高考数学小题如何考满分：小题提速练(一)

小题提速练(一)

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．已知集合A ＝{x |x 2－4x －5≤0}，B ＝{x |x |≤2}，则A ∩(?R B )＝( ) A ．[2，5] B ．(2，5] C ．[－1，2]

D ．[－1，2)

解析：选B.由题得A ＝[－1，5]，B ＝[－2，2]，则?R B ＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，所以A ∩(?R B )＝(2，5]，故选B.

2．如果复数m 2＋i

1＋m i 是纯虚数，那么实数m 等于( )

A ．－1

B ．0

C ．0或1

D ．0或－1

通解：选D.m 2＋i

1＋m i ＝（m 2＋i ）（1－m i ）

（1＋m i ）（1－m i ）

＝m 2＋m ＋（1－m 3）i 1＋m 2，因为此复数为纯虚数，所以?

????m 2

＋m ＝0，

1－m 3≠0，解得m ＝－1或0，故选D.

优解：设m 2＋i

1＋m i

＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则有b i(1＋m i)＝m 2＋i ，即－mb ＋b i ＝m 2＋i ，所以

?????－mb ＝m 2

，b ＝1，

解得m ＝－1或0，故选D. 3．设x ，y 满足约束条件????

?2x ＋y －6≥0，x ＋2y －6≤0，y ≥0，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值是( )

A ．3

B ．4

C ．6

D ．8

通解：选C.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线x ＋y ＝0，平移该直线，当直线经过点A (6，0)时，z 取得最大值，即z max ＝6，故选C.

优解：目标函数z ＝x ＋y 的最值在可行域的三个顶点处取得，易知三条直线的交点分别为(3，0)，(6，0)，(2，2)．当x ＝3，y ＝0时，z ＝3；当x ＝6，y ＝0时，z ＝6；当x ＝2，y ＝2时，z ＝4.所以z max ＝6，故选C.

4．已知某批零件的长度误差ξ(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为

(附：正态分布N (μ，σ2)中，P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.954 5)( )

A ．0.045 6

B ．0.135 9

C ．0.271 8

D ．0.317 4

解析：选B.因为P (－3＜ξ＜3)＝0.682 7，P (－6＜ξ＜6)＝0.954 5，所以P (3＜ξ＜6)＝

1

2(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9，故选B.

5．设a ＝????121

3

，b ＝????131

2，c ＝ln 3π，则( ) A ．c ＜a ＜b B ．c ＜b ＜a C ．a ＜b ＜c

D ．b ＜a ＜c

通解：选B.因为a ＝????121

3＞????121

2

＞b ＝????131

2＞0，c ＝ln 3π＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，故选B. 优解：因为a 3＝1

2＞b 3＝

127＝39，所以a ＞b ＞0.又c ＝ln 3

π

＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，故选B.

6．下列函数中，在其定义域内是增函数而且是奇函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2|x | C ．y ＝2x －2－

x

D ．y ＝2x ＋2－

x

解析：选C.因为y ＝2x 为增函数，y ＝2－x 为减函数，所以y ＝2x －2－x 为增函数，又y ＝2x －2－x 为奇函数，所以选C.

7．某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是( )

A ．13π

B ．16π

C ．25π

D ．27π

解析：选C.由三视图知该几何体是一个底面为正方形的长方体，由正视图知该长方体的底面正方形的对角线长为4.所以底面边长为2 2，由俯视图知该长方体的高为3，设该几何体的外接球的半径为R ，

则2R ＝

（2 2）2＋（2 2）2＋32＝5，解得R ＝5

2

，所以该几何体的外接球的表面

积S ＝4πR 2＝4π×25

4

＝25π，故选C.

8．已知函数y ＝sin ()2x ＋φ在x ＝π

6处取得最大值，则函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象( )

A ．关于点????

π6，0对称 B ．关于点????π3，0对称 C ．关于直线x ＝π

6对称

D ．关于直线x ＝π

3

对称

解析：选A.由题意可得π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π

6＋2k π，k ∈Z ，所以y ＝cos(2x ＋

φ)＝cos ????2x ＋π6＋2k π＝cos ????2x ＋π6，k ∈Z .当x ＝π6时，cos ????2×π6＋π6＝cos π

2＝0，所以函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象关于点????π6，0对称，不关于直线x ＝π6对称，故A 正确，C 错误；当x ＝π

3时，cos ????2×π3＋π6＝cos 56π＝－3

2，所以函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象不关于点????π3，0对称，也不关于直线x ＝π

3

对称，故B 、D 错误．故选A.

9．在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为π

3

，

若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )

A ．2－3 3

π

B ．4－6 3

π

C.13－32π

D ．23

解析：选B.设圆的半径为r ，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S ＝24????16πr 2－3

4r 2＝4πr 2－6 3r 2，圆的面积S ′＝πr 2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)

的概率为S S ′＝4－6 3

π

，故选B.

10．给出四个函数，分别满足①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，②g (x ＋y )＝g (x )·g (y )，③h (x ·y )＝h (x )＋h (y )，④m (x ·y )＝m (x )·m (y )．又给出四个函数的图象，那么正确的匹配方案可以是( )

A ．①甲，②乙，③丙，④丁

B ．①乙，②丙，③甲，④丁

C ．①丙，②甲，③乙，④丁

D ．①丁，②甲，③乙，④丙

解析：选D.①f (x )＝x ，这个函数可使f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )成立，∵f (x ＋y )＝x ＋y ，x ＋y ＝f (x )＋f (y )，

∴f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，故①对应丁．②寻找一类函数g (x )，使得g (x ＋y )＝g (x )·g (y )，指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)具有这种性质，令g (x )＝a x ，g (y )＝a y ，则g (x ＋y )＝a x ＋y ＝a x ·a y ＝g (x )·g (y )，故②对应甲．③寻找一类函数h (x )，使得h (x ·y )＝h (x )＋h (y )，对数函数具有这种性质，令h (x )＝log a x ，h (y )＝log a y ，则h (x ·y )＝log a (xy )＝log a x ＋log a y ＝h (x )＋h (y )，故③对应乙．④令m (x )＝x 2，这个函数可使m (xy )＝m (x )·m (y )成立，∵m (x )＝x 2，∴m (x ·y )＝(xy )2＝x 2y 2

＝m (x )·m (y )，故④对应丙．故选D.

11．已知抛物线y ＝1

4x 2，AB 为过焦点F 的弦，过A ，B 分别作抛物

线的切线，两切线交于点M ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，则：①若AB 的斜率为1，则|AB |＝4；②|AB |min ＝2；③y M ＝－1；④若AB 的斜率为1，则x M ＝1；⑤x A ·x B ＝－4.以上结论正确的个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：选B.由题意得，焦点F (0，1)，对于①，l AB 为y ＝x ＋1，联立，得?????y ＝x ＋1，

y ＝14x 2

，

消

去x ，得y 2－6y ＋1＝0，得y A ＋y B ＝6，则|AB |＝y A ＋y B ＋p ＝8，故①错误；对于②，|AB |min ＝2p ＝4，故②错误；因为y ′＝x 2，则l AM ∶y －y A ＝x A 2(x －x A )，即l AM ：y ＝1

2x A x －y A ，同理l BM ：

y ＝1

2

x B x －y B ，联立，得???y ＝1

2

x A x －y A ，y ＝1

2x B

x －y B

，

解得M ? ??

??x A

＋x B

2，x A

·x B

4.设l AB 为y ＝kx ＋1，联立，得

?????y ＝kx ＋1，y ＝14x 2，

消去y ，得x 2－4kx －4＝0，x A ＋x B ＝4k ，x A ·x B ＝－4，所以y M ＝－1，③和⑤均正确；对于④，AB 的斜率为1时，x M ＝2，故④错误，故选B.

12．已知函数f (x )＝x 2的图象在点(x 0，x 2

0)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0，

1)的图象相切，则x 0必满足( )

A ．0＜x 0＜12

B ．1

2＜x 0＜1

C.

2

2

＜x 0＜ 2 D ．2＜x 0＜ 3

解析：选D.由题意，得f ′(x )＝2x ，所以f ′(x 0)＝2x 0，f (x 0)＝x 20，所以切线l 的方程为y ＝

2x 0(x －x 0)＋x 20＝2x 0x －x 2

0.因为l 也与函数y ＝ln x (0＜x ＜1)的图象相切，设切点坐标为(x 1，ln

x 1)，易知y ′＝1x ，则切线l 的方程为y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)，即y ＝1

x 1x ＋ln x 1－1，则有

?????2x 0＝1x 1，1－ln x 1＝x 20，

又0＜x 1＜1，所以x 0＞1，所以1＋ln(2x 0)＝x 20，x 0∈(1，＋∞)．令g (x )＝x

2

－ln(2x )－1，x ∈(1，＋∞)，则g ′(x )＝2x －1x ＝2x 2

－1

x

＞0，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增，

又g (1)＝－ln 2＜0，g (2)＝1－ln2 2＜0，g (3)＝2－ln 23＞0，所以存在x 0∈(2，3)，使得g (x 0)＝0，故 2＜x 0＜3，选D.

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)

13．设向量a ，b 满足：|a |＝1，|b |＝2，a ⊥(a －b )，则a 与b 的夹角是________． 解析：因为a ⊥(a －b )，所以a ·(a －b ）＝0，故|a |2－|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0，解得cos 〈a ，b 〉＝1

2

，故a 与b 的夹角为60°.

答案：60°

14．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为________．

解：该程序框图的执行过程如下：v ＝1，i ＝2；v ＝1×2＋2＝4，i ＝1；v ＝4×2＋1＝9，i ＝0；v ＝9×2＋0＝18，i ＝－1，此时输出v ＝18.

答案：18

15．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝3，则|BF |＝________．

解析：解法一：由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1，0)，|AF |＝3，由抛物线的定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，所以点A 的横坐标为2.如图，不妨设点A 在第一象限，将x ＝2代入y 2＝4x ，得y 2＝8，所以点A 的纵坐标为2 2，即A (2，2 2)，所以直线AF

的方程为y ＝2 2(x －1)．由?????y ＝2 2（x －1），y 2＝4x ，解得?????x ＝12

，y ＝－ 2或?????x ＝2，y ＝2 2，所以点B 的

横坐标为12，所以|BF |＝12－(－1)＝3

2

.

解法二：如图，不妨设点A 在第一象限，设∠AFx ＝θ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则由抛物线的定义知x A ＋1＝2＋3cos θ＝3，解得cos θ＝13.又|BF |＝x B ＋1＝1－|BF |cos θ＋1＝2－

1

3|BF |，所以|BF |＝3

2

.

答案：32

16．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC ＝5 3，CD ＝5，BD ＝2AD ，则AD 的长为________．

解析：如图，在△ABC 中，BD ＝2AD ，设AD ＝x (x ＞0)，则BD ＝

2x .在△BCD 中，因为CD ⊥BC ，CD ＝5，BD ＝2x ，所以cos ∠CDB ＝

CD

BD ＝5

2x .在△ACD 中，AD ＝x ，CD ＝5，AC ＝5 3，则cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 2

2×AD ×CD

＝

x 2＋52－（5 3）2

2×x ×5

.因为∠CDB ＋∠ADC ＝π，所以

cos ∠ADC ＝－cos ∠CDB ，即x 2＋52－（5 3）22×x ×5＝－52x ，解得x ＝5，所以AD 的长为

5.

答案：5