高考数学复习-第十二讲--立体几何之空间角
第十二讲 立体几何之空间角
一、基本知识回顾
空间的角主要包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
1） 异面直线所成角 1.022.π??? ?
???????????范围：，平移相交（找平行线替换）求法：向量法???
??20π，
2） 直线与平面所成角 1.π????????????????
范围0，2定义2.求法向量法??
?
?
??2,0π n
m n m ??=arcsin θ 若n m ⊥则α//a 或α?a 若n m
//则α⊥a
3） 二面角[]1.0.2.π???
??????
??
????
????
??????
范围：定义法（即垂面法）作二面角平面角的方法：三垂线定理及逆定理垂线法
直接法3.求二面角大小的方法射影面积法向量法
θcos S S =' (S 为原斜面面积,S '为射影面积,θ为斜面与射影所成锐二面角的平面
角)
当θ为锐角时，n m n
m
??=arccos θ
当θ为锐角时，n
m n
m ??-=arccos πθ
二、例题讲解
1.在正三棱柱
111
ABC A B C
-中，若
1
2,
AB BB
=求
1
AB与B
C
1
所成的角的大小。
解：法一：如图一所示，
设O为C
B
1
、B
C
1
的交点，D AC
为的中点，则所求角是DOB
∠。
设
1
,2
BB a AB a
==
则，于是在DOB
?中，
1
222
1
1336
,2,
2222
13
,,
2
OB BC a BD a a
OD AB a BD OB OD
====
===+
即90,
DOB
∠=?∴?
=
∠90
DOB
法二：取
11
A B的中点O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系,
xyz
O-AB
2
1
的长度单位，则由
12AB BB =有
()()()(
)
()()
11
1111110,1,2,0,1,2,0,1,0,3,0,0
0,2,2,3,1,2,220,A B B C AB C B AB C B AB C B
-∴=-=-?=-=∴⊥
2.如图二所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是一直角梯形，
90,//,,2,BAD AD BC AB BC a AD a ∠=?===且PA ABCD ⊥底面，PD 与底面成30?
角。
⑴若,AE PD E ⊥为垂足，求证：BE PD ⊥； ⑵求异面直线,AE CD 所成角的大小。 解 ：⑴证明：
PA ABCD ⊥底面，PA AB ∴⊥，
再由AB AD ⊥,得
,,,AB PAD AB PD AE PD PD ABE BE PD
⊥∴⊥⊥∴⊥∴⊥平面又
平面故
⑵如图三所示设,G H 分别为,ED AD 的中点，连结,,BH HG BG 。
DHCB 为平行四边形，
//,,BH CD G H ∴分别为,ED AD 的中点，//,FG AE ∴则BHG ∠或它的补角就是异面
直线,AE CD 所成角，而2211
.222
HG AE a BH AB AH a =
==+=。 22222224
11
a EG AE AB EG BE BG =++=+=
在BHG ?中，由余弦定理可得
22222
cos ,arccos 244BH HG BG BHG BHG BH HG π+-∠==-∴∠=-?
422cos 222-=?-+=∠HG BH BG HG BH BHG 4
2
arccos -=∠∴πBHG
所以，异面直线,AE CD 所成角的大小为2
arccos
。 法二：以,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，
则()()()330,
,,0,,0,0,2,0,0,,,,,02222a a E C a D a AE a CD a a ??
??∴==- ? ? ? ?????
，
()(),0,2,0
,0,
,0
,
2
3
,
2
,0a
D
a
C
a
a
E??
?
?
?
?()
,0,
,
,
2
3
,
2
,0a
a
CD
a
a
AE-
=
?
?
?
?
?
?
=
∴
2
cos,
4
CD AE
CD AE
CD AE
?
∴==，
所以，异面直线,
AE CD所成角的大小为
2
arccos
4
。
3.已知四棱锥P ABCD
-中，底面ABCD是矩形，PA ABCD
⊥平面，1,2,,
AP AD AB E F
===分别是,
AB PD的中点。
⑴求证：//
AF PEC
平面；
⑵求PC与平面ABCD所成角的大小；
⑶求二面角P EC D
--的大小。
解析：法一：⑴如图四所示，
取PC的中点O，连接
1
,//,,//
2
OF OE FO DC FO DC FO AE
∴=∴
又因为,
E AB AB DC FO AE
=∴=
是的中点，且
所以四边形AEOF是平行四边形，
//
AF OE
∴。
又,
OE PEC AF PEC
??
平面平面，
//
AF PEC
∴平面。
⑵连结,,
AC PA ABCD PCA PC ABCD
⊥∴∠
平面是直线与平面所成的角。
在
5
tan
5
5
PA
Rt PAC PAC
AC
?∠===
中，。
5
5
5
1
tan
,=
=
=
∠
?
AC
PA
PCA
PAC
Rt中
即PC ABCD
直线与平面所成角的大小为
5
arctan
5
。
⑶作,
AM CE CE
⊥交延长线于,
M PM
连结。
由三垂线定理，得.
PM CE PMA
⊥∴∠是二面角P EC D
--的平面角。由
2
,tan2
22
2
AME CBE AM PMA
??=∴∠==
可得
2
2
2
1
tan
,
2
2
,=
=
∠
∴
=
?
∝
?PMA
AM
CBE
AME可得
所以，二面角P EC D
--的大小为2。
法二：以A为原点，如图五所示，建立直角坐标系。
则()()()()()()
11
0,0,0,2,0,0,2,1,0,0,1,0,0,,,1,0,0,0,0,1
22
A B C D F E P
??
?
??
。
⑴取PC的中点O，连结
111111
,1,,,0,,,0,,,
222222
OE O AF EO
??????
==
? ? ?
??????//
AF EO
∴=
∴
又,
OE PEC AF PEC
??
平面平面，
//
AF PEC
∴平面。
⑵由题意可得()
2,1,1
PC=-，设平面ABCD的一个法向量是()
0,0,1
PA=-。
6
cos,
PA PC
PA PC
PA PC
?
==
即PC ABCD
直线与平面所成角的大小为
6
arcsin
6
。
⑶设平面PEC的一个法向量为()()()
,,.1,0,1,1,1,0
m x y z PE EC
==-=
则()
0,0
1,1,1,1
0.
m PE x z
z m
x y
m EC
??=-=
?
?
=-=--
??
+=
?=?
??
可得令则
由⑵可得平面ABCD的一个法向量是()
0,0,1
PA=-。
3cos ,3
mPA m PA m PA
=
=
=。 所以，二面角P EC D --的大小为3
arccos
3
。 4.（07）如图六所示正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，
1D CC 为的中点。
⑴求证：11AB A BD ⊥平面 ⑵求二面角1A A D B --的大小。 解析：⑴取BC 中点O ，连结AO 。
因为ABC ?是正三角形，AO BC ∴⊥
因为在正三棱柱111ABC A B C -，平面11ABC BCC B ⊥平面
11AO BCC B ∴⊥平面。
连结O B 1
在正方形C C BB 11中，O ，D 分别为1,CC BC 的中点。
BD O B ⊥∴1
BD
AO⊥
1
AOB
BD平面
⊥
∴
BD
AB⊥
∴
1
在正方形
1
1
A
ABB中，B
A
AB
1
1
⊥
∴
11
AB A BD
⊥平面
取
111
B C O
的中点，以O为原点，
1
,,
OB OO OA的方向为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。
则()()((()
11
1,0,0,1,1,0,3,3,1,2,0
B D A A B
-
()()(
11
111
11111
1,2,3,2,1,0,1,3
220,1430
,,
AB BD BA
AB BD AB BA
AB BD AB BA AB A BD
∴=-=-=-
=-+==-+-=
∴⊥⊥∴⊥平面
⑵设平面
1
A AD的法向量为()
,,
n x y z
=
()()
11
1,1,3,0,2,0,,
AD AA n AD n AA
=--=⊥⊥。
1
0,30,
203
0.
y
n AD x y z
y x z
n AA
?=
??
?=-+=
???
∴∴∴
???
==
?=??
???
?
令()
1,3,0,1
z n
=∴=-为平面
1
A AD的一个法向量。
由⑴知，
1111
AB A BD AB A BD
⊥∴
，为平面的法向量
1
1
1
336
cos,
222
n AB
n AB
n AB
?--
===
?
所以，二面角1A A D B --的大小6arccos 4
。 直接法
设1AB 与B A 1交于G ，在平面BD A 1中，作D A GF 1⊥于F ，连结AF
由（1）得11AB A BD ⊥平面
D A AF 1⊥∴
AFG ∠∴是二面角1A A D B --的平面角。
在D AA 1?中由等面积可求得5
5
4=AF 又22
1
1==
AB AG 4
10
5
542sin =
==
∠∴AF AG AFG 所以，二面角1A A D B --的大小为4
10arcsin 。