初二数学一次函数讲解

一次函数

1.正比例函数与一次函数的关系：正比例函数是当y=kx+b中b=0时特殊的一次函数。

2.待定系数法确定正比例函数、一次函数的解析式：通常已知一点便可用待定系数法确定出正比例函数的解析式，已知两点便可确定一次函数解析式。

3.一次函数的图像：正比例函数y=kx(k≠0)是过(0，0)，(1，k)两点的一条直线；一次函数y=kx+b(k≠0)是过(0,b),( b

,0)两点

k

的一条直线。

4.直线y=kx+b(k≠0)的位置与k、b符号的关系：当k>0是直线y=kx+b过第一、三象限，当k<0时直线过第二、四象限；b 决定直线与y轴交点的位置，b>0直线交y轴于正半轴，b<0直线交y轴于负半轴。

5．直线L1与L2的位置关系由k、b来确定：当直线L1∥L2时k相同b不同；当直线L1与L2重合时k、b都相同；当直线L1与L2相交于y轴同一点时，k不同b相同。

6．一次函数经常与一次方程、一次不等式相联系。

二、中考题型例析

1.一次函数的图象

例1 (2003·福州)如果直线y=ax+b经过第一、二、三象限,那么ab____0( 填“>”、“<”、“=”).

分析:已知直线y=ax+b经过第一、二、三象限,可先画出草图,由图可知a>0, b>0或根据直线y=kx+b中当k>0直线过第一、三象限,b>0时交y轴于正半轴来判断.

解:由题意可画出草图,由图可知a>0,b>0,∴ab>0,故答案为>.

答案:>.

点评:解决此题的关键是明确一次函数y=kx+b中k、b 的符号与直线的位置之间的关系,并学会应用数形结合的数学思想方法.

例2 (2003·青州)下列图形中,表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx(m、 n是常数且mn≠0)图象是( )

O x y

A

O x

y

B

O x

y

C

O

x

y

D

解析:对于两不同函数图象共存同一坐标系问题,常假设某一图象正确而后根据字母系数所表示的实际意义来判定另一图象是否正确来解决问题.例如, 假设选项B中的直线y=mx+n正确则m<0,n>0,mn<0则正比例函数y=mnx则应过第二、四象限,而实际图象则过第一、三象限,∴选项B错误.同理可得A正确.

答案:A.

2.一次函数的性质

例3 (2003·甘肃)一次函数的图象过点(1,2),且y随x的增大而增大, 则这个函数解析式是________.

分析:由一次函数图象过点(1,2),可先设出解析式为y=kx+b(或y=kx)将点(1,2)代入其解析式.但函数y随自变量x的增大而增大,这一条件不能丢.

解:(1)设一次函数解析式为y=kx+b(或y=kx)(k≠0)y随自变量x的增大而增大, 则k>0,将(1,2)代入y=kx+b,得2=k+b,即k=2-b.

不妨取k=1,得b=1.

∴解析式为y=x+1;

取k=2,得b=0,∴解析式为y=2x;

取k=3,得b=-1,∴解析式为y=3x-1;

…

∴满足条件的解析式有无数个,故答案为:y=x+1或y=2x或y=3x-1等等.

点评:本题中是确定解析式的开放性的题目,解决此类题目的关键是抓准已知条件中函数的性质来思考.

3. 一次函数的应用

例4 (2003·哈尔滨)如图表示一艘轮船和一艘快艇

沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变

化的图象( 分别是正比例函数图象和一次函数图象).根

据图象解答下列问题:

(1)请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围;

(2)轮船和快艇在途中(不包括起点和终点)行驶的速度分别是多少?

(3)问快艇出发多长时间赶上轮船?

分析:由已知条件可设两条直线分别为y=k1x(k1≠0)或y=k2x+b(k2≠0),然后根据图象给出的点的坐标,利用“待定系数法”可确定(1)中的两条直线;(2)由图可得轮船8h行160km,快艇4h行160km,分别求其速度;(3)根据追及问题中“快者路程- 相距路程=慢者路程”可求解.

解:(1)设表示轮船行驶过程的函数解析式为y=kx,由图象知:当x=8时,y=160.

∴8k=160,解得k=20.

∴表示轮船行驶过程的函数解析式为 y=20x.

设表示快艇行驶过程的函数解析式为y=ax+b.

由图象知:当x=2时,y=0;当x=6时,y=160.

∴

02

1605

a b

a b

=+

?

?

=+

?

解得

40

80

a

b

=

?

?

=-

?

∴表示快艇行驶过程的函数解析式为 y=40x-80.

(2)由图象可知,轮船在8h内行驶了160km,快艇在4h内行驶了160km,故轮船在途中的

行驶速度为160

8

=20(km/h),快艇在途中行驶速度为

160

4

=40(km/h).

(3)设轮船出发xh快艇赶上轮船.

20x=40x-80,x=4, ∴x-2=4-2=2.

答:快艇出发2h赶上轮船.

点评:本题主要通过一次函数图象与坐标轴的交点的意义来解决实际问题,因此弄清交点的意义是关键,然后用待定系数法求函数解析式.

一

典型例题：

例1：（2008乌兰察布）声音在空气中传播的速度y（m/s）是气温x（℃）的一次函数，下

（2）气温23

x=℃时，某人看到烟花燃放5s后才听到声响，那么此人与烟花燃放地约相

距多远？

解：（1）设y kx b =+，

3315334

b k b =?∴?

+=?， 35k ∴=， 3

3315y x ∴=+ （2）当23x =时，3

23331344.85

y =

?+=． 5344.81724∴?=．

∴此人与烟花燃放地相距约1724m ．

例2：（2007南充）平面直角坐标系中，点A 的坐标是（4，0），点P 在直线y ＝－x ＋m 上，且AP ＝OP ＝4．求m 的值．

解：由已知AP ＝OP ，点P 在线段OA 的垂直平分线PM

上．

如图，当点P 在第一象限时，OM ＝2，OP ＝4．

在Rt △OPM 中，PM

== ∴ P （2，．

∵ 点P 在y ＝－x ＋m 上，∴ m ＝2＋

当点P 在第四象限时，根据对称性，P '（（2，－． ∵ 点P'在y ＝－x ＋m 上，∴ m ＝2－ 则m 的值为2＋2－

例3：（2007晋江）东从A 地出发以某一速度向B 向A 地而行，如图所示，图中的线段1y 、2y 分别表示小东、小明离B 地的距离（千米）与所用时间（小时）的关系。

⑴试用文字说明：交点P 所表示的实际意义。 ⑵试求出A 、B 两地之间的距离。 解：⑴交点P 所表示的实际意义是：

经过2.5小时后，小东与小明在距离B 地7.5小时)

⑵设b kx y +=1，又1y 经过点P （2.5，7.5），（4，0） ∴??

?=+=+045.75.2b k b k ，解得???-==5

20

k m

∴2051+-=x y 当0=x 时，201=y 故AB 两地之间的距离为20千米。

例4：（2007南京）某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过203m 时，按2元／3m 计费；月用水量超过203m 时，其中的203m 仍按2元／3

m 收费，超过部分按2.6元／3

m 计费．设每户家庭用用水量为3m x 时，应交水费y 元．

（1）分别求出020x ≤≤和20x >时y 与x 的函数表达式； （2）小明家第二季度交纳水费的情况如下：

小明家这个季度共用水多少立方米？

解：（1）当020x ≤≤时，y 与x 的函数表达式是2y x =； 当20x >时，y 与x 的函数表达式是

220 2.6(20)y x =?+-，

即 2.612y x =-；

（2）因为小明家四、五月份的水费都不超过40元，六月份的水费超过40元，所以把30y =代入2y x =中，得15x =；把34y =代入2y x =中，得17x =； 把42.6y =代入 2.612y x =-中，得21x =． 所以15172153++=．

答：小明家这个季度共用水2

53m ．

实战演练：

1.（2007上海）若一次函数y kx b =+的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那（ ） A ．0k >，0b >

B ．0k >，0b <

C ．0k <，0b >

D ．0k <，0b <