中原名校(即豫南九校)2020-2021学年高一上学期期末联考数学试题 (2)

河南省中原名校（即豫南九校）【最新】高一上学期期末联考

数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合{}1,2A =，则集合(){,|,}B x y x A y A =∈∈中元素的个数为（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2．已知直线1:10l ax y +-=与直线2

2:0l x ay a ++=平行，则a 的值为

A ．1

B ．-1

C ．0

D ．-1或1

3．函数()2

1,02log ,0

x

x f x x x ???≤? ?=????>?，则1

(())8f f =（ ）

A ．

14

B ．4

C ．

18

D ．8

4．设,αβ是两个不同的平面，m 是直线且m α?，//m β，若使//αβ成立，则需增加条件（ ）

A ．n 是直线且n ?α，//n β

B ．,n m 是异面直线，//n β

C ．,n m 是相交直线且n ?α，//n β

D ．,n m 是平行直线且n ?α，//n β

5．已知函数()2

23f x x ax =--在区间[]1,2上是单调增函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞

B ．(],1-∞

C ．()2,+∞

D ．[)2,+∞

6．已知矩形ABCD ，6AB =，8BC =，沿矩形的对角线AC 将平面ACD 折起，若

,,,A B C D 四点都在同一球面上，则该球面的面积为（ ）

A ．36π

B ．64π

C ．100π

D ．200π

7．设()f x 是定义在实数集上的函数，且(2)()f x f x -=，若当1x ≥时，()ln f x x =，则有（ ）

A ．(1)(0)(2)f f f -<=

B ．(1)(0)(2)f f f ->=

C ．(1)(0)(2)f f f -<<

D ．(1)(0)(2)f f f ->>

8．已知2()f x ax bx =+是定义在[1,2]a a -上的偶函数，那么()f x 的最大值是（ ）

A ．0

B ．

13

C ．

427

D ．1

9．某四面体的三视图如图，则该四面体的体积是（ ）

A ．1

B ．

43

C ．

32

D ．2

10．已知实数,x y 满足方程22410x y x +--=，则y 2x -的最小值和最大值分别为（ ） A ．-9，1

B ．-10，1

C ．-9，2

D ．-10，2

11．已知函数2

()21f x ax x =-+，若对一切1

[,2]2

x ∈，()0f x >都成立，则实数a 的

取值范围为（ ） A ．1[,)2

+∞

B ．1(,)2

+∞

C ．(1,)+∞

D ．(,1)-∞

12．已知,AC BD 为圆229O x y +=：的两条互相垂直的弦，且垂足为()1,2M ，则四边形ABCD 面积的最大值为（ ） A ．10 B ．13 C ．15 D ．20

二、填空题

13．函数

2

12

()log (1)f x x =-的单调递增区间为__________． 14．已知集合22

{(,)|(1)(2)6}A x y x y =-++=，{(,)|250}B x y x y =+-=，则集

合A B 中子集个数是__________．

15．如图，已知圆柱的轴截面11ABB A 是矩形，12AA AB =，C 是圆柱下底面弧AB 的中点，1C 是圆柱上底面弧11A B 的中点，那么异面直线1AC 与BC 所成角的正切值为__________．

16．已知函数2

11,1()42,1

x x f x x x x ?-+<=?-+≥?，则函数()(2)()21g x x f x x =--+的零点个

数为__________．

三、解答题

17．已知全集U =R ，集合3{|0log 1}A x x =<<，集合{|21}B x m x m =<<-. （1）当1m =-时，求A B ，()U C A B ?；

（2）若A

B A =，求实数m 的取值范围.

18．已知直线:(2)()0l a b x a b y a b -+++-=及点(1,3)P . （1）证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标； （2）当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程. 19．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()13x

x

f x =-. （1）求()f x 的解析式； （2）解不等式()8

x f x <-

. 20．已知圆C 经过点(2,1)A -，(0,3)B -和直线1x y +=相切. （1）求圆C 的方程；

（2）若直线l 经过点(2,0)B ，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程.

21．如图，四面体PABC 中，PA ⊥平面ABC ，1PA =，1AB =，2AC =，BC =. （Ⅰ）求四面体PABC 的四个面的面积中，最大的面积是多少？ （Ⅱ）证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC BM ⊥，并求

PM

MC

的值．

22．已知函数3()32log f x x =-，3()log g x x =.

（1）当[1,9]x ∈时，求函数()[()1]?()h x f x g x =+的值域；

（2）如果对任意的[1,9]x ∈，不等式2()?f x f k >恒成立，求实数k 的取值范围； （3）是否存在实数a ，使得函数()[()2]?()F x ag x f x =+的最大值为0，若存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.

参考答案

1．D 【分析】

由题意，集合B 是由点作为元素构成的一个点集，根据,x A x B ∈∈，即可得到集合B 的元素. 【详解】

由题意，集合B 中元素有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，共4个．故选D ． 【点睛】

与集合元素有关问题的思路：

（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集． （2）看这些元素满足什么限制条件．

（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性． 2．A 【解析】

由于直线l 1：ax ＋y －1＝0与直线l 2：x ＋ay ＋2a ＝0平行所以210a -=， 即a =－1或1，经检验1a =成立. 故选A. 3．D 【解析】

∵211log 388f ??

==- ???

，∴

()3

113882f f f -?

?????

=-== ? ? ?????

??. 故选D 4．C 【详解】

要使//αβ成立，需要其中一个面的两条相交直线与另一个面平行，

,n m 是相交直线且n ?α，//n β，m α?，//m β，

由平面和平面平行的判定定理可得//αβ.

故选C. 5．B 【解析】 【分析】

根据二次函数的图象与性质，可知区间[]

1,2在对称轴0x a =的右面，即1a ≤，即可求得答案. 【详解】

函数()2

23f x x ax =--为对称轴0x a =开口向上的二次函数，

在区间[]

1,2上是单调增函数，

∴区间[]1,2在对称轴0x a =的右面，即1a ≤， ∴实数a 的取值范围为(],1-∞.

故选B. 【点睛】

本题考查二次函数的图象与性质，明确二次函数的对称轴、开口方向与函数的单调性的关系是解题关键. 6．C 【解析】

矩形ABCD,AB=6，BC=8，矩形的对角线AC=10为该球的直径，所以该球面的面积为100π. 故选C. 7．B 【解析】

由f (2－x )＝f (x )可知函数f (x )的图象关于x ＝1对称，所以()()02f f =，

()()13f f -=，又当x ≥1时，f (x )＝ln x 单调递增，所以()()()102f f f ->=，

故选B. 8．C 【解析】

∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝

1

3

.

又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴()213f x x =，所以()2

124

3327

min f x ??=?=

???. 故选C. 9．B 【解析】

在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中还原出三视图的直观图，其是一个三个顶点在正方体的右侧面、一个顶点在左侧面的三棱锥，即为D 1-

BCB 1，如图所示，该四面体的体积为114

V 222323

=????=.

故选B ．

点睛：三视图问题的常见类型及解题策略

(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．

(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．

(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图． 10．A 【解析】

22410x y x +--=即为()2

225x y -+=

y －2x 可看作是直线y ＝2x ＋b 在y 轴上的截距，

当直线y ＝2x ＋b 与圆相切时，纵截距b =得b ＝－9或1．所以y －2x 的最大值为1，最小值为－9． 故选A. 11．C

【解析】

由题意得，对一切1,22x ??∈????

，f (x )>0都成立，

即222

21211

a (1)1x x x x x

->

=-=--+， 而2

1(1)11x

--+≤，

则实数a 的取值范围为()1,+∞. 故选C.

点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：

（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；

（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为

min ()0f x > ，若()0f x <恒成立max ()0f x ?<；

（3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为min max ()()f x g x >（需在同一处取得最值） . 12．B 【解析】

如图，作OP ⊥AC 于P ，OQ ⊥BD 于Q ，

则|OP |2＋|OQ |2＝|OM |2＝5，∴|AC |2＋|BD |2＝4(9－|OP |2)＋4(9－|OQ |2)＝52．

则|AC |·

|BD |=AC 52AC -=，

当2

26AC =时，|AC |·

|BD |有最大值26，此时S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |=1

2

×26＝13， ∴四边形ABCD 面积的最大值为13． 故选B ．

点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：

（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；

（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形； （３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小． 13．(),1-∞- 【解析】

由210x ->可得，1x > 或1x <- ，令2u 1x =-,因为21u x =-在(),1-∞-上递减，函

数12

y log u =在定义域内递减，根据复合函数的单调性可得函数

()()

2

12

log 1f x x =-的单调递增区间为(),1-∞-，故答案为(),1-∞-. 14．4 【解析】

由题意知A B ?中的元素为圆与直线交点， 因为圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0

的距离d ==<，

所以直线与圆相交．集合A B ?有两个元素. 故集合A B ?中子集个数为4. 故答案为：4. 15

．【解析】

取圆柱下底面弧AB 的另一中点D ，连接C 1D ，AD ， 因为C 是圆柱下底面弧AB 的中点，所以AD ∥BC ，

所以直线AC 1与AD 所成角等于异面直线AC 1与BC 所成角， 因为C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点， 所以C 1D ⊥圆柱下底面，所以C 1D ⊥AD ， 因为圆柱的轴截面ABB 1A 1是矩形， AA 1=2AB 所以C 1D ＝

AD ，

所以直线AC 1与AD 所成角的正切值为

， 所以异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为

故答案为：

.

点睛：求两条异面直线所成角的关键是作为这两条异面直线所成角，作两条异面直线所成角的方法是：将其中一条一条直线平移与另一条相交相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使他们相交，然后再同一平面内求相交直线所成角，值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当位置. 16．3 【解析】

由()()()

221g x x f x x =--+，得()213

222

x f x x x -==+--， 作出y ＝f (x )，3

y 22

x =+

-的图象，

由图象可知共有3个交点，故函数的零点个数为3． 故答案为：3

17．(1)A ∪B ＝{x |－2

试题分析：（1）求解集合A,B 根据集合交并补的定义求解即可；

（2）由A ∩B ＝A ，得A ?B ，从而得122113m m

m m ->??

≤??-≥?

，解不等式求解即可.

试题解析：

（1）由题得集合A ＝{x |0＜3log x ＜1}={x |1＜x ＜3} 当m ＝－1时，B ＝{x |－2

()(]{|13}{|22}2,1U C A B x x x x x ?=≤≥?-<<=-或

（2）由A ∩B ＝A ，得A ?B .

.

解得m ≤－2，

即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． 18．(1)证明见解析，定点坐标为21,33??

- ???

；(2)15x ＋24y ＋2＝0. 【解析】

试题分析：（1）直线l 的方程可化为 a (2x ＋y ＋1)＋b (－x ＋y －1)＝0，由210

10x y x y ++=??-+-=?

，

即可解得定点；

（2）由（1）知直线l 恒过定点A 21,33??

-

??

?，当直线l 垂直于直线P A 时，点P 到直线l 的距离最大，利用点斜式求直线方程即可. 试题解析：

（1）证明：直线l 的方程可化为 a (2x ＋y ＋1)＋b (－x ＋y －1)＝0， 由210

10x y x y ++=??

-+-=?

，

得23

1

3x y ?=-????=??

，所以直线l 恒过定点21,33??- ???．

（2）由（1）知直线l 恒过定点A 21,33??

-

???

， 当直线l 垂直于直线P A 时，点P 到直线l 的距离最大．

又直线P A 的斜率1

3832513k -

==??-- ???

，所以直线l 的斜率k l ＝－58．

故直线l 的方程为152383y x ??-

=-+ ???

， 即15x ＋24y ＋2＝0．

19．(1),0,13()0,0,,0.13

x x x

x f x x x x -?

==???>-?；(2)(－∞，－2)∪(0,2)．

【解析】

试题分析：（1）奇函数有f (0)＝0，再由x <0时，f (x )＝－f (－x )即可求解； （2）由（1）分段求解不等式，最后取并集即可. 试题解析：

（1）因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以当x=0时，f (x )＝0， 当x <0时，f (x )＝－f (－x )，－x >0，又因为当x >0时，f (x )＝，.

所以当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－

＝

..

综上所述：此函数的解析式(),0,130,0,,0.13x x x

x f x x x x -?

==???>-?

.

（2）f (x )<－，当x=0时，f (x )<－不成立； 当x >0时，即<－，所以<－，所以

>，所以3x －1<8，解得x <2，

当x <0时，即

<－，所以

>－，所以3－x >32，所以x <－2，

综上所述解集是(－∞，－2)∪(0,2)．

20．(1)(x －1)2＋(y ＋2)2＝2；(2)x ＝2或3x －4y －6＝0． 【解析】

试题分析：（1）先求线段AB 的垂直平分线方程为1y x =--，设圆心的坐标为C (a ，－a －1)，由圆心到点的距离和到切线的距离相等求解即可； （2）由题知圆心C 到直线l

的距离1d ==，进而讨论直线斜率存在不存在两种情况

求解即可. 试题解析：

（1）由题知，线段AB 的中点M(1,－2)，()31102

AB k ---=

=-,

线段AB 的垂直平分线方程为()21y x +=--，即1y x =--， 设圆心的坐标为C (a ，－a －1)，

=

，

化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1．∴C (1，－2)， 半径r ＝|AC |＝

＝

．

∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2． （解二：可设原方程用待定系数法求解） （

2）由题知圆心C 到直线l 的距离1d =

=，

①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2， 满足条件．

②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()2y k x =-

1=，

解得k ＝，

∴直线l 的方程为y ＝（x －2）．

综上所述，直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －6＝0． 点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：

（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；

（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形； （３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．

21. 【解析】

试题分析：（1）易得ACB ?，PAC ?,PAB ?,PCB ?均为直角三角形，且PCB ?的面积最大，进而求解即可；

（2）在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N ．在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连接BM ，可证得AC ⊥平面MBN ，从而使得AC ⊥BM ，利用相似和平行求解即可. 试题解析：

（1）由题设AB ＝1，AC ＝2，BC 可得222AB BC AC +=,所以AB BC ⊥,

由P A ⊥平面ABC ，BC 、AB ?平面ABC ,所以PA BC ⊥，PA AB ⊥,

所以PB =

又由于PA∩AB ＝A ，故BC ⊥平面PAB, PB ?平面PAB,所以BC PB ⊥,

所以ACB ?，PAC ?,PAB ?,PCB ?均为直角三角形，且PCB ?的面积最大，

1

2PCB S ?=

=

．

（2）证明：在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N ．在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连接BM ．

由P A ⊥平面ABC 知P A ⊥AC ，所以MN ⊥AC ． 由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN ． 又BM ?平面MBN ，所以AC ⊥BM ． 因为ABN ?与ACB ?相似，1

2

AB AB AN AC ?==， 从而NC ＝AC －AN ＝．

由MN ∥P A ，得＝＝．

22．(1)[0,2]；(2)(－∞，81

16

-)；(3)答案见解析. 【解析】

试题分析：（1）由h (x )＝－2(log 3x －1)2＋2，根据log 3x ∈[0,2]，即可得值域； （2）由(

)2

?f x

f k >，令t ＝lo

g 3

x ，因为x ∈[1,9]，所以t ＝log 3

x ∈[0,2]，得(3－4t )(3

－t )>k 对一切t ∈[0,2]恒成立，利用二次函数求函数的最小值即可；

（3）由()()()2

33 2log 34log 6F x a x a x =-+-+，假设最大值为0，因为3log x R ∈,则有

(

)()2

20344260a a a -

?--?-?=??，求解即可. 试题解析：

（1）h (x )＝(4－2log 3x )·log 3x ＝－2(log 3x －1)2＋2， 因为x ∈[1,9]，所以log 3x ∈[0,2]， 故函数h (x )的值域为[0,2]． （2）由(

)2

?f x

f k >，

得(3－4log 3x )(3－log 3x )>k ，

令t ＝log 3x ，因为x ∈[1,9]，所以t ＝log 3x ∈[0,2]， 所以(3－4t )(3－t )>k 对一切t ∈[0,2]恒成立， 令()()2

3434159y t t t t =--=-+，其对称轴为15

8

t =

， 所以当158t =

时，y 的最小值为81

16

-

， 综上，实数k 的取值范围为(－∞，81

16

-)．. （3）假设存在实数a ，使得函数()()()2F x ag x f x ??=+???的最大值为0， 由

()()()()()()()2

33332log 232log 2log 34log 6

F x ag x f x a x x a x a x ??=+?=+-=-+-+??.

因为3log x R ∈,则有()()2

20344260

a a a -

使得函数()()()2F x ag x f x ??=+???的最大值为0. 点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：

（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；

（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为

min ()0f x > ，若()0f x <恒成立max ()0f x ?<；

（3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为min max ()()f x g x >（需在同一处取得最值） .