2020年四川省南充市中考数学试题及答案

南充市二〇二〇年初中学业水平考试

数学试卷

一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.若1

-?4

=，则x的值是（）

A. 4

B. 1

- D. ﹣4

2.2020年南充市各级各类学校学生人数约为1 150 000人，将1 150 000 用科学计数法表示为（）

A 1.15×106 B. 1.15×107 C. 11.5×105 D.

0.115×107

3.如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB=2，当风车转动90°时，点B运动路径的长度为（）

A. π

B. 2π

C. 3π

D. 4π

4.下列运算正确的是（）

A. 3a+2b=5ab

B. 3a·2a=6a2

C. a3+a4=a7

(a-b)2=a2-b2

5.八年级某学生在一次户外活动中进行射击比赛，七次射击成绩依次为（单位：环）：4，5，6，6，6，7，8．则下列说法错误的是（）

A. 该组成绩的众数是6环

B. 该组成绩的中位数数是6环

C. 该组成绩平均数是6环

D. 该组成绩数据的方差是10

6.如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则CD=（）.

a b

+ B.

a b

- C. a -b D. b -a

7.如图，面积为S 的菱形ABCD 中，点O 为对角线的交点，点E 是线段BC 单位中点，过点E 作EF ⊥BD 于F ，EG ⊥AC 与G ，则四边形EFOG 的面积为（）

S B.

S C.

112

S D.

116

S 8.如图，点A ，B ，C 在正方形网格的格点上，则sin ∠BAC=（）

9.如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax 2的图象与正方形有公共顶点，则实数a 的取值范围是（）

a ≤≤ B.

a ≤≤ C.

a ≤≤ D.

a ≤≤ 10.关于二次函数245(0)y ax ax a =--≠的三个结论：①对任意实数m ，都有12x m =+与

22x m =-对应的函数值相等；①若3≤x ≤4，对应的y 的整数值有4个，则4

a -

<≤-或413

a ≤<；①若抛物线与x 轴交于不同两点A ，B ，且AB ≤6，则5

4a <-或1a ≥．其中

正确的结论是（） A. ①①

B. ①①

C. ①①

D. ①①①

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）

11.计算：0

12+=__________．

12.如图，两直线交于点O ，若∠1+∠2=76°，则∠1=________度．

13.从长度分别为1,2,3,4的四条线段中任选3条，能构成三角形的概率为____．

14.笔记本5元/本，钢笔7元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，那么最多可以购买钢笔_______支． 15.若231x x +=-，则11

x __________．

16.△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，将△ABC 绕点C 旋转到△EDC ，点E 在⊙上，已知AE=2，tanD=3，则AB=__________．

三、解答题：本大题共9个小题，共86分．

17.先化简，再求值：21(1)11

x x

x x --÷

++，其中1x =． 18.如图，点C 在线段BD 上，且AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，AC ⊥CE ，BC=DE ，求证：AB=CD ．

19.今年，全球疫情大爆发，我国派遣医疗专家组对一些国家进行医疗援助，某批次派出20人组成的专家组，分别赴A 、B 、C 、D 四个国家开展援助工作，七人员分布情况如统计图（不完整）所示：

（1）计算赴B 国女专家和D 国男专家的人数，并将条形统计图补充完整;

（2）根据需要，从赴A 国的专家，随机抽取两名专家对当地医疗团队进行培训，求所抽取的两名专家恰好是一男一女的概率． 20.已知1x ，2x 是一元二次方程2220x x k -++=的两个实数根．

（1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得等式12

2k x x +=-成立？如果存在，请求出k 值，如果不存在，请说明理由． 21.如图，反比例函数(k 0,x 0)k

y x

≠>的函数与y=2x 的图象相交于点C ，过直线上一点A （a ，8）作AAB ⊥y 轴交于点B ，交反比函数图象于点D ，且AB=4BD ．（1）求反比例函数的解析式；（2）求四边形OCDB 的面积．

22.如图，点A ，B ，C 是半径为2的⊙O 上三个点，AB 为直径，⊙BAC 的平分线交圆于点D ，过点D 作AC 的垂线交AC 得延长线于点E ，延长线ED 交AB 得延长线于点F ．（1）判断直线EF 与⊙O 位置关系，并证明．（2）若

DF=，求tan⊙EAD 的值．

23.某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件（1）如图，设第x （0＜x ≤20）个生产周期设备售价z 万元/件，z 与x 之间的关系用图中的函数图象表示，求z 关于x 的函数解析式（写出x 的范围）．

（2）设第x 个生产周期生产并销售的设备为y 件，y 与x 满足关系式y =5x +40（0＜x ≤20）．在（1）的条件下，工厂在第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润=收入-成本）

24.如图，边长为1的正方形ABCD 中，点K 在AD 上，连接BK ，过点A①C 作BK 的垂线，垂足分别为M①N①点O 是正方形ABCD 的中心，连接OM①ON ．（1）求证：AM=BN ；

（2）请判断①OMN 的形状，并说明理由；

的

（3）若点K在线段AD上运动（不包括端点），设AK=x，△OMN的面积为y，求y关于x

的函数关系式（写出x的范围）；若点K在射线AD上运动，且①OMN的面积为

，请直

接写出AK长．

25.已知二次函数图象过点A（-2，0），B（4，0），C（0，4）

（1）求二次函数解析式；

（2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得⊙BMC=90°？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

（3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角θ，且tanθ=

5 3，求点K的坐标．

的

参考答案

一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1-5 CAABD

6-10 CBBAD

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）

11. 12.【答案】38 13.【答案】

14.【答案】10 15.【答案】2- 16.【答案】

103

三、解答题：本大题共9个小题，共86分．

17.解：原式 11(1)111x x x x x x +-??=-÷

?+++??

1(1)

x x x x x -+=

?+- 11

x =-

当1x =

时，原式2

． 18.证明：

①AB BD ⊥，DE BD ⊥，AC CE ⊥ ①90ABC CDE ACB ?∠=∠=∠=

①90ACB ECD ?∠+∠=，90ECD CED ?∠+∠= ①ACB CED ∠=∠ 在ABC ?和CDE ?中

ACB CED BC DE

ABC CDE ∠=∠??

=??∠=∠?

①ABC ?≌CDE ? 故AB CD =．

19.【答案】（1）1，3，图详见解析；（2）3

P = 20.解：（1）∵一元二次方程有两个实数根， ①2(2)4(2)0k ?=--+ 解得1k ≤-；

（2）由一元二次方程根与系数关系，12122,2x x x x k +==+ ①

2k x x +=-， ①

12122

x x k x x k +==-+ 即(2)(2)2k k +-=

，解得k = 又由（1）知：1k ≤-，

①k =

21.解：（1）由点(,8)A a 在2y x =上，则4a =， ①(4,8)A ，

①AB y ⊥轴，与反比例函数图象交于点D ，且4AB BD = ①1BD =，即(1,8)D ， ①8k

，反比例函数解析式为8

y x

；（2）①C 是直线2y x =与反比例函数8

y x

=图象的交点 ①82x x

， ①0x >

①2x =，则(2,4)C

⊙148162ABO S ?=

??=，1

3462

ADC S ?=??=， ∴10ABO ADC OCDB S S S ??=-=四边形． 22.解：（1）直线EF 与圆O 相切理由如下：连接OD ⊙AD 平分BAC ∠ ∴EAD OAD ∠=∠ ∵OA OD =

∴ODA OAD EAD ∠=∠=∠ ∴//OD AE

由AE EF ⊥，得OD EF ⊥ ⊙点D 在圆O 上 ⊙EF 是圆O 的切线

（2）由（1）可得，在Rt ODF ?中，2OD =，DF = 由勾股定理得2

6OF OD DF

∵//OD AE ∴

OD OF DF AE AF EF

即

8AE ==

，得83AE =，ED =

⊙在Rt AED ?中，tan 2

DE EAD AE ∠=

23.解：（1）由图可知，当012x <时，16z =

当1220x <≤时，z 是关于x 的一次函数，设z kx b =+

则12162014

k b k b +=??+=?，得1,194k b =-=，即1194z x =-+

①z 关于x 的函数解析式为16,(012)119.(1220)4

x z x x

=?-+

（2）设第x 个生产周期工厂创造的利润为W 万元 ①012x <时，(1610)(540)30240W x x =-?+=+ 当12x =时，3012240600W =?+=最大值（万元） ②1220x <≤时，11910(540)4W x x ??

+-?+ ???

2255

35360(14)60544

x x x =-++=--+

当14x =时，605W =最大值（万元）

综上所述，工厂在第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元． 24.解：（1）证明： ⊙,AM BM CN BN ⊥⊥ ⊙90AMB BNC ?∠=∠= 又⊙90ABC ?∠=

⊙90,90MAB MBA CBN MBA ??∠+∠=∠+∠= ⊙MAB CBN ∠=∠ 又AB BC =

∴AMB ?≌BNC ?（AAS ） ⊙AM BN =

（2）OMN ?是等腰直角三角形理由如下：连接OB ，

⊙O 为正方形的中心

⊙OA①OB①①OBA①①OAB①45°①①OBC①AO①BO① ①①MAB①①CBM①

⊙MAB OAB NBC OBC ∠-∠=∠-∠，即MAO OBN ∠=∠ ∵,OA OB AM BN == ∴AMO ?≌BNO ?（SAS ） ⊙OM ON =，AOM BON ∠=∠ ⊙90AOB AON BON ?∠=∠+∠= ⊙①AON+①BON①90°① ①①AON+①AOM①90°① ∴90MON ?∠= ⊙OMN

?等腰直角三角形．

（3）在Rt ABK ?中，BK =

由AM BM ⊥，四边形ABCD 是正方形，可得：ABM KBA ，AKM

BKA

⊙

AB MA KB

AK ，AK

⊙BK AM AB AK ?=?，得：AB AK

BN AM BK

?==

=⊙2AK KM BK =?，得：2

KM BK

∴2

MN BK BN KM =--==

是

∴22

1(1)444

OMN

x S MN x ?-==+ 即：22

(01)44

x x y x x -+=<<+ 当点K 在线段AD 上时，则

221

x x x ，

解得：x 1＝3（不合题意舍去），21

x =

，当点K 在线段AD 的延长线时，同理可求得2221

(1)44

x x y x

⊙22121

x x x ，

解得：x 1＝3，21

x =

（不合题意舍去），综上所述：AK 长为

或3时，△OMN 的面积为110．

25.

解：（1）二次函数的图象过点(2,0),(4,0)A B - 设二次函数解析式为(2)(4)y a x x =+- 又二次函数的图象过点(0,4)C ，

⊙84a -=，即1

a =-

故二次函数解析式为2

142

y x x =-++ （2）线段上存在2456,2929

，使得90BMC ?∠=，理由如下：

设BC 中点为Q ，由题意，易知Q 的坐标为(2,2)，BC =

若90BMC ?∠=，则1

MQ BC =

=⊙(2,0),(0,4)A C -，⊙≈AC 的中点P 为(1,2)- 设PB 所在的直线为y kx b =+，则

240

k b k

，得28,55

k b =-

= PB 所在的直线为28

y x =-+

M 在线段PB 上，设M 的坐标为2

a a ，其中14a - 如图1，分别过M ，Q 作y 轴与x 轴的垂线1l ，2l ，设1l ，2l 相交于点T ， ∴28222

a a |2|MT a =-

∵222

MQ QT MT =+ ∴2

222(2)85

整理得22992960a a --=，解得24

a =-

或4a = 当4a =时，B ，M 重合，不合题意（舍去） ⊙2429a =-

，则M 的坐标为2456

(,)2929

故线段PB 上存在2456

,2929

，使得90BMC ?∠=

（3）如图2，过点D 作DE BC ⊥于点E ，设直线DK 与BC 交于点N ∵(1,0),(4,0),45D B EBD ?

∠= ∴3253

3,,,22

∵(0,4)C

⊙直线:4BC y x =-+ 在Rt DNE ?中

25tan 103

DE NE θ===

①若DK 与射线EC 交于点(,4)N m m - ∴592

NE m

∴85

m =

∴812,55

⊙直线:44DK y x =-

∴

24414

x y x x

解得24

x y =??

=?或

836

x y

②若DK 与射线EB 交于点(,4)N m m - ∴592

NE m

∴175

∴173,55

⊙直线11:44

DK y x =

- 2114414

y x y

x x ，解得

145

1145

或

1454

114516

综上所述，抛物线上符合条件的点K 坐标为：

(2,4)或(8,36)--或

145

1145

或

1451145

,416

．