高考数学考点11导数与函数的单调性试题解读与变式
考点十一： 导数与函数的单调性
【考纲要求】
（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.
（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 【命题规律】
利用导数研究函数的单调性是高考的热点问题，常常会考查利用导数研究含参函数的单调性，极值.
预计2017年的高考将会在大题中考查利用导数研究函数单调性的问题，命题形式会更加灵活、新颖． 【典型高考试题变式】
（一）原函数与其导函数的图像问题
例 1.【2017浙江高考】函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数
()y f x =的图像可能是（ ）.
【答案】D
【解析】导数大于零，原函数递增，导数小于零，原函数递减，对照导函数图像和原函数图像.故选D ．
【方法技巧归纳】在(,)a b 内可导函数()f x ，'()f x 在(,)a b 任意子区间内都不恒等于0.
'()0()f x f x ≥?在(,)a b 上为增函数．'()0()f x f x ≤?在(,)a b
上为减函数．且导函
C.
数单调性可以判原函数图像的凹凸性：若)('x f 大于0且递增，则原函数)(x f 图像递增且下凹；若大于0且递减，则原函数)(x f 图像递增且上凸.
【变式1】【改编例题中条件，通过原函数的性质判断导函数的图像】【2018河北内丘中学8月月考（理）】设函数()f x 的导函数为()f x '，若()f x 为偶函数，且在()0,1上存在极大值，则()f x '的图象可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意,若f (x )为偶函数,则其导数f ′(x )为奇函数，结合函数图象可以排除B . D ，又由函数f (x )在(0,1)上存在极大值,则其导数图象在(0,1)上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负，
结合选项可以排除A ，只有C 选项符合题意；本题选择C 选项.
【变式2】【改编例题中条件，给定解析式，判断其导函数的图像】【2017陕西渭南市二
质检】函数()2
sin 20142
x f x x =++，则()'f x 的大致图象是 （ ） A. B. C. D.
【答案】B
（二）用导数求不含参数的单调区间
例2.【2017全国2卷（文）】设函数()(
)2
1e x
f x x =-.
（1）讨论()f x 的单调性.
【答案】()f x 在区间(),21-∞，(
)21,+∞是减函数，在区间()
221-是
增函数.
【解析】（1）()()()
222e 1e 12e x x x f x x x x x '=-+-=--， 令()0f x '=得2210x x +-=，解得121x =-，221x =， 所以()f x 在区间(),21-∞-，
)21,+∞是减函数，在区间()
221-是增函数.
【方法技巧归纳】利用导数求不含参数的单调性容易出错的地方就是：求导，求解不等式，写出单调区间.单调性相同的两个区间一般要用“和”或“，”连接，不能用“或”或“ ”.
【变式1】【改编函数条件，函数中含分式】【2016全国2卷（理）】（1）讨论函数2()e 2
x
x f x x -=
+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20;x x x -++> 【答案】()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增，在]2,2(-上单调递减.
（三）用导数求含参函数的单调区间
例3.【2017全国1卷（理）】已知函数()()2e 2e x
x f x a a x =+--.
（1）讨论()f x 的单调性；
【答案】见解析
【解析】（1）由于()()2e 2e x x f x a a x =+--，
故()()()()22e 2e 1e 12e 1x x x x
f x a a a '=+--=-+.
①当0≤a 时，e 10x a -<，2e 10x +>．从而()0f x '<恒成立． ()f x 在R 上单调递减.
②当0a >时，令()0f x '=，从而e 10x a -=，得ln x a =-．
x
()ln a -∞-， ln a -
()ln a -+∞，
()f x ′ -
+
()f x
极小值
综上，当0≤a 当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减，在(ln ,)a -+∞上单调递增.
【方法技巧归纳】1.求函数的单调区间方法一：①确定函数()y f x =的定义域； ②求导数''()y f x =；
③解不等式'()0f x ≥，解集在定义域内的部分为单调递增区间； ④解不等式'()0f x ≤，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 2.求函数的单调区间方法二：①确定函数()y f x =的定义域；
②求导数''()y f x =，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根； ③把函数()f x 的间断点(即()f x 的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间；
④确定'()f x 在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．
【变式1】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为二次函数型】【2017全国3卷（文）改编】已知函数()()2
ln 21f x x ax a x =+++．
（1）讨论()f x 的单调性； 【答案】见解析
【变式2】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为类二次函数型】【2016全国1卷（文）改编】已知函数2
()(2)e (1)x
f x x a x =-+-.
（Ⅰ）讨论()f x 的单调性； 【答案】（Ⅰ）见解析； 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求得()()()
'1e 2.x f x x a =-+再根据1,0,2a 的大小进行分类确定()f x 的单调性；
试题解析：（Ⅰ）()()()()()
'1e 211e 2.x x f x x a x x a =-+-=-+
（Ⅰ）设0a ≥，则当(),1x ∈-∞时，()'0f x <；当()1,x ∈+∞时，()'0f x >. 所以f （x ）在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增.
【变式3】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为指对数型函数】【2015天津卷（理）改编】已知函数()n ,n
f x x x x R =-∈，其中*
n ,n 2N ∈≥.
（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
【答案】（Ⅰ） 当n 为奇数时，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增；当n 为偶数时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减.
【解析】（Ⅰ）由()n
f x nx x =-，可得，其中*n N ∈且2n ≥， 下面分两种情况讨论： （1）当n 为奇数时：
令()0f x '=，解得1x =或1x =-，
当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：
所以，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增. （2）当n 为偶数时，
当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.
所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减.
【变式4】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数需要二次求导型】【2016北京卷（理）】设函数()e
a x
f x x bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为
(e 1)4y x =-+.
（Ⅰ）求a ，b 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调区间.
【答案】（Ⅰ）2,e a b ==；（Ⅱ） ),(+∞-∞ 【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据题意求出)(x f '，根据(2)2e 2,(2)e 1f f '=+=-求a,b 的值即可； （Ⅱ）由题意判断)(x f '的符号，即判断1
()1e x g x x -=-+的单调性，知g(x)>0，即)(x f '>0，
由此求得f(x)的单调区间.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知2()e e x
f x x x -=+.
由21()e
(1e )x
x f x x --'=-+及2e 0x ->知，)(x f '与11e x x --+同号.
令1
()1e x g x x -=-+，则1
()1e
x g x -'=-+.
所以，当)1,(-∞∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 在区间)1,(-∞上单调递减； 当),1(+∞∈x 时，0)(>'x g ，)(x g 在区间),1(+∞上单调递增. 故1)1(=g 是)(x g 在区间),(+∞-∞上的最小值， 从而),(,0)(+∞-∞∈>x x g .
综上可知，0)(>'x f ，),(+∞-∞∈x .故)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞. 【数学思想】
分类讨论思想
1.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．
2.分类讨论思想的常见类型
⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的；
⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；
⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.
【处理导数与单调性问题注意点】
解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错；另外，函数的单调区间不能出现“并”的错误写法. 【典例试题演练】
1．【2018河南郑州一中测试题】如果函数()y f x =在区间I 上是增函数，而函数
()f x y x
=
在区间I 上是减函数，那么称函数(
)y f x =是区间I 上“缓增函数”，区间I 叫
做“缓增区间”.若函数()213
22
f x x x =-+是区间I 上“缓增函数”，则“缓增区间”I 为 ( )
A. [
)1,+∞ B. 0,3????
C. []
0,1 D. 1,3????
【答案】D
【解析】因()()
''21313
1,[](1)2222f x f x x x x x x =-=-+=-'，故210
{ 3
10
x x
-≥-≤，解之得13x ≤≤
，应选答案D.
2．【2018河南南阳一中上学期第二次考试（文）】已知函数()2
52ln f x x x x =-+，则函数()f x 的单调递增区间是__________．
【答案】10,2?
? ???
和()2,+∞
3．【2018辽宁沈阳市东北育才学校上学期一模（文）改编】 已知函数()()222x
x a x a
f x e +-+-=
， 0a ≤（e 为自然对数的底数）.
(Ⅰ)讨论()f x 的单调性；
【答案】（Ⅰ）当0a =时， ()f x 在(),-∞+∞上为减函数；当0a <时，则()f x 在
(][),,0,a -∞+∞上为减函数；在[],0a 上为增函数；
【解析】(Ⅰ) ()()x
a x x
f x e
-'=
，令()1200,f x x x a =?=='；
①0a =时，则()0f x '≤（当且仅当0x =时取等号）()f x ?在(),-∞+∞上为减函数； ②当0a <时，则()()()(),0,0x a f x f x ∈-∞?+∞
),,0,a -∞+∞上为减函数； ()()(),00x a f x f x '∈?>?在[]
,0a 上为增函数；
4．【2017陕西省西安市长安区第一中学4月模考（理）】已知函数()ln f x x =，
()()2g x f x ax bx =++，其中函数()y g x =的图象在点()()1,1g 处的切线平行于x 轴．
（1）确定a 与b 的关系；若0a ≥，并试讨论函数()g x 的单调性；
（2）设斜率为k 的直线与函数()y f x =的图象交于两点()()1122,,,A x y B x y
12()x x <，求证：
21
11
k x x <<． 【答案】(1) 21b a =-- ，单调性见解析；(2)证明见解析.
【解析】试题分析：(1)求导，利用导数的几何意义确定a 与b 的关系，再利用导函数的符号变换和分类讨论思想确定函数的单调性；(2)先利用直线的斜率公式确定不等关系，再构造函数，利用导数求函数的最值即可求解 . 试题解析：（1）
()()2
2
ln g x f x ax bx x ax bx =++=++， ()1
2g x ax b x
∴=
++'， 由题意得()1120g a b '=++=， 21b a ∴=--；
()()()21111
2221(0)ax x g x ax b ax a x x x x
--=
++=+--=>'， ①当0a =时， ()()1(0)x g x x x
'--=
>，
当1x >时， ()0g x '<， ∴函数()g x 在()1,+∞单调减；
当01x <<时， ()0g x '>， ∴函数()g x 在()0,1单调增；
④当12a >时．即112a
<， ()()
1212(0)a x x a g x x x ?
?-- ??
'?
=>， ∴函数()g x 在1,12a ??
???
单调减区间；函数()g x 在()1,+∞和10,2a ?? ???单调增；
（2）由题设210x x >>，
21212211
ln ln 1111
x x k x x x x x x -∴
<
ln ln x x x x
x x x x --?
<-< 222111
1
1ln 1x x x x x x ?-
<<- ① 令()ln 1(1)h x x x x =-+>，则()111(1)x h x x x x
-'=
-=>， 1x ∴>时， ()0h x '<， ∴函数()g x 在()1,+∞是减函数，
而()10h =， 1x ∴>时， ()()10h x h <=
210x x >>， 211x x ∴
>， 222111ln 10x x x h x x x ??∴=-+< ???
，即2211ln 1x x
x x <-， ②
令()1ln 1(1)H x x x x =+
->，则()22111
(1)x H x x x x x
-=-=>'， 1x ∴>时， ()0H x '>， ∴ ()H x 在()1,+∞是增函数， 1x ∴>时， ()()10H x H >=， 222111
1
ln 10x x H x x x x ??∴=+->
???
， 即2211
1
1ln x x x x -
< ③由①②③得2111k x x <<． 5．【2017陕西省西安市铁一中学高三上学期第五次模拟考试（理）】已知函数
()244ln x f x k x k x -?
?=++ ???
，其中常数0k >.
（Ⅰ）讨论()f x 在()0,2上的单调性； 【答案】（Ⅰ）见解析;
【解析】试题分析：（1）求导数，对k 分类讨论，利用导数的正负，即可得到()f x 在区间()0,2上的单调性；
试题解析：（Ⅰ）由已知得， ()f x 的定义域为()0,∞+，且
()()2222
44444(0)x k x x k x k k k k f x k x x x x ????-++--+ ? ?????='=-=->， ①当02k <<时，
40k k >>，且4
2k
>， 所以()0,x k ∈时， ()0f x '<； (),2x k ∈时， ()0f x '>. 所以，函数()f x 在()0,k 上是减函数，在(),2k 上是增函数； ②当2k =时，
4
2k k
==， ()0f x '<在区间()0,2内恒成立， 所以()f x 在()0,2上是减函数； ③当2k >时， 4402,k k k
<， 所以40,
x k ?
?∈ ?
??时， ()0f x '<； 4,2x k ??
∈ ???
时， ()0f x '>
所以函数在40,
k ?? ???上是减函数，在4,2k ?? ???
上是增函数. 6．函数.
（Ⅰ）讨论
的单调性；
【答案】（Ⅰ）当时， 时，单调递减；当时，
单调递增；当时， 时，单调递增；当时， 单调
递减；
【解析】试题分析：（1）求出
()
'f x ， 讨论两种情况分别令
()'0
f x >可得增区间，
()'0
f x <可得得减区间；
7．【2018河北省石家庄二中八月高三模拟数学（文科）】已知函数
()()()212ln f x ax a x x a R =+--∈.
（Ⅰ）若0a <，讨论()f x 的单调性； 【答案】（Ⅰ）当12a =-
时， ()f x 的减区间是()0,+∞，无增区间，当1
02
a -<<时， ()f x 的增区间是11,2a ?
?-
???，减区间是()10,1,,2a ??
-+∞ ?
??
，当12a <-时， ()f x 的增区
间是
1
,1
2a
??
-
?
??
，减区间是()
1
0,,1,
2a
??
-+∞
?
??
.
【解析】（Ⅰ）()
f x的定义域为()
0,+∞，当0
a<时，
()()
()
2
2121
1
212
ax a x
f x ax a
x x
+--
=+--=
'
()()()
1
21
2112
a x x
ax x a
x x
??
+-
?
+-??
==，
（ⅲ）若
1
1
2a
-<，即
1
2
a<-，
1
,1
2
x
a
??
∈-
?
??
时，()0
f x
'>，()
f x是增函数，
1
0,
2
x
a
??
∈-
?
??
时，()0
f x
'<，()
f x是减函数，
()
1,
x∈+∞时，()0
f x
'<，()
f x是减函数；
综上可得，当
1
2
a=-时，()
f x的减区间是()
0,+∞，无增区间，
当
1
2
a
-<<时，()
f x的增区间是
1
1,
2a
??
-
?
??
，减区间是()
1
0,1,,
2a
??
-+∞
?
??
，
当
1
2
a<-时，()
f x的增区间是
1
,1
2a
??
-
?
??
，减区间是()
1
0,,1,
2a
??
-+∞
?
??
.
8．【2017湖北省浠水县实验高级中学测试题（文）】已知函数()11
ln
f x m x x
m x
??
=++-
?
??
，其中常数0
m>.
（1）当2m =时，求()f x 的极大值； （2）试讨论()f x 在区间()0,1上的单调性. 【答案】（1）()53
2ln222
f
=-；
（2）当01m <<时， ()f x 在()0,m 上单调递减，在(),1m 上单调递增；
当1m =时， ()f x 在()0,1上单调递减；当1m >时， ()f x 在10,
m ?
?
???
上单调递减，在1,1m ??
???
上单调递增. 【解析】试题分析：（1）借助题设条件将2m =代入函数解析式可得
()51
ln 2f x x x x =
+-，进而求导，运用导数与函数的单调性之间的关系求解；
（2）先对函数()11ln f x m x x m x
??=+
+- ??
?求导，再借助分类整合思想及导数与函数的单调性之间的关系进行分类求其单调区间：
（2）()(
)()22
11110,0x m x m m m f x x m x x x
??--+
???=
->'--=>， 当01m <<时， ()f x 在()0,m 上单调递减，在(),1m 上单调递增； 当1m =时， ()f x 在()0,1上单调递减；
当1m >时， ()f x 在10,
m ?? ???上单调递减，在1,1m ?? ???
上单调递增. 9．【2017湖北省浠水县实验高级中学测试题（文）】已知函数
()()2
11ln 2
f x x a x a x =
+--. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； 【答案】（Ⅰ）见解析；
【解析】试题分析：（Ⅰ）求出()f x 的定义域为()0,+∞，求导数，若0a ≤，若0a >，判断导函数的符号，然后推出函数的单调性；
试题解析：（Ⅰ） ()f x 的定义域为()0,+∞，求导数，得
()()()()2
11'1x a x a x x a a f x x a x x x
+--+-=+--==.若0a ≤，则()'0f x >，此时()f x 在()0,+∞上单调递增，若0a >，则由()'0f x =，得x a =.当0x a <<时， ()'0f x <；但x a >时， ()'0f x >，此时()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调
递增.
10．【2017河北省唐山市三模（理）改编】已知函数()()2
ln 1f x x ax =++， 0a >.
（1）讨论函数()f x 的单调性； 【答案】（Ⅰ）见解析
【解析】试题分析：（Ⅰ）求导得()2221
'1
ax ax f x x ++=+， 分0?<， 0?=， 0?>，
三种情况讨论可得单调区间.
试题解析：（Ⅰ） ()21221'211
ax ax f x ax x x ++=+=++， 1x >-， 令()2
221g x ax ax =++， ()2
4842a a a a ?=-=-，
若0?<，即02a <<，则()0g x >，
当()1,x ∈-+∞时， ()'0f x >， ()f x 单调递增，
若0?=，即2a =，则()0g x ≥，仅当1
2
x =-
时，等号成立， 当()1,x ∈-+∞时， ()'0f x ≥， ()f x 单调递增. 若0?>，即2a >，则()g x 有两个零点
1x =，
2x =
由()()1010g g -==>， 102g ??
-
< ???
得1
21102x x -<<-<<， 当()11,x x ∈-时， ()0g x >， ()'0f x >， ()f x 单调递增； 当()12,x x x ∈时， ()0g x <， ()'0f x <， ()f x 单调递减； 当()2,x x ∈+∞时， ()0g x >， ()'0f x >， ()f x 单调递增. 综上所述，
当02a <≤时， ()f x 在()1,-+∞上单调递增；
当2a >时， ()f x
在? - ??和
??+∞???
上单调递增，
在
??
上单调递减. 11．【2018河北省武邑中学第一次月考（理）改编】已知函数()e x
f x ax =-（R a ∈，
e 为自然对数的底数）.
（1）讨论函数()f x 的单调性； 【答案】（1）见解析
【解析】试题分析：（1）求函数的导数()x f x e a '=- 通过0a ≤和0a ＞ 两种情况分
类讨论，分别判断函数的单调性．
12．【2018湖南省岳阳市一中第一次月考（理）改编】已知函数
()()()2
1ln 102
f x a x a x x a =-++-
>. （1）讨论()f x 的单调性；
【答案】(1) 当1a =时， ()f x 在()0,+∞上单调递减；当01a <<， ()f x 的单调递增区间为(),1a ；单调递减区间是()0a ，和()1,+∞；当1a >， ()f x 的单调递增区间为()1,a ，单调递减区间是()01，和(),a +∞；
【解析】试题分析：（1）求出()f x 的导数，通过1,01,1a a a =<的讨论，分别令
()'0f x >得增区间， ()'0f x <得减区间；
试题解析：（1）()()()()2111x a x a x a x a
f x a x x x x
-++---+=-++-=='，
()()()()11x a x a
f x a x x x
---=
++-=-'， ①当1a =时， ()()()10
x a x f x x
---
'=≤，∴()f x 在()0,+∞上单调递减；
②当01a <<，由()0f x '>解得1a x <<，∴()f x 的单调递增区间为(),1a ， 单调递减区间是()0a ，和()1,+∞；
③当1a >，同理可得()f x 的单调递增区间为()1,a ，单调递减区间是()01，和(),a +∞.
高中数学函数的单调性
一、选择题 1．若),(b a 是)(x f 的单调增区间，()b a x x ,,21∈，且21x x <，则有（ ） A ． ()()21x f x f < B ． ()()21x f x f = C ． ()()21x f x f > D ． ()()021>x f x f 2．函数()2 2-=x y 的单调递减区间为（ ） A ．[)+∞,0 B ．(]0,∞+ C ．),2[+∞ D ．]2,(-∞ 3．下列函数中，在区间)2,0(上递增的是（ ） A ．x y 1= B ．x y -= C ．1-=x y D ．122++=x x y 4. 若函数1 2)(-= x a x f 在()0,∞-上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,∞- B ．()+∞,0 C ．()0,1- D ．()+∞,1 5. 设函数x a y )12(-=在R 上是减函数，则有（ ） A ．2 1≥ a B ．2 1≤ a C ．2 1> a D ．2 1< a 6. 如果函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(]2,∞-上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．3≤a B ．3≥a C ．3-≥a D ．3-≤a 二、填空题 7．函数1-=x y 的单调递增区间是____________. 8．已知函数)(x f 在()+∞,0是增函数，则)2(f a =,)2(π f b =,)2 3 (f c =的大小关系是__________________________. 9．函数32)(2 +--= x x x f 的单调递增区间是_______. 10．若二次函数45)(2 ++=mx x x f 在区间]1,(--∞是减函数，在区间),1(+∞- 上是增函数，则=)1(f ________. 三、解答题 11. 证明函数x x f 11)(-=在 )0,(-∞ 上是增函数. 12．判断函数x x y 1+ =在区间),1[+∞上的单调性，并给出证明．
1.3.1函数的单调性与导数教案
§1.3.1函数的单调性与导数 【教学目标】 1．正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法。 【教学重点】利用导数判断函数单调性。 【教学难点】利用导数判断函数单调性。 【内容分析】 以前，我们用定义来判断函数的单调性． 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的增函数． 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的减函数。 在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x 1)与f(x 2)的大小并不很容易． 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单。 【教学过程】 一、复习引入 1． 常见函数的导数公式： 0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=． 2．法则1 )()()]()([' ' ' x v x u x v x u ±=±． 法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=． 法则3 ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? ． 3．复合函数的导数：设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或f ′x (? (x ))=f ′(u ) ?′(x )． 4．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 5．对数函数的导数： x x )'(ln = e x x a a log 1 )'(log =． 6．指数函数的导数：x x e e =)'(； a a a x x ln )'(=． 二、讲解新课 1． 函数的导数与函数的单调性的关系： 我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数．从函数 342+-=x x y 的图像 可以看到： 在区间（2，∞+）内，切线的斜率为正，函数y=f(x) 的 y =f (x )=x 2－4x +3 切线的斜率 f ′(x ) (2，+∞) 增函数 正 ＞0 (－∞，2) 减函数 负 ＜0 3 2 1 f x () = x 2-4?x ()+3 x O y B A
高考数学专题：函数的单调性
高考数学函数的单调性复习教案 考纲要求：了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法 。 函数单调性可以从三个方面理解 （1）图形刻画：对于给定区间上的函数()f x ，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减。 （2）定性刻画：对于给定区间上的函数()f x ，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减。 （3）定量刻画，即定义。 上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径 判断增函数、减函数的方法： ①定义法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值1x 、2x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <〔或都有()()21x f x f >〕，那么就说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。 与之相等价的定义：⑴()()02121>--x x x f x f ，〔或都有()()02 121<--x x x f x f 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点()()()()2211,,,x f x x f x 连线的斜率都大于（或小于）0。 ⑵()()()[]02121>--x f x f x x ，〔或都有()()()[]02121<--x f x f x x 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。 ②导数法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果()0`>x f 那么就说()f x 在这个区间上是增函数；如果()0`
1.3.1函数的单调性与导数教案
1.3.1函数的单调性与导数教案 谷城一中杨超 教学目标 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法 教学重点：探索函数的单调性与导数的关系，求单调区间. 教学难点：利用导数判断函数的单调性 教学过程 一．回顾与思考 1、函数单调性的定义是什么？ 2、判断函数的单调性有哪些方法？比如判断y=x2的单调性，如何进行？（分别用定义法、图像法完成） 3、函数x =怎么判断单调性呢？还有其他方法吗？ 22+ x y ln 二．新知探究函数的单调性与导数之间的关系 【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个Array基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反 映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数 是否有着某种内在的联系呢? 【思考】如图（1），它表示跳水运动中高度h随 时间t变化的函数2 =-++的图像，图 h t t t () 4.9 6.510 （2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函 数' ==-+的图像．运动员从起跳到最 v t h t t ()()9.8 6.5 高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 【引导】随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？ 【探究】通过观察图像，我们可以发现： （1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即() h t是增函数．相应地，' =>． v t h t ()()0 Array（2）从最高点到入水，运动员离水面的 高h随时间t的增加而减少，即() h t是减函 数．相应地' v t h t ()()0 =<， 【思考】导数的几何意义是函数在该点 处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切 线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与
2020高考数学《函数的单调性》
函数的单调性 1.函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2] D ．[2，＋∞) 2.已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1] D ．[1，＋∞) 3.函数f (x )＝x 1－x 在( ) A ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数 B ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数 C ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数 D ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数 4.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A.y ＝x ＋1 B.y ＝(x －1)2 C.y ＝2－x D.y ＝log 0.5(x ＋1) 5.下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( ) A.f (x )＝x 12 B.f (x )＝x 3 C.f (x )＝? ????12x D.f (x )＝3x 6.已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2 －x 1)<0恒成立，设a ＝f ? ?? ??－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >b D ．b >a >c 7.已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________. 8.已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________． 9.函数()f x 的定义域为Ｒ，(1)2f -=，对任意的x R ∈，'()f x 2>，则不等式()24f x x >+的解集为（ ） Ａ()1,1- Ｂ()1,-+∞ Ｃ(),1-∞- Ｄ(),-∞+∞ 10.函数()f x ()x ∈R 满足(1)1f =，1()2 f x '<，则不等式221()22x f x <+的解集为____ 11.函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13 ，则a ＋b ＝
知识点一-导数与函数的单调性
1.函数的单调性：在某个区间( a,b )内，如果f (x) . 0 ,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果f (x) ：：：0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减?如果f(x)=0,那么函数y = f(x)在这个区间上是常数函数? 注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x)亠0，f (x) . 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的充分不必要条件? 2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为 负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正. 一般地，当函数 y = f(x)在点沧处连续时，判断f(X。)是极大(小)值的方法是： (1)如果在X。附近的左侧f ' (x) 0 ，右侧f'(x)：：： ，那么f(X0)是极大值. (2)如果在X o附近的左侧f '(X)：：：0 ,右侧f'(x) 0，那么f(X0)是极小值. 注：导数为0的点不一定是极值点 知识点一：导数与函数的单调性 方法归纳： 在某个区间(a,b )内，如果f (x) ?0,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果「(x) ：：：0，那 么函数y二f(x)在这个区间内单调递减?如果f (x) =0，那么函数y二f(x)在这个区间上是常数函数?注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x) _ 0 , f (x) 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的 充分不必要条件? 例1】(B类)已知函数f(x)=x3 bx2 cx d的图象过点P(0, 2)，且在点M(-1, f(-1))处的切线方程为6x「y ?7 = 0 ? (I)求函数y = f(x)的解析式；(n)求函数y=f(x)的单调区间? 【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上?函数f(x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0 ；函数 f (x)在区间［a,b］上递减可得：f'(x) E0. 3 【例2】(A类)若f(x)二ax x在区间［—1,1］上单调递增，求a的取值范围? 【解题思路】利用函数 f (x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0;函数f(x)在区间［a,b］上递减可得： f '(x)岂0.得出恒成立的条件，再利用处理不等式恒成立的方法获解 a 【例 3 】(B 类)已知函数f(x)=l nx,g(x) (a 0),设F(x^ f (x) - g(x). x (I)求函数F(x)的单调区间；
导数与函数的单调性练习题
2.2.1导数与函数的单调性 基础巩固题： 1.函数f(x)= 21 ++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） A.0
高考数学：利用导数研究函数的单调性、极值、最值
利用导数研究函数的单调性、极值、最值 一、选择题 1.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T12)若函数f (x )=x-1 3sin2x+asinx 在(-∞,+∞)上单调递增,则a 的取值范围是 ( ) A.[-1,1] B.11,3 ? ? -??? ? C.11,33??- ???? D.11,3? ? --???? 【解析】选C.方法一:用特殊值法: 取a=-1,f (x )=x-1 3 sin2x-sinx , f'(x )=1-23 cos2x-cosx , 但f'(0)=1-23-1=-23 <0,不具备在(-∞,+∞)上单调递增,排除A ,B ,D. 方法二:f'(x )=1-23 cos2x+acosx ≥0对x ∈R 恒成立, 故1-23 (2cos 2x-1)+acosx ≥0, 即acosx-43cos 2 x+53 ≥0恒成立, 令t=cosx ,所以-43t 2+at+53 ≥0对t ∈[-1,1]恒成立, 构造函数f (t )=- 43 t 2 +at+53 , 开口向下的二次函数f (t )的最小值的可能值为端点值, 故只需()()1f 1a 0,31f 1a 0,3 ?-=-≥????=+≥?? 解得-13≤a ≤13 . 2.(2016·四川高考理科·T9)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1, ?-<?图象上点P 1,P 2处的切 线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(0,2)
C.(0,+∞) D.(1,+∞) 【解题指南】设出两切点的坐标,两切线方程,从而求出点P 的坐标,表示出三角形的面积,进而求出取值范围. 【解析】选A.由题设知:不妨设P 1,P 2点的坐标分别为: P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),其中0
函数的单调性与导数教学设计
《函数的单调性与导数》教学设计 教材分析 1、内容分析 导数是微积分的核心概念之一，是高中数学教材新增知识，在研究函数性质时有独到之处，体现了现代数学思想.本节的教学内容属导数的应用，是在学习了导数的概念、运算和几何意义的基础上学习的内容.学好它既可加深对导数的理解，又为研究函数的极值和最值打下了基础. 由于学生在高一已经掌握了函数单调性的定义，并会用定义判定函数在给定区间上的单调性.通过本节课的学习应使学生体验到，用导数判断函数的单调性比用定义要简捷的多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图像难以画出的函数而言），充分展示了导数的优越性. 2、学情分析 在必修一中，学生学习了单调函数的定义，并会用定义判断或证明函数在给定区间上的单调性，在前几节，学生学习了导数的概念、几何意义及运算法则，已经掌握了利用导数研究函数单调性的必备知识. 用定义证明函数在给定区间的单调性的方法是作差、变形、判断符号.而对大部分函数而言，变形环节是非常繁琐，甚至是无法做到的，并且不清楚“给定区间”是如何给出的，这就要求同学们积极探索更好的方法来判断函数的单调性和探求函数的单调区间，以此来激发学生的学习兴趣. 教学目标 依据新课标纲要和学生已有的认知基础和本节的知识特点，我制定了以下教学目标： 1、知识与技能目标： 借助于函数的图象了解函数的单调性与导数的关系；培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识.
2、过程与方法目标： 会判断具体函数在给定区间上的单调性；会求具体函数的单调区间. 3、情感、态度与价值观目标： 通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。 教学重点、难点 教学重点：1、利用导数判断函数的单调性. 2、会求不超过三次的多项式的单调区间。 教学难点：1、函数的单调性与导数的关系 2、提高灵活应用导数法解决有关函数单调性问题的能力. 教学重难点的解决方法 通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题；通过几何画板的动态演示，使抽象的知识直观化、形象化，以促进学生的理解. 教法设计： 1、自主探究法：让学生自己发现问题，自己归纳总结，自己评析解题对错，从而提高学生的参与意识和数学表达能力. 2、比较法：对同一个问题，采用不同的方法，从中体会导数法的优越性. 教学媒体 根据本节课的教学要求及学生学习的需要,我对本节课的教学媒体设计如下 1:多媒体辅助教学:制作直观,有效地多媒体课件,可以节省课堂时间,也给学生直观认识和感觉; 2:投影仪的辅助教学:利用投影把学生的解题过程及方法及时展示,可以提高学生学习数学的兴趣. 课型：新授课 教学过程 教学过程设计意图
专题一：导数与函数的单调性
专题一：导数与函数的单调性 题型一：求函数的单调区间 1.函数()2 ln f x x x =的减区间为（ ） A. ( B. ?+∞???? C. ?-∞ ?? D. ? ?? 2.设()f x '是函数()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则()y f x =的图象是（ ） A B C D 3.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图像可能是( ) A B C D 4. 判断函数2x y x e =-的单调性. 题型二: 含有参数的单调区间 1. 求函数()1x f x e ax =--的单调区
2. 求函数()21ln 2f x x ax =+的单调区间 3.讨论函数()()2112x f x x e ax =--的单调性 题型三：已知单调性求参数取值范围 1. 已知()1x f x e ax =--在区间[]-2,3为减函数，求a 的取值范围。 2. 已知()()3212+33 f x x bx b x =+++在R 上是单调递增函数，求b 的范围。若函数()f x 不是单调函数b 范围又是多少？ 3.已知()2 1+x e f x ax =在R 是单调函数，求a 的取值范围 4.若函数()22ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间()1,1k k -+内不是单调函数，求实数k 的取值范围 5.()()21ln 202 f x x ax x a =--≠存在单调递减区间，求a 的取值范围。
高三数学集体备课记录(函数的单调性与导数)
高三数学集体备课记录(函数的单调性与导数)
高三数学集体备课记录 课题：函数的单调性与导数 时间、地点2016年9月26日 主持人赵纯金 参与者张泽成黄翼 备课设想教材分析 本节的教学内容属导数的应 用，是在学生学习了导数的 概念、计算、几何意义的基 础上学习的内容，学好它既 可加深对导数的理解，又可 为后面研究函数的极值和最 值打好基础。由于学生在高 一已经掌握了单调性的定 义，并能用定义判定在给定 区间上函数的单调性。通过 本节课的学习，应使学生体 验到，用导数判断单调性要 比用定义判断简捷得多，充 分展示了导数解决问题的优 越性。
学情分析对于这这个知识板块学习已有一些基础，学生存在一些兴趣，但却容易无从下手，所以本节课教师要注意引导学生数形结合再去发现规律，总结结论，熟练掌握。 教学目标 1.能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区 间，能由导数信息绘制函数 大致图象。2.培养学生的观 察能力、归纳能力，增强数 形结合的思维意识。3.通过 在教学过程中让学生多动 手、多观察、勤思考、善总 结，引导学生养 重点难点重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求单调区 间。 难点：利用导数信息绘制函
数的大致图象。 教学方法 探究式教学，分组讨论，讲练结合等 教学策略 1.先以具体问题引入，让学生意识到用定义法、图象法 在处理一些单调性问题时难 度较大，这样易激发学生的 学习兴趣。2.本节课宜适当 采用多媒体课件等辅助手段 以加大课堂容量，通过数形 结合，使抽象的知识直观化， 形象化，以促进学生的理解. 二．教学过程： （一）复习回顾，知识梳理 1． 常见函数的导数公式： ；；；． 2．法则1 ． 法则2 , ． 法则3 ． 3．复合函数的导数：设函数u =(x )在点x 处有导数u ′x =′(x )，函数0'=C 1)'(-=n n nx x x x cos )'(sin =x x sin )'(cos -=)()()]()(['''x v x u x v x u ±=±[()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+[()]'()Cu x Cu x '=' 2''(0)u u v uv v v v -??=≠ ?????
年高考数学函数的单调性必考知识点.doc
2017年高考数学函数的单调性必考知识点2017年高考数学函数的单调性必考知识点 高中数学知识点：函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。 高中数学知识点：函数的单调区间 单调区间是指函数在某一区间内的函数值Y，随自变量X 增大而增大(或减小)恒成立。如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间。 高中数学知识点：函数的单调图像 高中数学知识点：求函数单调性的基本方法 解：先要弄清概念和研究目的,因为函数本身是动态的，所以判断函数的单调性、奇偶性，还有研究函数切线的斜率、极值等等，都是为了更好地了解函数本身所采用的方法。其次就解题技巧而言，当然是立足于掌握课本上的例题，然后再找些典型例题做做就可以了，这部分知识仅就应付解题而言应该不是很难。最后找些考试试卷题目来解，针对考试会出的题型强化一下，所谓知己知彼百战不殆。1、把握好函数单调性的定义。证明函数单调性一般(初学最好用定义)用定义(谨防循环论证)，如果函数解析式异常复杂或者具有某种特殊形式，可以采用函数单调性定义的等价形式证明。另外还请注意函数单调性的定义是[充要命题]。 2、熟练掌握基本初等函数的单调性及其单调区间。理解并
掌握判断复合函数单调性的方法：同增异减。 3、高三选修课本有导数及其应用，用导数求函数的单调区间一般是非常简便的。还应注意函数单调性的应用，例如求极值、比较大小，还有和不等式有关的问题。 高中数学知识点：例题 判断函数的单调性y = 1/ x的平方-2x-3。 设x -2x-3=t， 令x -2x-3=0， 解得：x=3或x=-1， 当x 3和x -1时，t 0， 当-1 所以得到x -2x-1对称轴是1。 根据反比例函数性质： 在整个定义域上是1/t是增函数。 当t 0时，x 3时， t是增函数，1/t是减函数， 所以(3，+ )是减区间， 而x -1时，t是减函数， 所以1/t是增函数。 因此(- ，-1)是增区间， 当x 0时， -1
《函数的单调性与导数》-教学设计
《函数的单调性与导数》-教学设计
《函数的单调性与导数》教学设计 一、设计理念 基于新课标提出的教学要面向全体学生、提倡探究性学习，我倡导“主动参与，乐于探究，交流合作与联系实际”的教学理念，借助多媒体的简洁性、直观性和交互性，注重与现实生活的紧密性，充分调动每位学生的学习热情，建立以“学为主体、教为主导、疑为主轴、动为主线”的教学模式。 二、教学分析 （一）教学内容分析 《函数的单调性与导数》是人教版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修2－2第一章《导数及其应用》的内容.本节课主要学习函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.本节的教学内容属于导数的应用,是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容,学好它既可加深对导数的理解,又可为后面研究函数的极值和最值打好基础. （二）教学对象分析 学生在高一时已经掌握了函数单调性的定义，并会用定义、图像的方法解决函数单调性问题。高二的学生对高中的数学体系已经有了一定的认识，具有了较强的分析问题、解决问题的能力. （三）教学环境分析 针对学生面临的问题和本课的重难点，我决定运用文字、视频、几何画板等多媒体资源进行辅助教学，多媒体教学具有信息量大、直
观性强的特点，能提高教学效率,取得更好的教学效果，因此在多媒体教室授课. 三、教学目标 根据新课标要求和对教材的分析，并结合学生的认知特点，确定如下几个方面为本课的教学目标： （一）知识与技能 1．探索函数的单调性与导数的关系； 2．会利用导数判断函数的单调性并会求函数的单调区间； 3．探索三次函数的单调性与系数之间的关系. （二）过程与方法 1．通过对函数单调性与导数关系的探究，让学生经历从具体到抽象，从感性到理性，从特殊到一般的认知过程； 2．培养学生观察、分析、归纳、抽象的能力和语言的表达能力，领会由特殊到一般，一般到特殊的数学方法，渗透数形结合思想和化归的思想. (三)情感态度价值观 1．通过创设情境，激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度； 2．通过在教学过程中让学生多动手、细观察、勤思考、善总结，培养学生的探究精神. 四、教学重难点 对于函数的单调性与导数的关系，学生的认知困难主要体现在：
2006年高考第一轮复习数学：2.3函数的单调性
2.3函数的单调性 ●知识梳理 1.增函数、减函数的定义 一般地，对于给定区间上的函数f（x），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）〔或都有f（x1）＞f（x2）〕，那么就说f（x）在这个区间上是增函数（或减函数）. 如果函数y=f（x）在某个区间上是增函数（或减函数），就说f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做f（x）的单调区间.如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间. 2.函数单调性可以从三个方面理解 （1）图形刻画：对于给定区间上的函数f（x），函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减. （2）定性刻画：对于给定区间上的函数f（x），如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减. （3）定量刻画，即定义. 上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径.
●点击双基 1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是 A.y =－x +1 B.y =x C.y =x 2－4x +5 D.y =x 2 答案：B 2.函数y =log a （x 2＋2x －3），当x =2时，y ＞0，则此函数的单调递减区间是 A.（－∞，－3） B.（1，＋∞） C.（－∞，－1） D.（－1，＋∞） 解析：当x =2时，y =log a 5＞0，∴a ＞1.由x 2＋2x －3＞0 x ＜－3或x ＞1，易见函数t ＝x 2＋2x －3在（－∞，－3）上递减，故函数y =log a （x 2＋2x －3）（其中a ＞1）也在（－∞，－3）上递减. 答案：A 3.（2003年北京朝阳区模拟题）函数y =log 2 1|x －3|的单调递减区间是 __________________. 解析：令u =|x －3|，则在（－∞，3）上u 为x 的减函数，在（3，+∞）上 u 为x 的增函数.又∵0＜2 1 ＜1，∴在区间（3，＋∞）上，y 为x 的减函数. 答案：（3，+∞） 4.有下列几个命题：
导数与函数的单调性(word解析版)
导数与函数的单调性 【考纲要求】 （1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）. （2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 【命题规律】 利用导数研究函数的单调性是高考的热点问题，常常会考查利用导数研究含参函数的单调性，极值. 预计2018年的高考将会在大题中考查利用导数研究函数单调性的问题，命题形式会更加灵活、新颖． 【典型高考试题变式】 （一）原函数与其导函数的图像问题 例1.【2017浙江高考】函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数()y f x =的图像可能是（ ）. 【答案】 D C.
【解析】导数大于零，原函数递增，导数小于零，原函数递减，对照导函数图像和原函数图像.故选D ． 【方法技巧归纳】在(,)a b 内可导函数()f x ，'()f x 在(,)a b 任意子区间内都不恒等于0. '()0()f x f x ≥?在(,)a b 上为增函数．'()0()f x f x ≤?在(,)a b 上为减函数．且 导函数单调性可以判原函数图像的凹凸性：若)('x f 大于0且递增，则原函数)(x f 图像递增且下凹；若大于0且递减，则原函数)(x f 图像递增且上凸. 【变式1】【2018河北内丘中学8月月考（理）】设函数()f x 的导函数为()f x '， 若()f x 为偶函数，且在()0,1上存在极大值，则()f x '的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意,若f (x )为偶函数,则其导数f ′(x )为奇函数，结合函数图象可以排除B . D ，又由函数f (x )在(0,1)上存在极大值,则其导数图象在(0,1)上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负， 结合选项可以排除A ，只有C 选项符合题意；本题选择C 选项.
高中数学函数单调性的判断方法
高中数学函数单调性的判断方法 单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。那么，有哪些求函数单调性的方法呢？ 方法一：定义法 对于函数f(x)的定义域I 内某个区间A 上的任意两个值12,x x （1）当12x x <时，都有12()()f x f x <,则说f(x)在这个区间上是增函数； （2）若当12x x <时，都有12()()f x f x >,则说f(x) 在这个区间上是减函数。 例如：根据函数单调性的定义，证明：函数 在 上是 减函数。 要证明函数f （x ）在定义域内是减函数，设任意1212,x x R x x ∈<且，则 33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++，12x x <因为 210x x ->所以，且在1x 与2x 中至少有一个不为 0，不妨设20x ≠，那么222222121123()24 x x x x x x x ++=++0>，12()()f x f x >所以，故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数。 方法二：性质法 除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有： 1. f(x)与c?f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性； 2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； 3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)?g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数； 例如，已知f （x ）在R 上是减函数，那么-5f （x ）为____函数。 这道题很简单，我们根据单调性的性质，很容易就能判断它是增函数。 方法三：同增异减法（处理复合函数的单调性问题） 对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)， 可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中， 若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；
导数与函数的单调性练习题
导数练习（三）导数与函数的单调性 基础巩固题： 1.函数f(x)= 2 1 ++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ）
13．已知函数 2 3 2()4()3 f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a 的取值范围． 14.已知函数d ax bx x x f +++=2 3 )(的图象过点P （0，2），且在点M （－1，)1(-f ）处的切线方程076=+-y x ，（1）求函数)(x f y =的解析式；（2）求函数)(x f y =的单调区间。 15．已知函数f (x )＝2x －b (x －1) 2，求导函数f ′(x )，并确定f (x )的单调区间． 强化提高题： 16．设f (x )、g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )，g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且满足f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a