对数与对数运算知识点
对数与对数运算
1. 对数:如果a x
=N(a>0,且az 1),那么数 x=log a N
,其中a 叫做对数的底数, 2. 对数的性质:(1)1的对数等于 有对数 3. 以10为底的对数叫做常用对数
x 叫做以a 为底N 的对数,记作
N 叫做真数. 0 ;(2)底数的对数等于1;(3)零和负数没 ,log io N
记作 lg
N . 4. 以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数, logeN 记作ln N
5. 对数的运算性质:如果 a>0,且a 工1 , M>0;N>0,那么:
(MN) .
M .
N
N1N …Nk
N1 .
N2
.
N3
(1) log a =log a +log a ; log a ( )=log a +log a + …log a ;
(M / N)
M
N
(2) log a =log a -log a ;
(3) log a M i =nlog a M
N I N 6.对数换底公式:log - =log
N a ; log
7. 对数运算中的三个常用结论: a logaN N ,log a a =1,log a 1=0 8. 两个常用的推论:a , b >0且均不为1,m,n,为正整数
(1)
log a b
x log b a
=1; log a b
x log b C
x log c a
=1;
b
n
n
b
(2)
log a m m"og a ; log m a 9. 指数和对数的关系:a x
=N
a ‘
b lo g a N
n b m
log a b
;
1 =1
n
log a N
=x
比较指数式、根式、对数式:
几个对数运算公式的证明
证明下列公式:
(1)
(2) (3) 对数的运算性质 对数的运算性质 对数的换底公式:
(4) (5) (6) 对数运算中的常用结论: a , (M / N)
M
:log a =log a -log
:log a M=nlog a M
log
a b =晋
logc
a logaN N
1,log a b X log b a =1 1,m 为正整数,log 1,m,n 为正整数,log 则 M =M=a x-y N M a y
? x-y= log a : log a N ,. log a~N
(2)设 a x
=M 贝? x=log a M
,
M n , ? log a M n = nlog a b =x ,贝廿 a x
=b . b =logc b
a = a logc I a N =x ,贝廿 a x
=N.v log a a x =x ,. a a b =3 , log b a
=必,? log a b
X log lg a lg b b m
=x ,则(a °) x =b m , ? a mx =b m ,. log b m
b ,…log
a m
=log a
mx
贝廿(a 。x =b n , ?? log/
=log nlog a b , ? x= n log a b , ?- log a m
b =-log a b
m m
(7) a ,
a ,
b > 0且均不为 b > 0且均不为 b > 0且均不为 b m
a m
证明:(1)设 a x =M a y
=N, M . N a - log a
? xn=log (3)设 log -log c a ,. log (4) 设 log (5) v log (6)设 log mlog a b ,.?. x=log (7)设 log a m
b n =x , =log a
=-log m
IM
a~N , b n
m
a M N -x=log a , y=log a , x-y=log M . N log a - log a ? ? nx=nlog a .- M a
xx a b b
? ? log c a =log c b ,…xlog c =log c ,…x=log c (a x ) x
l0
9a a
a b n=M ,「? a xn =M , =a x ,A a log
a ax
=N =lgb x lga =1 lgb = log a b m , mxlog a a
= lg a mx a a b n ,「. mxlog a a
=