求数列通项公式方法经典总结.doc
求数列通项公式方法
（ 1）．公式法（定义法）
根据等差数列、等比数列的定义求通项
例： 1 已知等差数列 { a n } 满足： a 3 7, a 5 a 7 26 ， 求 a n ；
2. 已知数列 { a n } 满足 a 1 2,a n a n 1 1(n 1) ，求数列 { a n } 的通项公式；
3.
数列 a n 满足 a 1 =8，a 4 2，且 a n 2 2a n 1 a n 0 （ n N ），求数列 a n 的
通项公式；
4. 已知数列 { a n } 满足 a 1
2, 1 1 2 ，求数列 a n 的通项公式；
a
n 1
a n
5. 设数列 { a n } 满足 a 1 0 且
1
1
，求 { a n } 的通项公式
a n 1
1
1
1 a n
6. 已知数列 { a n } 满足 a n
1
2a n , a 1 1 ，求数列 { a n } 的通项公式。
a n 2
7. 等比数列 { a n } 的各项均为正数，且 2a 1 3a 2
2
9a 2 a 6 ，求数列 { a n } 的通
1， a 3 项公式
8. 已知数列 { a n } 满足 a 1 2, a n 3a n 1 (n 1) ，求数列 { a n } 的通项公式；
9. 已知数列 { a n } 满足 a 1
2，a 2
4且 a n 2 a
n
2
N ），求数列 a n 的
a n 1 （ n 通项公式；
10. 已知数列 {
a n } 满足 且 a n 1 5n 1 2( a n 5n ) （
n N ），求数列
a n 的通
a 1 2，
项公式；
11. 已知数列 { a n } 满足 a 1
2，且 a n 1 5 2n 1 2 3(a n 5 2n 2) （ n
N
），
求数列 a n 的通项公式；
12. 数列已知数列
a n 满足 a 1
1 a n 的通项公式 =
, a n 4a n 1 1(n 1). 则数列
2
（2）累加法
1、累加法 适用于： a n 1 a n f (n)
a 2 a 1 f (1) 若 a n 1 a n f (n) ( n 2) ，则
a 3 a 2
f (2)
a
n 1
a n
f ( n)
n
两边分别相加得
a
n 1
a 1
f (n)
k 1
例： 1. 已知数列 { a n } 满足 a 1
1 , a n
1
a n
4n 1 ，求数列 { a n } 的通项公式。
2
2
1
2. 已知数列 { a n } 满足 a n 1 a n 2n 1， a 1 1 ，求数列 { a n } 的通项公式。
3. 已知数列 {
a n } 满足 a
a
2
3n 1， a 3 ，求数列 { a n } 的通项公式。
n 1
n
1
4. 设数列 {
a n } 满足 a 1 2 ， a a 3 2 2 n 1 ，求数列 { a n } 的通项公式
n 1n
（3）累乘法
适用于：
a n 1 f (n) a n
若
a
n 1
a 2 a 3 f (2)，
a n
1
f (n)
a n f ( n) ，则
f (1)，
，
a 1
a 2
a n
a n 1 n
a1 f (k )
两边分别相乘得，
a1 k 1
例： 1. 已知数列 { a n } 满足 a n 1 2( n 1)5n a n， a1 3 ，求数列 { a n } 的通项公式。
2. 已知数列a n满足a1 2
， a n 1
n
，求 a n。
3 n
a n
1
3. 已知a1 3 ， a n 1 3n 1
(n 1) ，求 a n。3n
a n
2
（4）待定系数法适用于a n 1qa n f ( n)
解题基本步骤：
1、确定 f (n)
2、设等比数列a n 1 f (n)，公比为
3、列出关系式a n 1 1 f (n1)2[ a n 1 f ( n)]
4、比较系数求 1 ， 2
5、解得数列a n 1 f (n)的通项公式
6、解得数列a n的通项公式
例： 1.已知数列{ a n}中，a11,a n2a n 11(n 2) ，求数列a n的通项公式。
2. （ 2006，重庆 , 文 ,14 ）在数列a n中，若a11,a n 1 2a n 3(n 1) ，则该数列的通项 a n_______________
3. （ 2006. 福建.理 22. 本小题满分 14 分）已知数列 a n 满足a1 1,a n 1 2a n 1(n N * ). 求数列a n的通项公式；
4. 已知数列{ a n}满足a n 1 2a n 3 5n， a1 6 ，求数列 a
n
的通项公式。
解：设 a n 1 x 5n 1 2( a n x 5n )
5. 已知数列 {
a n } 满足a
n 1
3a 5 2n 4， a 1，求数列
{ a n}
的通项公式。
n 1
解：设 a n 1 x 2n 1 y 3(a n x 2n y)
6. 已知数列 a n 中， a1 5 , a n 1 1
a n (
1
) n 1，求a n
6 3 2
7. 已知数列{ a n}满足a n 1 2a n 3n2 4n 5， a1 1，求数列 { a n } 的通项公式。
解：设 a n 1 x(n 1)2 y(n 1) z 2(a n xn2 yn z)
8.已知数列{ a n}满足a n 12a n 4 3n 1， a11，求数列a n的通项公式。
递推公式为 a n 2pa n 1qa n（其中p，q均为常数）。
先把原递推公式转化为a n 2sa n 1t (a n 1sa n )
s t p
其中 s， t 满足
st q
9.已知数列{ a n}满足a n 25a n 16a n , a11,a2 2 ，求数列 { a n } 的通项公式。
10. 已知数列a n 满足 a1 1,a2 3, a n 2 3a n 1 2a n (n N*).
（ I ）证明：数列a
n 1 a n是等比数列；（II）求数列a n的通项公式；
11.已知数列a n中， a1 1 , a2 2 ,a n 2 2 a
n 1
1
3
a n，求a n
3
（5）递推公式中既有S n
分析：把已知关系通过 a n S1 , n 1
a n或S n的递推关系，然后采S n
转化为数列
S n 1 , n 2
用相应的方法求解。
1. （ 2005 北京卷）数列 { a n} 的前n项和为S n，且a1 =1，a
n 1 1 S n ，
n=1
，，，，
2 3
求 a2， a3， a4的值及数列{ a n}的通项公式．
2. （ 2005 山东卷）已知数列a n 的首项 a1 5, 前 n 项和为 S n，且
S
n 1S
n n 5(n N * ) ，证明数列a n 1 是等比数列．
3．已知数列前 n 和1
a n 中，a1 S n ( n 1)(a n 1) 1
3，
2
①求证：数列a n 是等差数列
②求数列 a n 的通项公式
4. 已知数列{ a n}的各项均为正数，且前 n 项和S n满足S n 1
(a n 1)(a n 2) ，且 a2 , a4 , a9 6
成等比数列，求数列 { a n} 的通项公式。（6）根据条件找n1与n项关系
例 1. 已知数列{ a n}中，a11, a n 1C 1
，若C
5
,b n
1
，求数列{ b n}的a n2a n 2
通项公式
{ a n } a 1,a
(1 1
)a
n
n 1 2. （ 2009 全国卷Ⅰ理）在数列 1
n 1
n
2n
中，
a n
（I ）设
b n
{ b n }
的通项公式
n ，求数列
（7）倒数变换法
适用于分式关系的递推公式，分子只有一项
例： 1. 已知数列 { a n } 满足 a n 1
2a n , a 1 1 ，求数列 { a n } 的通项公式。
a n 2
（ 8）对无穷递推数列
消项得到第 n 1 与 n 项的关系
例：1. （ 2004 年全国 I
第 15 题 ， 原 题 是 填 空 题 ） 已 知 数 列 { a n } 满 足
a 1 1， a n a 1 2a 2 3a 3 (n 1)a n 1 (n 2) ，求 { a n } 的通项公式。
2. 设数列
a n 满足 a 1 3a 2 32 a 3 ? 3n 1a n
n
， a N * ．求数列 a n 的通项；
3
（8）、迭代法
例： 1. 已知数列 { a n } 满足 a n 1
a n 3( n 1)2 n
， a 1
5 ，求数列 { a n } 的通项公式。
解：因为 a n 1
a n 3( n 1)2 n
，所以
a n a n 3 n 12
n 1
n 2
n 1
2
( n 2) ( n 1)
[ a n 3( n 2 1) 2 ] 3n 2
a n 3 (2n 1) n 2
[ a n
3( n
3 2) 2
n 3
]
32 ( n 1) n 2
( n 2) (n 1)
a n 33 (3n 2)( n 1)n 2( n 3) (n 2) (n 1)
a 13
n 1
2 3
(n 2) ( n 1) n 21 2(n 3) (n 2) ( n 1)
n ( n 1)
n 1
2
a 13 n ! 2
n 1
n (n 1)
又 a 1 5 ，所以数列 { a n } 的通项公式为 a n 5
3
n! 2
2
。
（ 9）、变性转化法
1、对数变换法适用于指数关系的递推公式
例： 已知数列 {
a n
} 满足 a
2 3n a 5 ， a 1 7 ，求数列 { a n } 的通项公式。
n 1
n
解：因为 a n 1 2 3n a 5n ， a 1 7 ，所以 a n 0， a n 1 0 。
两边取常用对数得
lg a n 1 5lg a n n lg3 lg 2
2、换元法 适用于含根式的递推关系
例： 已知数列 { a n } 满足 a n 1
1
(1 4a n 1 24a n )，a 1 1 ，求数列 { a n } 的通项公式。
16
解：令 b n
1 24a n ，则 a n
1
(b n 2 1)
24