集合间的基本关系教案及练习
1.2集合间的基本关系
1．Venn图
(1)定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
(2)适用范围：元素个数较少的集合．
(3)使用方法：把元素写在封闭曲线的内部．
2．子集、真子集、集合相等的概念
(1)子集的概念
文字语言符号语言图形语言
对于两个集合A，B，如果集合A中任意
A?B(或B?A)
一个元素都是集合B中的元素，就称集合
A为集合B的子集
集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B. 也就是说，若A?B，且B?A，则A＝B．
(3)真子集的概念
文字语言符号语言图形语言
如果集合A?B，但存在元素x∈B，且
A B(或
B A)
x?A，就称集合A是集合B的真子集
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为?.
(2)规定：空集是任何集合的子集．
4．集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A?A.
(2)对于集合A，B，C，若A?B且B?C，则A?C.
1．集合A＝{－1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有()
A．2个B．4个
C．6个D．8个
B解析：根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}，{0，1}，{0，－1}，{－1，0，1}, 共4个，故选B.
2．已知集合A＝{x|－1 A．A>B B．A C．B?A D．A?B C解析：用数轴表示集合A，B，如图所示， 由图可知B?A. 3．若{1，2}?B?{1，2，4}，则B＝________． {1，2}或{1，2，4}解析：由条件知B中一定含有元素1和2，故B可能是{1，2}，{1，2，4}. 【例1】指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (3)A＝{x|－1 (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． 解：(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无 包含关系． (2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B. (3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B. (4)由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，故N M. 集合间基本关系的两种判定方法和一个关键 提醒：注意元素与集合、集合与集合之间的关系和所用符号的区别． 1．已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0，1，2}，则集合M与N的关系是() A．M＝N B．N M C．M N D．N?M C解析：解方程x2－3x＋2＝0得x＝2或x＝1，则M＝{1，2}．因为1∈M 且1∈N，2∈M且2∈N，所以M?N.又因为0∈N但0?M，所以M N. 2．已知集合M ＝{x |－1＜x ＜5}，N ＝{x |0＜x ＜3}，则正确表示M 和N 关系的Venn 图是( ) B 解析：因为N M ，故选B. 3．已知集合 A ＝? ????? ????x ???x ＝ 2n ＋1 3，n ∈Z ，B ＝?????? x ???x ＝2n 3＋1 ，n ∈Z ，则集合A ， B 的关系为________． A ＝B 解析：A ＝???? ??x ? ??x ＝1 3（2n ＋1） ，n ∈Z ， B ＝???? ??x ? ??x ＝13（2n ＋3），n ∈Z . 因为2n ＋1，n ∈Z 和2n ＋3，n ∈Z 都表示所有奇数，所以A ＝B . 【例2】已知集合A ＝{x ∈Z|－2≤x ＜2}，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈A }，则集合B 的子集的个数为( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．16 B 解析：由题意得A ＝{－2，－1，0，1}，B ＝{0，1，4}，所以B 的子集有23＝8(个)，即?，{0}，{1}，{4}，{0，1}，{0，4}，{1，4}，{0，1，4}．故选B. 【例3】已知集合A ＝{x ∈R|x 2＝a }，使集合A 的子集个数为2的a 的值为( ) A ．－2 B ．4 C ．0 D ．以上答案都不是 C 解析：由题意知，集合A 中只有1个元素，也即x 2＝a 只有一个解； 若方程x 2＝a 只有一个解，则有a ＝0. 【例4】若A＝{2，3，4}，B＝{x|x＝m n，m，n∈A且m≠n}，则集合B的非空真子集的个数为________． 6解析：由题意A＝{2，3，4}，B＝{x|x＝m n，m，n∈A且m≠n}，可知B＝{6，8，12}， 所以集合B的非空真子集个数为23－2＝6. 元素个数与集合子集个数的关系 (1)探究． 集合A 集合A中元 素的个数n 集合A的 子集个数 ?0 1 {a}1 2 {a，b}2 4 {a，b，c}38 {a，b，c，d}416 ①A的子集有2n个． ②A的非空子集有(2n－1)个． ③A的非空真子集有(2n－2)个(n≥1)． 已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集． 解：∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，∴A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．∴A的子集有：?，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}． 探究题1 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1，m 为常数}，若B ?A ，求实数m 的取值范围． 解：①若B ＝?，满足B ?A ， 则m ＋1＞2m －1，解得m ＜2. ②若B ≠?，满足B ?A ，则???2m －1≥m ＋1， m ＋1≥－2，2m －1≤5， 解得2≤m ≤3. 综上，实数m 的取值范围为{m |m ≤3}． 探究题2 已知集合A ＝{0，－4}，集合B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，若B ?A ，试求a 的取值范围． 解：因为A ＝{0，－4}，所以B ?A 分以下三种情况： ①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1 ＝0的两个根，由根与系数的关系，得??? Δ＝4（a ＋1）2－4（a 2－1）＞0， －2（a ＋1）＝－4， a 2－1＝0， 解得a ＝1； ②当B ≠?且B A 时， B ＝{0}或B ＝{－4}, 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1， 此时B ＝{0}满足题意； ③当B ＝?时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0，解得a ＜－1. 综上所述，所求实数a 的取值范围是{a |a ≤－1或a ＝1}． 已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解． (1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性； (2)若集合表示的是不等式(组)的解集，常借助数轴求解，此时需注意端点值 能否取到． 1．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|1＜x＜m}(m＞1)，且B?A，则实数m的取值范围是________． {m|1＜m≤4}解析：由于B?A，结合数轴分析可知，m≤4， 又m＞1，所以1＜m≤4. 2．已知集合A＝{1，3，x2}，B＝{1，x＋2}，是否存在实数x，使得集合B 是A的子集？若存在，求出A，B；若不存在，请说明理由． 解：因为B?A，所以x＋2＝3或x＋2＝x2(即x－1或x＝－1或x＝2)．当x＝1时，A＝{1，3，1}不满足互异性，所以x＝1(舍)． 当x＝2时，A＝{1，3，4}，B＝{1，4}，满足B?A. 当x＝－1时，A＝{1，3，1}不满足互异性， 所以x＝－1(舍)． 综上，存在x＝2使得B?A. 此时，A＝{1，3，4}，B＝{1，4}． 集合间基本关系练习 (30分钟60分) 1.(5分)已知集合A ＝{x |x 2－9＝0}，则下列式子表示正确的有( ) ①3∈A ；②{－3}∈A ；③??A ；④{3，－3}?A . A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 B 解析：根据题意，集合A ＝{x |x 2－9＝0}＝{－3，3}． 3∈A ，3是集合A 的元素，故①正确； {－3}是集合，有{－3}?A ，故②错误； 空集是任何集合的子集，故③正确； 任何集合都是其本身的子集，故④正确． 2．(5分)已知a 为给定的实数，那么集合M ＝{x |x 2－3x －a 2＋2＝0，x ∈R}的子集的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．不确定 C 解析：因为方程x 2－3x －a 2＋2＝0的根的判别式Δ＝1＋4a 2＞0， 所以方程有两个不相等的实数根， 所以集合M 有2个元素，所以集合M 有22＝4(个)子集． 3．(5分)设A ＝{x |2≤x ≤6}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若B ?A ，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a |1≤a ≤3} B ．{a |a ≥3} C ．{a |a ≥1} D ．{a |1＜a ＜3} C 解析：因为A ＝{x |2≤x ≤6}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，且B ?A ，所以当B ＝?时，2a ＞a ＋3，解得a ＞3；当B ≠?时，???a ＋3≤6， 2a ≥2，2a ≤a ＋3， 解得1≤a ≤3.综上，a 的取值范围是{a |a ≥1}． 4．(5分)设集合M ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z}，N ＝{x |x ＝4k ±1，k ∈Z}，则( ) A．M＝N B．M N C．N M D．N?M A解析：方法一：(列举法)因为集合M＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，所以其中的元素是奇数且M＝{…，－3，－1，1，3，…}． 因为集合N＝{x|x＝4k±1，k∈Z}，所以其中的元素也是奇数且N＝{…，－3，－1，1，3，…}． 所以它们之间的关系为M＝N. 方法二：(特征性质法)对于x＝2k－1，k∈Z.当k为偶数，即k＝2n，n∈Z 时，x＝4n－1，n∈Z， 当k为奇数，即k＝2n＋1，n∈Z时， x＝4n＋1，n∈Z，所以集合M＝N. 5.(5分)集合{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N}的非空子集有________个． 15解析：{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N}＝{(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)}共4个元素， 故原集合的非空子集共有24－1＝15(个)． 6.(5分)已知集合M＝{x|x＝1＋a2，a∈N*}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N*}，那么M________P．(填“”“”或“＝”) 解析：对于任意．x∈M，有x＝1＋a2＝(a＋2)2－4(a＋2)＋5. ∵a∈N*，∴a＋2∈N*，∴x∈P. 由子集的定义知，M?P. 由a＝2∈N*时，a2－4a＋5＝1∈P， 而1＋a2＝1在a∈N*时无解，∴1?M. 综上所述，M P. 7.(5分)已知集合P＝{x|x2＝1}，集合Q＝{x|ax＝1}，若Q?P，则a的取值是________． 0，±1 解析：P ＝{－1，1}， 若Q ＝?，则a ＝0，此时满足Q ?P . 若Q ≠?，则Q ＝???? ??x ???x ＝1a .由题意知1a ＝1或1 a ＝－1，解得a ＝±1. 综上可知，a 的取值是0，±1. 8.(5分)集合 A ＝???? ?? 13，12，1，2，3，具有性质“若x ∈P ，则1 x ∈ P ”的所有非空子集的个数为________． 7 解析：根据题意，满足题意的子集有{1}，??????12，2，??????13，3，???? ??1，12，2，??????1，13，3，??????2，3，12，13，???? ??1，2，12，1 3，3，共 7个． 9.(10分)已知集合A ＝{x |－5＜x ＜5}，B ＝{x |－2a ＜x ≤a ＋3}， 若B ?A ，求实数a 的取值范围． 解：因为B ?A ， 当B ＝?时，－2a ≥a ＋3，解得a ≤－1； 当B ≠?时，???－2a －2a ≥－5，a ＋3<5，