多项式除以多项式.docx

多项式除法示例

多项式除以多项式的一般步骤：

多项式除以多项式一般用竖式进行演算

（1 ）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．

（2 ）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．

（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项

结合起来．

（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式

的次数时为止．被除式= 除式×商式+余式

如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除

多项式除以多项式的运算

多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：

例 1 计算(x29 x20)( x4)

规范解法

∴ ( x 29x20)(x4)x 5.

解法步骤说明：

（1）先把被除式x29x20 与除式x 4 分别按字母的降幂排列好．

（2）将被除式x29x20 的第一项 x2除以除式 x 4 的第一项x，得x2x x ，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x与除式x 4 相乘，得x24x ，写在 x29x20 的下面．

（4）从x29x20 减去 x24x ，得差5x20 ，写在下面，就是被除式去掉x24x 后的一部分．（5）再用 5x20 的第一项 5x 除以除式的第一项x ，得5x x 5 ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．

（6）以商式的第二项 5 与除式x4 相乘，得5x20 ，写在上述的差5x 20的下

面．

（7）相减得差0，表示恰好能除尽．

（8）写出运算结果，(x 29x20)( x4)x 5.

例 2 计算(6x59x47x220x3) (2x2x5) ．

规范解法

∴ (6x59x 47x220x3) ( 2x2x 5)

3x33x26x1余9x 2 ．

注①遇到被除式或除式中缺项，用0 补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数．另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．

∴ (6x59x47x220x3) ( 2x2x5)

3x 3 3x 2

6x 1 余

9x 2 ．

8．什么是综合除法？

由前面的问题 4 我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为 1 时，情

况比较特殊．

如：计算 ( 2

x 3

3x 4) ( x 3) ．

因为除法只对系数进行，和 x 无关，于是算式（

1）就可以简化成算式（ 2）．

还可以再简化．方框中的数

2、6、21 和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是 1，所

以余式的首项系数

6、 21 与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也

省略，算式（ 2）就简化成了算式（

30 的形式：

将算式（ 3）改写成比较好看的形式得算式（

4），再将算式（ 4）中的除数－ 3 换成它的相反数 3，减法就化为

了加法，于是得到算式（

5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．

多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为 1．

例 1 用综合除法求 x

4

3x 3 3x 2 3x 12除以 x 1的商式和余式．

规范解法

∴商式

x 3 2x 2 x

2 ，余式＝ 10．

例 2 用综合除法证明 2x 5

15x 3 10x 2 9 能被 x 3 整除．

规范证法这里 x

3 x ( 3) ，所以综合除法中的除数应是－

3．（注意被除式按降幂排列，缺项补 0．）

因余数是 0，所以

2x 5 15x 3 10 x 2 9 能被 x 3 整除．

当除式为一次式，而一次项系数不是 1 时，需要把它变成

1 以后才能用综合除法．．

例 3 求 2

x 3

x 7 除以 2x 1的商式和余数．

规范解法把 2x

1除以 2，化为 x

1

，用综合除法．

2

3

但是，商式

2x 2

x ，这是因为除式除以

2，被除式没变，商式扩大了

2 倍，应当除以 2 才是所求的商

2

式；余数没有变．

∴商式

x 2 1 x 3 ，余数

7

3

．

2

4 4

为什么余数不变呢？我们用下面的方法验证一下．

用 2

x

3

x 7 除以 x 1 ，得商式 2x

2

x

3 ，余数为 7

3

，即

2

2

4

∴

2x

3

x 3

x 1 2x

2

x

3

7

3

2

2

4

2x 1 x

2

1 x 3 7

3

．

2 4

4

即 2

x

3

x 3 除以 2x

1的商式 x

2

1 x 3 ，余数仍为 7

3

．

2

4

4

综合除法与余数定理

综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理

在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。

一、综合除法

一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式 f ( x) 除以除式 g (x), (g (x)0) 得商式q(x) 及余式 r (x) 时，就有下列等式：

f ( x)g( x)q(x)r (x) 。

其中 r (x) 的次数小于 g (x) 的次数，或者 r ( x)0 。当

r ( x) 0

时，就是

f (x)

能被

g( x)

整除。

下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。

例 1、用综合除法求2x414 x 4 7x 3除以 x 2 所得的商和余式。

27014 4 2

解：

46124

8

2362

余式

商的各项的系数

∴ (2x 414 x 4 7x3 )( x2) 的商是 2 x33x26x 2 ，余式是8。

上述综合除法的步骤是：

（1）把被除式按降幂排好，缺项补零。

（2）把除式的第二项 -2 变成 2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。

（3）把被除式的第一项的系数 2 移到横线的下面，得到商的第一项的系数。

（ 4）用 2乘商的第一项的系数2，得 4，写在被除式的第二项的系数-7 的下面，同

-7 相加，得到商的第二项系数 -3 。

（ 5）用 2乘商的第二项的系数-3 ，得 -6 ，写在被除式的第三项的系数0 的下面，

同 0相加，得到商的第三项的系数-6 。

（ 6）用 2乘商的第三项的系数-6 ，得 -12 ，写在被除式的第四项的系数14 的下面，

同 14 相加，得到商的第三项系数2。

（ 7）用 2乘商的常数项2，得 4，写在被除式的常数项 4 的下面，同 4 相加，得到

余式 8。

前面讨论了除式都是一次项系数为 1 的一次式的情形。如果除式是一次式，但一次项系数不是1，能不能利用综合除法计算呢？

例 2、求(3x310x 223x16)( 3x 2) 的商式Q和余式R。

解：把除式缩小 3 倍，那么商就扩大 3 倍，但余式不变。因此先用x 2

3 倍

去除被除式，再把所得的商缩小

3

即可。

∴ Q=x24x 5 ，R=6。

下面我们将综合除法做进一步的推广，使除式为二次或者二次以上的多项式时也能够利用综合除法来求商和余式。

例 3、用综合除法求(3x47 x311x210x4) ( x23x2) 的商Q和余式R。

3

7 11 10

4

3

2

9

6

6

4

解：

3 2

3

2

3

2 1

∴

Q=

3x 2 2 x 5 ， R=3x 2 。

二、余数定理

余数定理又称裴蜀定理。它是法国数学家裴蜀（ 1730~1783）发现的。余数定理在研究多项式、讨论方程方面有着重要的作用。

余数定理：多项式 f (x) 除以

x

a 所得的余数等于 f (a) 。

略证：设 f (x)

Q( x) ( x

a) R

将 x=a 代入得 f (a)

R

。

例 4、确定 m 的值使多项式

f ( x) x 5

3x 4 8x 3 11x m 能够被 x-1 整除。

解：依题意 f (x) 含有因式 x-1 ，故 f (1) 0 。

∴ 1－ 3＋８＋ 11＋ｍ＝０。可得ｍ＝－ 17。

求一个关于 x 的二次多项式， 它的二次项系数为 1，它被 x-3 除余 1，且它被 x-1 除和被 x-2 除所得的余数相同。

解：设 f ( x) x 2 ax b

∵ f (x) 被 x 3 除余 1，∴ f (3) 9 3a

b 1

①

∵

f (x) 被

x

1

除和

x

2 除所得的余数相同，∴

f (1) f (2)即1 a b 4 2a b

②

由②得 a 3 ，代入①得 b 1

∴

f ( x)

x 2 3x 1。

注：本例也可用待定系数法来解。同学们不妨试一试。

即：

2

(

1)( )

(

2)( )

(

3)(

) 1

x ax b

x

x x x p

x m R

x n R

由

( x 1)( x m) R (x 2)( x n) R ，可得 m 2,n 1 再由 (x 2)( x 1) R ( x 3)( x p) 1 ，解得 p 0 。

∴ f ( x)

x 2 3x 1。

练习：

1、综合除法分别求下面各式的商式和余式。

（ 1） (3x

4 4 x 3 5x 2 6x

7) ( x

2) ；

（ 2） ( x

5 6 x 4 9x 3 14x

8) ( x 4) ；

（ 3） ( x 3 ( a b

c) x 2 (ab bc ca)x abc) ( x a) ；

（ 4） (9x 4 5 x 2 y 2 8 y 4 8xy 3 18x 3 y) (3x

2 y) ；

（ 5） ( 2x 4

7 x 3 16 x 2 15 x

15) ( X 2 2x 3) ；

（ 6）(x6x512x37x) ( x 33x 25x2)

2、一个关于 x 的二次多项式 f ( x)，它被 x-1除余 2，被 x-3除余 28，它可以被x+1 整

除，求 f ( x) 。

3、一个整系数四次多项式 f (x) ，有四个不同的整数 1 , 2 , 3 ,4，可使 f (1 ) 1, f ( 2 ) 1,

f ( 3 )1,f ( 4 )1，求证：任何整数都不能使 f () 1 。

综合除法：

当除式 g( x)= x a 时，我们介绍综合除法去求商式、余式。

【范例】：设 f ( x)=2 x4+x25x，g( x)= x 2，求 f ( x)除以 g( x)的商式、余式。

解： 2x4+x2 5x=(2x 3

+4x

2

+9x+23)(x – 2)+46

综合除法的原理：

设f(x)=3 3 +22+ 1+0 ，(x)=x b，若存在商式(x)=c22 + 1+0 ，余式r()=。01

a x a x a x a g q x c x c x 2 d

由除法的定义：( a3x3 +a2x2 +a1x+a0 )=(c2 x2+c1 x+c 0)( x b)+ d()48 a3c2c2a3249

经比较系数可得：a2c2 b c1c1a2c2 b商

a1c1 b c0c0a1c1b

a2a1a0 a0c0 b d

f (x)a3

d a0c0 b

c2 b c1b c0b

( )

上面的关系可写成以下的形式：a3a2c2 b a1c1b, a0c0当f( ) 除以(x)=+时，我们也可利用综合除法求余式(x) 、商式 () 。

x g ax b q x

由除法的定义： f ( x)=( ax+b)q( x)+ r ( x)=( x+)

q( x)c2c1c0

除以

, d [ aq( x)]+r ( x)可先利用综合除法求出f( x)( x+) 的商式

与余式

r ( ) ，而所要求的商式()=，余式

r

() 不变。x q x x

余式定理、因式定理

50 2

1846

23 , 46 式, 餘式

b

b

q/( x)= aq

r

(x

(

)

x)

除法原理： f(x)=g(x)q(x)+r(x)， degr(x)

余式定理：多项式f(x) 除以 x a 的余式等於 f(a) 。

有关 f(a)的求值我们可以利用综合除法得到。

余式定理推广：多项式f(x) 除以 ax+b 的余式等於 f( ) 。

f(a)的双重意义： (1)多项函数 f(x) 在 x=a 的函数值。 (2)多项式 f(x) 除以 x a 的余式。

范例：二次式 ax2+bx 4 以x+1 除之，得余式 3，以x 1 除之，得余式1，若以x 2 除之，所得的余式为。解： f(x)= ax2+bx4， f(-1)=3且 f(1)=1 由此解得 a 与 b，再求 f(2)=18 即为所得。

范例：试求 11 5 4 11 4 7211 356 11 2 +15 11+7 之值为。

解： f(x)=x 5

-4x

4

-72x

3

-56x

2

+15x+7

利用综合除法求 f(11)=51

范例：设二多项式 f(x),g(x)以 2x 2

3x 2 除之，余式分别为 3x+2,4x+7，则 f(x)+g(x) 以 2x+1 除之，其余式为何？

Ans：

解： f(x)=(2x 2

3x2) ×p(x)+(3x+2)

g(x)=(2x 2

3x2) ×q(x)+(-4x+7)

f(x)+g(x)=(2x23x2)(p(x)+q(x))+(-x+9) =(2x+1)(x-2)(p(x)+q(x))+(-x+9)

1 1 )+9=

F(x)=f(x)+g(x),F(

)=-(

2

2

范例： f ( x )=2 x 4+3x 3 +5x 2

6，求 2x 1 除 f ( x 3) 的余式。

解：可令

g x )= f ( x

3)

，再利用余式定理。 ：

( Ans

范例： 求多项式 (x 2 +3x+2) 3 被 x 2

+2x+3 除之余式为何？

解： x 2 +3x+2=(x 2

+2x+3)+(x-1)

(x 2 +3x+2) 3 =((x 2

+2x+3)+(x-1))

3

=(x 2 +2x+3) 3 +3(x 2 +2x+3) 2

(x-1)+3(x

2 +2x+3)(x-1) 2 +(x-1) 3

求多项式 (x 2 +3x+2) 3 被 x 2

+2x+3 除之余式

=求多项式 (x-1)

3 被 x

2 +2x+

3 除之余式

=10x+14

范例： 试求下列各小题：

(1) 求多项式

f ( )=

7

50 5+8

4

5

3

19 2 +41 +6 除以 (

x 1)( x 7) 之余式。

x x x x x x x

(2) 设多项式 f ( x ) 不低於 2 次，以 x 1 除之余 2，以 x +2 除之余 1，则以 ( x 1)( x +2)

除 f ( ) 的余式为何？ x

(3) 设多项式 f ( x ) 不低於 3 次，以 x 1 除之余 3，以 x +1 除之余 1，以 x 2 除 之余 2，则求以 ( x 1)( x +1)( x 2) 除 f ( x ) 的余式。

解： (1) f ( x )= x 7 50x 5 +8x 4 5x 3 19x 2+41x +6 除以 ( x 1)( x 7)

也就是 f ( x )= x 7 50x 5 +8x 4 5x 3 19x 2 +41x +6 除以 x 2

-8x+7

我们可得余式 11x-29

(2)f(x)=(x-1)(x+2)Q(x)+ax+b

由 f(1)=2 及 f(-2)=-1 我们可以解得 a=1,b=1 我们可得余式 x+1

(3)f(x)=(x-1)(x+1)(x-2)Q(x)+ax 2

+bx+c

由 f(1)=3 ，f(-1)=1 及 f(2)=-2

我们可以解得 a=-2,b=1,c=4

我们可得余式 2

x 2 + +4

x

Ans ： (1)11 x 29(2) x +1(3) 2x 2 +x +4

范例： 多项式 f(x)

以 x 2 -3x 4， 2x 2 3x+1 除之余式各为 4x 1，2x+7，试求 f(x) 以

2x

2

9x+4 除之余式为何？

解： f(x)=(x

2

-3x 4) ×p(x)+4x 1=(x-4)(x+1) ×p(x)+4x 1

2

f(x)=(2x 3x+1) ×q(x)+2x+7=(x-1)(2x-1)

×q(x)+2x+7

1

f(4)=15 且 f()=8

2

f(x)=(2x

2

9x+4) ×S(x)+ax+b=(x-4)(2x-1)

×S(x)+ax+b

利用 f(4)=15=4a+b 及 f(

1 1

)=8= a+b

2

2

我们可解得 a=2， b=7，故 f(x) 以 2x

2

9x+4 除之余式为 2x+7

范例： 多项式 f(x) 以 x(x 1) 除之，余式为

x+3 ，以 x(x+1) 除之余式为

3x+3，则 f(x)

除以 x(x

2

1) 之余式为何？

解： f(x)=x(x 1) ×p(x)+( x+3)

f(x)=x(x+1) ×q(x)+( 3x+3)

f(x)=x(x

2 1) ×S(x)+ax

2

+bx+c

我们有 f(0)=3 ，f(1)=2 ，f(-1)=6

分别代入 f(x)=x(x

2

2

1) ×S(x)+ax +bx+c 。

可以解得 a=4,b=-2,c=3

，故 f(x) 除以 x(x

2

1) 之余式为 4x

2

2x+3。

范例： 多项式 f(x) 除以 x 3 得余式 16，除以 x+4 得余式 19，则 f(x) 除以 (x 3)(x+4) 所得的余式为？

Ans ： 5x+1

范例： 多项式 f(x) 以 x 2

3x+2 除之余式为 3，以 x 2 4x+3 除之得余式为 3x ，则以 x

2

5x+6 除之余式为？

Ans ： 6x 9

范例： 以 x 2 +2x+3 除 f(x) 余 x+12，以 (x+1) 2

除 f(x) 余 5x+4，则以 (x+1)(x

2

+2x+3) 除 f(x) 的余式为？

Ans ： 6x

2

11x 6 范例： 用( x 1) 2 除 x 10 +2 所得的余式为何？

Ans ： 10x 7( 直接除观察系数规则即可得

) 范例： 以 ( x +1) 2 除 x 50 +1 之余式为。

Ans ： 50 x 48( 直接除观察系数规则即可得

)

因式定理： 设 f ( x ) 为一多项式，则 x 为 f ( x ) 的因式 f ( )=0 。

证明：因为 f(x)=( x )Q(x)

推广： ax b 为 f ( x ) 的因式 f ()=0

范例： 因式定理的应用：

(1)试问下列何者为 f(x)=4x 5+8x 4+7x 3 22x 2 2x+5 的因式？ (a)x 1(b)x+2(c)2x 1(d) x 2 (2)设 f(x)=x 4 2x 3+4x 2+ax+3 之一因式为 x 3，求 a 之值。

范例： 设 f ( x )=4 x 4 11 x 3 +14 x 2 10 x +3，则下列何者为 f ( x ) 之因式？

(A) x +1(B)4 x +3(C)4 x 3(D)3 x 2(E) x 1

Ans ： (C)(E)

3

2

2

范例： 若 f ( x )= x 5x +mx +n 有因式 x +x 6，则

m + n = ？

范例： a,b,c 为整数， 0

一次因式检验定理：

设 f(x)=2x+3 ，g(x)=5x

2

x+7，h(x)=f(x) g(x)=10x

3

+13x 2 +11x+21， 10x 3 是 2x ×5x 2

来的， 21 是 3×7 来的，因此观察一次式 2x+3|h(x) ，而 2|10 ，3|21 ，这个结果

对於一般整系数的多项式也是成立，我们将它写成下面的定理：

定理：设 f(x)=a n x n +a n 1 x n 1

+ +a 1 x+a 0 为一个整系数 n 次多项式， 若整系数一次式 ax b 是 f(x) 的因式， 且 a,b

互质，则 a|a n 且 b|a 0 。

注意： 一次因式检验定理的逆叙述不成立。

例如： f(x)=3x

3 +5x 2 +4x 2，f(

)

0。

由此定理，可知若一次式

cx d 中 c 不为 an 的因数或

d 不为 a 0 的因数的话，则

cx d 必不

为 f(x)

的因式。故只有满足

a|a

n 且

b|a

0 的一次式

ax b 才有可能成为

f(x) 的因式，因此我们只要从满

足 a|a

n 且 b|a 0 这些 ax b 去找一次因式就可以了。

范例： 求整系数 f(x)=3x

3 +5x 2 +4x 2 的整系数一次因式。

根据一次因式检验定理，假设

ax b 为 f(x) 的一次因式，则 a|3 且 b|2 。

我们将所有可能的 ax b 组合 x+1,x

1,x+2,x 2,3x+1,3x 1,3x+2,3x 2，再

利用综合除法检验看看那一个是

f(x) 的因式 3x 1 是 f(x) 的因式。

范例： 求 f ( x )=2 x 4 +5x 3 x 2 +5x 3 的一次因式。

Ans ：2x 1 与 x +3

范例： 找出 f ( x )=6 x 4 7x 3 +6x 2 1 的所有整系数一次式。 Ans ： 2 x 1、 3 +1

x

定理：设 f( x)为整系数多项式， a,b 为不同的整数，证明： (a b)|f(a) f(b)。

范例： 历史学家为了推敲大数学家欧几里得的出生年份，发现在西元前 336 年时，流传了一则有趣的故事：那一年

的某一天，欧几里得造了一个整系数的多项式， 并兴高采烈的跟旁人说 「我现在的年龄刚好是这个多项式的一个根。」

旁人为了想知道欧几里得的年龄，於是将 7 及一个比 7 大的整数代入欧几里得的多项式，结果得到

77 及 85 的值。

这时候欧几里得笑着说：「

我的年龄有你代的数那麽小吗？ 」你能根据这些史料推测出欧几里得出生的年份吗？

[ 提示：设欧几里得提及的多项式为

f ( x ) ，而欧几里得有 a 岁，且 f (7)=77 ， f ( b )=85 ，且 b >7，由例题 13 可得

b 7| f ( b ) f (7) b 7|8 ，且 7 a | f (7) f ( a )=77 ， b a | f ( b ) f ( a )=85 ，再根据这些条件，去求得

a 的值， a =14，所以欧

几里得出生的年份是西元前 350 年。 ]

最高公因式、最低公倍式

定义：设 f(x),g(x)

为二多项式，若存在多项式 h(x) 使得 f(x)=g(x)

h(x) ，则称 f(x)

为 g(x) 的因式或 g(x) 为 f(x) 的倍式 。符号： f(x)|g(x)

。

范例： 因为 x 3 1=(x 1)(x 2 +x+1) ，所以 x 1 与 x 2 +x+1 均为 x 3 +1 的因式， x 3 +1 为 x 1 与 x 2

+x+1

的倍式。

范例： 因为 1

x

2

3 x 1 = 1

( x 1)( x 2) = ( 1

x 1 )( 1

x 1) ，所以 x+1，x+2，

4

4 2 4

2 2 2

1 x 1 ， 1 x 1 都是 1 x

2

3 x 1 的因式。

2 2 2 4

4 2

注意：由上面两个例子可知，若

f(x)|g(x)

，则 c f(x)|g(x)(c

0) 。因此就一般而言，只要求出

整系数的因式或倍式即可。

(2) 性质：若设 d(x)|f(x)

， d(x)|g(x) ，则 d(x)|m(x) f(x)+n(x) g(x) 。

公因式与公倍式：

若多项式d(x)同时为多项式f(x),g(x)的因式，则称d(x) 为f(x),g(x)的公因式。注意： d(x)=c(c0) 为任何两个多项式的公因式。

设 d(x)如果多项式设 f(x),g(x)为 f(x),g(x)

为 f(x),g(x)的公因式，则k d(x)(k0) 亦为 f(x),g(x)的公因式，因此我们通常只取一个代表就行了。

f(x),g(x)除了常数以外，没有其它的公因式，就称它们互质。

都是非零多项式，如果m(x)同时是f(x),g(x)的倍式，那麽就称m(x)为f(x),g(x)的公倍式。设m(x)的公倍式，则k m(x) 亦为 f(x),g(x)的公倍式，因此我们通常只取一个代表就行了。

范例：设 f(x)=4x21,g(x)=4x2+4x+1,h(x)=2x27x+3。求f(x),g(x)的公因式，g(x),h(x)

的公因式。

因为 f(x)=(2x+1)(2x1) ，g(x)=(2x+1)2，h(x)=(2x1)(x3) ，

所以 2x+1,x+ ，4x+2等凡是k(2x+1) 的形式都是f(x),g(x)的公因式。

在 g(x),h(x)中，除了常数外没有其它的公因式，故g(x),h(x)互质。

最高公因式、最低公倍式：

设 f(x),g(x)为两多项式，如果d(x)是它们公因式中次数最高的，那麽称d(x)为最高公因式，符号：(f(x),g(x))=d(x)

注意当多项式f(x),g(x)互质时，符号：(f(x),g(x))=1。

最高公因式与公因式一样，并不是只有一个，不过任两个最高公因式之间都只差一个常

数因式，因此通常所谓两个多项式的最高公因式，可取它们的任意一个最高公因式。

设 f(x),g(x)为两多项式，如果m(x)是它们公倍式中次数最低的，那麽称d(x)为最低公倍式，符号：[f(x),g(x)]=m(x)

。

注意：最低公倍式也不是唯一的，不过它们之间也都只差一个常数因式。

H.C.F 与 L.C.M 的求法：

因式分解法：

2

x+3)(x+4)(x5)(x+1) ， g(x)=(x 2

范例： f(x)=(x x+3)(2x 3)(x+6)(x 5)

则f(x) 与 g(x) 的最高公因式为 (x 2

x+3)(x 5)

范例： f(x)=(x 2

x+3)(x+4)(x5)(x+1) ， g(x)=(x2x+3)(2x 3)(x+6)(x5)

则 f(x) 与 g(x) 的最低公倍式为 (x 2

x+3)(x5)(x+4)(x+1)(2x+3)(x+6)

辗转相除法：

设 f(x) ， g(x) 为二多项式，且g(x)0，则由除法定理可知：恰有两个多项式q(x),r(x)满足 f(x)=g(x)q(x)+r(x) ，其中 r(x)=0 或 degr(x)

原理： (f(x),g(x))=k(g(x),r(x))。k 0

范例：以 f(x)=x52x 3

2x 23x2， g(x)=x42x 32x 1 为例，求 f(x)与 g(x) 的最高公因式。

f (x) g(x)

利用辗转相除法，求出f(x)与 g(x)的 H.C.F 为 d(x)，则 f(x) 与 g(x)的 d ( x)。

原理： f(x) g(x)=k(f(x),g(x))[f(x),g(x)]

范例：以 f(x)=x52x32x23x2， g(x)=x42x32x 1 为例，求 f(x)与 g(x) 的最低公因式。