极限的概念 答案详解
1.2 极限的概念
一、观察当n 时下列数列的变化趋势，并判断它们是否收敛，若收敛指出其极限：
1
1.
x (1)
n
n n
3
答：收敛于0 （通过观察趋势可得）
2.x
n 1 ( 1)n
n
答：收敛于0 （因为数列1
n
和
(1)n
n
均收敛于零，由四则运算其和也应收敛于零）
3.x a n (a 1)
n
答：发散（通过观察趋势可得数列趋于无穷大，故发散）
4.x cos n
n
答：发散（cos n (1)n ，通过观察趋势，数列趋于两个不同的值1，从而发散）
5.x
3(1)
n
n
答：发散（通过观察趋势，数列趋于两个不同的值1
3
和3，从而发散）
6.
2
1
n
x
n n
3
答：收敛于0 （注意到
n n
2 1 2 1
n
，由于公比的绝对值均小于1，两个等比数列3 3 3
n
n n
2
1
和
3
3
均收敛于零，由四则运算其差也应收敛于零）
二、由函数图形判别下列函数极限是否存在，如存在，则写出其极限：lim cos
1.
x0
x
答：存在，极限为1
x
2.lim cos
x
答：不存在，因为函数值在1之间振荡3.lim ln x
x0
答：不存在，因为函数值趋于负无穷大
4.lim arctan x
x
答：不存在，因为lim arctan x , lim arctan x ，两者不等，故趋于无穷大的极限x 2 x 2
不存在（注：请同学们一定要熟悉y arctan x 的图形！）
lim a x 5.
x0 (a 0, a
1)
答：存在，极限为1
6.lim a x
x (a 0, a
1)
答：不存在。若a 1，当x 时，函数值趋于正无穷大；若0 a 1，当x 时，函数值趋于正无穷大
lim f (x), f (x) 7.
x0
x 1, x 0
x 1, x 0
答：不存在，因为lim f (x) lim (x 1) 1, lim f (x) lim (x 1) 1，两者不等，故趋
x0 x0 x0 x 0
于零的极限不存在
1
8.lim
x x
答：存在，极限为0
三、考察函数f (x)
x
在点x 0 处的左右极限，并说明在x 0 处极限是否存在.
x
解：
x x lim f (x ) lim 1, lim f (x ) lim 1
x 0 x0 x0 x 0
x x
x) lim f (x)lim f (x) 不存在x x
0 0 x 0
四、设函数f (x ) x2 a, x
，若当x 0 时极限存在，求常数a 的值.
e , x 0
x
解：lim f (x) lim e x 1, lim f (x) lim (x2 a) a x0 x0 x0 x0
) 存在 lim f (x) lim f (x) a 1
x0 x0
五、思考并回答下列问题：
1. 如果数列x 收敛，数列
x 是否一定收
敛？n 2n 1
答：是，因为数列收敛的任意子数列也收敛
2. 如果数列x 发散，数列
x 是否一定发
散？n 2n 1
答：不一定，例如( 1)n x 收敛
x 是发散的，但 2 1
2 1 ( 1) n 1
n n
3. 如果数列lim
n x a
，数列
x 是否一定收敛？若收敛，求极限. n n 10
答：是，因为数列的前面有限项不影响数列的极限，lim x n10 a
n
4. 如果数列x 收敛，y 发散，问
x y 是收敛还是发
散？n n n n
答：发散，由数列的性质可得，两数列一个收敛一个发散，其和与差一定发散
5. 如果数列x ，y 均发散，问
x y 是否一定发
散？n n n n
答：不一定，可能收敛可能发散，如数列x (1)n1, y (1)n 都发散，
但数列
n n
x y 0收敛
n n
六、下列命题中正确的是（ C ）.
A. 若lim
n x a ，
lim
n
n
y b
，且a b ，则n
N ，有
n
x y
n n
B. 若lim
n x a ，则
lim
2n 1
n
x
a
n
C. 若lim f (x)
存在，则函数在x a的某去心邻域内有界
x a
D. 若lim ( ) lim ( )，而函数f (x) 在x a无定义，则lim f (x)
f x f x
不存在x a x a x a
解析：A 错误，x n y n不一定对任意n N成立。由极限的保号性，正确的说法是“若
lim x a , lim y b 且a b ，则至少存在一个正整数N ，使得当n N 时，有
n n x y ”。n n
n n
说明数列的极限与其前面有限项无关。
B 错误，例如x n
2 1 ( 1) x n 发
散
2 1 收敛于1，但( 1)
n n
C 正确，此命题说明有极限的函数具有局部有界性
一定存在。说明函数的极限反映了自
D 错误，若lim f (x ) lim f (x)，则lim
f( x)
x a x a x a
变量无限趋近某点过程中函数值的变化规律，与在该点处是否有定义或取值多少无关
高中数学《函数的极限(一)》教案
课 题：2.3函数的极限(一) 教学目的： 1.理解当x →+∞，x →－∞，x →∞时，函数f (x )的极限的概念. 2.从函数的变化趋势，理解掌握函数极限的概念. 3.会求当函数的自变量分别趋于+∞，－∞，∞时的极限 教学重点：从函数的变化趋势来理解极限的概念，体会极限思想. 教学难点：对极限概念如何可从变化趋势的角度来正确理解. 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1.数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞ =，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于a ” “n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思n a a →∞ =有时也记作：当n →∞时，n a →a ． 理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大，数列的项a n 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面：一方面，数列的项a n 趋近于a 是在无限过程中进行的，即随着n 的增大a n 越来越接近于a ；另一方面，a n 不是一般地趋近于a ，而是“无限”地趋近于a ，即|a n －a |随n 的增大而无限地趋近于0. 2.几个重要极限： （1）01lim =∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{n q （1 第三部分车、钳工工艺与技能训练共同知识 极限配合与技术测量 本章重点内容： 1、(光滑圆柱体)尺寸公差、偏差、配合的基本概念及有关计算。 2、标准公差、基本偏差、公差带代号及基准制。 3、尺寸公差带、配合公差带作图。 4、配合性质的判别方法。 5、游标卡尺、千分尺、百分表的刻线原理及读数方法。 6、技术测量基础知识。 7、形位公差概念、种类、符号、标注及形位公差四要素。 8、表面粗糙度的概念、标注及识读。 本章内容提要： 一、尺寸公差、偏差、配合的基本概念及有关计算 1、尺寸：以特定单位表示线性尺寸的数值称为尺寸。（机械工程中以毫米作为特定单位） 基本尺寸：指设计时给定的尺寸。孔基本尺寸用“L”表示，轴用“l”表示。 实际尺寸：指通过测量获得的某一孔、轴的尺寸。 极限尺寸：指一个孔或轴允许的尺寸的两个界值，较大的一个叫最大极限尺寸，较小的一个叫最小极限尺寸。 2、尺寸公差：指尺寸允许的变动量。尺寸公差是一个正值，公差的大小反映了工件的加工难易程度，公差大加工容易，反之加 工困难。孔用“”表示，轴用“”表示。 尺寸公差=最大极限尺寸—最小极限尺寸=上偏差—下偏差>0即：–>0 >0 3、尺寸偏差：某一尺寸（实际尺寸、极限尺寸等）减去基本尺寸所得的代数差。 实际偏差=实际尺寸-基本尺寸 极限偏差=极限尺寸-基本尺寸 （1）、上偏差： （2）、下偏差： 注意：公差和极限偏差是两种不同的概念。公差大小决定允许尺寸的变动范围，公差值是绝对值。极限偏差决定极限尺寸相对其基本尺寸的位置（在公差带图中），极限偏差可以是正值、负值或零。 4、配合 （1）配合：是指基本尺寸相同、相互结合的孔轴公差带之间的位置关系。 （2）配合这一概念来反映零件组装后的松紧程度。 （3）分类：间隙配合过盈配合过渡配合 （4）配合相关计算公式。 《高等数学》——数列极限 教学设计 教学过程设计 A 、【课前准备】1、安排学生提前预习本节内容。 2、分组：4～6人为一个学习小组，确定一人为组长。教师需要做好协调工作，确保每位学生都参加。 B 、【组织教学】 检查学生出勤情况，填写教学日志，教材、用具准备等（2分钟） C 、【复习回顾】 数列的定义（2分钟） D 、【教学内容、方法和过程】接下表 教师活动 学 生 活 动 设计意图 (一) 结合实际，情景导入(时间4分钟） 导入1、战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一 尺之棰，日取其半，万世不竭” 也就是说一根长为一尺的木棒，每天 截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去 导入2、三国时的刘徽提出的“割圆求周”的方法.他把圆周分成三等分、 六等分、十二等分、二十四等分、··· 这样继续分割下去,所得多边形的 周长就无限接近于圆的周长. 教师引入：不论是庄周还是刘徽，在他们的思想中都体现了一种数列极 限思想，今天我们来学习数列极限。 【学情预设】：有的学生可能没体会到情景导入的目的，教师最后要总结导入中蕴含的数学思想。 (二)归纳总结,形成概念: (时间9分钟） 1．提出问题：分析当无限增大时，下列数列的项的变化趋势及共同特征. （1）１，21，31，41…n 1 …递减 （2）递增 （3）摆动 学生参 与，思 考，感 受 学生参 与，思 考 问题，在 老师的引 导下对数 列极限知 识有一个 形象化的 了解。 通过讨 论，学生 了解以研 究函数值 的变化趋势的观点研究无穷数列，从而体会发现数列极限的过程 通过介绍我国古代哲学家庄周和刘徽，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感，并使他们对数列极限知识有一个形象化的了解。同时为学习新知识做准备，使学生更好的承上启下。 （一）概念探索阶段” 在这一阶段的教学中，由于注意到学生在开始接触数列极限这个概念时，总是以静止的观点来理解这个描述变化过程的动态概念，总觉得与以 配合物的基本概念 一、 配位化合物及其组成 配位化合物 １． 中心离子：中心（中央）离子（或原子）也称为络合物形成体，是配合物的核心部分，位于络离子（或分子）的中心。 ２． 配位体：是在中心离子周围的阴离子或分子，简称配体，其中直接与中心离子结合的原子叫配位原子。 单基配位体 配位体按所含配位原子的数目 多基配位体 ３． 配位数：与中心离子直接结合的配位原子数目。 影响配位数大小的因素： ４． 配离子的电荷：等于中心离子和配位体总电荷的代数和。 配离子 电荷 ５． 配位化合物的定义：凡含有配位离子（或配位分子）的化合物叫配位化合物。 二、 配位化合物的命名 配位化合物的命名遵循一般无机物命名原则，命名配位化合物时，不论配离子是阴离子还是阳离子，都是阴离子名称在前，阳离子名称在后。其中配位个体的命名顺序为： 配位体数（汉字）――配位体名称（如有不同配位体时，阴离子在先，分子在后）――“合”字――中心离子名称及其氧化数（在括号内以罗马字说明） 四氯合铂（II ）酸六氨合铂（II ） 有的配体在与不同的中心离子结合时，所用配位原子不同，命名时应加以区别。 如： 六异硫氰酸根合铁(III)酸钾 硝酸一氯一硫氰根二乙二胺合钴（III ） + ])([23NH Ag 1021+=?+++243])([NH Zn 2042+=?++-36][AlF 3)1(63-=-?++463])([63CS N Fe K ? 3 2]))(([NO en CN S CoCl ? 三硝基三氨合钴（III ） 硫酸一亚硝酸根五氨合钴(III) ] )()([332NH NO Co ?4 53]))(([SO NH ONO Co ? 精密加工零件公差配合的基本概念 机械加工厂、精密零件制造中，最常接触的就是机械零部件的公差与配合，那么什么是机械加工行业的公差配合？公差配合需要注意哪些方面？ 一、公差配合的互换性概述： 机械制造业中的互换性，通常包括几何参数(如尺寸)和机械性能(如硬度、强度)的互换，这里仅讨论几何参数的互换。允许机械零件尺寸和几何参数的变动量就称为“公差”。机械零部件在几何参数方面的互换性体现为公差标准。而公差标准又是机械制造业中的基础标准，它为机器的标准化、系列化、通用化提供了理论依据，从而缩短了机器设计时间，促进新产品的高速发展。 二、“尺寸”术语与定义：尺寸就是用特定单位表示长度值的数字。 1.基本尺寸：使设计给定的尺寸。实际尺寸：是通过测量获得的尺寸。极限尺寸：是指允许尺寸变化的两个极限值。最大实体状态(简称MMC)和最大实体尺寸：最大实体状态系指孔或轴在尺寸公差范围内，具有材料量最多时的状态。在此状态下的尺寸，称为最大实体尺寸，它是孔的最小极限尺寸和轴的最大极限尺寸的统称。最小实体状态(简称LMC)和最小实体尺寸：最小实体状态系指孔或轴在尺寸公差范围内，具有材料最少时的状态。在此状态下的尺寸，称为最小实体尺寸，它是孔的最大极限尺寸和轴的最小极限尺寸的统称。 2.作用尺寸：在配合面的全长上，与实际孔内接的最大理想轴尺寸，称为孔的作用尺寸。与实际轴外接的最小理想孔的尺寸，称为轴的作用尺寸。 三、“公差与偏差”的术语和定义 1.尺寸偏差：是指某一个尺寸减其基本尺寸所得的代数差。 2.尺寸公差：是指允许尺寸的变动量。 3.零线：在公差与配合图解(简称公差带图)中，确定偏差的一条基准直线，即零偏差线。 4.公差带：在公差带图中，由代表上、下偏差的两条直线所限定的一个区域。 5.基本偏差：是用来确定公差带相对于零线位置的上偏差或下偏差，一般指靠近零线的那个偏差。当公差带位于零线上方时，其基本偏差为下偏差；位于零线下方时，其基本偏差为上偏差。 6.标准公差：国标规定的，用以确定公差带大小的任一公差。 课题：2.4极限的四则运算(二) 教学目的:掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限 教学重点：运用数列极限的运算法则求极限。 教学难点:数列极限法则的运用. 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1。数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a ，那么就说数列}{n a 以a 为极限。记作lim n n a a →∞ =． 2。几个重要极限: (1）01lim =∞→n n （2)C C n =∞ →lim (C 是常数) （3)无穷等比数列}{n q （1 记作：+∞→x lim f （x ）=a ,或者当x →+∞时，f (x ）→a . (2)当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f （x ）无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f （x ）的极限是a . 记作-∞→x lim f （x )=a 或者当x →－∞时,f （x ）→a 。 （3)如果+∞→x lim f (x )=a 且-∞ →x lim f （x ）=a ，那么就说当x 趋向于无穷大时,函数f (x )的极限是a ，记作：∞→x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x ）→a . 4.常数函数f (x )=c 。（x ∈R ），有∞ →x lim f (x ）=c 。 ∞→x lim f (x )存在，表示+∞→x lim f （x )和-∞→x lim f （x )都存在，且两者相等.所以∞→x lim f (x )中的∞既有+∞，又有－∞的意义，而数列极限∞ →x lim a n 中的∞仅有+∞的意义 第9讲络合物(配位化合物)化学基础 【竞赛要求】 配位键。重要而常见的配合物的中心离子（原子）和重要而常见的配位（水、羟离子、卤离子、拟卤离子、氨分子、酸根离子、不饱和烃等）。螯合物及螯合效应。重要而常见的络合剂及其重要而常见的配合反应。配合反应与酸碱反应、沉淀反应、氧化还原反应的联系（定性说明）。配合物几何构型和异构现象基本概念。配合物的杂化轨道理论。八面体配合物的晶体场理论。Ti(H2O)+36的颜色。路易斯酸碱的概念。 【知识梳理】 一、配合物基本知识 1、配合物的定义 由中心离子（或原子）和几个配体分子（或离子）以配位键相结合而形成的复杂分子或离子，通常称为配位单元。凡是含有配位单元的化合物都称作配位化合物，简称配合物，也叫络合物。 [Co(NH3)6]3+，[Cr(CN)6]3–，Ni(CO)4都是配位单元，分别称作配阳离子、配阴离子、配分子。 [Co(NH3)6]Cl3、K3[Cr(CN)6]、Ni(CO)4都是配位化合物。[Co(NH3)6]、[Cr(CN)6] 也是配位化合物。判断的关键在于是否含有配位单元。 思考：下列化合物中哪个是配合物 ①CuSO4·5H2O②K2P t Cl6 ③KCl·CuCl2 ④Cu(NH2CH2COO)2 ⑤KCl·MgCl2·6H2O ⑥Cu(CH3COO)2 注意：①配合物和配离子的区别 ②配合物和复盐的区别 2、配合物的组成 中心离子 内界单齿配体 配位体多齿配体 配合物螯合配体 外界 （1）配合物的内界和外界 以[Cu(NH3)4]SO4为例： [Cu(NH3)4]2+ SO-2 4 内界外界 内界是配位单元，外界是简单离子。又如K3[Cr(CN)6] 之中，内界是[Cr(CN)6]3–，外界是K+。可以无外界，如Ni(CO)4。但不能没有内界，内外界之间是完全电离的。 （2）中心离子和配位体 中心离子:又称配合物的形成体，多为金属（过渡金属）离子，也可以是原子。如Fe3+、Fe2+、Co2+、Ni2+、Cu2+、Co等，只要能提供接纳孤对电子的空轨道即可。 配位体:含有孤对电子的阴离子或分子。如NH3、H2O、Cl－、Br－、I－、CN－、CNS－等。 （3）配位原子和配位数 配体中给出孤对电子与中心离子直接形成配位键的原子，叫配位原子。配位单元中，中心离子周围与中心离子直接成键的配位原子的个数，叫配位数。 配位化合物[Cu(NH3)4]SO4的内界为[Cu(NH3)4]2+，中心Cu2+的周围有4个配体NH3，每个NH3中有1个N原子与Cu2+配位。N 是配位原子，Cu 的配位数4。（注意：配体的个数与配位数不是同一个概念） 若中心离子的电荷高，半径大，则利于形成高配位数的配位单元；而配体的电荷高，半径大，利于低配位数。 （4）常见的配体 单齿配体：一个配体中只能提供一个配位原子与中心离子成键。如H2O、NH3 、CO等。 第一章极限与配合练习题 一．选择题 1.关于孔和轴的概念，下列说法中错误的是（） A、圆柱形的内表面为孔，外表面为轴 B、由截面呈矩形的四个内表面或外表面形成一个孔或一个轴 C、从装配关系看，包容面为孔，被包容面为轴 D、从加工过程看，切削过程中尺寸由小变大的为孔，由大变小的为轴 答案：B 2.公称尺寸是（） A.测量时得到的 B.加工时得到的 C.装配后得到的 D.设计时给定的答案：D 3. 实际偏差是（）。 A、设计时给定的； B、直接测量得到的； C、通过测量，计算得到的； D、最大极限尺寸与最小极限尺寸之代数差。答案：C 4. 关于偏差与公差之间的关系，下列说法正确的是（）。 A、实际偏差愈大，公差愈大； B、上偏差愈大，公差愈大； C、下偏差愈大，公差愈大； D、上下偏差之差的绝对值愈大，公差愈大。答案：D 5.下极限尺寸减其公称尺寸所得的代数差为（） A.上极限偏差 B.下极限偏差 C. 基本偏差 D. 实际偏差 答案：B 6. 尺寸公差带图的零线表示（）。 A、最大极限尺寸； B、最小极限尺寸； C、公称尺寸； D、实际尺寸 答案：C 7. 基本偏差确定公差带的位置，一般情况下，基本偏差是（）。 A、上偏差； B、下偏差、 C、实际偏差； D、上偏差或下偏差靠近零下的那个。 答案：D 8.当孔的下极限尺寸与轴的上极限尺寸之差为正值时，此代数差称为（） A.最大间隙 B. 最小间隙 C.最大过盈 D.最小过盈 答案：B 9.当孔的下极限尺寸与轴的上极限尺寸之差为负值时，此代数差称为（） A.最大间隙 B. 最小间隙 C.最大过盈 D.最小过盈 答案：C 10.当孔的上极限偏差大于相配合的轴的下极限偏差时，此配合的性质是（） A. 间隙配合 B.过度配合 C. 过盈配合 D.无法确定 答案： D 11.确定不在同一尺寸段的两尺寸的精确程度，是根据（） A.两个尺寸的公差数值的大小 B. 两个尺寸的基本偏差 课题：配位化合物的基本概念 课型：课时：上课时间： 学习目标： 1、了解配合物的形成原理 2、知道配位键、配合物、配离子等基本概念 3、掌握配合物的组成和命名 重、难点： 1、配合物的组成 2、配合物的命名 学习过程： 课前检测： （一）完成下面方程式： 1、硫酸铜与氨水反应 2、硫酸铜与氯化钡反应 3、硝酸银与氨水反应 （二）溶度积规则Qi与Ksp的关系 学习新课 一、配合物的定义 [实验探究] 1、取一支试管加入5mL 0.1mol/L CuSO4溶液，然后逐滴加入2mol/L NH3·H2O 溶液至过量，观察并记录现象 。 2、将上述溶液分成两份，一份滴加数滴0.1mol/L BaCl2溶液，另一份滴加数滴1mol/L NaOH溶液，观察并记录现象 。 3、分析实验现象，你能得出什么结论： 。 （沉淀－溶解平衡考虑） [自学反馈]预习P130配合物的定义，理解下列几个基本概念 1、配位键 2、配离子 3、配合物 二、配合物的组成 [自学反馈]预习P131配合物的组成，掌握配合物的组成 以[Cu(NH3)4]SO4为例，分析其组成 [Cu(NH3)4]SO4 1、中心原子：通常是， 例如：。 2、配位体：提供的分子和离子叫配位体 例如：。 配位原子：配位体中原子叫配位原子 例如：。 3、配位数：作为直接与结合的的数目，即形成配位键的数目称为配位数。 4、配离子的电荷数：配离子的电荷数等于和电荷数的代数和。 5、内界和外界：配合物分为内界和外界，其中称为内界，与内界发生电性匹配的称为外界。 三、配合物的命名 [自学反馈]预习P132配合物的命名，熟悉配合物的命名规则 1、配离子的命名： 2、配位酸： 3、配位碱： 4、配位盐： 自学检测：命名下列配合物 （1）K2[PtCl6] （2）K4[Fe(CN)6] （3）[Co(NH3)6]Cl3； （4）[CrCl2(H2O)4]Cl （5）[Co(NO3)3(NH3)3] （6）[Fe(CO)5] 课 题：2.2数列的极限 教学目的： 1. 理解数列极限的概念； 教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限 教学难点：数列极限的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 这节课一开始就把学生引入数列是否“趋向于”一个常数的讨论中，虽然学生对“趋向于”并没有精确的认识，但是凭借他们的自身的感受，运用“观察”“分析”“归纳”“概括”也能得到一些数列的“极限”的肤浅认识，这是感性认识 数列的极限是一个十分重要的概念，它的通俗定义是：随着项数n 的无限增大，数列的项a n 无限地趋近于某个常数a (即|a n －a |无限地接近于0)，它有两个方面的意义. 教学过程： 一、复习引入： 1.战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的 过程可以无限制地进行下去（1）可以求出第n 天剩余的木棒长度n a ＝ 1 2n (尺)；（2）前n 天截下的木棒的总长度n b ＝1- 1 2 n (尺) 分析变化趋势. 2. 观察下列数列，随n 变化时，n a 是否趋向于某一个常数： (1)n n a n 12+= ; (2)n n a )3 1(3-=; (3)a n =4·(－1)n －1 ; (4)a n =2n ; (5)a n =3; (6)a n =n n 2)1(1--; (7)a n =(2 1 )n ; (8)a n =6+n 101 二、讲解新课： 1.数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是 极限配合与技术测量基础练习册 绪论 一、填空题 1、互换性是指制成的的一批零件或部件，不做任 何、、，就能进行装配，并能保证满足机械产品的的一种特性。 2、零件的几何量误差主要包含、、 和等。 3、制定和贯彻是实现互换性的基础，对零件的是保 证互换性生产的重要手段。 二、判断题 1、互换性要求零件具有一定的加工精度。（） 2、零件在加工过程中的误差是不可避免的。（） 3、具有互换性的零件应该是形状和尺寸完全相同的零件。 （） 4、测量的目的只是为了判定加工后的零件是否合格。（） 三、简答题 1、互换性原则对机械制造有何意义？ 2、具有互换性的零件的几何参数是否必须加工成完全一样？ 为什么？ 第一章光滑圆柱形结合的极限与配合 1-1基本术语及其定义 一、填空题 1、零件装配后，其结合处形成包容与被包容的关系，凡统称为 孔，统称伟轴。 2、以加工形成的结果区分孔和轴：在切削过程中尺寸由大变小的为 ，尺寸由小变大的为。 3、尺寸由和两部分组成，如30mm，60um等。 4、零件上实际存在的，通过获得的某一孔、轴的尺寸称 为。 5、允许尺寸变化的两个界限分别是和。 它们是以为基数来确定的。 6、零件的尺寸合格时，其实际尺寸应在和 之间。 7、尺寸偏差可分为和两种，而 又有偏差和偏差之分。 8、孔的上偏差用表示，孔的下偏差用表示；轴的上偏差用 表示，轴的下偏差用表示； 9、当最大极限尺寸等于公称尺寸时，其偏差等于0，当零件的 实际尺寸等于其公称尺寸时，其偏差等于0。 10、零件的减其公称尺寸所得的代数差伟实际偏差，当实际 偏差在和之间时，尺寸合格。 11、尺寸公差是允许尺寸的，因此公差值前不能有 。 12、在公差带图中，表示公称尺寸的一条直线称为。在此线以 上的偏差为，在此线以下的偏差为。 13、尺寸公差带的两个要素分别是和 。 14、相同的，相互结合的孔和轴之间的关系称为配 合。 15、孔的尺寸减去相配合的轴的尺寸之差为时是间隙，为 时是过盈。 16、根据形成间隙或过盈的情况，配合分为、和 三类。 17、最大间隙和最小间隙统称为间隙，他们表示间隙配合中允 许间隙变动的两个。最大间隙是间隙配合中处于最 状态时间隙，最小间隙是间隙配合中处于最状态时的间隙。 18、最大过盈和最小过盈统称为过盈，他们表示过盈配合中允 许过盈变动的两个。最大过盈是间隙配合中处于最 状态时过盈，最小过盈是过盈配合中处于最状态时的过盈。 19、代表过渡配合松紧程度的特征值是和 。 极 限 的 概 念（4月27日） 教学目的：理解数列和函数极限的概念； 教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限； 教学难点：数列和函数极限的理解 教学过程： 一、实例引入： 例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。（1）求第n 天剩余的木棒长度n a (尺)，并分析变化趋势；（2）求前n 天截下的木棒的总长度n b (尺)，并分析变化趋势。 观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数n 无限增大时，数列的项n a 无限趋近于某个常数A （即A a n -无限趋近于0）。n a 无限趋近于常数A ，意指“n a 可以任意地靠近A ，希望它有多近就有多近，只要n 充分大，就能达到我们所希望的那么近。”即“动点n a 到A 的距离A a n -可以任意小。 二、新课讲授 1、数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．． 某个常数A （即A a n -无限趋近于0） ，那么就说数列}{n a 的极限是A ，记作 A a n n =∞ →lim 注：①上式读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于A ”。“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思。A a n n =∞ →lim 有时也记作当n →∞时，n a →A ②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________ ③思考：是否所有的无穷数列都有极限？ 例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由 （1）1， 21，31，…，n 1，… ；（2）21，32，43，…，1 +n n ，…； 轴承公差与配合的基本概念及标注 轴承公差与配合的基本概念及标注 四、配合制(GB/－1997） 同一极限制的孔和轴组成配合的一种制度。国家标准对配合制规定了两种形式：基孔制配合和基轴制配合。 1．基孔制配合 基本偏差为一定的孔的公差带与不同基本偏差的轴的公差带形成各种配合的一种制度，称为基孔制。基孔制配合的孔为基准孔，代号为H，国际规定基准孔的下偏差为零(图14－23）。图14－24表示基孔制的几种配合示意图 图14－23 基孔制 图14－23 基孔制的几种配合示意图 2．基轴制配合 基本偏差为一定的轴的公差带与不同基本偏差的孔的公差带形成各种配合的一种制度，称为基轴制。基轴制配合的轴为基准轴，代号为h，国标规定基准轴的上偏差为零(图14－25）。图14－26表示基轴制的几种配合示意图。 图14－25 基轴制 图14－26 基轴制的几种配合示意图 在一般情况下，优先选用基孔制配合。如有特殊要求，允许将任一孔、轴公差带组成配合。 五、尺寸公差与配合代号的标注 在机械图样中，尺寸公差与配合的标注应遵守国家标准－84）规定，现摘要叙述。 1．在零件图中的标注 在零件图中标注孔、轴的尺寸公差有下列三种形式： （1）在孔或轴的基本尺寸的右边注出公差带代号(图14－27）。孔、轴公差带代号由基本偏差代号与公差等级代号组成(图14－28）。 图14－27 标注公差带代 号图14－28 公差带代号的型式 （2）在孔或轴的基本尺寸的右边注出该公差带的极限偏差数值(图14－），上、下偏差的小数点必须对齐，小数点后的位数必须相同。当上偏差或下偏差为零时，要注出数字“0”，并与另一个偏差值小数点前的一位数对齐(图14－）。 《极限的概念》教学设计 公共教学部数学教研室徐小丽 1、教学内容分析 使用教材： 《高等数学应用教程》，许艾珍主编，北京：航空工业出版社，2010.8第一版。第一章第二节《极限的概念》。 内容分析： 极限描述性概念的形成过程，是学生有感性认识初步上升到理性认识，从而形成、培养理性思维能力的过程。极限思想是高等数学的重要思想方法，也是学习微积分的理论基础。理解极限的概念，对提升学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和严密思维能力都具有积极的意义。2、学生学习情况分析 《高等数学》是学生学习比较困难的学科之一，难学是因为高等数学中的抽象思维对学生的巨大考验。极限的概念是学生接触高等数学后遇到的第一个重点，又是难点，更加增加了学习的困难。 理解好极限的概念，对学生完成从形象思维到抽象思维的转变，从感性认识到理性认识的升华具有重要意义，同时也能增强学生学好高等数学的信心。 教师应注意耐心引导学生充分感受用静态的有限量来刻画动态的无限量的方法和过程，充分利用教材的相关例题对概念进行深化，从而加深学生的认知和理解。 3、设计思想 本教学设计以“任务教学法”为主要框架，将教学目标分解成两大学习任务：知识学习任务和实验认知任务，每项任务由分解成若干个子任务，让学生在接受一项项子任务的过程中完成学习目标，同时每完成一项子任务也能增强学生信心，激发学习动机。 教学过程由“任务驱动”引入，激发学习兴趣；将知识教学内容分为5个子任务，每个子任务为一个知识点，增强学习信心；实验任务分为3个子任务，任务一学会使用极限命令，任务二在实例中体会极限的思想和特点，任务三进一步加深对极限思想的理解，并培养学生通过探索自主学习的能力和对数学的热爱；实验任务分组实现，培养学生的团队合作精神和良性竞争意识。 极 限 的 概 念 知识任务 实验任务数列的极限 函数极限的概念 简单的函数极限讨论 函数极限存在的充要条件 分段函数在分段点处的极限问题 极限命令的应用 连续计息问题—你能成为百万富翁吗？ Koch雪花曲线—一个不可能的结论！ 教 学 目 标 极限配合和技术测量基础 授课教案 教学计划说明： 本课程主要介绍光滑圆柱形结合的极限与配合、技术测量的基本知识及常用计量器具、形状和位置公差、表面粗糙度、螺纹结合的公差和检测等。考虑到学生学过机械制图有一定的基础，况且本课程学时较少，内容较多故主要讲授了前三章内容。 课题：绪论 教学时数：2 学时 授课时间： 教学方法： 讲授法 教学目的与要求： 理解互换性的概念 明确本课程的任务 教学重点与难点： 强调本课程的地位与作用,激发学生的学习兴趣新授内容： 绪论 一、互换性概述 1．互换性的概念 互换性——指机械工业中，制成的同一规格的一批零件或部件，不需作任何挑选、调整或辅助加工，就能进行装配，并能满足机械产品的使用性能要求的一种特性。 互换性的优势：使用和维修方面 加工和装配方面 设计方面 互换性包括：几何参数（如尺寸、形状等）的互换 机械性能（如硬度、强度等）的互换 2．几何量的误差、公差和测量 零件的几何量误差——零件在加工过程中，由于机床精度、计量器具精度、操作工人技术水平及生产环境等诸多因素的影响，其加工后得到的几何参数会不可避免地偏离设计时的理想要求，而产生误差。 几何量误差主要包含：尺寸误差 形状误差 位置误差 表面微观形状误差——表面粗糙度 几何参数的公差——零件几何参数允许的变动量，它包括尺寸公差、形状公差、位置公差等。 只有将零件的误差控制在相应的公差内，才能保证互换性的实现。二、本课程的任务 了解 ?国家标准中有关极限与配合等方面的基本术语及其定义?有关测量的基本知识 ?形位公差的基本内容 ?表面粗糙度的评定标准及基本的检测方法 ?普通螺纹公差的特点 熟悉或理解 ?极限与配合标准的基本规定 ?常用计量器具的读数原理 ?形位公差代号的含义 ?螺纹标记的组成及其含义 掌握 ?极限与配合方面的基本计算方法及代号的标注和识读?常用计量器具的使用方法 ?形位公差代号的标注方法 ?表面粗糙度符号、代号的标注方法 作业布置： P1 一 教后感： 掌握极限与配合基础基本术语和定义 一、判断题 1．极限偏差的数值可以为正、负、零，而公差数值则不能为零。（√） 2. 过渡配合是可能具有间隙或过盈的配合，孔和轴的公差带相互交叠。（√） 3. 实际尺寸是通过测量所得的尺寸，所以实际尺寸是真值。（×） 4. 配合公差越大，配合精度越低；配合公差越小，配合精度越高。（√） 5.零件的实际尺寸小于其基本尺寸则一定不合格。（×） 6.最大实体尺寸等于最大极限尺寸;最小实体尺寸等于最小极限尺寸。（×） 7.零件的公差值可为正、负、零。（×） 8.零件的偏差值可为正、负、零。（√） 9. 通过极精确的测量所得的实际尺寸即为真实尺寸。（×） 10. 零件的极限偏差是用来控制实际偏差的。（√） 11. 按GB键槽属于孔。（√） 12. 对于孔来说，最大实体尺寸就是最大极限尺寸；最小实体尺寸就是 最小极限尺寸。（×） 13.极限偏差控制实际偏差，极限尺寸可控制实际尺寸。（√） 14.在基本尺寸相同的前提下，孔的尺寸公差带在轴的公差带之下则为过盈配 合。（√） 15.公差虽为绝对值，但公差值前面却不能加“+”号。（√） 16.零件的实际尺寸大于其基本尺寸则一定不合格。（×） 17.零件的极限偏差值是可为正、负、零，公差只能为正。（√） 18.平均尺寸是零件加工后要达到的理想尺寸。（×） 19.实际尺寸为基本尺寸，该零件一定合格。（×） 20．零件实际尺寸为即其真值。（×） 21.极限偏差不能控制实际偏差，而极限尺寸可控制实际尺寸。（×） 22. 由于上偏差一定大于下偏差，且偏差可正可负，因而一般情况下，上偏差为正值，下偏差为负值。（×） 23.尺寸公差是尺寸允许的变动量，是用绝对值来定义的，因而它没有正、负的含义。（√） 24.尺寸公差是尺寸允许的变动量，因而当零件的实际尺寸等于其基本尺寸时， §2.1 数列极限的概念 教学目标：使学生建立起数列极限的准确概念；会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题. 教学要求：使学生逐步建立起数列极限的N ε-定义的清晰概念.会应用数列极限 的N ε-定义证明数列的有关命题，并能运用N ε-语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述. 教学重点：数列极限的概念. 教学难点：数列极限的N ε-定义及其应用. 教学方法：讲授为主. 教学过程： 一、组织教学 二、复习引入新课 三、新课讲授 数列极限 对于这个问题，先看两个个例子： 1.割圆术：求圆面积 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” -----------刘徽 2.古代哲学家庄周所著的《庄子. 天下篇》引用过一句话： “一尺之棰，日 A 取其半，万世不竭”.把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）: 第1天截下 12 ， 第2天截下2111 222 ?=， 第3天截下23111 222?=， 第n 天截下1111 222n n -?=， 得到一个数列： 231111 ,,,,,2222 n 不难看出，数列12n ?? ???? 的通项12n 随着n 的无限增大而无限地接近于零. 普通定义：一般地说，对于数列{}n a ，若当n 无限增大时，n a 能无限地接近某一个常数a ，则称此数列为收敛数列，常数a 称为它的极限.不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列. 据此可以说，数列12n ?? ???? 是收敛数列，0是它的极限. 数列{}{}21,1(1)n n ++-都是发散的数列. 需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性”的说法，如何用数学语言把它精确地定义下来.还有待进一步分析. 以11n ?? +???? 为例，可观察出该数列具以下特性： 随着n 的无限增大，1 1n a n =+ 无限地接近于1→随着n 的无限增大，11n +与 1的距离无限减少→随着n 的无限增大，1|11|n +-无限减少→1 |11|n +-会任意小，只要n 充分大. 如：要使1 |11|0.1n + -<，只要10n >即可； 山东英才职业技工学校 （理论教案） 课程名称：极限配合与技术测量基础 授课班级： 授课教师：傅丽云 教学内容：绪论 教学目的和要求： 本模块作为本课程的开篇,通过对互换性的讲解,引出了全课程的内容,因此教学中要充分利用趣味性来引导学生对本课程特点的理解,提高学生的学习积极性.为此提出如下要求： 1. 了解互换性的含义； 2. 懂得学习《极限配合与技术测量基础》的重要性。 教学重点及难点： （１）掌握互换性的概念及其在机械制造业中的应用。 （２）掌握加工误差与公差之间的关系。 （３）理解标准化与计量、优先数的概念。 教学方法：; 讨论讲述教学法：演示教学法：启发教学法教学安法。教学过程：课题引入： 一、概述 换性是互现代化生产的一个重要技术原则，它普遍应用于机电设备的生产中。 在日常生活中，互换性的例子也很多。如自行车的内、外胎破了，可以换上同规格的新胎，机器设备零部件突然损坏时，可迅速用相 同规格的零部件更换。 讲述相关知识点： 1、互换性的含义: 在机械工业中,互换性是指制成的同一规格的一批零件或部件,不需作任何挑选,调整或辅助加工(如钳工修配),就能进行装配, 并能满足机械产品的使用性能要求的一种特性。例：同型号的轴 承、光管、螺钉等等。 互换性内容：几何参数，力学性能，物理化学性能等方面。 2、作用 有利于组织专业化协作。 有利于用现代化工艺装配。 有利于采用流水线和自动线生产方式。 提高生产效率，降低成本，延长机器使用寿命。 3、分类 ①完全互换性：若零件在装配或更换时，不作任何选择， 不需调整或修配，就能满足预定的使用要求，则成为完全互换 性（当不限定互换范围时，称为完全互换法，也叫绝对互换法）。 ②不完全互换性：由于某种特殊原因只允许零件在一定范 第一章 函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系 式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极 限之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A ={a , b , c , d , e , f , g }. 描述法: 若集合M 是由元素具有某种性质P 的元素x 的全体所组成, 则M 可表示为 A ={a 1, a 2, ? ? ?, a n }, M ={x | x 具有性质P }. 例如M ={(x , y )| x , y 为实数, x 2+y 2=1}. 几个数集: N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N ={0, 1, 2, ? ? ?, n , ? ? ?}. N +={1, 2, ? ? ?, n , ? ? ?}. R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z ={? ? ?, -n , ? ? ?, -2, -1, 0, 1, 2, ? ? ?, n , ? ? ?}. Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. },|{互质与且q p q Z p q p +∈∈=N Q 子集: 若x ∈A , 则必有x ∈B , 则称A 是B 的子集, 记为A ?B (读作A 包含于B )或B ?A . 如果集合A 与集合B 互为子集, A ?B 且B ?A , 则称集合A 与集合B 相等, 记作A =B . 若A ?B 且A ≠B , 则称A 是B 的真子集, 记作A ≠?B . 例如, N ≠?Z ≠?Q ≠?R . 不含任何元素的集合称为空集, 记作?. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 或者属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集(简称并), 记作A ?B , 即 A ? B ={x |x ∈A 或x ∈B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有既属于A 又属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集(简称交), 记作A ?B , 即 A ? B ={x |x ∈A 且x ∈B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 而不属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的差集(简称差), 记作A \B , 即 A \ B ={x |x ∈A 且x ?B }. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中进行, 所研究的其他集合A 都是I 的子集. 此时, 我们称集合I 为全集或基本集. 称I\A 为A 的余集或补集, 记作A C . 集合运算的法则: 设A 、B 、C 为任意三个集合, 则 (1)交换律A ?B =B ?A , A ?B =B ?A ; (2)结合律 (A ?B )?C =A ?(B ?C ), (A ?B )?C =A ?(B ?C ); (3)分配律 (A ?B )?C =(A ?C )?(B ?C ), (A ?B )?C =(A ?C )?(B ?C ); 《高等数学》——数列极限 教学过程设计 A 、【课前准备】1、安排学生提前预习本节内容。 2、分组：4～6人为一个学习小组，确定一人为组长。教师需要做好协调工作，确保每位学生都参加。 B 、【组织教学】 检查学生出勤情况，填写教学日志，教材、用具准备等（2分钟） C 、【复习回顾】 数列的定义（2分钟） D 、【教学内容、方法和过程】接下表 教师活动 学 生 活 动 设计意图 (一) 结合实际，情景导入(时间4分钟） 导入1、战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭” 也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去 导入2、三国时的刘徽提出的“割圆求周”的方法.他把圆周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、··· 这样继续分割下去,所得多边形的周长就无限接近于圆的周长. 教师引入：不论是庄周还是刘徽，在他们的思想中都体现了一种数列极限思想，今天我们来学习数列极限。 【学情预设】：有的学生可能没体会到情景导入的目的，教师最后要总结导入中蕴含的数学思想。 (二)归纳总结,形成概念: (时间9分钟） 1．提出问题：分析当无限增大时，下列数列的项的变化趋势及共同特征. （1）１，21，31，41…n 1…递减 （2）递增 （3）摆动 2．解决问题：[共同特征]不论这些变化趋势如何，随着项数的无限增大，数列的项无限地趋近于常数.（即无限地接近于0） 3．强化认识：（学生回答）观察下面三个数列 ：分析当n 无限 增大时，下列数列的项 的变化趋势 （1）1， （2）0.9, 0.99, 0.999, 0.9999……… 学生参 与，思 考，感 受 学生参与，思 考 问题，在 老师的引导下对数 列极限知识有一个 形象化的 了解。 通过讨 论，学生 了解以研究函数值 的变化趋 势的观点研究无穷数列，从 而体会发现数列极限的过程 这一阶段 的教学 中，采取 “启发式 谈话法” 与“启发 式讲解法”， 注 意不“一 次到位” 通过介绍我国古代哲学家庄周和刘徽，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感，并使他们对数列极限知识有一个形象化的了解。同时为学习新知识做准备，使学生更好的承上启下。 （一）概念探索阶段” 在这一阶段的教学中，由于注意到学生在开始接触数列极限这个概念时，总是以静止的观点来理解这个描述变化过程的动态概念，总觉得与以 前知识相比，接受起来有困难，似乎这个概念是突然产生的，甚至于不明概念所云，故我极限配合与技术测量总复习(沈学勤版含习题答案).
(完整版)《数列的极限》教学设计
配合物的基本概念
精密加工零件公差配合的基本概念
【精品】高中数学新课 极限 教案 (9)
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