2013年工程矩阵理论期末试题A卷

杭州电子科技大学研究生考试卷（A 卷）

课程名称： 工程矩阵理论

1. 在R

2?2

中，求矩阵A=a

b c d ?????

?在基

12341001000000001001????????====????????????????

E E E E ，，，下的坐标.

2. 设R [x ]4是所有次数小于4的实系数多项式组成的线性空间，求多项式p (x ) = 1+2x 3在基

1，x -1，(x -1)2，(x -1)3下的坐标.

3. 设1V 和2V 是线性空间 V 的两个子空间。证明维数公式：

121212dim dim dim()dim()V V V V V V +=++

4. 已知矩阵A 相似与矩阵B ，证明：trace(AB ) = trace(BA ).

5. 已知矩阵A = ???

?

?

?????-311111002，（1）求多项式

2012()p λαλαλα=++使得

2012()At p A A A I e ααα=++= （2）说明多项式()p λ是二次多项式的理由

（3）利用（1） 的结果计算At

e .

6. 利用初等变换把λ-矩阵

2

(1)0

00000(1)λλλλ+??????

+????

化为 Smith 标准型。

7. 已知矩阵A = ????

?

?????-00i 001i 10，

（1）A 是对称矩阵还是反对称矩阵，或者都不是？

（2）A 是Hermite 矩阵还是反Hermite 矩阵，或者都不是？ （3）A 是正规矩阵吗？A 可对角化吗？A 可酉对角化吗？ （4）求酉矩阵U 使U H

AU 为对角矩阵.

8.设矩阵A 的奇异值分解为：

000H A U V ∑??=?

???

其中1{,

,}r diag σσ∑=验证1000H A V U +-??∑=????

是矩阵A 的Penrose-Moore 逆。

9．证明矩阵A 的谱范数2||

||A 等于矩阵A 的最大奇异值。

10. 证明: ()()A B C D AC BD ??=?

11. 设矩阵A 和B 都是方阵证明：()Tr A B TrA TrB ?=?

12. ??

?

???=4.05.05.03.0A ，（1）求1A 、2A 和∞

A

；（2）判断序列A k

的敛散性；（3）求∑∞

=0

k k A

13. 证明：矩阵H

H

H

H

AA BB AB BA +--是半正定矩阵。

14. 证明矩阵A 的特征子空间是A-不变子空间。

15. 设矩阵A 是秩为3的5阶投影矩阵，求（1）矩阵A 特征多项式（2）矩阵A 所有初等因子 （3）矩阵A 的最小多项式 （4）矩阵A 的Jordan 标准型.

16. 叙述并证明欧氏空间中的Cauchy-Schwarz 不等式。