函数的应用(教案)
函数的应用
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方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数
)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。(注意：零点是数不是点)
即：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)
(x f y =有零点．
3、函数零点的求法：
○
1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○
2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，能够将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
4、基本初等函数的零点：
①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。
②反比例函数(0)k
y k x
=
≠没有零点。 ③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。
④二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y ．
（1）△＞０，方程2
0(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．
（2）△＝０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
（3）△＜０，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．
⑤指数函数(0,1)x
y a a a =>≠且没有零点。 ⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1.
⑦幂函数y x α
=，当0n >时，仅有一个零点0，当0n ≤时，没有零点。
5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把()f x 转化成
()0f x =，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另
个函数图像的交点个数就是函数()f x 零点的个数。
6、选择题判断区间(),a b 上是否含有零点，只需满足()()0f a f b <。
7、确定零点在某区间(),a b 个数是唯一的条件是：①()f x 在区间上连续，且
()()0f a f b <②在区间(),a b 上单调。
8、函数零点的性质：
从“数”的角度看：即是使0)(=x f 的实数；
从“形”的角度看：即是函数)(x f 的图象与x 轴交点的横坐标；
若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相切，则零点0x 通常称为不变号零点； 若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相交，则零点0x 通常称为变号零点．
二分法
9、二分法的定义
对于在区间[a ，]b 上连续持续，且满足()()0f a f b ?<的函数)(x f y =，通过持续地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
10、给定精确度ε，用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤： （1）确定区间[a ，]b ，验证()()f a f b ?0<，给定精度ε； （2）求区间(a ，)b 的中点1x ； （3）计算1()f x ：
①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；
②若()f a ?1()f x <0，则令b =1x （此时零点01(,)x a x ∈）； ③若1()f x ?()f b <0，则令a =1x （此时零点01(,)x x b ∈）；
（4）判断是否达到精度ε；即若||a b ε-<，则得到零点值a （或b ）；否则重复步骤（2）~（4）．
11、二分法的条件()f a ·()f b 0<表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。
本章解题方法技巧
1. 函数零点的判定(零点存有性定理)
如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续持续的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存有c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．
2. 二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ＞0)零点的分布 根的分布(m ＜n ＜p 为常数)
图象
满足条件 x 1＜x 2＜m
????? Δ＞0
－b 2a ＜m f (m )＞0
m ＜x 1＜x 2
?????
Δ＞0－b 2a ＞m f (m )＞0
x 1＜m ＜x 2
f (m )＜0
m ＜x 1＜x 2＜n
?????
Δ＞0
m ＜－b 2a ＜n f (m )＞0f (n )＞0
n ＜x 2＜p
????
?
f (m )＞0f (n )＜0f (p )＞0
只有一根在 (m ，n )之间
?????
Δ＝0m ＜－b 2a ＜n 或f (m )·f (n ) ＜0
(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
(2)零点存有性定理：利用定理不但要求函数在区间[a ，b ]上是连续持续的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点； (3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
例1：已知)(x f 唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的（ ）
A ．函数)(x f 在(1,2)或[)2,3内有零点
B ．函数)(x f 在(3,5)内无零点
C ．函数)(x f 在(2,5)内有零点
D ．函数)(x f 在(2,4)内不一定有零点
例2：函数22()(2)(32)f x x x x =--+的零点个数为（ ）.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
例3：求132)(3+-=x x x f 零点的个数为 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
例4：函数()ln 2f x x x =-+的零点个数为 。
练习：(2010·福建)函数f (x )＝?
???
?
x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x ＞0的零点个数为( )．
A． 3
B．2 C．7 D．0
对函数零点个数的判断可从以下几个方面入手考虑：(1)结合函数图象；(2)根据零点存有定理求某些点的函数值；(3)利用函数的单调性判断函数的零点是否唯一等．
练习：
一、选择题
1．函数f(x)＝6x2－5x－1的零点是( ).
A．
3
1
或
2
1
B．1或－
6
1
C．2或3 D．1或－6 2．函数f(x)＝x4－2x＋1的一个零点是().
A．－1B．0 C．1 D．2
3．下列四个函数的图象中，在区间(0，＋∞)上有零点的是().
①②③④
A．①②B．①③④C．②④D．①④
4．下列判断准确的是().
A．二次函数一定有零点B．奇函数一定有零点
C．偶函数一定有零点D．以上说法均不准确
5．下列各函数的图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求零点近似值的是().
(第3题)
A
A B C D
6．用二分法求函数f(x)＝x3＋x2－2x－1的一个正零点，可选作计算的初始区间的是().
A．［－1，1］B．［0，1］C．［1，2］D．［2，3］
7．函数y＝log a x(a＞0，a≠1)有()个零点．
A．1 B．2 C．3 D．不能确定8．方程x3 ＋ax2－(a2＋1)x = 0的根的个数是().
A．1 B．2 C．3 D．不能确定9．若2是函数f(x)= x2＋ax－6的一个零点，则实数a的值为().
A．-1 B．1 C．-3 D．3
10．某水果批发市场规定：批发水果很多于100千克时，批发价为每千克2.5元，小王携带现金3000元到市场采购水果，并以批发价买进水果x千克，小王付款后剩余现金为y 元，则x与y之间的函数关系为()．
A．y＝3 000－2.5x，(100≤x≤1 200) B．y＝3 000－2.5x，(100＜x＜1 200)
C．y＝3 000－100x，(100＜x＜1 200) D．y＝3 000－100x，(100≤x≤1 200)
二、填空题
11．函数f(x)＝x3－x的零点是__________________．
12．若函数f(x)＝ax2＋2x－1一定有零点，则实数a的取值范围是___________．
13．已知函数f(x)＝2mx＋4在区间[－2，1]上存有零点，则实数m的取值范围是______．14．用二分法求函数f(x)＝x3－2x－5的一个零点时，若取区间［2，3］作为计算的初始区间，则下一个区间应取为．
15．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c的两个零点是－1和2，且f(5)＜0，则此函数的单调递增区间为．
16. 某卡车在同一时间段里的速度v(km/h)与耗油量Q(kg/h)之间有近似的函数关系式Q＝0.002 5v2－0.175v＋4.27，则车速为km/h时，卡车的油耗量最少．
三、解答题
17．若二次函数f(x)＝－x2＋2ax＋4a＋1有一个零点小于－1，一个零点大于3，求实
数a的取值范围．
18. 设f(x)和g(x)的图象在［a，b］上是连续持续的，且f(a)＜g(a)，f(b)＞g(b)，试证明：在(a，b)内至少存有一点x0，使f(x0)＝g(x0)．
19．若一次函数f(x)＝kx＋1－3k在区间［1，2］内有零点，求实数k的取值范围．
人教版 八年级下册 一次函数的应用教案设计
一次函数的应用 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： ●理解一次函数与一元一次方程的关系、一次函数与一元一次不等式的关系、一次函数与二元一次方程组的关系，会 根据一次函数的图象解决一元一次方程、一元一次不等式的求解问题；会用图象法解二元一次方程组。 ●学习用函数的观点分析方程（组）与不等式的方法，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想。 重点 ●一次函数与一元一次方程的关系的理解；一次函数图象确定一元一次不等式的解集；对应关系的理解及实际问题的 探究建模。 难点： ●一次函数与一元一次方程的关系的理解；一次函数与一元一次不等式的关系的理解；二元一次方程组的解与两直线 交点坐标之间的对应关系的理解。 学习策略： ●通过一次函数、一元一次不等式、一元一次方程及两元一次方程（组）之间的对比，总结出它们之间的内在联系， 真正理解函数与方程，函数与不等式，函数与方程组的关系，进一步体验数形结合思想意义，提高解决实际问题的能力。 二、学习与应用 “凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。 知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？ （一）一次函数：一般地，形如的形式，则称y是x的一次函数；特别地当时，即形如的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。 （二）一元一次方程：只含有个未知数（元），并且未知数的次数都是的方程叫做一元一次方程。一元一次方程的标准形式是： .
（三）一元一次不等式：只含有 个未知数（元），并且未知数的次数都是 的不等式叫做一元一次不等式。 一元一次不等式的标准形式是： . （四）二元一次方程：含有 个未知数，并且未知数的指数都是 ，这样的方程叫做二元一次方程。 （五）二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的 解，叫做二元一次方程组的解。 知识点一：一元一次方程、一元一次不等式、与一次函数之间的关系 请你注意： （一）一次函数与一元一次方程 由于一元一次方程都可以转化为ax+b=0(a 、b 为常量，a ≠0)的形式，所以解一元 一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为 时，求相应的 的值。 从图象上看，这相当于已知直线y ＝kx+b （k ，b 是常数，k ≠0）与 轴交点的 _____坐标的值. （二）一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b ＞0或ax+b ＜0或0ax b +≥或 0ax b +≤（a 、b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次 函数的值 0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应 一次函数y ＝ax +b （a ，b 是常数，a ≠0） 一元一次方程ax +b =0(a 、b 为常量，a ≠0) 一元一次不等式ax +ｂ＞0 或 ax +ｂ＜0或0ax b +≥或 0ax b +≤（a 、ｂ为常数，a ≠0） 令y=______ 令y> (或<，≥,≤)0 不等式解集的 端点值就是对应 方程的解 知识要点——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听 课学习。请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补 充填在右栏。
函数的基本性质教案1第1课时
课题：§1.3.1函数的单调性及最大、小值 ⑴通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； ⑵学会运用函数图象理解和研究函数的性质； ⑶够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性． ⑷理解函数的最大（小）值及其几何意义； ⑸学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 函数的单调性及其几何意义．函数的最大（小）值及其几何意义． 利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．利用函数的单调性求函数的 最大（小）值． ⑴观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： ①随x 的增大，y 的值有什么变化？②能否看出函数的最大（小）值？③函数图象是否具有某种对称性？ ⑵画出下列函数的图象，观察其变化规律： ①f(x) = x ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． ②f(x) = -2x+1 ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． ③f(x) = x 2 ○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ． ○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ． ⑴设函数)(x f y =的定义域是Ｉ，区间I D ?，D x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f < 成立，则称)(x f 在区间D 上是增函数．．． ，如图⑴ ⑵设函数)(x f y =的定义域是Ｉ，区间I D ?，D x x ∈21,，当21x x <时，都有 )()(21x f x f >成立，则称)(x f 在区间D 上是减函数．．． ，如图⑵ ①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ②必须是对于区间D 内的任意．．两个自变量x 1，x 2；当x 1 《一次函数的应用(2)》教案 教学目标 1、能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题. 2、在解决问题过程中，初步体会方程与函数的关系，建立各种知识的练习. 3、通过对函数图象的观察与分析，培养学生数形结合的意识，发展形象思维. 4、通过具体问题的解决，培养学生的数学应用能力. 教学重点 能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题. 教学难点 数形结合在解决实际问题中的使用. 教学过程 一、复习引入 在前几节课里，我们通过从生活中的实际问题情景出发，分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的性质，从中对一次函数在现实生活中的广泛应用有了一定的了解．怎样应用一次函数的图象和性质来解决现实生活中的实际问题，是我们这节课的主要内容．首先，想一想一次函数具有什么性质？ 在一次函数y kx b =+中: 当0k >时，y 随x 的增大而增大， 当0b >时，直线交y 轴于正半轴，必过一、二、三象限； 当0b <时，直线交y 轴于负半轴，必过一、三、四象限． 当0 一、 函数的单调性 1．单调函数的定义 （1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。 （3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。 2、单调性的判定方法 （1）定义法： 判断下列函数的单调区间：2 1x y = （2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （3）复合函数的单调性的判断： 设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在] ,[b a 上也是单调函数。 ①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 ②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 练习：（1）函数24x y -=的单调递减区间是 ，单调递增区间 为 ． （2）5 412 +-= x x y 的单调递增区间为 ． 3、函数单调性应注意的问题： ①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)． ③函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上 是增（或减）函数 4．例题分析 函数专题（二） 函数的性质 （一）函数的单调性与最值 ★知识梳理 1.函数的单调性定义： 设函数的定义域为，区间 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有 ，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增 区间 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说 在区间上是单调减函数，称为的单调减区间 2.函数的最大（小）值 设函数的定义域为 如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为 的最大值； 如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为 的最小值。 ★热点考点题型探析 考点1 函数的单调性 【例】试用函数单调性的定义判断函数2 ()1 f x x = -在区间（1，+∞）上的单调性. 【巩固练习】证明：函数2()1 x f x x = -在区间（0，1）上的单调递减. )(x f y =A A I ?I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f <)(x f y =I I )(x f y =I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f >)(x f y =I I )(x f y =)(x f y =A A x ∈0A x ∈)()(0x f x f ≤)(0x f )(x f y =A x ∈0A x ∈)()(0x f x f ≥)(0x f )(x f y = 考点2 函数的单调区间 1.指出下列函数的单调区间： （1）|1|y x =-； （2）22||3y x x =-++. 2. 已知二次函数2()22f x x ax =++在区间(-∞，4)上是减函数，求a 的取值范围. 【巩固练习】 1．函数26y x x =-的减区间是（ ）. A . (,2]-∞ B. [2,)+∞ C. [3,)+∞ D. (,3]-∞ 2．在区间（0，2）上是增函数的是（ ）. A. y =－x +1 B. y C. y = x 2－4x ＋5 D. y = 2x 3. 已知函数f (x )在-1∞（，）上单调递减，在[1+∞，）单调递增，且其图像关于x=1对称，那么 f (1)，f (－1)，f 之间的大小关系为 . 4.已知函数)(x f 是定义在]1,1[-上的增函数,且)31()1(x f x f -<-,求x 的取值范围. 5. 已知二次函数2()22f x ax x =++在区间(-∞，2)上具有单调性，求a 的取值范围. 考点3 函数的最值 【例】求函数253 32,[,]22 y x x x =--∈-的最大值和最小值： 函数的应用 知识导航 方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。 2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数 )(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。(注意：零点是数不是点) 即：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数) (x f y =有零点． 3、函数零点的求法： ○ 1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○ 2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，能够将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 4、基本初等函数的零点： ①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。 ②反比例函数(0)k y k x = ≠没有零点。 ③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。 ④二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y ． （1）△＞０，方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点． （2）△＝０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． （3）△＜０，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点． ⑤指数函数(0,1)x y a a a =>≠且没有零点。 ⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1. ⑦幂函数y x α =，当0n >时，仅有一个零点0，当0n ≤时，没有零点。 5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把()f x 转化成 ()0f x =，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另 个函数图像的交点个数就是函数()f x 零点的个数。 6、选择题判断区间(),a b 上是否含有零点，只需满足()()0f a f b <。 7、确定零点在某区间(),a b 个数是唯一的条件是：①()f x 在区间上连续，且 ()()0f a f b <②在区间(),a b 上单调。 8、函数零点的性质： 从“数”的角度看：即是使0)(=x f 的实数； 一次函数的应用的教学设计 沙洋县蛟尾中学张金鸿 教学目标: 认知与技能：1.使学生巩固一次函数的概念和性质。 2.使学生能够将实际问题转化为一次函数的问题。 3.能够根据实际意义准确地列出解析式并画出函数图像。 过程与方法：1.通过利用一次函数解决实际问题的过程，使学生数学抽象思维能力得到发展，体验到数学与生活的联系。 2.通过制作函数图像解决实际问题的活动，使学生面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，进一步发展学生解决问题的能力。 情感态度与价值观：1.通过利用一次函数解决实际问题的过程，使学生在数学活动中获得成功体验，建立自信心，增强学生应用数学的意识。 2.通过小组合作学习，培养学生的合作精神。 教学重点:1.使学生能够将实际问题转化为一次函数的问题。 2.能够根据实际意义准确地列出解析式并画出函数图像。 教学难点: 1.使学生能够将实际问题转化为一次函数的问题。 2.根据实际意义准确地画出函数图像。 教学过程： 一、提出问题，导入新课 1.我们前面学习了有关函数的知识，相继我们又学习了一次函数的知识，那么你能举出生活中一次函数的例子吗？ 问题1：（1）假如你是单位领导，你的单位急需用车，但又不准备买车，你们准备和一个个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租合同，设汽车每月行驶x 千米，应付给出租车公司的月租费是y1元，y1=110053+x ，（X ≥0），应付给个体车主的月租费是y2元，y2x 34=（X ≥0）。请你作出决定租哪家的车合算? （2）学生观察图像，判断租哪家车合算。 （3）根据图象，你能很快的回答下列问题吗？ ①如果该单位估计每月的行程约为800千米，那么这个单位租哪家的车合算？ ②如果该单位估计每月的行程约为2300千米，那么这个单位租哪家的车合算？ 二、合作探究，探求新知 [课题]：第一章集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 主备人：高一数学备课组陈伟坚编写时间：2013年9月30日使用班级（21）（22）计划上课时间：2013-2014学年第一学期第6 周星期一至三（四至六月考）[课标、大纲、考纲内容]： 【教材与学情分析】 学生在初中已学过一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质，通过这些基本初等函数引入函数的单调性和最值，学生还是容易接受的，但很多学生的二次函数的性质还不过关，需要加强。学生的阅读理解能力还是较弱，教师需要引导学生对函数的单调性、奇偶性的定义理解透彻。 [教学目标]： [教学重难点]： 1、重点：理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；求函数的单调区间和最值；奇偶性 的定义，判定函数的奇偶性的方法；运用函数图象理解和研究函数的性质。 2、难点：运用函数图象理解函数单调性和奇偶性的定义，研究基本函数的单调性和奇偶性。 [课的类型、教具、教法、教时]： 第1课时 1.3.1 单调性与最大（小）值（1） 【教学目标】 1. 运用已学过的函数特别是二次函数的图象，理解函数的单调性的定义及其几何意义； 2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3. 会用定义证明函数的单调性 【教学重难点】 教学重点: 理解函数的单调性的含义及其几何意义. 教学难点: 用定义证明函数的单调性. 【教学过程】 一、引入课题 1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： ○ 1 随x 的增大，y 的值有什么变化？ ○ 2 能否看出函数的最大、最小值？ 2． 画出下列函数的图象，观察其变化规律： 1．f(x) = x ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． 2．f(x) = -2x+1 ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 2.1.2指数函数的性质的应用 【教学目标】 （1）能熟练说出指数函数的性质。 （2）能画出指数型函数的图像，并会求复合函数的性质。 （3）在学习的过程中体会研究指数函数性质的应用，养成良好的思维习惯。 【教学重难点】 教学重点：指数函数的性质的应用。 ； 教学难点：指数函数的性质的应用。 【教学过程】 ㈠情景导入、展示目标 1.指数函数的定义，特点是什么 2．请两位同学画出指数函数的图象（分两种情况画a>1与0 若ｘ＜０时，ｙ １；若ｘ＝１时，ｙ １． ３．函数)1,0(≠>=a a y a x 是 函数（就奇偶性填）． ㈢合作探究、精讲精练 探究点一：平移指数函数的图像 ) 例１：画出函数21+=x y 的图像，并根据图像指出它的单调区 间． 解析：由函数的解析式可得： 21+=x y ＝??????? -≥-<++) 1(,) 1(,2)2 1(11 x x x x 其图像分成两部分，一部分是将)211 1(+=x y （ｘ＜－１）的图 像作出，而它的图像可以看作)2 1(x y =的图像沿ｘ轴的负方向平移一个单位而得到的，另一部分是将)1(21 2 ≥=+x x y 的图像作出，而 它的图像可以看作将2x y =的图像沿ｘ轴的负方向平移一个单位而得到的． 解：图像由老师们自己画出 单调递减区间［－∞，－１］，单调递增区间［－１，＋∞］． 点评：此类函数需要先去绝对值再根据平移变换画图，单调性由图像易知。 【课题】 函数的实际应用举例 【教学目标】 知识目标： （1）理解分段函数的概念； （2）理解分段函数的图像； （3）了解实际问题中的分段函数问题． 能力目标： （1）会求分段函数的定义域和分段函数在点0x 处的函数值0()f x ； （2）掌握分段函数的作图方法； （3）能建立简单实际问题的分段函数的关系式． 【教学重点】 （1）分段函数的概念； （2）分段函数的图像． 【教学难点】 （1）建立实际问题的分段函数关系； （2）分段函数的图像． 【教学设计】 （1）结合学生生活实际，利用生活的实例为载体，创设情境，激发兴趣； （2）提供给学生素材后，给予学生充分的时间和空间，让学生在发现、探究、讨论、交流等活动中形成知识； （3）提供数学交流的环境，培养合作意识． 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】 3 m 过 程 行为 行为 意图 间 （1）求函数的定义域； （2）求()()()2,0,1f f f -的值． 巡视 指导 动手 求解 交流 掌握 的情 况 30 *动脑思考 探索新知 分段函数的作图 因为分段函数在自变量的不同取值范围内，有着不同的对应法则，所以作分段函数的图像时，需要在同一个直角坐标系中，要依次作出自变量的各个不同的取值范围内相应的图像，从而得到函数的图像． 说明 讲解 思考 理解 记忆 建立 分段 函数 的数 形结 合 35 *巩固知识 典型例题 例2 作出函数()1, 0, 1, x x y f x x x - 【考纲要求】 1. 了解函数的定义域、值域，并能简单求解． 2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质． 【知识网络】 【考点梳理】 1．单调性 （1）一般地，设函数()f x 的定义域为I 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，若都有12()()f x f x <，那么就说函数在区间D 上单调递增，若都有12()()f x f x >，那么就说函数在区间D 上单调递减。 （2）如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间具有严格的单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间。 （3）判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像 定义法： 用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①设D x x ∈21,，且12x x <；②作差 )()(21x f x f -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）④判断)()(21x f x f -的 正负符号；⑤根据定义下结论。 复合函数分析法 设()y f u =，()u g x =[,]x a b ∈，[,]u m n ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在[,]a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表： 函数的基本性质 奇 偶 性 单 调 性 周 期 性 ()u g x = ()y f u = [()]y f g x = 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 导数证明法： 设()f x 在某个区间(,)a b 内有导数'()f x ，若()f x 在区间(,)a b 内，总有'()0('()0)f x f x ><，则()f x 在区间(,)a b 上为增函数（减函数）；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数（减函数） ，则'()0('()0)f x f x ≥≤。 图像法： 一般通过已知条件作出函数图像的草图，从而得到函数的单调性。 2、奇偶性 (1)定义: 如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数;如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数. 理解： (Ⅰ)上述定义要求一对实数x,-x 必须同时都在f(x)的定义域内,注意到实数x,-x 在x 轴上的对应点关于原点对称(或与原点重合),故知f(x)的定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要条件. (Ⅱ)判断函数奇偶性的步骤: ①考察函数定义域; ②考察f(-x)与f(x)的关系; ③根据定义作出判断. (Ⅲ)定义中条件的等价转化 ①f(-x)=-f(x)?f(x)+f(-x)=0;或f(-x)=-f(x) ? ) () (x f x f -=-1 (f(x)≠0) ②f(-x)= f(x) ?f(x)-f(-x)=0;或f(-x)=f(x) ? ) () (x f x f -=1 (f(x)≠0) 反函数性质的应用 只有定义域和值域一一对应的函数才有反函数，反函数是由原函数派生出来的，它的定义域、对应法则、值域完全由原函数决定。因此利用这一关系可以将原函数的问题与反函数的问题相互转化，使问题容易解决。现在看一下反函数性质的应用。 ⒈利用反函数的定义求函数的值域 例1：求函数y= 1 21 x x - +的值域。 分析：这种函数可以利用分离常数法或反函数法求值域，下面利用反函数法来求解。解：由 y= 1 21 x x - +得y(2x+1)=x-1 ∴(2y-1)x=-y-1 ∴x= 1 21 y y -- - ∵x是自变量，是存在的， ∴2y-1≠0，∴y≠1 2。 故函数y= 1 21 x x - +的值域为：{y│y≠ 1 2}。 点评：形如y=ax b cx d + +的函数都可以用反函数法求它的值域。 ⒉原函数与反函数定义域、值域互换的应用 例2：已知f(x)=4x-21x+，求f1-(0)。 分析：要求f1-(0)，只需求f(x)=0时自变量x的值。 解：令f(x)=0，得4x-21x+=0，∴2x（2x-2）=0， ∴2x=2或2x=0（舍）， ∴x=1。 故f1-(0)=1。 点评：反函数的函数值都可以转化为求与之对应的原函数的自变量之值，反之也成立。 ⒊原函数与反函数的图像关于直线y=x对称的应用 例3：求函数y= 2 1 x x+（x∈(-1，+∞)）的图像与其反函数图像的交点。 分析：可以先求反函数，再联立方程组求解；也可以利用原函数与反函数的图像关于直线y=x 对称求解，这里用后一种方法求解。只要原函数与反函数不是同一函数，它们的交点就在直线y=x上。 解：由 2 1 x y x y x ? = ? + ? ?= ?得 x y = ? ? = ?或 1 1 x y = ? ? = ? ∴原函数和反函数图像的交点为（0，0）和（1，1）。 点评：利用利用原函数与反函数的图像关于直线y=x对称的性质，可以简化运算，提高准确率。但要注意原函数与反函数不能是同一函数，它们的交点才在直线y=x上。 ⒋原函数与反函数的单调性相同的应用 例4：已知f(x)=2x+1的反函数为f1-(x)，求f1-(x)<0的解集。 分析：因为f(x)=2x+1在R上为增函数，所以f1-(x)在R上也为增函数。又因为原函数与反函数定义域、值域互换，所以f1-(x)中的x的范围就是f(x)的范围。 解：由f(x)=2x+1>1得f1-(x)中的x>1。 又∵f1-(x)<0且f(x)=2x+1在R上为增函数， ∴f 1() f x - ?? ?? 函数的实际应用教案 一、条件分析 1．学情分析 函数的实际应用是函数这个章节的第五节课，通过前四节课的情景教学，学生对函数的概念、表示方法、单调性、奇偶性的知识进行了系统的学习，所以，在进行教学设计的时候，我们仍然坚持情景教学，从学生身边熟悉的事物入手做到由浅入深，循序渐进。 2.教材分析 一次函数和二次函数在实际生活与生产中应用广泛，教材中对一次函数和二次函数的应用举了五个例子，目的是启发学生应用函数知识去思考问题，解决问题。让学生明白学有所用，学以致用。 二、三维目标 知识与技能目标 A层： 1. 理解分段函数的概念； 2. 理解分段函数的图像； 3. 掌握分段函数的作图方法； 4. 能建立简单实际问题的分段函数的关系式。 B层： 1. 理解分段函数的概念； 2. 理解分段函数的图像； 3. 掌握分段函数的作图方法； C层： 1. 理解分段函数的概念； 2. 理解分段函数的图像； 过程与方法目标 情景教学法、讨论法、讲授法。通过创设情景让学生合作、探究分段函数图像的概念和性质，直观感受函数的实际应用；通过讲授法让学生掌握分段函数的概念和作图方法；通过练习加强对新知识的巩固。 情感态度和价值观目标 通过对函数的实际应用的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对分段函数的概念和作图方法的学习，提高学生对理论知识的实际应用的能力。 三、教学重点 分段函数的概念和作图方法 四、教学难点 能建立简单实际问题的分段函数的关系式 五、主要参考资料： 中等职业教育课程教材数学基础模块（上）、学生学习指导用书、教学参考书。 六、教学进程： 复习导入： 函数的概念——什么函数？如何确定函数的定义域？ 函数的表示方法——函数有那些表示方法？ 函数单调性——如何判断函数的单调性？ 函数的奇偶性——如何判断函数的奇偶性？ 讲授新课： 创设情景：某天，奉节职教中心校长到我校参观，由于时间紧迫，所以决定坐出租车。从职教中心到我校全程17公里。出租车按如下方法收费：起步价5元，可行3公里（含3公里）；3公里到7公里（含7公里）按1.6元/公里计价（不足1公里，按1公里计算）；7公里以后按2.4元/公里计价（不足1公里，按1公里计算）。试写出以行车里程为自变量，车费为函数值的函数解析式，并画出这个函数图像。 请问假如职教中心校长坐出租车打表到我校参观，他需要付多少车费？分析：当行车里程在3公里及以内时，我们需要付车费5元，当行车里程在3公里以上，7公里时，我们需要付车费[5元+1.6元(-3)]元，当行车里程在4x 公里以上，5公里时，我们需要付车费5元+1.6元+1.6=8.2元，当行车里程在7公里以上，我们需要付车费[5元+1.6元4+2.4（-7）]元 ??x 行车里程（公里）x 0<≤3x 3<≤7x 7 《一次函数的应用—数学活动》 一、教学目标 （一）知识与能力目标： 进一步学会从一次函数的角度提出问题，分析问题，并能综合运用所学知识和技能解决问题，发展应用意识。 （二）过程与方法目标： 1、经历提出问题，收集和整理数据的过程，形成如何决策方案的能力。 2、在利用图象探究决策方案过程中，体会“数形结合”思想在数学应用中的广泛性。 二、教学重、难点 重点：灵活运用一次函数进行方案决策 难点：灵活运用一次函数解决三种或三种以上方案决策 三、教法演示法、读图分析法、设问引导法、比较评价法，让学生自主探 索，合作交流。 四、学情分析 八年级学生的抽象思维趋于成熟，形象直观思维能力较强，具有一定的独立思考、实践操作、合作交流、归纳概括等能力，能进行简单的推理论证，掌握了一般三角形和轴对称的知识。因此，在本节课的教学中，可让学生从已有的生活经验出发，参与知识的产生过程，在实践操作、自主探索、思考讨论、合作交流等数学活动中，理解和掌握数学知识和技能，形成数学思想和方法，让每个学生在数学上得到不同的发展，人人都获得必需的数学。 五、教法与学法 教法：我采用探索发现法完成本节的教学，在教学中以学生参与为主，通过直观的演示和学生自己动手使学生在获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件。 学法：在教学中，把重点放在学生如何学这一方面，我认为通过直观演示，得到感性认识，学生在学习中运用发现法，开拓自己的创造性思维，实现由学生自己发现感受“等腰三角形的性质”通过学生自己看、想、议、练等活动，让学生自己主动“发现”几何图形的性质，活跃学生的思维。 六、教学过程 七、板书设计 一次函数的应用 ——数学活动 预设板书（见课件） 生成板书（略） 设计理念： 本节课充分应用多媒体展示信息，板书从两个方面考虑：一是预设的课件，二是在黑板上展示的生成问题。 八、教学反思 课堂教学是一个在预设与生成问题之间交替进行的过程，我会根据课堂实施和学生反馈的信息，因势利导，随机应变，调整教学环节，努力为学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们获得广泛的数学活动经验。这节课是在学生学习了一次函数的有关知识之后进行的，学生对一次函数的性质有了较深层次的理解，而且本节课的内容贴近学生实际，是移动电话如何选择缴费方式更能省钱的问题，而且是为家长帮忙，学生比较有兴趣，可以用自己所学知识帮助家长解决问题，让学生感到很有成就。另外，这节课的课件制作的也很精彩，并且教师设计了许多的学生活动，这些对于本节课的教学都有积极的作用，学生参与的积极性都很高，收到了较好的效果。但也有一些不足，我在备课的时候对于基础很差的一部分学生照顾不够，问题设计的没有照顾全体同学，以至于有一小部分学生没有很好的参与进来，这是我以后需要改进的地方。 《函数单调性的应用》教案 一、教材分析-----教学内容、地位和作用 本课是北师大版新课标普通高中数学必修一第二章第三节《函数的单调性》的内容，该节中内容包括：函数的单调性、函数的最值。总课时安排为3课时，《函数单调性的应用》是本节中的第三课时。 函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、最值，比较两个函数值的大小或自变量的大小、求参变量的取值范围以及解函数不等式等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中对函数的单调性的应用考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 在本节课是以函数的单调性的应用为主线，它始终贯穿于整个课堂教学过程；这是本节课的重点内容。 二、学情分析 教学目标的制定与实现，主要取决于我们对学习者掌握的程度。只有了解学习者原来具有的认知结构，学习者的准备状态，学习风格，情感态度等，我们才能制定合适的教学目标，安排合适的教学活动与评价标准。不同的教学环境，不同的学习主体有着不同的学习动机和学习特点。 我所教授的班级的学生具体学情具体到我们班级学生而言有以下特点：学习习惯不太好，需要不断的引导和规范；数学基本功不太扎实，演算不能做到又准又快；独立解决问题能力弱，畏难情绪严重，探索精神不足。只有少部分学生学习习惯良好，学风严谨，思维缜密。 三、教学目标： 根据新课标的要求，以及对教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标： (一)三维目标 1 知识与技能： （1）.会利用函数单调性求最值或值域. （2）.会利用函数单调性比较两个函数值或两个自变量的大小. （3）.会利用函数单调性求参变量的取值范围. （4）.会利用函数单调性解函数不等式. （5) .通过函数单调性应用的教学，逐步培养学生观察、分析、概括与合作能力； 2 过程与方法： （1）通过本节课的学习，通过“数与形”之间的转换，渗透数形结合的数学思想。 （2）通过合作探究活动，明白考虑问题要细致、缜密，说理要严密、明确。 3 情感，态度与价值观：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作与评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离，培养学生对数学的兴趣。。（二）重点、难点 重点：利用函数单调性求最值或值域，求参变量的取值范围 一次函数的应用 教学目标 【知识与技能】 学会用待定系数法求一次函数的解析式来解决实际问题,建立实际问题的函数模型. 【过程与方法】 经历对实际问题建立数学模型的过程,体验待定系数法的作用和一次函数模型的价值. 【情感、态度与价值观】 1.通过让学生经历用一次函数来解决实际问题、建立实际问题的函数模型的过程,使他们感受到数学的用途和与生活的紧密联系. 2.让学生参与到教学活动中,提高学习数学及运用数学的积极性. 学情分析 学生学习了一次函数的图像和性质，用待定系数法确定一次函数解析式，已能够熟练的确定一次函数的解析式，并运用相关性质解决问题。学生已经学习了方程和不等式解决实际问题，具备分析实际问题的能力。 重点难点 【重点】 用一次函数知识来解决实际问题. 【难点】 建立实际问题的数学模型. 教学过程 一、创设情境,导入新知 师：一次函数的图像有哪些特点，说明一次函数有哪些性质？ （学生回答） 师:我们在上节课学习了待定系数法,大家还记得是怎么用的吗? 生:设出解析式,然后把已知点的坐标代入,解方程或方程组,解得系数值,进而得到解析式. 师:很好!我们这节课就用它来解决一些实际问题. 二、共同探究,获取新知 教师多媒体出示. 【例】为节约用水,某城市制定以下用水收费标准:每户每月用水不超过8m3时,每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费;超过8m3时,超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元的污水处理费.设一户每月用水量为xm3,应缴水费y元. (1)给出y关于x的函数关系式. (2)画出上述函数图象. (3)该市一户某月若用水量为x=5m3或x=10m3时,求应缴水费. (4)该市一户某月缴水费26.6元,求该户这月用水量. 课程标题 函数的基本性质 学习目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应 用函数的基本性质解决一些问题。 （2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法． （3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。 重点与难点 （1）判断或证明函数的单调性； （2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。 学习过程 一、 函数的单调性 1．单调函数的定义 （1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。 （3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。 2、单调性的判定方法 （1）定义法： 判断下列函数的单调区间：2 1x y = （2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （3）复合函数的单调性的判断： 设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在] ,[b a 上也是单调函数。 ①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 ②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相 同。 即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 练习：（1）函数2 4x y -= 的单调递减区间是 ，单调递增区间 为 ． §1.3函数的基本性质的应用 教学设计 一、课标分析 1．本内容是在高中数学人教社A版必修1讲完1.2．1函数的单调性和奇偶性之后，安排的一节专题研究课。这节课承接前面所研究的函数的定义、表示方法、单调性、奇偶性，是这些内容的深化、提高，并且是在研究完具体初等函数的性质之后再进行的，从感性认识提高到理性认识。另一方面，为后面学习指数函数、对数函数、及数列这种特殊的函数打下基础，与不等式、求函数的值域、最值、导数等等都有着紧密的联系，同时它对后面的函数的进一步学习在思维上起着进一步深化、拓展的作用。 2．本节课在函数中是由具体到抽象的一个重要过渡，它对后面利用函数性质的进一步研究抽象函数问题起着重要的铺垫、引领作用。 3．通过函数的性质的研究，能够培养、训练、提高学生的逻辑思维能力和发散思维能力，对其他知识的进一步学习、探索产生良好迁移作用具有奠基性的作用。 4．通过对函数性质的研究，能够对其它学科的学习，比如说物理学中的波形图、化学中的无机化学、生物学中的遗传等知识，使学生在思维上具有正面的积极导向，给予数学上的基础性支撑。 5．渗透转化等数学思想方法。从学习过程中感悟转化思想的作用，化繁为简、化抽象为直观，为今后进一步学习、深化，打下坚实基础。 二、教材分析 函数的性质与应用位于高一数学教材必修1，且贯穿于整个高中学习。在高考中，函数的性质是命题的主线索，并且考察的类型较多，涉及到函数的单调性、单调区间、奇偶性、周期性、最值、图象，函数与导数、不等式的联系等，在选择、填空和解答题中都有体现。其中函数的单调性、奇偶性和周期性更是重中之重。而学生对函数各性质的掌握和应用能力还不够。鲁教版-数学-七年级上册-《一次函数的应用(1)》教案
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