高考数学小题综合限时练(2)

专题分层训练(二十五) 小题综合限时练(2)

(时间：45分钟)

一、选择题(每小题5分，共60分)

1．命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是( )

A．所有奇数的立方都不是奇数

B．不存在一个奇数，它的立方是偶数

C．存在一个奇数，它的立方是偶数

D．不存在一个奇数，它的立方是奇数

解析全称命题的否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方是偶数”．

答案 C

2．已知集合M＝{1,2，z i}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝( )

A．－2i B．2i

C．－4i D．4i

解析由M∩N＝{4}，知4∈M，故z i＝4，故z＝4

i

＝

4i

i2

＝－4i.

答案 C

3．若直线(a ＋1)x ＋2y ＝0与直线x －ay ＝1互相垂直，则实数a 的值等于( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．2

解析 由(a ＋1)×1＋2×(－a )＝0，得a ＝1.

答案 C

4．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析 mx 2

＋ny 2

＝1可以变形为x 21m

＋y 21n

＝1，m >n >0?0<1m <1n

.

答案 C

5．下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos 2x －sin 2x B ．y ＝lg|x | C ．y ＝e x －e －x

2

D ．y ＝x 3

解析 由偶函数排除C 、D ，再由在区间(1,2)内是增函数排除A.

答案 B

6．阅读程序框图(如图)，如果输出的函数值在区间[1,3]上，那么输入的实数x 的取值范围是( )

A ．{x ∈R |0≤x ≤log 23}

B ．{x ∈R |－2≤x ≤2}

C ．{x ∈R |0≤x ≤log 23，或x ＝2}

D ．{x ∈R |－2≤x ≤log 23，或x ＝2} 解析 依题意及框图可得，

?????

－2

或?????

|x |≥2，

1≤x ＋1≤3，

解得0≤x ≤log 23或x ＝2. 答案 C

7．已知函数f (x )＝2sin ?

????

ωx －π6(ω>0)的最小正周期为π，则

f (x )

的单调递增区间为( )

A.??????

k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z )

B.??????

2k π－π6，2k π＋π3(k ∈Z )

C.??????

k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )

D.?

?????

k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )

解析 根据已知得T ＝2π

ω

＝π，∴ω＝2.

由不等式2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π

2

(k ∈Z )，

解得k π－π6≤x ≤k π＋π

3

(k ∈Z )，

即函数f (x )的单调递增区间是?

?????

k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．

答案 D

8．设数集S ＝{a ，b ，c ，d }满足下列两个条件：

(1)?x ，y ∈S ，xy ∈S ；(2)?x ，y ，z ∈S ，且x ≠y ，则xz ≠yz .现给出如下论断：

①a ，b ，c ，d 中必有一个为0；②a ，b ，c ，d 中必有一个为1；③若x ∈S 且xy ＝1，则y ∈S ；④存在互不相等的x ，y ，z ∈S ，使得x 2＝y ，y 2＝

z .

其中正确论断的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3

D ．4

解析 取满足题设条件的集合S ＝{1，－1，i ，－i}，即可迅速判断②

③④是正确的论断．

答案 C

9．如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的图象可能是( )

解析 由三视图可知此几何体为一个底朝上的圆锥，向容器中匀速注水，说明单位时间内注入水的体积相等．

设为V 0，由锥体的体积公式可知V ＝13

πr 2

h ，

又r ＝h tan θ(其中θ为圆锥轴截面两母线夹角的一半)， ∴V ＝1

3πh 3tan 2θ＝tV 0，

即h ＝kt 1

3(k 为常数)，故选B.

答案 B

10．若直角坐标平面内的两个不同点M ，N 满足条件： ①M ，N 都在函数y ＝f (x )的图象上；

②M ，N 关于原点对称，则称点对[M ，N ]为函数y ＝f (x )的一对“友好点对”．(注：点对[M ，N ]与[N ，M ]为同一“友好点对”)

已知函数f (x )＝?

????

log 3x (x >0)，

－x 2

－4x (x ≤0)，此函数的“友好点对”有( )

A ．0对

B ．1对

C ．2对

D ．3对

解析由题意，当x>0时，将f(x)＝log3x的图象关于原点对称后可知g(x)＝－log3(－x)(x<0)的图象与x<0时f(x)＝－x2－4x存在两个交点，故“友好点对”的数量为2.

答案 C

11．定义两个实数间的一种新运算“*”：x*y＝lg(10x＋10y)，x，y∈R.对任意实数a，b，c给出如下结论：

①(a*b)*c＝a*(b*c)；②a*b＝b*a；③(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)．

其中正确结论的个数是( )

A．0 B．1

C．2 D．3

解析因为(a*b)*c＝[lg(10a＋10b)]*c

＝lg(10lg(10a＋10b)＋10c)

＝lg(10a＋10b＋10c)，

a*(b*c)＝a*[lg(10b＋10c)]

＝lg(10a＋10lg(10b＋10c))

＝lg(10a＋10b＋10c)，

∴(a*b)*c＝a*(b*c)，即①对；

∵a*b＝lg(10a＋10b)，

b*a＝lg(10b＋10a)，

∴a*b＝b*a，∴②对；

(a*b)＋c＝lg(10a＋10b)＋c

＝lg[(10a＋10b)×10c]＝lg(10a＋c＋10b＋c)

＝(a ＋c )*(b ＋c )，即③对． 答案 D

12．已知函数f (x )＝2x －1(x ∈R )．规定：给定一个实数x 0，赋值x 1

＝f (x 0)，若x 1≤257，则继续赋值x 2＝f (x 1)；若x 2≤257，则继续赋值x 3＝

f (x 2)；……以此类推．若x n －1≤257，则x n ＝f (x n －1)，否则停止赋值．已知

赋值k (k ∈N *)次后该过程停止，则x 0的取值范围是( )

A ．(27－k ＋1,28－k ＋1]

B ．(28－k ＋1,29－k ＋1]

C ．(29－k ＋1,210－k ＋1]

D ．(28－k,29－k ]

解析 依题意得x n ＝2x n －1－1， 则x n －1＝2(x n －1－1)， 于是x n －1＝2n (x 0－1)， 即x n ＝2n (x 0－1)＋1.

依题意有???

??

x k －1≤257，

x k >257，

即????? 2k －1

(x 0－1)＋1≤257，2k

(x 0－1)＋1>257，

即?????

2k －1(x 0－1)≤28，2k (x 0－1)>28

，

由此解得28－k ＋1

二、填空题(每小题5分，共20分)

13．已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的一个焦点与圆x 2＋y 2－10x ＝0

的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为________．

解析 由题意知c ＝5，又离心率等于c

a

＝5，所以a ＝5，b 2＝20，从

而双曲线的标准方程为x 25－y 2

20

＝1.

答案

x 2

5

－

y 2

20

＝1 14．若直线y ＝2x ＋m 是曲线y ＝x ln x 的切线，则实数m 的值为________． 解析 设切点为(x 0，x 0ln x 0)，

由y ′＝(x ln x )′＝ln x ＋x ·1

x

＝ln x ＋1，

得切线的斜率k ＝ln x 0＋1，

故切线方程为y －x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(x －x 0)，

整理得y ＝(ln x 0＋1)x －x 0，与y ＝2x ＋m 比较得???

??

ln x 0＋1＝2，

－x 0＝m ，

解得

x 0＝e ，故m ＝－e.

答案 －e

15．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ?b ＝(a 1b 1，

a 2

b 2)，已知向量m ＝? ????

2，12，n ＝? ??

??π3，0，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运

动．Q 是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m ?OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________．

解析 令Q (c ，d )，由新的运算可得

OQ →＝m ?OP →＋n ＝? ????2x ，12sin x ＋? ????π3，0＝? ??

??2x ＋π3，12sin x ， 即????

?

c ＝2x ＋π3

，

d ＝12sin x ，

消去x 得d ＝12sin ? ????

12

c －π6，

∴y ＝f (x )＝12sin ? ????

12

x －π6，

易知y ＝f (x )的值域为??????

－12，12.

答案 ????

??

－12，12

16．设函数f (x )的定义域为D ，如果存在正实数k ，使对任意x ∈D ，都有x ＋k ∈D ，且f (x ＋k )>f (x )恒成立，那么称函数f (x )为D 上的“k 型增函数”．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝|x －a |－2a ，若f (x )为R 上的“2013型增函数”，则实数a 的取值范围是________．

解析 由题意得，当x >0时，

f (x )＝???

??

x －3a (x ≥a )，

－x －a (x

当a ≥0时，函数f (x )的图象如图(1)所示，

考虑极大值f (－a )＝2a ， 令x －3a ＝2a ，得x ＝5a ， ∴只需满足5a －(－a )＝6a <2013， 即0≤a ＜671

2

；

当a <0时，函数f (x )的图象如图(2)所示， 且f (x )为增函数， ∵x ＋2013>x ，

∴满足f (x ＋2013)>f (x )． 综上可知，a <671

2

.

答案 ?

????

－∞，6712