2018年秋高中数学第三章导数及其应用阶段复习课学案新人教A版选修11
第三课 导数及其应用
[核心速填]
1．在x ＝x 0处的导数
(1)定义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0
Δy
Δx ＝lim Δx →0
f x 0＋Δx －f x 0
Δx
，称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数．
(2)几何意义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数是函数图象在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率． 2．导函数
当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，称为导函数．f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0
f x ＋Δx －f x
Δx
.
3．基本初等函数的导数公式 (1)c ′＝0. (2)(x α
)′＝αx
α－1
.
(3)(a x
)′＝a x
ln_a (a >0)． (4)(e x
)′＝e x
. (5)(log a x )′＝
1
x ln a
(a >0，且a ≠1)． (6)(ln x )′＝1
x
.
(7)(sin x )′＝cos_x . (8)(cos x )′＝－sin_x . 4．导数的运算法则
(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)??
??
??f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2
(g (x )≠0)．
5．函数的单调性、极值与导数 (1)函数的单调性与导数．
在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果
f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减．
(2)函数的极值与导数．
①极大值：在点x ＝a 附近，满足f (a )>f (x )，当x 0，当x >a 时，f ′(x )<0，则点a 叫做函数的极大值点，f (a )叫做函数的极大值；
②极小值：在点x＝a附近，满足f(a)
6．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个为最小值．
[体系构建]
[题型探究]
导数的几何意义
已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12，直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.
(1)求a的值；
(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由．
[思路探究] (1)求f′x→f′－1＝0→求得a
(2)设直线m与y＝g x相切→求出相应切线的斜率与切线方程→
检验切线是否与y＝f x相切→得结论
[解] (1)因为f′(x)＝3ax2＋6x－6a，且f′(－1)＝0，
所以3a－6－6a＝0，得a＝－2.
(2)因为直线m过定点(0,9)，先求过点(0,9)，且与曲线y＝g(x)相切的直线方程．
设切点为(x0,3x20＋6x0＋12)，
又因为g′(x0)＝6x0＋6.
所以切线方程为
y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)．
将点(0,9)代入，
得9－3x 2
0－6x 0－12＝－6x 2
0－6x 0， 所以3x 20－3＝0，得x 0＝±1.
当x 0＝1时，g ′(1)＝12，切点坐标为(1,21)， 所以切线方程为y ＝12x ＋9；
当x 0＝－1时，g ′(－1)＝0，切点坐标为(－1,9)， 所以切线方程为y ＝9.
下面求曲线y ＝f (x )的斜率为12和0的切线方程： 因为f (x )＝－2x 3
＋3x 2
＋12x －11， 所以f ′(x )＝－6x 2＋6x ＋12.
由f ′(x )＝12，得－6x 2
＋6x ＋12＝12， 解得x ＝0或x ＝1.
当x ＝0时，f (0)＝－11，此时切线方程为y ＝12x －11； 当x ＝1时，f (1)＝2，此时切线方程为y ＝12x －10. 所以y ＝12x ＋9不是公切线． 由f ′(x )＝0，得－6x 2＋6x ＋12＝0， 解得x ＝－1或x ＝2.
当x ＝－1时，f (－1)＝－18，此时切线方程为y ＝－18； 当x ＝2时，f (2)＝9，此时切线方程为y ＝9， 所以y ＝9是公切线．
综上所述，当k ＝0时，y ＝9是两曲线的公切线．
[规律方法] 此题直线m 恒过点(0，9)是解题的突破口，即若m 是f (x )，g (x )的公切线，则切线必过点(0，9).一般说来，求过定点的两曲线公切线的一般思路是：先求出过定点的一曲线的切线方程，再令斜率值与另一曲线的导数相等，求出可能的切点，得出对应切线方程.若两条直线方程相同，则为公切线；若不同，则不存在公切线.当然，也可能会存在切线斜率不存在的情况.
1．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.
(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－1
4
x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程.
【导学号：97792173】
[解] (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． ∵f ′(x )＝(x 3
＋x －16)′＝3x 2
＋1，
∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y －(－6)＝13(x －2)， 即y ＝13x －32. (2)设切点为(x 0，y 0)，
则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 2
0＋1，
∴直线l 的方程为y ＝(3x 2
0＋1)(x －x 0)＋x 3
0＋x 0－16. 又∵直线l 过点(0,0)，
∴0＝(3x 2
0＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16， 整理得，x 30＝－8， ∴x 0＝－2，
∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.
k ＝3×(－2)2＋1＝13，
∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y ＝－x
4＋3垂直，
∴切线的斜率k ＝4.
设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 2
0＋1＝4， ∴x 0＝±1，
∴?
??
??
x 0＝1，y 0＝－14或?
??
??
x 0＝－1，
y 0＝－18.
即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)． 切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.
利用导数研究函数的单调性
已知函数f (x )＝ax 3＋x 2
(a ∈R )在x ＝－3处取得极值．
(1)确定a 的值；
(2)若g (x )＝f (x )e x
，讨论g (x )的单调性．
[思路探究] (1)利用f ′? ??
??－43＝0求解． (2)先求g (x )，再求g ′(x )＝0的根，最后确定g (x )的单调性． [解] (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2
＋2x .
因为f (x )在x ＝－4
3
处取得极值，
所以f ′? ????－43＝3a ·169＋2·? ????－43＝16a 3－8
3＝0，
解得a ＝1
2
.经检验满足题意．
(2)由(1)知g (x )＝? ????12x 3＋x 2e x
，所以g ′(x )
＝? ????32x 2＋2x e x ＋? ????12x 3＋x 2e x
＝? ??
??12x 3＋52x 2＋2x e x
＝12
x (x ＋1)(x ＋4)e x
. 令g ′(x )＝0，解得x ＝0，x ＝－1或x ＝－4. 当x <－4时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当－4
综上知，g (x )在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数．
[规律方法] 函数的单调性与导数的关注点
(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间． (2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价． (3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集． (4)求参数的范围时常用到分离参数法． 2．已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2
＋ax )e x
(x ∈R )． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；
(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x
，
f ′(x )＝(－x 2＋2)e x .
当f ′(x )＞0时，(－x 2
＋2)e x
＞0， 注意到e x
＞0，
所以－x 2
＋2＞0，解得－2＜x ＜ 2.
所以，函数f (x )的单调递增区间为(－2，2)．同理可得，函数f (x )的单调递减区
间为(－∞，－2)和(2，＋∞)．
(2)因为函数f (x )在(－1,1)上单调递增，所以f ′(x )≥0在(－1,1)上恒成立． 又f ′(x )＝[－x 2
＋(a －2)x ＋a ]e x
， 即[－x 2
＋(a －2)x ＋a ]e x
≥0， 注意到e x
＞0，
因此－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0在(－1,1)上恒成立，
也就是a ≥x 2＋2x x ＋1＝x ＋1－1
x ＋1
在(－1,1)上恒成立．
设y ＝x ＋1－1
x ＋1， 则y ′＝1＋1x ＋1
2
＞0，
即y ＝x ＋1－
1
x ＋1
在(－1,1)上单调递增， 则y ＜1＋1－11＋1＝3
2，
故a ≥32
.
即a 的取值范围为????
??32，＋∞.
导数与函数的极值(最值)及恒成立问题
(1)设a ＝1，求函数f (x )的极值；
(2)若a ＞13
，且当x ∈[1,4a ]时，f (x )≥a 3
－12a 恒成立，试确定a 的取值范围.
【导学号：97792174】
[思路探究] (1)先求f ′(x )＝0的根，再判断极值点，求极值．
(2)先求f (x )在x ∈[1,4a ]时的最小值f (x )min ，再解不等式f (x )min ≥a 3
－12a 求a 的范围．
[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝x 3
－3x 2
－9x ＋1且f ′(x )＝3x 2
－6x －9，由f ′(x )＝0得
x ＝－1或x ＝3.
当x ＜－1时，f ′(x )＞0，当－1＜x ＜3时，f ′(x )＜0， 因此x ＝－1是函数的极大值点， 极大值为f (－1)＝6；
当－1＜x ＜3时，f ′(x )＜0，当x ＞3时，f ′(x )＞0，
因此x ＝3是函数的极小值点，极小值为f (3)＝－26. (2)∵f ′(x )＝3x 2－6ax －9a 2
＝3(x ＋a )(x －3a )，a ＞13，
∴当1≤x ＜3a 时，f ′(x )＜0； 当3a ＜x ≤4a 时，f ′(x )＞0.
∴x ∈[1,4a ]时，f (x )的最小值为f (3a )＝－26a 3
. 由f (x )≥a 3
－12a 在[1,4a ]上恒成立得－26a 3
≥a 3－12a ， 解得－23≤a ≤23.
又a ＞13，∴13＜a ≤23
.
即a 的取值范围为? ??
??13，23.
[规律方法] 一般地，已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围问题，都可以转化为求函数的最值问题，而导数是解读函数最值问题的有力工具.
3．设函数f (x )＝x 3
－92
x 2＋6x －a .
(1)对于任意实数x ，f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围． [解] (1)f ′(x )＝3x 2
－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)， 因为x ∈(－∞，＋∞)，f ′(x )≥m ， 即3x 2
－9x ＋(6－m )≥0恒成立， 所以Δ＝81－12(6－m )≤0， 得m ≤－34，即m 的最大值为－3
4.
(2)因为当x <1时，f ′(x )>0；
当1
2－a ；
当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a ； 故当f (2)>0或f (1)<0时，
方程f (x )＝0仅有一个实根，解得a <2或a >5
2
.
导数与不等式问题
已知函数f (x )＝ln x ＋k
e
x
(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．
(1)求k 的值；
(2)求f (x )的单调区间；
(3)设g (x )＝xf ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数．证明：对任意x ＞0，g (x )＜1＋e
－2
.
[思路探究] (1)利用f ′(1)＝0求k . (2)判断f ′(x )的正负． (3)借助(2)的结论，构造函数． [解] (1)f ′(x )＝1
x
－ln x －k e x
， 由已知，f ′(1)＝1－k
e ＝0，∴k ＝1.
(2)由(1)知，f ′(x )＝1
x
－ln x －1e
x
. 设k (x )＝1x －ln x －1，则k ′(x )＝－1x 2－1
x
＜0，即k (x )在(0，＋∞)上是减函数，
由k (1)＝0知，当0＜x ＜1时，k (x )＞0，从而f ′(x )＞0， 当x ＞1时，k (x )＜0，从而f ′(x )＜0.
综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．
(3)证明：由(2)可知，当x ≥1时，g (x )＝xf ′(x )≤0＜1＋e －2
，故只需证明g (x )＜1＋e －2
在0＜x ＜1时成立．
当0＜x ＜1时，e x
＞1，且g (x )＞0， ∴g (x )＝1－x ln x －x
e x
＜1－x ln x －x . 设F (x )＝1－x ln x －x ，x ∈(0,1)， 则F ′(x )＝－(ln x ＋2)， 当x ∈(0，e －2
)时，F ′(x )＞0， 当x ∈(e
－2,
1)时，F ′(x )＜0，
所以当x ＝e －2
时，F (x )取得最大值F (e －2
)＝1＋e －2
. 所以g (x )＜F (x )≤1＋e －2
. 综上，对任意x ＞0，g (x )＜1＋e －2
.
[规律方法] 利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等)，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关.因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后判断这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间上的最值使问题得以求解.
[跟踪训练]
4．已知函数f (x )＝12x 2
－a ln x (a ∈R )，
(1)若f (x )在x ＝2时取得极值，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间；
(3)求证：当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23
x 3
.
[解] (1)f ′(x )＝x －a x ，因为x ＝2是一个极值点，所以2－a
2＝0，则a ＝4.此时f ′(x )＝x －4x
＝
x ＋2
x －2x
，因为f (x )的定义域是(0，＋∞)，所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )
＜0；当x ∈(2，＋∞)，f ′(x )＞0，所以当a ＝4时，x ＝2是一个极小值点，则a ＝4.
(2)因为f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a
x ，所以当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．
当a ＞0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝x ＋a x －a
x
，所以函数f (x )的单调递增
区间为(a ，＋∞)；递减区间为(0，a )．
(3)证明：设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，则g ′(x )＝2x 2
－x －1x ，因为当x ＞1时，g ′(x )
＝
x －12x 2
＋x ＋1
x
＞0，所以g (x )在x ∈(1，＋∞)上为增函数，所以g (x )＞g (1)＝
16
＞0，所以当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23
x 3
.
导数的实际应用
1111下部的形状是正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1(如图3-1所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍．
图3-1
(1)若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？
(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？
[思路探究] (1)利用锥体和柱体的体积公式求解；(2)利用锥体和柱体的体积公式建立目标函数，结合导数法求解．
[解] (1)由PO 1＝2知O 1O ＝4PO 1＝8.因为A 1B 1＝AB ＝6，
所以正四棱锥P -A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3
)．
正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积V 柱＝AB 2
·O 1O ＝62
×8＝288(m 3
)． 所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3
)．
(2)设A 1B 1＝a m ，PO 1＝h m ，则0 O 1B 21＋PO 21＝PB 2 1，所以? ?? ??22a 2 ＋h 2＝36，即a 2＝2(36－h 2 )． 于是仓库的容积 V ＝V 柱＋V 锥＝a 2·4h ＋13 a 2·h ＝133 a 2h ＝263 (36h －h 3)，0 从而V ′＝263(36－3h 2)＝26(12－h 2 )． 令V ′＝0，得h ＝23或h ＝－23(舍去)． 当0 2．根据题目中所要求解的问题，利用导数解答，通常是通过判断函数的单调性来求最值． 5．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格 x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3 ＋10(x －6)2 ，其中3 为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值； (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【导学号：97792175】 [解] (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以代入函数y ＝a x －3＋10(x －6)2 得a 2 ＋10＝11，则a ＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3 ＋10(x －6)2 (3 f (x )＝(x －3)?? ?? ??2x －3 ＋10x －6 2 ＝2＋10(x －3)(x －6)2(3 ＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)． 所以当3 故当销售价格x 为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．