离散数学(本科)(
《离散数学》复习资料 2014年12月
一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1．若集合A ={1，2}，B ={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是( A )．
A ． A ?
B ，且A ∈B B ．B ?A ，且A ∈B
C ．A ?B ，且A ?B
D ．A ?B ，且A ∈B 2．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图一所示，则下列结论成立的是 ( D )．
图一 A ．（a ）是强连通的 B ．（b ）是强连通的
C ．（c ）是强连通的
D ．（d ）是强连通的 3．设图G 的邻接矩阵为
???????
?????????0101010010000011100100110 则G 的边数为( B )．
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
4．无向简单图G 是棵树，当且仅当( A )．
A ．G 连通且边数比结点数少1
B ．G 连通且结点数比边数少1
C ．G 的边数比结点数少1
D ．G 中没有回路． 5．下列公式 ( C )为重言式．
A ．?P ∧?Q ?P ∨Q
B ．(Q →(P ∨Q )) ?(?Q ∧(P ∨Q ))
C ．(P →(?Q →P ))?(?P →(P →Q ))
D ．(?P ∨(P ∧Q )) ?Q
6．设A ={a , b }，B ={1, 2}，R 1，R 2，R 3是A 到B 的二元关系，且R 1={, }，R 2={, , }，R 3={, }，则（ B ）不是从A 到B 的函数．
A ．R 1和R 2
B ．R 2
C ．R 3
D ．R 1和R 3
7．设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R 是A 上的整除关系，B ={2, 4, 6}，则集合B 的最大元、最小元、上界、下界依次为 ( B )．
A ．8、2、8、2
B ．无、2、无、2
C ．6、2、6、2
D ．8、1、6、1
8．若集合A 的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（ A ）． A ．1024 B ．10 C ．100 D ．1
9．设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当（ C ）时，K n 中存在欧拉回路．
A ．m 为奇数
B ．n 为偶数
C ．n 为奇数
D ．m 为偶数 10．已知图G 的邻接矩阵为
，
则G 有（ D ）．
A ．5点，8边
B ．6点，7边
C ．6点，8边
D ．5点，7边
11.无向完全图K 3的不同构的生成子图的个数为（ C ） (A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3
12 n 阶无向完全图K n 中的边数为（ A ）
(A)
2)1(-n n (B) 2
)
1(+n n (C) n (D)n (n +1) 13.在图G ＝
A deg(v i )=2∣E ∣ (B) deg(v i )=∣E ∣ C
∑∈=V
v E v 2)deg( D ∑∈=V
v E v )deg(
二、填空题（每小题3分，本题共15分）
1．命题公式)(P Q P ∨→的真值是 1 ．
2．若A ={1,2}，R ={
3．已知一棵无向树T 中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T 的树叶数为 5 ．
4．(?x )(P (x )→Q (x )∨R (x ，y ))中的自由变元为 R (x ，y )中的y ． 5．设集合A ＝{a ，b }，那么集合A 的幂集是 {?,{a ,b },{a },{b }} 6．如果R 1和R 2是A 上的自反关系，则R 1∪R 2，R 1∩R 2，R 1-R 2中自反关系有 2 个． 7．设图G 是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G 中删去 4 条边后使之变成树．
8．无向图G 存在欧拉回路，当且仅当G 所有结点的度数全为偶数且 连通 9．设连通平面图G 的结点数为5，边数为6，则面数为 3 ．
10．设个体域D ＝{a , b }，则谓词公式(?x )A (x )∧（?x ）B （x ）消去量词后的等值式为 (A (a )∧A (b ))∧(B （a ）∨B （b ）) ．
三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）
1．将语句“雪是黑色的．”翻译成命题公式．
设P ：雪是黑色的， （2分）
则命题公式为：P ．
2．将语句“他不去学校．”翻译成命题公式．
解：设P ：他去学校， 则命题公式为： ? P ．
3．将语句“小王是个学生，小李是个职员，而小张是个军人．”翻译成命题公式．
设P ：小王是个学生，Q ：小李是个职员，R ：小张是个军人． （2分） 则命题公式为：P ∧Q ∧R ．
4．将语句“如果所有人今天都去参加活动，则明天的会议取消．”翻译成命题公式． 解：设P ：所有人今天都去参加活动，
Q ：明天的会议取消， 则命题公式为： P → Q ．
5．将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式． 解：设 P ：他去旅游，Q ：他有时间，
则命题公式为： P →Q ．
6．将语句“41次列车下午五点开或者六点开．”翻译成命题公式．
解：设P ：41次列车下午五点开，Q ：41次列车下午六点开， （2分）
命题公式为：（P ∧?Q ）∨（?P ∧Q ） 7．将语句“小张学习努力，小王取得好成绩．”翻译成命题
设P ：小张学习努力，Q ：小王取得好成绩， （2分） 则命题公式为：P ∧Q ．
8．将语句“有人去上课．” 翻译成谓词公式．
解：设P (x )：x 是人，Q (x )：x 去上课， （1分） (?x )(P (x) ∧Q (x )
9．将语句“所有的人都学习努力．”翻译成命题公式． 解：设P (x )：x 是人，Q (x )：x 学习努力，
?x ）(P (x )→Q (x ))．
四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．
1．设集合A ={1, 2, 3, 4}，B ={2, 4, 6, 8}，，判断下列关系f 是否构成函数f ：B A →，并说明理由．
(1) f ={<1, 4>, <2, 2,>, <4, 6>, <1, 8>}； (2)f ={<1, 6>, <3, 4>, <2, 2>}；
(3) f ={<1, 8>, <2, 6>, <3, 4>, <4, 2,>}．
答：（1）不构成函数 因为3A ∈，但()3f 没有定义，所以不构成函数 （2）不构成函数 因为4A ∈，但()4f 没有定义，所以不构成函数 （3）满足。 因为任意x A ∈，都有()f x B ∈且结果唯一。 2．若集合A = {1，2，3}上的二元关系R ={<1, 1>，<2, 2>，<1, 2>}，则
(1) R 是自反的关系； (2) R 是对称的关系． 答：（1）错误 因为33R ?，，所以R 不是自反的
（2）错误 因为12R ∈，，但是21R ?，，所以R 不是对称的
3．如果R 1和R 2是A 上的自反关系，判断结论：“R -
11、R 1∪R 2、R 1∩R 2是自反的” 是否成立？并说明理由．
答：成立 因为任意a A ∈，有12,,,a a R a a R ∈∈ 所以1,a a R -∈，1
2,a a R R ∈，12,a a R R ∈ R -11、R 1∪R 2、R 1∩R 2是自反的
4．若偏序集的哈斯图如图一所示， 则集合A 的最大元为a ，最小元不存在． 答：错误，集合A 没有最大元，也没有最小元
其中a 是极大元
5．若偏序集的哈斯图如图一所示，则集合A 的最大元为a ，最小元不存在．
解：正确
对于集合A 的任意元素x ，均有
6．如果图G 是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G 存在一条欧拉回路．．
答：错误 如果图G 是无向图，且图G 是连通的，同时结点度数都是偶数 7．设G 是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G 有7个面．
答案：正确
定理，连通平面图G 的结点数为v ，边数是e ，面数为r ，则欧拉公式v-e+r=2
成立
所以r=2-v+e=2-6+11=7
则G 存在一条欧拉回路
8．设G 是一个有6个结点14条边的连通图，则G 为平面图． 解：错误，不满足“设G 是一个有v 个结点e 条边的连通简单平面图，若v ≥3，则e ≤3v -6．” 9．命题公式?P ∧(P →?Q )∨P 为永真式．
解
ο
ο ο ο
a b c d 图一
ο
ο ο g e f h
ο
可知，该命题公式为永真式．
五．计算题（每小题12分，本题共36分）
1．设集合A ={a , {b }, c }，B ={{a }, c }，试计算
（1）（A ∩B ）； （2）（B - A ）； （3）（A ∩B ）×B ． 解（1）（A ∩B ）={c }；
（2）（B - A ）={{a }}； （3）（A ∩B ）×B={
2．设A ={0，1，2，3，4，5，6}，R ={
解：R ={<0,0>} S ={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<3,0>} R ?S ={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>}
R -1={<0,0>} S -1= S ） r (R )=I A ．
3．图G =
b ,
c ,
d ,
e }，E ={ (a , b ), (a , c ), (a , e ), (b , d ), (b , e ), (c , e ), (c , d ), (d , e ) }，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试
（1）画出G 的图形； （2）写出G 的邻接矩阵；
（3）求出G 权最小的生成树及其权值．
解：（1）G 的图形表示为：
（3分）
（2）邻接矩阵：
???
??
??
?
????????0111110110110011100110110 （6分）
（3）粗线表示最小的生成树，
权为7：
4．设图G =
(1) 画出G 的图形表示； (2) 求出每个结点的度数； (3) 画出图G 的补图的图形． 解：（1）关系图
（2）deg(v 1)=2 deg(v 2)=3 deg(v 3)=4
deg(v 4)=3 deg(v 5)=2
（3）补图
5．设集合A ={1，2，3，4}，R ={
（1）写出R 的有序对表示； （2）画出R 的关系图；
（3）说明R 满足自反性，不满足传递性．
解:（1）R ={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<3,4>,<4,3>} （3分） （2）关系图为
（3）因为<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>均属于R ，即A 的每个元素构成的有序对均在R 中，故R 在A 上是自反的。
因有<2,3>与<3,4>属于R ，但<2,4>不属于R ，所以R 在A 上不是传递的。
??
? ? 1 2 3
4 v 1
v 2
v 3
v 4
v 5 ο
ο
ο
ο
ο
v 1 v 2 v 3
v 4 v 5
ο
ο
ο ο ο
6．设集合A ={1, 2, 3}，R ={<1，1>, <2，1>,<3，1>}，S ={<1，2>, <2，2>}试计算 （1）R ?S ； （2）R -1； （3）r （R ）．
解： （1）R ?S =={<1，2>, <2，2>,<3，2>}； （4分）
（2）R -1={<1，1>, <1，2>, <1，3> }； （8分） （3）r （R ）={<1，1>, <2，2> , <3，3>, <2，1>,<3，1>}
7、求出如图一所示赋权图中的最小生成树（要求写出求解步骤），并求此最小生成树
的权．
解 用Kruskal 算法求产生的最小生成树．步骤为：
1),(71=v v w 选711v v e = 3),(43=v v w 选432v v e = 4),(72=v v w 选723v v e = 9),(73=v v w 选734v v e =
18),(54=v v w 选545v v e =
22),(61=v v w 选616v v e = （6分）
最小生成树如图四所示：
（9分）
图四
最小生成树的权为：w (T )=22+1+4+9+3+18=57． （12分）
8．试画一棵带权为2, 3, 3, 4, 5,的最优二叉树,并计算该最优二叉树的权． 解： 最优二叉树如图二所示．
（10分）
图二
ο ο
ο ο ο ο ο ο ο 2 3 3 4 5 5 10 7 17
权为2?3+3?3+3?2+4?2+5?2=39
9．设谓词公式),()),,(),((z y yC z y x zB y x A x ?∧?∧?，试
（1）写出量词的辖域； （2）指出该公式的自由变元和约束变元．
（1）?x 量词的辖域为)),,(),((z y x zB y x A ?∧， （2分）
?z 量词的辖域为),,(z y x B , （4分） ?y 量词的辖域为),(z y C ． （6分） （2）自由变元为)),,(),((z y x zB y x A ?∧中的y ，以及),(z y C 中的z （9分） 约束变元为)),,(),((z y x zB y x A ?∧中的x 与(,,)B x y z 中的z ，以及(,)C y z 中的y ． 10．设谓词公式),,()(),()(z y x Q z y x P x ?→?，试
（1）写出量词的辖域； （2）指出该公式的自由变元和约束变元． （1）?x 量词的辖域为),(y x P ， （3分）
?z 量词的辖域为),,(z y x Q , （6分） （2）自由变元为公式中的y 与),,(z y x Q 中的x ， （9分）
约束变元为),(y x P 的x 与),,(z y x Q z ．
11．求命题公式(P ∨Q )→(R ∨Q ) 的主析取范式、主合取范式． 解：
主析取范式（极小项析取）：
（?P ∧?Q ∧?R ）∨（?P ∧?Q ∧R ）∨（?P ∧Q ∧?R ）∨（?P ∧Q ∧R ）
∨（P ∧?Q ∧R ）∨（P ∧Q ∧?R ）∨（P ∧Q ∧R ）
主合取范式（极大项合取）：?P ∨Q ∨R
12．求（P ∨Q ）→（R ∨Q ）的析取范式，合取范式．
解：（P ∨Q ）→（R ∨Q ）
??（P ∨Q ）∨（R ∨Q ） （4分） ?(?P ∧?Q )∨（R ∨Q ）
?(?P ∨R ∨Q )∧(?Q ∨R ∨Q )
?(?P∨R∨Q) 析取、合取范式
六、证明题（本题共8分）
1．试证明集合等式A? (B?C)=(A?B) ? (A?C)．
证明：设S=A∩(B∪C)，T=(A∩B)∪(A∩C)，若x∈S，则x∈A且x∈B∪C，即x∈A 且x∈B或x∈A且x∈C，
也即x∈A∩B或x∈A∩C，即x∈T，所以S?T．
反之，若x∈T，则x∈A∩B或x∈A∩C，
即x∈A且x∈B 或x∈A且x∈C
也即x∈A且x∈B∪C，即x∈S，所以T?S．
因此T=S．
2．试证明（?x）（P（x）∧R（x））?（?x）P（x）∧（?x）R（x）．
证明：
（1）（?x）（P（x）∧R（x））P
（2）P（a）∧R（a）ES(1)
（3）P（a）T(2)I
（4）（?x）P（x）EG(3)
（5）R（a）T(2)I
（6）（?x）R（x）EG(5)
（7）（?x）P（x）∧（?x）R（x）T(5)(6)I
华南农业大学 离散数学 期末考试2013试卷及答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2013-2014学年第 一 学期 考试科目： 离散结构 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 ①本试题分为试卷与答卷2部分。试卷有四大题，共6页。 ②所有解答必须写在答卷上，写在试卷上不得分。 一、选择题（本大题共 25 小题，每小题 2 分，共 50 分） 1、下面语句是简单命题的为_____。 A 、3不是偶数 B 、李平既聪明又用功 C 、李平学过英语或日语 D 、李平和张三是同学 2、设 p:他主修计算机科学, q:他是新生，r:他可以在宿舍使用电脑，下列命题“除非他不是新生，否则只有他主修计算机科学才可以在宿舍使用电脑。”可以符号化为______。 A 、r q p →?∧? B 、r q p ?→∧? C 、r q p →?∧ D 、r q p ∧→ 3、下列谓词公式不是命题公式P →Q 的代换实例的是______。 A 、)()(y G x F → B 、),(),(y x yG y x xF ?→? C 、))()((x G x F x →? D 、)()(x G x xF →? 4、设个体域为整数集，下列公式中其值为 1的是_____。 A 、)0(=+??y x y x B 、)0(=+??y x x y C 、)0(=+??y x y x D 、)0(=+???y x y x
2 5、下列哪个表达式错误_____。 A 、 B x xA B x A x ∧??∧?)())(( B 、B x xA B x A x ∨??∨?)())(( C 、B x xA B x A x →??→?)())(( D 、)())((x xA B x A B x ?→?→? 6、下述结论错误的是____。 A 、存在这样的关系，它可以既满足对称性，又满足反对称性 B 、存在这样的关系，它可以既不满足对称性，又不满足反对称性 C 、存在这样的关系，它可以既满足自反性，又满足反自反性 D 、存在这样的关系，它可以既不满足自反性，又不满足反自反性 7、集合A 上的关系R 为一个等价关系，当且仅当R 具有_____。 A 、自反性、对称性和传递性 B 、自反性、反对称性和传递性 C 、反自反性、对称性和传递性 D 、反自反性、反对称性和传递性 8、下列说法不正确的是：______。 A 、R 是自反的，则2R 一定是自反的 B 、R 是反自反的，则2R 一定是反自反的 C 、R 是对称的，则2R 一定是对称的 D 、R 是传递的，则2R 一定是传递 9、设R 和S 定义在P 上，P 是所有人的集合，=R {x P y x y x ∧∈><,|,是y 的父亲}，=S {x P y x y x ∧∈><,|,是y 的母亲}，则关系{y P y x y x ∧∈><,|,是的x 外祖父}的表达式是：______。 A 、11--R R B 、11--S R C 、11--S S D 、11--R S 10、右图描述的偏序集中，子集},,{f e b 的上界为_____。 A 、c b , B 、b a , C 、b D 、c b a ,, 11、以下整数序列，能成为一个简单图的顶点度数序列的是_____。 A 、1，2，2，3，4，5
吉林大学离散数学精品试卷
2006-2007学年第2学期 2005级《离散数学2》期末考试试题(A卷) 考试时间：2007年6月班级_______________________ 学号_____________________ 姓名_____________________ 请将答案写在答题纸上，写明题号，不必抄题，字迹工整、清晰； 请在答题纸和试题纸上都写上你的班级，学号和姓名，交卷时请将试题纸、答题纸和草纸一并交上来。 一.综合体(30分，每题3分) 1. 求( 1 3 5 ) (2 5 4 ) (3 4 ) 2. 只有两个生成元的循环群一定是有限循环群吗？并说明理由。 3. 有限循环群中是否一定存在周期与群的元数相等的元素？ 4. 下面哪个是域GF( 16)的真子域 (A)GF (6) ;(B)GF ⑷;(C)GF(8);(D)GF(16) 5. 有限布尔代数的元素个数必定是如下哪个形式？ (A)2n;(B)n 2 ;(C)2 n;(D)4n. 6. 下列代数系统(S, *)中，哪个是群？ (A) S={0,1,3,5},* 是模7的乘法；(B) S是有理数集合，*运算是普通乘法； (C) S是整数集合，*是普通乘法；(D) S={1,3,4,9},* 是模11的乘法。 7. 设A={0,1,2,3,4},运算为模5加法，请给出A的所有子群。 8. n元恒等置换是奇置换还是偶置换？对换呢？ 9?请给出一个有余，但不是分配格的例子。 10.设R是模12的整数环，R={0,1,2,…,11},下面哪一个是极大理想： (A) 6R; (B)2R; (C)4R; (D)8R 二.计算题(25分，每题5分) 1. 计算分圆多项式①24(X). 2. 设(Z,+)为整数加法群，(C*,??)为非零复数的乘法群，令 f: n -i n ,是Z到C*中的同态映射，请求出f的同态核。 3. 在R上求出x+2除2X5+4X3+3X2+1所得的商式和余式。 4. 设G是3次对称群，H是由I和(13)作成的子群，求H得所有右陪集。 5. 设A={0,1,2,3,4,5}, 运算为模6加法，请给出A中所有元素的周期。 三.(10分)证明或者反驳：f(x)=3x 5+5X2+1 四.(10分)设(G, *)是群，(A, *)和(B，*)是它的两个子群，C={a*b|a € A, b€ B}.证明：若*满足交换律，则(C, *)也是(G，*)的子群。 五.(10分)设Z是整数集合，X={(a,b)|a,b € Z},定义X上的二元运算①和。 如下：对任意(ab) ,(a 2,b2)€ X,有： (a1b"e (a2,b2)= (a+a?,b1+b2), (a1bJ O (a2,b2)= (ax a2,b 1X b)，其中，+，x分别是整数加法与乘法。 证明：(X，?，O)是环，如果此环有零因子请给出它们
离散数学(本科)(
《离散数学》复习资料 2014年12月 一、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1．若集合A ={1，2}，B ={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是( A )． A ． A ? B ，且A ∈B B ．B ?A ，且A ∈B C ．A ?B ，且A ?B D ．A ?B ，且A ∈B 2．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图一所示，则下列结论成立的是 ( D )． 图一 A ．（a ）是强连通的 B ．（b ）是强连通的 C ．（c ）是强连通的 D ．（d ）是强连通的 3．设图G 的邻接矩阵为 ??????? ?????????0101010010000011100100110 则G 的边数为( B )． A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 4．无向简单图G 是棵树，当且仅当( A )． A ．G 连通且边数比结点数少1 B ．G 连通且结点数比边数少1 C ．G 的边数比结点数少1 D ．G 中没有回路． 5．下列公式 ( C )为重言式． A ．?P ∧?Q ?P ∨Q B ．(Q →(P ∨Q )) ?(?Q ∧(P ∨Q )) C ．(P →(?Q →P ))?(?P →(P →Q )) D ．(?P ∨(P ∧Q )) ?Q 6．设A ={a , b }，B ={1, 2}，R 1，R 2，R 3是A 到B 的二元关系，且R 1={, }，R 2={, , }，R 3={, }，则（ B ）不是从A 到B 的函数． A ．R 1和R 2 B ．R 2 C ．R 3 D ．R 1和R 3 7．设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R 是A 上的整除关系，B ={2, 4, 6}，则集合B 的最大元、最小元、上界、下界依次为 ( B )． A ．8、2、8、2 B ．无、2、无、2 C ．6、2、6、2 D ．8、1、6、1 8．若集合A 的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（ A ）． A ．1024 B ．10 C ．100 D ．1 9．设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当（ C ）时，K n 中存在欧拉回路． A ．m 为奇数 B ．n 为偶数
中国石油大学大学《离散数学》期末复习题及答案
《离散数学》期末复习题 一、填空题（每空2分，共20分） 1、集合A上的偏序关系的三个性质是、 和。 2、一个集合的幂集是指。 3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A?B= 。 4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A?B= 。 5、若A是2元集合, 则2A有个元素。 6、集合A={1,2,3｝，A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则 2*3= 。 7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。 8、对实数的普通加法和乘法，是加法的幂等元， 是乘法的幂等元。 9、设a,b,c是阿贝尔群
19、代数系统是指由及其上的或 组成的系统。 20、设
离散数学期末考试试卷(A卷)
离散数学期末考试试卷(A卷) 一、判断题：（每题2分，共10分） （1） （1） （2）对任意的命题公式, 若, 则 （0） （3）设是集合上的等价关系, 是由诱导的上的等价关系，则。（1） （4）任意一个命题公式都与某一个只含合取和析取两种联结词的命题公式等价。 （0） （5）设是上的关系，分别表示的对称和传递闭包，则 （0） 二、填空题：（每题2分，共10分） (１) 空集的幂集的幂集为（）。 (２) 写出的对偶式（）。 （３）设是我校本科生全体构成的集合，两位同学等价当且仅当他们在 同一个班，则等价类的个数为（），同学小王所在 的等价类为（）。 （４）设是上的关系，则满足下列性质的哪几条：自反的，对称的，传递的，反自反的，反对称的。 （） (5)写出命题公式的两种等价公式( ）。 三、用命题公式符号化下列命题（１）（２）（３），用谓词公式符号化下列命题（４）（５）（６）。（12分） （１）（１）仅当今晚有时间，我去看电影。 （２）（２）假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书。 （3）你能通你能通过考试，除非你不复习。 （４）（４）并非发光的都是金子。 （５）（５）有些男同志，既是教练员，又是国家选手。 （６）（６）有一个数比任何数都大。 四、设，给定上的两个关系和分别是
（１）（１）写出 和 的关系矩阵。（２）求 及 （1２分） 五、求 的主析取范式和主合取范式。（１０分） 六、设 是 到 的关系， 是 到 的关系，证明： （8分） 七、设 是一个等价关系，设 对某一个 ,有 ，证明： 也是一个等价关系。（10分） 八、（1０分）用命题推理理论来论证 下述推证是否有效？ 甲、乙、丙、丁四人参加比赛，如果甲获胜，则乙失败；如果丙获胜，则乙也获 胜，如果甲不获胜，则丁不失败。所以，如果丙获胜，则丁不失败。 九、（１０分） 用谓词推理理论来论证下述推证。 任何人如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车，每一个人或喜欢乘汽车，或喜欢骑 自行车（可能这两种都喜欢）。有的人不爱骑自行车，因而有的人不爱步行 (论 域是人)。 十、(8分) 利用命题公式求解下列问题。 甲、乙、丙、丁四人参加考试后，有人问他们，谁的成绩最好， 甲说：“不是我，”乙说：“是丁，”丙说：“是乙，” 丁说：“不是我。” 四人的回答只有一人符合实际，问若只有一人成绩最 好，是谁？ 离散数学期末考试试卷答案(A 卷) 一、判断题：（每题2分，共10分） （1）}}{{}{x x x -∈ （ ∨） (2) 对任意的命题公式C B A ,,, 若 C B C A ∧?∧, 则B A ? ( ? ) （3）设R 是集合A 上的等价关系, L 是由 R A 诱导的A 上的等价关系，则L R =。 ( ∨ ) （4） 任意一个命题公式都与某一个只含合取和析取两种联结词的命题公式等 价。 （ ? ） （5）设R 是A 上的关系，)(),(R t R s 分别表示R 的对称和传递闭包，则 )()(R st R ts ? （ ? ） 二、填空题：（每题2分，共10分）
大学本科高等数学《离散数学》试题及答案
本科高等数学离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
大学离散数学期末重点知识点总结(考试专用)
1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (?x)((Ax)∨(Bx)) <=>( ?x)(Ax)∨(?x)(Bx) (?x)((Ax)∧(Bx)) <=>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) (?x)(A ∨(Bx)) <=>A ∨(?x)(Bx) (?x)(A ∧(Bx)) <=>A ∧(?x)(Bx) (?x)((Ax)→(Bx)) <=>(?x)(Ax)→(?x)(Bx) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) (?x)(Ax)∨(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)∨(Bx)) (?x)((Ax)∧(Bx)) =>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) (?x)(Ax)→(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项，这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P 规则，T 规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 3.谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n 个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 4.集合 1.N ，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A 中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A ，以集合A 的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A 有n 个元素，幂集P(A)有n 2个元素，|P(A)|=||2A =n 2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 5.关系 1.若集合A 有m 个元素，集合B 有n 个元素，则笛卡尔A ×B 的基数为mn ，A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系； 2.若集合A 有n 个元素，则|A ×A|=2n ，A 上有22n 个不同的关系； 3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性； 空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性； 全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性； 4.前域(domR)：所有元素x 组成的集合； 后域(ranR)：所有元素y 组成的集合； 5.自反闭包：r(R)=RU Ix ; 对称闭包：s(R)=RU 1-R ; 传递闭包：t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系：集合A 上的二元关系R 满足自反性，对称性和传递性，则R 称为等价关系； 7.偏序关系：集合A 上的关系R 满足自反性，反对称性和传递性，则称R 是A 上的一个偏序关系； 8.covA={
太原理工大学离散数学试题
一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝__{3}__________________; ρ(A) - ρ(B)＝___________________{3},{1,3},{2,3},{123}______ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = _____2^(n^2)_____________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是__自反，对称，传递 ____________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R2= {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。 16. 设谓词的定义域为{a, b},将表达式?xR(x)→?xS(x)中量词消除，写成与之对应的命题公
中央电大离散数学(本科)考试试题
,. 中央电大离散数学（本科）考试试题 一、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1．若集合A={1，2}，B={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是( a )． A．A?B，且A∈B B．B?A，且A∈B C．A?B，且A?B D．A?B，且A∈B 2．设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图一所示，则下列结论成立的是( d )． 图一 A．（a）是强连通的B．（b）是强连通的 C．（c）是强连通的D．（d）是强连通的 3．设图G的邻接矩阵为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 则G的边数为( b )． A．6 B．5 C．4 D．3 4．无向简单图G是棵树，当且仅当( a )． A．G连通且边数比结点数少1 B．G连通且结点数比边数少1 C．G的边数比结点数少1 D．G中没有回路． 5．下列公式( c )为重言式． A．?P∧?Q?P∨Q B．(Q→(P∨Q)) ?(?Q∧(P∨Q)) C．(P→(?Q→P))?(?P→(P→Q)) D．(?P∨(P∧Q)) ?Q 1．若集合A={a，b}，B={ a，b，{ a，b }}，则（ a ）． A．A?B，且A∈B B．A∈B，但A?B C．A?B，但A?B D．A?B，且A?B 2．集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R={