因数(约数)、倍数、质数(素数)、合数、质因数、互质数、倍数的特征

奇数（单数）、偶数、因数（约数）、倍数、质数（素数）、合数、质因数、互质数、倍数

的特征

1.奇数和偶数

（1）奇数（单数）：在整数中，不能被2整除的数叫做奇数。可表示为2n+1（n为整数）。

（2）偶数：在整数中，能被2整除的数，叫做偶数。可表示为2n（n为整数）。

2、质数和合数

1）质数﹙素数﹚、合数：一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数。

2）1既不是质数也不是合数。

2是最小的质数。

4是最小的合数。

既是质数又是偶数的数是2。

一位数中（10以内的数中）既是奇数又是合数的数是9。

最大的一位合数是9。

3）互质数：公因数只有1的两个非零自然数,叫做互质数。

4）互质数具有以下定理：

（1）两个数的公因数只有1的两个非零自然数,叫做互质数；举例：2和3，公因数只有1，为互质数；

（2）多个数的若干个最大公因数只有1的正整数，叫做互质数；

（3）两个不同的质数，为互质数；

（4）1和任何自然数互质。两个不同的质数互质。一个质数和一个合数，这两个数不是倍数关系时互质。不含相同质因数的两个合数互质；

（5）任何相邻的两个数互质；

3倍数和因素

倍数和因数的概念是非0自然数的范围内研究的.所以倍数和因数一定要是自然数.自然数一定是整数,所以倍数和因数一定要是整数.

1）倍数

一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一整数的倍数。

2）因数

假如a*b=c（a、b、c都是整数)，那么我们称a和b就是c的因数。需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立。反过来说，我们称c为a、b的倍数。在研究因数和倍数时，不考虑0。

3）1个非零自然数的因数的个数是有限的，其中最小的是1，最大的是它本身。而一个非零自然数的倍数的个数是无限的。

4）质因数

若a是b的因数，且a是质数，则称a是b的质因数。例如2，3，5均为30的质因数。6不是质数，所以不算。7不是30的因数，所以也不是质因数。

5）倍数的特征

（1）2的倍数

一个数的末尾是偶数（0，2，4，6，8），这个数就是2的倍数。

如3776。3776的末尾为6，是2的倍数。3776÷2=1888

（2）3的倍数

一个数的各位数之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

如4926。(4+9+2+6)÷3=7，是3的倍数。4926÷3=1642

（3）4的倍数

一个数的末两位是4的倍数，这个数就是4的倍数。

如2356。56÷4=14，是4的倍数。2356÷4=589

（4）5的倍数

一个数的末尾是0或5，这个数就是5的倍数。

如7775。7775的末尾为5。7775÷5=1555

（5）6的倍数

一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。

（6）7的倍数

若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2=7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2=595 ，59－5×2=49，所以6139是7的倍数，余类推。

（7）8的倍数

一个数的末三位是8的倍数，这个数就是8的倍数。

如7256。256÷8=32，是8的倍数。7256÷8=907

（8）9的倍数

若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。

（9）10的倍数

若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。

（10）11的倍数

若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。如264、3080和95949392，2+4-6=11×0，3+8-0-0=11×1，9×4-（5+4+3+2）=11×2，264、308和95949392都能被11整除。

11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理。过程唯一不同的是：倍数不是2而是1。

将一个数从个位开始两两分隔，若所有分隔开的数和为11的倍数，则这个数为11的倍数（如32571，分隔成3 25 71，3+25+71=99，99为11倍数，所以32571是11的倍数）。

（11）12的倍数

若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

（12）13的倍数

若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

（13）17的倍数

若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数。

（14）19的倍数

若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。

若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数。

（15）23的倍数

若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23（或29）整除，则这个数能被23整除。（16）25的倍数

两位数以上（不包含两位数），看末两位是否是25的倍数。

（17）125的倍数

三位数以上（不包含三位数），看后三位是否是125的倍数。

（18）合数的倍数

其实就是质数的乘积，只要掌握了一些质数的倍数，一些合数的倍数也会掌握了。如上文提到的4、6、8、12。

a和b是两个非零的自然数,且b=a+1,那么a和b的最大公因数是1。（解析：根据题义可断定a和b为互质数，所a和b的最大公因数是1）

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