考研数学一历年真题完整版

2000年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)

=_____________.

(2)曲面2

2321x y z ++=在点(1,2,2)--的法线方程为_____________. (3)微分方程30xy y '''+=的通解为_____________.

(4)已知方程组12312

112323120x a x a x ????????????+=????????????-??????

无解,则a = _____________. (5)设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1

,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,则()P A =_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当

a x

b <<时,有

(A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x >

(C)()()()()f x g x f b g b >

(D)()()()()f x g x f a g a >

(2)设22221:(0),S x y z a z S ++=≥为S 在第一卦限中的部分,则有 (A)1

S xdS xdS =????

(B)1

S ydS xdS =????

(C)

S zdS xdS =????

(D)

S xyzdS xyzdS =????

(3)设级数

n u

∞

=∑收敛,则必收敛的级数为

(A)1

(1)n

n n u

n ∞

=-∑

(B)

n u

∞

=∑

(C)

()n n n u

u ∞

-=-∑

(D)

()n

n n u

u ∞

+=+∑

(4)设n 维列向量组1,,()m m n <ααL 线性无关,则n 维列向量组1,,m ββL 线性无关的充分必要条件为

(A)向量组1,,m ααL 可由向量组1,,m ββL 线性表示 (B)向量组1,,m ββL 可由向量组1,,m ααL 线性表示

(C)向量组1,,m ααL 与向量组1,,m ββL 等价 (D)矩阵1(,,)m =A ααL 与矩阵1(,,)m =B ββL 等价

(5)设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,则随机变量X Y ξ=+与 X Y η=-不相关的充分必要条件为

(A)()()E X E Y =

(B)2

()[()]()[()]E X E X E Y E Y -=-

()()E X E Y =

(D)22

()[()]()[()]E X E X E Y E Y +=+

三、(本题满分6分)

求142e sin lim(

).1e

x x

→∞

四、(本题满分5分)

设(,)()x x z f xy g y y =+,其中f 具有二阶连续偏导数,g 具有二阶连续导数,求2.z

x y

???

五、(本题满分6分)

计算曲线积分224L xdy ydx I x y -=

+??,其中L 是以点(1,0)为中心,R 为半径的圆周(1),

R >取逆时针方向.

六、(本题满分7分)

设对于半空间0x >内任意的光滑有向封闭曲面,S 都有

2()()e

0,x

xf x dydz xyf x dzdx zdxdy --=??ò其中函数()f x 在(0,)+∞内具有连续的一阶

导数,且0

lim ()1,x f x +

→=求()f x .

七、(本题满分6分) 求幂级数113(2)

n n

n x n ∞

=+-∑的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.

八、(本题满分7分)

设有一半径为R 的球体0,P 是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到

0P 距离的平方成正比(比例常数0k >),求球体的重心位置.

九、(本题满分6分)

设函数()f x 在[0,]π上连续,且

()0,()cos 0.f x dx f x xdx π

==?

?试证:在(0,)π内至

少存在两个不同的点12,,ξξ使12()()0.f f ξξ==

十、(本题满分6分)

设矩阵A 的伴随矩阵*10000100,

100308?????

?=???

?-??

A 且113--=+ABA BA E ,其中E 为4阶单位矩阵,求矩阵

B .

十一、(本题满分8分)

某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将

熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有

成为熟练工.设第n 年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为n x 和,n y 记成向

量.n n x y ??

???

(1)求11n n x y ++??

???与n n x y ??

??的关系式并写成矩阵形式:11.n n n n x x y y ++????= ? ?????

A (2)验证1241,11-????

== ? ?????ηη是A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.

(3)当111212x y ??

??= ? ? ?

?? ???

时,求11.n n x y ++?? ???

十二、(本题满分8分)

某流水线上每个产品不合格的概率为(01)p p <<,各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X ,求X 的数学期望()E X 和方差()D X .

十三、(本题满分6分)

设某种元件的使用寿命X 的概率密度为2()2e (;)0

x x f x x θθ

θθ-->?=?≤?,其中0θ>为未知

参数.又设12,,,n x x x L 是X 的一组样本观测值,求参数θ的最大似然估计值.

2001年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)设e (sin cos )(,x

y a x b x a b =+为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.

(2)222z y x r ++=

,则(1,2,2)

div(grad )

r -= _____________.

(3)交换二次积分的积分次序:

--01

),(y dx y x f dy ＝_____________.

(4)设24+-=A A E O ,则1

(2)--A E = _____________.

(5)()2D X =,则根据车贝晓夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P _____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y '=的图形为

(A) (B)

(2)设),(y x f 在点(0,0)的附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f 则 (A)(0,0)|3dz dx dy =+

(B)曲面),(y x f z =在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1}

(C)曲线

(,)

z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}

(D)曲线 (,)

z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}

(3)设0)0(=f 则)(x f 在x =0处可导?

(A)20(1cos )

lim h f h h

→-存在

(B) 0(1e )

lim h h f h

→-存在

(sin )

lim

h f h h h →-存在

(D)h

h f h f h )

()2(lim

-→存在

(4)设11114

001

1110

000,1111000011110

0????

?== ? ? ?

?????

A B ,则A 与B (A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似

(D)不合同且不相似

(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 相关系数为

(A) -1 (B)0

(C)

(D)1

三、(本题满分6分)

求2arctan e e x

dx ?.

四、(本题满分6分) 设

函

数

),(y x f z =在点(1,1)可

微,且

3)1,1(,2)1,1(,1)1,1(='='=y x f f f ,)),(,()(x x f x f x =?,求

)(=x x dx

d ?.

五、(本题满分8分)

设()f x = 21arctan 0

x x x x x +≠=,将)(x f 展开成x 的幂级数,并求∑∞

=--12

41)1(n n n

的和.

六、(本题满分7分) 计算222222()(2)(3)L

I y z dx z x dy x y dz =

-+-+-??,其中L 是平面 2=++z y x 与柱面1=+y x 的交线,从Z 轴正向看去,L 为逆时针方向.

七、(本题满分7分)

设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f .证明:

(1)对于)1,0()0,1(Y -∈?x ,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使 )(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立.

(2)5.0)(lim 0

=→x x θ.

八、(本题满分8分)

设有一高度为t t h )((为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程

)

()

(2)(22t h y x t h z +-

=(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间?

九、(本题满分6分)

设12,,,s αααL 为线性方程组=AX O 的一个基础解系,

1112221223121,,,s s t t t t t t =+=+=+βααβααβααL ,

其中21,t t 为实常数,试问21,t t 满足什么条件时12,,,s βββL 也为=AX O 的一个基础解系?

十、(本题满分8分)

已知三阶矩阵A 和三维向量x ,使得2

,,A A x x x 线性无关,且满足3232=-A A A x x x .

(1)记2

(,,),=P A A x x x 求B 使1

-=A PBP .

(2)计算行列式+A E .

十一、(本题满分7分)

设某班车起点站上客人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为(01),p p <<且中途下车与否相互独立.Y 为中途下车的人数,求:

(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率. (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布.

十二、(本题满分7分)

设2

~(,)X N μσ抽取简单随机样本122,,,(2),n X X X n ≥K

样本均值∑==n

i i X n X 2121,∑=+-+=n

i i n i X X X Y 1

2)2(,求().E Y

2002年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)

∞+e

x dx

2ln = _____________.

(2)已知2

e 610y

xy x ++-=,则(0)y ''=_____________. (3)02

='+''y y y 满足初始条件1

(0)1,(0)2

y y '==

的特解是_____________. (4)已知实二次型3231212322

21321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可化为标准型2

16y f =,则a =_____________.

(5)设随机变量),(~2

σμN X ,且二次方程042

=++X y y 无实根的概率为0.5,则

μ=_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)考虑二元函数),(y x f 的四条性质:

①),(y x f 在点),(00y x 处连续, ②),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数连续, ③),(y x f 在点),(00y x 处可微, ④),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数存在. 则有:

(A)②?③?① (B)③?②?① (C)③?④?①

(D)③?①?④

(2)设0≠n u ,且1lim

=∞→n

n u n ,则级数)11()1(11+++-∑n n n u u 为

(A)发散

(B)绝对收敛

(C)条件收敛

(D)收敛性不能判定.

(3)设函数)(x f 在+

R 上有界且可导,则 (A)当0)(lim =+∞

→x f x 时,必有0)(lim ='+∞

→x f x

(B)当)(lim x f x '+∞

→存在时,必有

0)(lim ='+∞

→x f x

→x f x 时,必有0)(lim 0='+

→x f x (D) 当)(lim 0x f x '+

→存在时,必有

0)(lim 0='+

→x f x .

(4)设有三张不同平面,其方程为i i i i d z c y b x a =++(3,2,1=i )它们所组成的线性方程

组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为

(5)设X 和Y 是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(x f X 和)(y f Y ,分布函数分别为)(x F X 和)(y F Y ,则

(A))(x f X ＋)(y f Y 必为密度函数 (B) )(x f X )(y f Y 必为密度函数 (C))(x F X ＋)(y F Y 必为某一随机变量的分布函数 (D) )(x F X )(y F Y 必为某一随机变量的分布函数.

三、(本题满分6分)

设函数)(x f 在0x =的某邻域具有一阶连续导数,且0)0()0(≠'f f ,当0→h 时,若

)()0()2()(h o f h bf h af =-+,试求b a ,的值.

四、(本题满分7分) 已知两曲线)(x f y =与2

arctan 0

e x t y dt -=?

在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并

求极限)2(lim n

nf n ∞

→.

五、(本题满分7分) 计算二重积分

2max{,}

e x y D

dxdy ??,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D .

六、(本题满分8分)

设函数)(x f 在R 上具有一阶连续导数,L 是上半平面(y >0)内的有向分段光滑曲线,起点为(b a ,),终点为(d c ,).