专题4：立体几何中垂直关系的证明基础练习题

专题4：立体几何中垂直关系的证明基础练习题

1．如图，在四棱锥P–ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，P A=AD=CD=2，

BC=3.E为PD的中点，点F在PC上，且

1

3

PF

PC

=，求证：CD⊥平面P AD.

2．如图所示，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，1

PA=，P在平面ABC内的射影为BF的中点O.证明PA BF

⊥.

3．如图所示，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A,B 的任意一点，A1A=AB=2.求证:BC⊥平面A1AC．

4．如图，在三棱锥P-ABC中，CD AB

⊥，垂足为D，PO⊥底面ABC，垂足为O,且O在CD上，求证：AB PC

⊥.

5．已知AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面,C是圆上任一点．求证:平面ABC⊥平面PAC.

6．三棱锥P—ABC中，PO⊥面ABC，垂足为O，若PA⊥BC，PC⊥AB，求证：

（1）AO⊥BC

（2）PB⊥AC

7．P为正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥面ABCD，AE⊥PB，求证：AE⊥PC．

8．如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD 上异于C，D的点.证明：平面AMD 平面BMC.

9．如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1，证明：BE⊥平面EB1C1

10．如图，在四棱锥P?ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A =PD ，E 为AD 的中点.求证：PE ⊥BC .

11．如图所示，四面体ABCD 中，O 为BD 的中点，2AC BC CD BD ====，2AB AD ==，求证：AO ⊥平面BCD .

12．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=，PA ⊥底面ABCD ，且2AP AD AB BC ===，M 、N 分别为PC 、PB 的中点.求证：DM PB .

参考答案

1．证明见解析

【分析】

由P A ⊥CD ，AD ⊥CD 即可得出.

【详解】

因为P A ⊥平面ABCD ，CD ?平面ABCD ，

所以P A ⊥CD ，

又因为AD ⊥CD ，PA AD A ?=

所以CD ⊥平面P AD .

2．证明见解析

【分析】

连结AD ，则易知AD 与BF 的交点为O ，利用线面垂直的判定定理及性质定理，即可得证.

【详解】

证明：连结AD ，则易知AD 与BF 的交点为O ，如图所示：

由正六边形的性质可得BF AO ⊥，

∵BF PO ⊥，BF AO ⊥，PO

AO O =，

∴BF ⊥平面AOP ，

∵PA ?平面AOP ，

∴PA BF ⊥.

3．详见解析.

【分析】

根据直线与平面垂直的判定定理可知,只需证明BC 与平面1AA C 内的两条相交直线垂直即可,而BC AC ⊥,1AA BC ⊥满足定理条件.

【详解】

证明:C 是底面圆周上异于A ,B 的任意一点，AB 是圆柱底面圆的直径，BC AC ∴⊥,

1AA ⊥平面,ABC BC ?平面ABC ,1AA BC ∴⊥,

11,AA AC A AA ?=?平面1,AAC AC ?平面1,AA C

BC ∴⊥平面1A AC .

【点睛】

本题考查直线与平面垂直的判定,考查棱柱的性质,考查学生空间想象能力和推理论证能力,属于中档题.

4．证明见解析

【分析】

通过线面垂直证得PO AB ⊥，结合CD AB ⊥得AB ⊥平面POC ，即可得证.

【详解】

证明：PO ⊥底面ABC ，AB 底面ABC ，PO AB ∴⊥.

∵O 在CD 上,PO CD O ∴?=.

又CD AB ⊥，

AB ∴⊥平面POC .PC ?平面POC ，AB PC ∴⊥.

【点睛】

此题考查线面垂直的性质和判定的综合应用，利用线面垂直得线线垂直.

5．证明见解析

【分析】

先证直线BC ⊥平面PAC ，再证平面ABC ⊥平面PAC .

【详解】

证明: ∵AB 是圆的直径，C 是圆上任一点，∴90ACB ∠=，∴BC AC ⊥，

PA ⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ，

∴BC PA ⊥，又PA AC A =，

∴BC ⊥平面PAC ，又BC ?平面ABC ，

∴平面ABC ⊥平面PAC .

【点睛】

本题考查圆周角及线面垂直判定定理、面面垂直判定定理的应用，考查垂直关系的简单证明.

6．证明过程详见解析．

试题分析：异面直线垂直往往是证明其中一条直线垂直另一条直线所在的平面，即由直线与平面垂直的性质证明直线与直线垂直．

试题解析：（如图）

（1）∵PO⊥面ABC，BC 平面ABC

∴PO⊥BC，又因PA⊥BC

∴BC⊥平面PAO

∴AO⊥BC．

由（1）知，AO⊥BC．同（1）证法，由PC⊥AB，可得CO⊥AB

∴点O为三角形ABC的垂心，∴BO⊥AC

又因PO⊥AC，所以AC⊥PBO

故PB⊥AC

考点：证明异面直线垂直．

7．见解析

【分析】

由已知中P为正方形ABCD所在平面外一点，P A⊥面ABCD，结合正方形的几何特征，我们易得到BC⊥平面P AB，由线面垂直的性质得到BC⊥AE，结合已知中AE⊥PB，及线面垂直的判定定理，得到AE⊥平面PBC，最后再由线面垂直的判定定理，即可得到AE⊥PC．【详解】

证明：∵P A⊥面ABCD，

∴P A⊥AD

又∵BC∥AD

∴P A⊥BC

又由AB⊥BC，P A∩AB＝A

∴BC⊥平面P AB

又AE?平面P AB

又由AE ⊥PB ，BC ∩PB ＝B

∴AE ⊥平面PBC

又∵PC ?平面PBC

∴PC ⊥AE

【点睛】

本题考查知识点是直线与平面垂直的判定及直线与平面垂直的性质，其中熟练掌握正方形的几何特征及线面垂直的判定定理和性质是解答本题的关键．

8．证明见解析

【分析】

由平面CMD ⊥平面ABCD 得到BC ⊥平面CMD ，进一步得到BC ⊥DM ，再结合直径所对圆周角为直角得到DM ⊥CM ，DM ⊥平面BMC ，从而得到证明.

【详解】

由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD .

因为BC ⊥CD ，BC ?平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM .

因为M 为CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM .

又BC CM =C ，所以DM ⊥平面BMC .

而DM ?平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC .

9．证明见解析

【分析】

利用线面垂直的性质与判定定理进行证明即可

【详解】

证明：由已知得，11B C ⊥平面11ABB A ，

BE ?平面11ABB A ，

故11B C ⊥BE .

又1BE EC ⊥，1111B C EC C ?=，

所以，BE ⊥平面11EB C .

10．证明见解析

【分析】

由等腰三角形的性质证明PE AD ⊥，由面面垂直的性质定理证明PE ⊥平面ABCD ，最后由线面垂直的性质得出PE ⊥BC .

【详解】

∵PA PD =，且E 为AD 的中点，∴PE AD ⊥.

∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD

平面ABCD AD =

∴PE ⊥平面ABCD .

∵BC ?面ABCD ，∴PE ⊥BC .

11．证明见解析

【分析】

在等腰三角形ABD 中，O 为BD 的中点，可得AO BD ⊥，分别求出AO,CO,AC 的长，利用勾股定理，可得AO OC ⊥，利用线面垂直的判定定理，即可得证.

【详解】

证明：连接OC ，∵BO DO =，AB AD =，

∴AO BD ⊥，

在AOC △中，由已知可得1AO =，3CO =2AC =，

∴222AO CO AC +=，即AO OC ⊥，

∵BD OC O ?=，BD ?平面BCD ，OC ?平面BCD ，

∴AO ⊥平面BCD .

12．证明见解析

【分析】

在等腰三角形P AB 中，N 是PB 的中点，可得AN PB ⊥，利用线面垂直的判定定理可证PB ⊥平面ADMN ，利用线面垂直的性质定理，即可得证.

【详解】

证明：∵N 是PB 的中点，AP AB =，

∴AN PB ⊥，

∵PA ⊥底面ABCD ，

∴PA AD ⊥，

又∵90BAD ∠=，即AB AD ⊥

∴AD ⊥平面PAB ，

∴AD PB ⊥，

∵AN ?平面ADMN ，AD ?平面ADMN ，

∴PB ⊥平面ADMN ，

∵DM ?平面ADMN ，

∴DM PB .