 项和定义整理为3452a a a ++=，再由等比数列性质求得公比，最后由数列{}n a 各项均为正数，舍根得解. 【详解】

因为521234512345222S S a a a a a a a a a a =+?++++=++?++=

即2233312102

a a q a q q q q -+?+?=?+-=?=

又等比数列{}n a

各项均为正数，故1

2

q -=

【点睛】

本题考查在等比数列中由前n项和关系求公比，属于基础题.

14．已知

1

()() f x x a a R

x

=+

-∈，若存在

123

1

,,,,[,2]

2

n

x x x x

???∈，使得

121

()()()

n

f x f x f x

-

++???+()

n

f x

=成立的最大正整数n为6，则a的取值范围为________. 【答案】

15191321

[)(,]

81058

?

，

【解析】

【分析】

由题意得

()()

()()

min max

min max

5

6

f x f x

f x f x

?≤

?

?

>

??

，分类讨论作出函数图象，求得最值解不等式组即可.

【详解】

原问题等价于

()()

()()

min max

min max

5

6

f x f x

f x f x

?≤

?

?

>

??

，

当2

a<时，函数图象如图

此时()()

min max

5

2

2

，

f x a f x a

=-=-，

则

()

()

5

52

2

5

62

2

a a

a a

?

-≤-

??

?

?->-

??

，解得：

1519

810

a

≤<；

当

9

2

4

a

≤<时，函数图象如图

此时()()min max

5

02

，f

x f x a ==

-， 则55025602a a

??≤-?????>-??

，解得：a ∈?；

当

95

42

a ≤<时，函数图象如图

此时()()min max 02，f x f x a ==-，

则502602

a a ?≤-???>-?，解得：a ∈?； 当5

2

a ≥

时，函数图象如图

此时()()min max 522

，f x a f x a =-=-，

则5522562

2a a a a ???-≤- ????

?????->- ???

??，解得：132158a <≤； 综上，满足条件a 的取值范围为15191321

[)(,]81058

?，. 故答案为：15191321

[)(,]81058

?， 【点睛】

本题主要考查了对勾函数的图象与性质，函数的最值求解，存在性问题的求解等，考查了分类讨论，转化与化归的思想.

15．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()211n n n S a n a -+=+，且25a =.若2

n

n S m >

，则实数m 的取

值范围为________. 【答案】(2,)+∞ 【解析】 【分析】

根据递推公式，以及,n n a S 之间的关系，即可容易求得,n n a S ，再根据数列2

n

n S 的单调性，求得其最大值，则参数的范围可求. 【详解】

当2n =时，()2222121S a a -+=+，解得28S =.所以13a =. 因为()211n n n S a n a -+=+， 则()11121(1)1n n n S a n a +++-+=++，

两式相减，可得112(2)(1)1n n n a n a n a ++=+-++， 即1(1)10n n na n a +-++=，

则21(1)(2)10n n n a n a +++-++=.两式相减， 可得2120n n n a a a ++-+=.

所以数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，

所以21n a n =+，则2222n n n

S n n

+=. 令2n n n S b =，则2

1132

n n n n b b ++--=. 当2n ≥时，1

0n n

b b ，数列{}n b 单调递减，

而13

2b =

，22b =，3158

b =， 故2m >，即实数m 的取值范围为(2,)+∞. 故答案为：(2,)+∞. 【点睛】

本题考查由递推公式求数列的通项公式，涉及数列单调性的判断，属综合困难题. 16．若(2)n x -展开式的二项式系数之和为64，则展开式各项系数和为__________． 【答案】1 【解析】

【分析】

由题意得展开式的二项式系数之和求出n 的值，然后再计算展开式各项系数的和. 【详解】

由题意(2)n

x -展开式的二项式系数之和为64，即264n =，故6n =，令1x =，则展开式各项系数的和为6

(112)-=. 故答案为：1 【点睛】

本题考查了二项展开式的二项式系数和项的系数和问题，需要运用定义加以区分，并能够运用公式和赋值法求解结果，需要掌握解题方法.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．

求证：(1)AM ∥平面BDE ； (2)AM ⊥平面BDF.

【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】

(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD ＝N ，连结NE.

则N 22,,022?? ? ???，E(0，0，1)，A(2，2，0)，M 22,,122?? ? ???.

∴NE ＝22,,122??-- ? ???，AM ＝22,,122??

-- ? ???

. ∴NE ＝AM 且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM. ∵NE

?平面BDE ，AM ?平面BDE ，∴AM ∥平面BDE.

(2)由(1)知AM ＝22,22??

-- ? ???

， ∵2，0，0)，22，1)，∴DF ＝(02，1)，

∴AM ·DF ＝0，∴AM ⊥DF.同理AM ⊥BF.又DF∩BF ＝F ，∴AM ⊥平面BDF.

18．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2

221121t x t

t y t ?-=??+??=?+?

（t 为参数）.点()00,p x y 在曲线C 上，点

(,)Q m n

满足0

2m x n =???=??.

（1）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求动点Q 的轨迹1C 的极坐标方程； （2）点A ，B 分别是曲线1C 上第一象限，第二象限上两点，且满足2

AOB π

∠=，求2211

||||OA OB +的

值.

【答案】（1）2

2

2

2

3cos 4sin 12p θρθ+=（πθπ-<<）；（2）7

12

【解析】 【分析】

（1）由已知，曲线C 的参数方程消去t 后，要注意x 的范围，再利用普通方程与极坐标方程的互化公式运算即可；

（2）设()11,A ρθ，21,2B πρθ?

?+ ??

?，由（1）可得2211213cos 4sin 112θθρ+=，

2211223cos 4sin 12212

ππθθρ???

?+++ ? ?????=，相加即可得到证明. 【详解】

（1）2

2

222

2212111t t x y t t ??-??+=+= ? ?

++??

??， ∵(]22

11,11t t

-∈-+，∴1x ≠-，∴221(1)x y x +=≠-，

由题可知：002m x n =???

=?

?022021(2)43m x m n m y ?=????+=≠-??=??

， 1C ：22223cos 4sin 12ρθρθ+=（πθπ-<<）.

（2）因为2

2212

3cos 4sin ρθθ

=

+，

设()11,A ρθ，21,2B πρθ??

+

??

?

， 则2211

213cos 4sin 1

12θθρ+=， 2211223cos 4sin 12212

ππθθρ???

?+++ ? ?????=2211

3sin 4cos 12θθ+=， 2222

1211117

||||12

OA OB ρρ+=+=. 【点睛】

本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道容易题.

19．某精密仪器生产车间每天生产n 个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查．根据多年的生产数据和经验，这些零件的长

度服从正态分布2

(10,0.1)N （单位：微米m μ），且相互独立．若零件的长度d 满足9.710.3m d m μμ<<，

则认为该零件是合格的，否则该零件不合格．

（1）假设某一天小张抽查出不合格的零件数为X ，求(2)P X ≥及X 的数学期望EX ；

（2）小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件，若以此频率作为当天生产零件的不合格率．已知检查一个零件的成本为10元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元．假设n 充分大，为了使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件，试说明理由．

附：若随机变量ξ服从正态分布2

(,)N μσ，则

5049(33)0.9987,0.99870.9370,0.99870.00130.0012P μσξμσ-<<+==?=．

【答案】（1）见解析（2）需要，见解析 【解析】 【分析】

（1）由零件的长度服从正态分布2

(10,0.1)N 且相互独立,零件的长度d 满足9.710.3m d m μμ<<即为合

格,则每一个零件的长度合格的概率为0.9987,X 满足二项分布,利用补集的思想求得()2P X ≥,再根据公式求得EX ；

（2）由题可得不合格率为2

50

,检查的成本为10n ,求出不检查时损失的期望,与成本作差,再与0比较大小即可判断. 【详解】

（1）14950

50(2)1(1)(0)10.99870.00130.99870.003P X P X P X C =-=-==-??-=≥,

由于X 满足二项分布,故0.0013500.065EX =?=. （2）由题意可知不合格率为

250

, 若不检查,损失的期望为252

()2602020505E Y n n =??

-=-； 若检查,成本为10n ,由于522

()1020102055

E Y n n n n -=--=-, 当n 充分大时,2

()102005

E Y n n -=->,

所以为了使损失尽量小,小张需要检查其余所有零件. 【点睛】

本题考查正态分布的应用,考查二项分布的期望,考查补集思想的应用,考查分析能力与数据处理能力. 20．已知0a >，0b >，函数()2f x x a x b =++-的最小值为1

2

. （1）求证：21a b +=；

（2）若2a b tab +≥恒成立，求实数t 的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）最大值为9. 【解析】 【分析】

（1）将函数()y f x =表示为分段函数，利用函数的单调性求出该函数的最小值，进而可证得结论成立； （2）由2a b tab +≥可得出12t a b ≤

+，并将代数式12

a b

+与2+a b 相乘，展开后利用基本不等式可求得12

a b

+的最小值，进而可得出实数t 的最大值. 【详解】

（1）

()3,22,23,a x a b x a f x x a x b x a b x b x a b x b ?

--+<-??

?

=++-=++-≤

+-≥???

.

当2a x <-时，函数()y f x =单调递减，则()2a f x f ??

>- ???

；

当2a

x b -

≤≤时，函数()y f x =单调递增，则()()2a f f x f b ??

-≤≤ ???

； 当x b >时，函数()y f x =单调递增，则()()f x f b >. 综上所述，()1222a a

f x f b ??≥-

=+= ???

，所以21a b +=；

（2）因为2a b tab +≥恒成立，且0a >，0b >，所以2a b

t ab +≤

恒成立，即min

21t b a ??≤+ ???. 因为

(

)2121222559b a a b b a b a a b ??+=++=++≥+= ???，当且仅当13a b ==时等号成立，

所以9t ≤，实数t 的最大值为9. 【点睛】

本题考查含绝对值函数最值的求解，同时也考查了利用基本不等式恒成立求参数，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

21．已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >，

关于直线:20l x y --=的对称点为M

，且||FM =若点P 为C 的准线上的任意一点，过点P 作C 的两条切线PA PB ，，其中A B ，为切点.

（1）求抛物线C 的方程；

（2）求证：直线AB 恒过定点，并求PAB △面积的最小值. 【答案】（1）2

4x y =（2）见解析，最小值为4 【解析】 【分析】

（1）根据焦点F 到直线l 的距离列方程，求得c 的值，由此求得抛物线的方程.

（2）设出,,A B P 的坐标，利用导数求得切线,PA PB 的方程，由此判断出直线AB 恒过抛物线焦点F .求得三角形PAB 面积的表达式，进而求得面积的最小值. 【详解】 （1

）依题意d =

=

1c = （负根舍去） ∴抛物线C 的方程为24x y =

（2）设点()()1122,,,,(,1)A x y B x y P t -，由2

4x y =， 即214y x =

，得12

y x '= ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为()1

112

x y y x x -=-， 即2111122

x y x y x =

+- ∵21114

y x =

，∴112x

y x y =-∵点(,1)P t -在切线PA 上，

1112x t y -=

-①，同理，2212

x

t y -=-② 综合①、②得，点()()1122,,,A x y B x y 的坐标都满足方程12

x

t y -=-.

即直线:12

t

AB y x =+恒过抛物线焦点()0,1F

当0t =时，此时()0,1P -，可知：PF AB ⊥

当0t ≠，此时直线PF 直线的斜率为2

PF k t

=-，得PF AB ⊥

于是1

||||2PAB S PF AB =?△，而||PF

把直线12

t y x =+代入2

4x y =中消去x 得()

22210y t y -++=

2

1224AB y y t

=++=+，即：(()3

222

114422

S t t =+=+

当0t =时，PAB

S 最小，且最小值为4

【点睛】

本小题主要考查点到直线的距离公式，考查抛物线方程的求法，考查抛物线的切线方程的求法，考查直线过定点问题，考查抛物线中三角形面积的最值的求法，考查运算求解能力，属于难题.

22．ABC 中的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 4c =，2B C =. （1）求cos B ；

（2）若5c =，点D 为边BC 上一点，且6BD =，求ADC 的面积. 【答案】（1）3

5

（2）10 【解析】 【分析】

（1）由二倍角的正弦公式以及正弦定理，可得cos 5

C =

，再根据二倍角的余弦公式计算cos B 即可；

（2）由已知可得b =a ，由已知计算出CD 与sin C ，再根据三角形的面积公式求出结果即可. 【详解】 （1）

2B C =，

∴sin sin 22sin cos B C C C ==，

在ABC 中，由正弦定理得，sin sin B b

C c

=，

4c =，

∴sin cos 2sin 25B b C C c ===，

∴23

cos cos 22cos 15

B C C ==-=

，

（2）

5c =4c =，

∴b =

由余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-， 则2

38025255

a a =+-???

， 化简得，26550a a --=， 解得11a =或5a =-（负值舍去），

6BD =，∴5CD =，

cos

C =

()0,C π∈，

∴sin C ==，

∴ADC 的面积11sin 510225

S DC AC C =??=??=.

【点睛】

本题考查了三角形面积公式以及正弦定理、余弦定理的应用，考查了二倍角公式的应用，考查了运算能力，属于基础题.

23．《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A 、B +、B 、C +、C 、D +、D 、E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]、[81,90]、[71,80]、

[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共

2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布(60,169)N ．

（1）求物理原始成绩在区间(47,86)的人数；

（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X 的分布列和数学期望． （附：若随机变量(

)2

~,N ξμσ

，则()0.682P μσξμσ-<<+=，(22)0.954P μσξμσ-<<+=，

(33)0.997P μσξμσ-<<+=）

【答案】（Ⅰ）1636人；（Ⅱ）见解析． 【解析】

【分析】

（Ⅰ）根据正态曲线的对称性，可将区间()47,86分为()47,60和()60,86两种情况，然后根据特殊区间上的概率求出成绩在区间()47,86内的概率，进而可求出相应的人数；（Ⅱ）由题意得成绩在区间[61,80]

的概率为25，且23,5X B ??

~ ???

，由此可得X 的分布列和数学期望．

【详解】

（Ⅰ）因为物理原始成绩(

)

2

60,13N ξ~，

所以(4786)(4760)(6086)P P P ξξξ<<=<<+≤<

11

(60136013)(6021360213)22P P ξξ=

-<<++-?≤<+? 0.6820.95422=+

0.818=．

所以物理原始成绩在（47，86）的人数为20000.8181636?=（人）． （Ⅱ）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为2

5． 所以随机抽取三人，则X 的所有可能取值为0,1,2,3，且23,

5X B ??~ ??

?

， 所以()3

32705125P X ??===

??? ， ()2

13

2354

155125

P X C ??==??=

???， ()2

232336255125P X C ??==??=

???，

()3

2835125

P X ??=== ???．

所以X 的分布列为

所以数学期望()355

E X =?=． 【点睛】

（1）解答第一问的关键是利用正态分布的三个特殊区间表示所求概率的区间，再根据特殊区间上的概率求解，解题时注意结合正态曲线的对称性．