中考数学动点问题复习.docx
中考数学复习（一）动点型问题
一、中考专题诠释
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点, 它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目
决这类问题的关键是动中求静, 灵活运用有关数学知识解决问题.
. 解
“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、
推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。
二、解题策略和解法精讲
解决动点问题的关键是“动中求静”.
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，
来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。在动点的运动过程中观察图形的变
化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思
路 , 这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
三、中考考点精讲
考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）
函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律, 是初中数学的重要内容. 动点问题反映的是一种函数思想
于某一个点或某图形的有条件地运动变化, 引起未知量与已知量间的一种变化关系, 这种变化关系就是动点问题中的函数关系 .
例 1 如图，动点P 从点 A 出发，沿线段AB运动至点 B 后，立即按原路返回，点P 在运动过程中速度不变，则以点
为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S 与点 P 的运动时间t 的函数图象大致为（）, 由B
A．B．C．D．
对应训练
1．如图，⊙ O 的圆心在定角∠α（ 0°＜α＜ 180°）的角平分线上运动，且⊙
面积 S 关于⊙ O的半径r （ r ＞ 0）变化的函数图象大致是（）
O 与∠α 的两边相切，图中阴影部分的
A．B．C．D．
考点二：动态几何型题目
（一）点动问题．
例2 如图，梯形 ABCD中， AB∥ DC， DE⊥ AB， CF⊥ AB，且 AE=EF=FB=5， DE=12动点 P 从点 A 出发，沿折线 AD-DC-CB以每秒 1 个单位长的速度运动到点 B 停止．设运动时间为t 秒， y=S△EPF，则 y 与 t的函数图象大致是（）
A．B．C．D．
对应训练
2．如图，点P 是以 O为圆心， AB 为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP的长
为x，△ APO的面积
为
y，则下列图象中，
能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（）
A．B．C．D．
（二）线动问题
例 3 如右图所示，已知等腰梯形ABCD， AD∥ BC，若动直线l 垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP
为
x，则S 关于x 的函数图象大致是（）
A．B．C．D．
对应训练
3．如图所示，在矩形ABCD中，垂直于对角
线BD的直
线
l ，从点 B 开始沿着线段BD 匀速平移到D．设直线l 被矩形所
截线段EF 的长度为y，运动时间为t ，则y 关于t的函数的大致图象是（）
A．B．C．D．（三）面动问题
例 4 如图所示：边长分别为大正方形，设穿过的时间为1 和 2 的两个正方形，其中一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过
t ，大正方形内去掉小正方形后的面积为s，那么 s 与 t 的大致图象应为（）
A．B．C．D．对应训练
4．如图所示，半径为 1 的圆和边长为间为 t ，正方形除去圆部分的面积为
3 的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，
S（阴影部分），则 S 与 t 的大致图象为（）
设穿过时
A．B．C．D．
考点三：动点综合题
动态问题是近几年来中考数学的热点题型，解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题, 挖掘运动、变化的全过程, 并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系, 动中取静, 静中求动.
（一）因动点产生的等腰三角形问题
例 1 如图 1，在 Rt △ABC中，∠A＝ 90°，AB＝ 6，AC＝ 8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点 Q为边 AC上的一动点，且∠ PDQ＝90°．
（1）求ED、EC的长；
（2）若BP＝ 2，求CQ的长；
（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．
图1 备用图
例 2 如图 1，抛物线y＝ ax2＋ bx＋ c 经过 A(－1,0)、 B(3,0)、C(0,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（ 3）在直线l 上是否存在点M，使△ MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点
在，请说明理由．
M的坐标；若不存
图1
例3 如图 1，点A在x轴上，OA＝ 4，将线段OA绕点O顺时针旋转 120 °至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；
（ 3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、 O、 B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
图 1
例 4 如图 1，已知一次函数y＝－ x＋7与正比例函数y 4
x的图象交于点A，且与 x 轴交于点 B．3
（1）求点A和点B的坐标；
（ 2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l //y 轴．动点 P 从点 O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O— C — A 的路线向点 A 运动；同时直线l 从点 B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交 x 轴于点 R，交线段 BA 或线段 AO于点 Q．当点 P 到达点 A 时，点 P 和直线 l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为 t 秒．
①当 t 为何值时，以A、 P、 R 为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以、、
Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求
t
的值；若不存在，请说明理由．
A P
图1
例5 如图 1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于 0 的常数），BC＝ 8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作 EF⊥ DE， EF与射线 BA交于点 F，设 CE＝ x， BF＝ y．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若m＝ 8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
12
（3）若y，要使△ DEF为等腰三角形，m的值应为多少？m
图1
例6 如图 1，在等腰梯形ABCD中，AD// BC，E是AB的中点，过点E作EF// BC交CD于点F，AB＝ 4，BC＝ 6，∠B＝ 60°．（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交BC于M，过M作MN// AB交折线ADC于N，连结PN，设EP
＝ x．
①当点 N在线段 AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理
由；
②当点
N 在线段上时（如图3），是否存在点，使△为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的
x
的DC P PMN
值；若不存在，请说明理由．
图1 图 2 图 3
因动点产生的直角三角形问题例 1 如图 1，抛物线y 1 x23
x 4 与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连结BC，以BC
42
为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点 P 是 x 轴上的一个动点，设点P的坐标为( m,0)，过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点Q．
（ 1）求点A、B、C的坐标；
（ 2）当点 P 在线段 OB 上运动时，直线 l 分别交 BD 、BC 于点 M 、N ．试探究 m 为何值时，四边形 CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形 CQBM 的形状，并说明理由； （ 3）当点 P 在线段
存在，请说明理由．
图 1
EB 上运动时，是否存在点
Q ，使△ BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点
Q 的坐标；若不
例 2 如图 1，抛物线
y
3
x
2
3
x 3 与 x 轴交于 A 、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C ．
8
4
（ 1）求点 A 、 B 的坐标；
（ 2 ）设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△
ACD 的面积等于△ ACB 的面积时，求点 D 的坐标； （ 3 ）若直线 l 过 点 E (4,0) ， M 为直线 l 上的动点，当以 A 、 B 、 M 为顶点所作的直角三角形有且只有 三个时，求
．．．． 直线 l 的解析式．
图 1
例 3 在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数
y ＝ k ( x 2＋ x － 1) 的图象交于点 A (1, k ) 和点 B( － 1, － k ) ．
（ 1 ）当 k ＝－ 2 时，求反比例函数的解析式；
（ 2 ）要使反比例函数与二次函数都是
y 随 x 增大而增大，求 k 应满足的条件以及 x 的取值范围；
（ 3 ）设二次函数的图象的顶点为 ，当△
是以 为斜边的直角三角形时，求 k 的值．
Q
ABQ
AB
例 4 设直线 l
： y ＝ k
x ＋ b 与 l
2
： y ＝ k
x ＋ b ，若 l
⊥ l 2，垂足为 H ，则称直线 l 1与 l 2是点 H 的直角线．
1
1
1
2
2
1
（ 1 ）已知 直线① y
1 x
2 ；② y x
2 ；③ y 2 x 2 ；④ y 2 x 4 和点 C (0 ，2) ，则直线 _______ 和 _______
2
是点 C 的直角线（填序号即可） ；
（ 2 ）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形 OABC 的顶点 A (3 ， 0) 、 B (2 ， 7) 、 C (0 ， 7) ， P 为线段 OC 上一点，设 过 B 、P 两点的直线为 l 1 ，过 A 、 P 两点的直线为 l 2，若 l 1 与 l 2 是点 P 的直角线，求直线 l 1 与 l 2 的解析式．
图 1
例 5 在平面直角坐标系
xOy 中，抛物线 y
m 1 x 2 5m x m 2 3m 2 与 x 轴的交点分别为原点 O 和点 A ，点
4 4
B (2, n ) 在这条抛物线上．
（ 1）求点 B 的坐标；
（ 2）点 P 在线段 OA 上，从点 O 出发向点 A 运动，过点 P 作 x 轴的垂线，与直线
OB 交于点 E ，延长 PE 到点 D ，
使
得 ＝ ，以 PD 为斜边，在 PD 右侧作等腰直角三角形 （当点 P 运动时，点 、 D 也随之运动） ．
ED
PE
PCD
C
①当等腰直角三角形
PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时，求 OP 的长；
②若点
P 从点 O 出发向点 A 作匀速运动， 速度为每秒 1 个单位， 同时线段 上另一个点
Q 从点
A 出发向点
O 作匀
OA
速运动，速度为每秒
2 个单位（当点 Q 到达点 O 时停止运动，点 P 也停止运动） ．过 Q 作 x 轴的垂线，与直线 AB 交于
点 F ，延长 QF 到点 M ，使得 FM ＝ QF ，以 QM 为斜边，在 QM 的左侧作等腰直角三角形 QMN （当点 Q 运动时，点 M 、N 也随
之运动）．若点 P 运动到 t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻
t 的值．
图 1
例 6 如图 1，已知 、 是线段 上的两点，
MN 4 ， MA 1 ， MB 1 ．以
A 为中心顺时针旋转点 ，以
为中心
A B MN
MB
逆时针旋转点 N ，使 M 、 N 两点重合成一点 C ，构成△ ABC ，设 AB x ．
（ 1）求 x 的取值范围；
（ 2）若△
为直角三角形，求 x 的值；
ABC
（ 3）探究：△ ABC 的最大面积？
图 1
例 7 如图 1，直线
4
x 4 和 x 轴、 y 轴的交点分别为 B 、 C ，点 A 的坐标是（ -2 ， 0）．
y
3
（ 1）试说明△
是等腰三角形；
ABC
（ 2）动点 M 从 A 出发沿 x 轴向点 B 运动，同时动点 N 从点 B 出发沿线段 BC 向点 C 运动，运动的速度均为每秒1
个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设 运动 t 秒时，△ 的面积为 ．
M
MON S
①求 S 与 t 的函数关系式；
②设点 M 在线段 OB 上运动时，是否存在 S ＝ 4 的情形？若存在，求出对应的
t 值；若不存在请说明理由；
③在运动过程中，当△ 为直角三角形时，求 t
的值．
MON
图 1
例 8 如图 1，直线y4 4 和x轴、y轴的交点分别为B、 C，点 A 的坐标是（-2，0）．
x
3
（ 1）试说明△ABC是等腰三角形；
（ 2）动点M
从A 出发沿x轴向点 B 运动，同时动点N 从点 B 出发沿线段BC向
点
C运动，运动的速度均为每
秒
1
个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运
动t秒时，△MON的面积
为
S．
①求S 与t的函数关系式；
②设点 M在线段 OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；
③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t 的值．
图1
课后练习（一）
一、选择题
1．如图， Rt △ ABC中，∠ ACB=90°，∠ ABC=60°，BC=2cm，D 为 BC的中点，若动点
E 以 1cm/s 的速度从 A 点出发，沿
着 A→B→A的方向运动，设 E 点的运动时间为t 秒（0≤t ＜ 6），连接 DE，当△ BDE是直角三角形时，t 的值为（）
A． 2B． 2.5或 3.5C ． 3.5或4.5D． 2 或 3.5或4.5
2．图 1 所示矩形ABCD中， BC=x，CD=y，y 与 x 满足的反比例函数关系如图 2 所示，等腰直角三角形AEF的斜边 EF 过C 点， M为 EF 的中点，则下列结论正确的是（）
A．当 x=3 时， EC＜ EMB．当 y=9 时， EC＞EM
C．当 x 增大时， ECCF的值增大D．当 y 增大时， BEDF的值不变
3．如图，将边长为 4 的正方形ABCD的一边 BC与直角边分别是 2 和 4 的 Rt △ GEF的一边 GF重合．正方形 ABCD以每秒
1 个单位长度的速度沿GE向右匀速运动，当点 A 和点 E 重合时正方形停止运动．设正方形的运动时间为t 秒，正方形ABCD与 Rt △ GEF重叠部分面积为s，则 s 关于 t 的函数图象为（）
A．B．C．D．
4．如图，在平面直角坐标系xOy 中， A（ 0，2），B（ 0， 6），动点 C 在直线 y=x 上．若以 A、 B、 C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点 C 的个数是（）
A． 2B． 3C． 4D． 5
5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点 A、 B 的坐标分别为（ 8， 0）、（ 0， 6）．动点 Q从点 O、动点 P 从点
A 同时出发，分别沿着OA方向、 AB方向均以 1个单位长度 / 秒的速度匀速运动，运动时间为t （秒）（ 0＜t ≤5）．以 P 为圆心， PA 长为半径的⊙ P 与 AB、 OA的另一个交点分别为C、 D，连接 CD、 QC．
（ 1）求当 t 为何值时，点Q 与点 D 重合？
（ 2）设△ QCD的面积为 S，试求 S 与 t 之间的函数关系式，并求S 的最大值；
（ 3）若⊙ P 与线段 QC只有一个交点，请直接写出t 的取值范围．
6．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点 A 的坐标为（ 0， 4），点 B 的坐标为（ 4， 0），点 C 的坐标为（ -4 ，0），点 P 在射线 AB上运动，连结CP与 y 轴交于点 D，连结 BD．过 P，D，B 三点作⊙ Q 与 y 轴的另一个交点为 E，延长
DQ交⊙ Q于点 F，连结 EF，
BF．
（1）求直线 AB 的函数解析式；
（2）当点 P 在线段 AB（不包括 A， B 两点）上时．①
求证：∠ BDE=∠ ADP；
②设 DE=x， DF=y．请求出 y 关于 x 的函数解析式；
（ 3）请你探究：点P 在运动过程中，是否存在以B， D，F 为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2： 1？如果存在，求出此时点P 的坐标：如果不存在，请说明理由．
7. 如图，直角梯形OABC中， AB∥ OC， O为坐标原点，
点 A 在 y 轴正半轴上，点 C 在 x 轴正半轴上，点
B坐标为(2，
2
3) ，∠BCO＝60 °，OH⊥BC于点H。动点P从点H出发，沿线
段HO向点 O运动，动点Q从点 O出发，沿线段 OA向点
A 运动，两点同时出发，速度都为每秒 1 个单位长度。设点P运动的时间为t 秒。
⑴求 OH的长；
⑵若△的面积为( 平方单位 ) 。求
S 与
t
之间的函数关系式。并求
t
为何值时，△的面积最大，最大值是多少？
OPQ S OPQ ⑶设 PQ与 OB交于点 M。①当△ OPM，为等腰三角形时，求⑵中S 的
值。②探究线段长度的最大值是多少，直接写出结论。
OM
8. 如图，在等腰梯形中，∥，＝＝ 50，＝ 75，＝ 135。点
P 从点
B
出发沿折线段
BA
ABCD AD BC AB DC AD BC
－ AD－ DC以每秒
5个单位长的速度向点 C 匀速运动；点 Q从点 C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运
动，过点 Q向上作射线QK⊥ BC，交折线段 CD－ DA－ AB于点 E。点 P、Q同时开始运动，当点 P 与点 C重合时停止运动，
点 Q也随之停止。设点P、 Q运动的时间是t 秒( t ＞0)。
⑴当点 P到达终点 C时，求 t 的值，并指出此时BQ的长；⑵当点 P
运动到 AD上时， t 为何值能使PQ∥ DC？
⑶设射线QK扫过梯形ABCD的面积为 S，分别求出点 E 运动到 CD、DA上时， S 与 t 的函数关系式；( 不必写出t 的取值
范围 )
⑷△能否成为直角三角形？若能，写出
t 的取值范围；若不能，请说明理由。
PQE
9. 如图所示，直角梯形OABC的顶点 A、 C分别在 y 轴正半轴与x 轴负半轴上。过点 B、C 作直线 l 。将直线 l 平移，平
移后的直线
l 与
x
轴交于点，与
y
轴交于点。
D E
⑴将直线
l 向右平移，设平移距离为(
t
≥ 0) ，直角梯形被直线
l
扫过的面积 ( 图中阴影部份 ) 为，关于
t CD t OABC S S
的函数图象如图2所示， OM为线段， MN为抛物线的一部
分，NQ为射线， N 点横坐标为4。①求梯形上底AB 的长及
直角梯形的面积；
OABC
②当 2＜t＜ 4 时，求S关于t的函数解析式；
⑵在第⑴题的条件下，当直线 l向左或向右平移时 ( 包括l与直线BC重合 ) ，在直线AB上是否存在点P，使△PDE为等
腰直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
因动点产生的线段和差问题
例1 在平面直角坐标系中，已知点A(－2,0)， B(0,4)，点 E 在 OB上，且∠ OAE＝∠ OBA．
（1）如图 1 ，求点E的坐标；
（ 2）如图 2，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′ O′，连结 A′ B、 BE′．
①设 AA ′＝ m ，其中 0＜ m ＜ 2，使用含
m 的式子表
示
A ′
B 2 ＋ BE ′ 2，并求出使
A ′
B 2 ＋ BE ′ 2 取得最小值时点
E ′的
坐标；
②当
A ′
B ＋ BE ′取得最小值时，求点
E ′的坐标（直接写出结果即可）
．
图 1 图 2
例 2 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ ax 2＋ bx ＋ c 经过 A ( － 2, － 4) 、 O (0,0) 、
（ 1）求抛物线 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c 的解析式；
（ 2）若点 M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM ＋ OM 的最小值．
图 1
例 3 如图
1，在平面直角坐
标系中，抛物线
y ＝－ x 2＋ 2x ＋ 3
与 x
轴交于 A 、B 两点，与 y 轴交于点 C ，点
D 是抛物线的
顶点．
（ 1）求直线
AC 的解析式
及
B 、 D 两点的坐标；
（ 2）点 P 是 x 轴上的一个动点，过
P 作直线 l // AC 交抛物线于点 Q ．试探究：随着点 P 的运动，在抛物线上是否
存在点 Q ，使以 A 、 P 、 Q 、 C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点
Q 的坐标；若不存在，
请说明理由；
（ 3）请在直线 AC 上找一点 M ，使△ BDM 的周长最小，求出点 M 的坐标．
图 1
因动点产生的面积问题
例 1 如图 1，已知抛物线 y
1 x
2 bx c （ b 、 c 是常数，且 c ＜0）与 x 轴交于 A 、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与
2
y 轴的负半轴交于点
，点
A 的坐标为 ( － 1,0) ．
C
（ 1） b ＝ ______，点 B 的横坐标为 _______ （上述结果均用含
c 的代数式表示） ；
（ 2）连结
，过点 A 作直线 // ，与抛物线交于点
．点 D 是 x 轴上一点，坐标为 (2,0) ，当 、 、 三点在
BC AE BC
E C D E
同一直线上时，求抛物线的解析式；
（ 3）在（ 2）的条件下，点 P 是 x 轴下方的抛物线上的一动点，连结
PB 、 PC ．设△ PBC 的面积为 S ．
①求 S 的取值范围；
②若△ PBC 的面积 S 为正整数，则这样的△ PBC 共有 _____个．
图 1
例 2 如图 1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶 点为 A (0,1) 、 B (2,0) 、O (0,0) ，将此三角板绕原点
O 逆
时针旋转 90°，得到三角形 A ′ B ′ O ．
（ 1）一抛物线经过点 ′、 ′、 ，求该抛物线的解析式；
A B B
（ 2）设点 P 是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点 P ，使四边形 PB ′A ′ B 的面积是△ A ′ B ′ O 面积的 4
倍？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（ 3）在（ 2）的条件下，试指出四边形PB ′ A ′ B 是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．
图 1
1 2
例 3 如图 1，在平面直角坐标系中，直线y x 1 与抛物线 y ＝ ax ＋ bx － 3 交于 A 、 B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 的
2
纵坐标为 3．点
P 是直线
下方的抛物线上的一动点（不与点 、 重合），过点
P 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 ，作
AB
A B
C
PD ⊥ AB 于点 D ．
（ 1）求 a 、 b 及 sin ∠ ACP 的值；
（ 2）设点 P 的横坐标为 m ． ①用含 m 的代数式表示线段 PD 的长，并求出线段 PD 长的最大值；
②连结，线段
把△
分成两个三角形，是否存在适合的
m 的值，使这两个三角形的面积比为
9∶ 10 ？若存
PB PC PDB
在，直接写出 m 的值；若不存在，请说明理由．
图 1
例 4 如图 1，直线 l 经过点 A (1 ， 0) ，且与双曲线
y
m
( x ＞ 0) 交于点 B (2 ， 1) ．过点 P( p, p 1) ( p ＞ 1) 作 x 轴的平行
x
线分别交曲线
y
m ( x ＞ 0) 和
y
m ( x ＜ 0) 于 、 两点．
x
x
M N
（ 1）求 m 的值及直线 l 的解析式；
（ 2）若点 P 在直线 y ＝ 2 上，求证：△ PMB ∽△ PNA ；
（ 3）是否存在实数 p ，使得 S △ AMN ＝ 4S △ AMP ？若存在，请求出所有满足条件的
图 1
p 的值；若不存在，请说明理由．
例 5 如图 1，四边形 OABC 是矩形，点 A 、 C 的坐标分别为 (3,0) ， (0,1) ．点 D 是线段 BC 上的动点（与端点 B 、 C 不重
合），过点
作直线 1
D y
x b
交折线
OAB
E
2
于点
．
（ 1 ）记△ ODE 的面积为 S ，求 S 与 b 的函数关系式；
（ 2 ）当点 E 在线段 上时，若矩形 关于直线
的对称图形为四边形
1 1 1 1
，试探究四边形
1 1 1 1
与矩
OA
OABC
DE OA B C OAB C
形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．
图 1
例 6 如图 1，在△ ABC 中，∠ C ＝ 90°， A C ＝ 3，BC ＝ 4，CD 是斜边 AB 上的高，点 E 在斜边 AB 上，过点 E 作直线与△ ABC 的直角边相交于点 F ，设 AE ＝ x ，△ AEF 的面积为 y ．
（ 1）求线段 AD 的长；
（ 2）若 EF ⊥ AB ，当点 E 在斜边 AB 上移动时，
①求 y 与 x 的函数关系式（写出自变量
x 的取值范围） ；
②当 x 取何值时， y 有最大值？并求出最大值．
（ 3）若点 F 在直角边 AC 上（点 F 与 A 、 C 不重合），点 E 在斜边 AB 上移动，试问，是否存在直线
EF 将△ ABC
的
周长和面积同时平分？若存在直线 ，求出 x 的值；若不存在直线 ，请说明理由．
EF
EF
图 1 备用图
例 7 如图 1，正方形 ABCD 中，点 A 、B 的坐标分别为（ 0，10 ），（ 8， 4），点 C 在第一象限．动点 P 在正方形 ABCD 的边 上，从点 A 出发沿 A → B → C → D 匀速运动， 同时动点 Q 以相同速度在 x 轴上运动， 当 P 点到 D 点时，两点同时停止运动， 设运动的时间为 t 秒．
（ 1）当 P 点在边
上运动时，点 Q 的横坐标 x （长度单位）关于运动时间 t （秒）的函数图象如图 2 所示，请
AB
写出点 Q 开始运动时的坐标及点 P 运动速度；
（ 2）求正方形边长及顶点 C 的坐标；
（ 3）在（ 1）中当 t 为何值时， △ OPQ 的面积最大，并求此时 P 点的坐标．
（ 4）如果点 P 、 Q 保持原速度速度不变，当点 P 沿 A → B →C → D 匀速运动时， OP 与 PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的 t 的值；若不能，请说明理由．
图 1 图 2
因动点产生的梯形问题
例 1
2
已知直线 y ＝ 3x － 3 分别与 x 轴、 y 轴交于点 A ， B ，抛物线 y ＝ ax ＋ 2x ＋ c 经过点 A ， B ．
（ 1 ）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（ 2 ）记该抛物线的对称轴为直线 l ，点 B 关于直线 l 的 对称点为 ，若点 D 在 y 轴的正半轴上，且四边形 ABCD
C
为梯形．
①求
点 D 的坐标；
②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为
P ，其对称轴与直线 y ＝ 3x － 3 交于点 E ，若 tan DPE
3
，求
7
四边形
的面积．
BDEP
图 1
例 2 如图 1，把两个全等的 Rt △
和 Rt △
方别置于平面直角坐标系中，
使直角边
、 在
x 轴上．已知点
(1 ，
AOB
COD
OB OD
A
2) ，过 A 、 C 两点的直线分别交 x 轴、 y 轴于点 E 、 F ．抛物线 y ＝ ax 2
＋ bx ＋ c 经过 O 、 A 、 C 三点．
（ 1）求该抛物线的函数解析式；
（ 2）点
P 为线段
上的一个动点，过点
P 作
y 轴的平行线交抛物线于点
，交
x 轴于点
，问是否存在这样的点
OC
M
N
P ，使得四边形 ABPM 为等腰梯形？若存在，求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（ 3）若△
沿 方向平移（点
A 始终在线段
上，且不与点
C 重合），△
在平移的过程中与△
重叠部
AOB AC
AC
AOB
COD
分的面积记为
S ．试探究 S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
图 1
例 4 已知二次函数的图象经过 A （ 2，0）、 C (0 ， 12) 两点，且对称轴为直线 x ＝ 4，设顶点为点 P ，与 x 轴的另一交点为
点 B ．
（ 1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；
（ 2）如图 1 ，在直线
＝ 2 x 上是否存在点 ，使四边形
为等腰梯形？若存在，求出点
D 的坐标；若不存在，
y
D
OPBD
请说明理由；
（ 3）如图 2 ，点 M 是线段 OP 上的一个动点
（ O 、 P 两点除外），以每秒 2 个单位长度的速度由点
P 向点 O 运动， 过点 作直线 // 轴，交 PB 于点 ．将△ 沿直线 对折，得到△ 1 ．在动点
的运动过程中，设△ 1与梯
M MN x N PMN MN P MN M
P MN
形 OMNB 的重叠部分的面积为 S ，运动时间为 t 秒，求 S 关于 t 的函数关系式．
图 1 图 2
例 5 如图 1，在平面直角坐标系
xOy 中，抛物线的解析式是
y ＝ 1
x 2
1，点 C 的坐标为 ( – 4， 0) ，平行四边形 OABC
4
的顶点 A ， B 在抛物线上， AB 与 y 轴交于点 M ，已知点 Q ( x ， y ) 在抛物线上，点 P ( t ， 0) 在 x 轴上．
(1) 写出点 M 的坐标；
(2) 当四边形 CMQP 是以 MQ ， PC 为腰的梯形时．
①求 t 关于 x 的函数解析式和自变量
x 的取值范围；
②当梯形 的两底的长度之比为
1∶ 2 时，求
t 的值．
CMQP
图 1
例 6 如图 1，二次函数 y x 2
px q( p
0) 的图象与 x 轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于点 C （ 0，－ 1），△ ABC 的
面积为 5
．
4
（ 1 ）求该二次函数的关系式；
（ 2 ）过 y 轴上的一点 M （ 0， m ）作 y 轴的垂线，若该垂线与△ A BC 的外接圆有公共点，求 m 的取值范围； （ 3 ）在该二次函数的图象上是否存在点 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出点 D 的
D A B C D
坐标；若不存在，请说明理由．
图 1
因动点产生的相切问题
例 1 如图 1，已知⊙ O 的半径长为
3，点 A 是⊙ O 上一定点，点
P 为⊙ O 上不同于点 A 的动点．
（ 1）当 tan A
1
时，求 AP 的长；
2
（ 2）如果⊙ Q 过点 P 、 O ，且点 Q 在直线 AP 上（如图 2），设 AP ＝ x ， QP ＝ y ，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出函
数的定义域；
（ 3）在（ 2）的条件下，当 tan A
4
时（如图
3 ），存在⊙ M 与⊙ O 相内切，同时与⊙
Q 相外切，且 OM ⊥ OQ ，试求
⊙
M 的半径的长．
3
图 1 图 2 图 3
例 2 如图 1，A ( － 5,0) ， B ( － 3,0) ，点 C 在 y 轴的正半轴上，∠ CBO ＝45 °， CD // AB ，∠ CDA ＝ 90 °．点 P 从点 Q (4,0 )
出发，沿 x 轴向左以每秒 1 个单位长的速度运动，运动时 间为 t 秒．
（ 1）求点 C 的坐标；
（ 2）当∠ BCP ＝ 15°时，求 t 的值；
（ 3） 以点 P 为圆心，
为半径的⊙
P 随点
P 的运动而变化，当⊙
P 与四边形
的边（或边所在的直线）相切
PC ABCD
时，求 t 的值．
图 1
例 3 如图 1，菱形 ABCD 的边长为 2 厘米， ∠ DAB ＝ 60°．点 P 从 A 出发，以每秒 3 厘米的速度沿 AC 向 C 作匀速运动；
与此同时，点
Q 也从点 A 出发，以每
秒 1 厘米的速度沿射线作匀速运动．当点 P 到达点 C 时， P 、Q 都停止运动．设点 P 运动的时间为 t 秒．
（ 1）当 P 异于 A 、 C 时，请说明 PQ // BC ；
（ 2）以 P 为圆心、 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，
t 为怎样的值时，⊙
P 与边 分别有 1 个公共
PQ
BC
点和 2 个公共点？
图 1
因动点产生的相似三角形问题
例 1 如图 1，在平面直角坐标系
xOy 中，顶点为 M 的抛物线 y ＝ ax 2 ＋ bx （ a ＞ 0）经过点 A 和 x 轴正半轴上的点 B ， AO
＝ BO ＝ 2，∠ AOB ＝ 120°．
（ 1）求这条抛物线的表达式；
（ 2）连结 OM ，求∠ AOM 的大小；
（ 3）如果点 C 在 x 轴上，且△ ABC 与△ AOM 相似，求点 C 的坐标．
图 1 例 2 如图 1，已知抛物线 y
1 x
2 1
(b 1)x
b
（b 是实数且 b ＞ 2）与 x 轴的正半轴分别交于点
A 、
B （点 A 位于点 B
4
4
4
是左侧），与 y 轴的正半轴交于点 ．
C
（ 1）点 B 的坐标为 ______，点 C 的坐标为 __________ （用含 b 的代数式表示） ；
（ 2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b ，且△ PBC 是以点 P 为直角顶点的等
腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；
（ 3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△ QCO 、△ QOA 和△ QAB 中的任意两个三角形均相似（全等
可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点
Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
图 1
例 3 如图 1，已知抛物线的方程
1：
1 ( x 2)(x m) ( ＞ 0) 与 x 轴交于点
、 ，与 y 轴交于点
，且点 B 在点 C
C
y
m
B C
E
m
的左侧．
（ 1）若抛物线 C 1 过点 M (2,2) ，求实数 m 的值；
（ 2）在（ 1）的条件下，求△ BCE 的面积；
（ 3）在（ 1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点
H ，使得 BH ＋ EH 最小，求出
点 H 的坐标；
（ 4）在第四象限内，抛物线 1 上是否存在点 ，使得以点
、 、 为顶点的三角形与△
相似？若存在，求
m
C
F
B C F
BCE
的值；若不存在，请说明理由．
图 1
例 4 如图 1，已知梯形 OABC ，抛物线分别过点 O （ 0， 0）、 A （ 2， 0）、 B （ 6， 3）．
（ 1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点 M 的坐标；
（ 2）将图 1 中梯形 的上下底边所在的直线
、 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点
1
、 1、
OABC
OA CB
O
A
C 1、B 1 ，得到如图 2 的梯形 O 1A 1 B 1C 1．设梯形 O 1A 1B 1C 1 的面积为 S ，A 1、B 1 的坐标分别为 ( x 1，y 1) 、( x 2，y 2) ．用含 S 的代数
式表示2－
x 1
，并求出当
=36 时点
1
的坐标；
x
S
A
（ 3）在 图 1 中，设点 D 的坐标为 (1 ，3) ，动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着线段 BC 运动，
动点 Q 从点 D 出发，以与点 P 相同的速度沿着线 段 DM 运动． P 、 Q 两点同时出发，当点 Q 到达点 M 时， P 、 Q 两点同
时停止运动． 设 、 两点的运动时间为 t ，是否存在某一时刻 t ，使得直线 、直线 、x 轴围成的三角形与直线 、
P Q
PQ AB
PQ
直线 AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出
t 的值；若不存在，请说明理由．
图 1 图 2
例 5 如图 1，抛物线经过点 A (4 ， 0) 、 B （ 1， 0) 、 C （ 0，－ 2）三点．
（ 1）求此抛物线的解析式；
（ 2） P 是抛物线上的一个动点，过
P 作 ⊥ 轴，垂足为 ，是否存在点
，使得以
、 、
M 为顶点的三角形与
PM x M
P
A P
△ OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△ DCA的面积最大，求出点 D 的坐标．
,
图 1
例62008 年苏州市中考第 29 题
图1