四种傅里叶变换

傅里叶变换

对信号和系统的分析研究可以在时间域进行，也可以在频域进行。连续时间信号是时间变量t 的函数，连续时间系统在时间域可以用线性常系数微分方程来描述，也可以用冲激响应来描述。离散时间信号（序列）是序数n 的函数，这里n 可以看成时间参量，离散时间系统在时间域可以用线性常系数差分方程来描述，也可以用单位脉冲响应来描述。

在时间域对信号和系统进行分析研究，比较直观，物理概念清楚，但仅在时间域分析研究并不完善，有些问题研究比较困难。比如，有两个序列，从时间波形上看，一个变化快，一个变化慢，但都混有噪声，希望用滤波器将噪声滤除。从信号波形观察，时域波形变化快，意味着含有更高的频率成分，因此这两个信号的频谱结构不同，那么对滤波器的性能要求也不同。为了设计合适的滤波器，就需要将时域信号转换到频率域，得到其频谱结构，分析其特性，进而得到所要设计的滤波器的技术指标，然后才能进行滤波器的设计。

在连续时间信号与系统中，其频域方法就是拉普拉斯变换与傅里叶变换。在离散时间信号与系统中，频域分析采用z 变换与傅里叶变换作为数学工具。现在针对几种傅里叶变换的基本概念、重要特点、相互关系作详细的介绍。

傅里叶变换的几种可能形式

对傅里叶变换的几种可能形式进行总结，再进一步引出周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示。

一. 非周期连续时间信号的傅里叶变换

在“信号与系统”课程中，这一变换对为

?∞

∞-Ω-=Ωdt e t x j X t j a a )()( ΩΩ=?∞

∞-Ωd e j X t x t j a a )(21)(π

这一变换对的时频域示意图(只说明关系，不表示实际的变换对)如图所示。可以看出时域上是非周期连续信号，频域上是连续非周期的频谱。

二. 周期连续时间信号的傅里叶级数及傅里叶变换表示

在“信号与系统”课程中，如果)(t x 是一个周期为T 的连续时间信号，则)(t x 可以展开成傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为n X ，n X 是离散频率的非周期函数。)(t x 与n X 组成周期连续时间信号的傅里叶级数变换对为 ?-Ω-=22

1)(1T

T t jn n dt e t x T X ∑∞-∞=Ω=n t jn n e X t x 1)(

这一变换对的时频域示意图如图所示。可以看出时域上是周期连续信

号，频域上是离散非周期的频谱。也就是说，周期连续信号可以分解成无穷多个谐波分量之和，其中基波频率分量为T π21=

Ω。

另外，周期信号虽然不满足绝对可积条件，但在频域引入冲激函数函数后，其傅里叶变换仍可以表示。对周期信号)(t x ，其傅里叶变换)(Ωj X 表示为

∑∞-∞=Ω-Ω=Ωn n n X j X )(2)(1δπ

三. 非周期序列的傅里叶变换

周期连续信号及其频谱

p

T 1=Ω非周期连续信号及其频谱

0Ω0

序列的傅里叶变换，即

n j n j e n x e X ωω

-∞-∞=∑=)()(

ωπωωππd e e X n x n j j )(21)(?-=

这一变换对的时频域示意图如图所示。可以看出时域上是非周期离散时间信号，频域上是连续周期的频谱。

序列的傅里叶变换是序列的频谱，也就是时域离散信号的频域特征。在数字滤波器的设计和信号的频谱分析中经常用到，因此是数字信号处理的重要工具之一。)(ωj e X 一般是复函数，可以写成模和辐角，或者实部和虚部的形式。

)()()()()(ωωωφωωj I j R j j j e jX e X e e X e X +== (3.2.

5)

其中ωω|~)(|j e X 称为序列的幅度频谱，而ωω?~)(称为序列的相位频谱；ωω~)(j R e X 称为序列的实部频谱，ωω~)(j I e X 称为序列的虚部频谱。经常用ωω|~)(|j e X 和ωω?~)(来表示信号的频谱。

四. 周期序列的离散傅里叶级数

上面所讨论的三种傅里叶变换都不能在计算机上实现，因为它们在时域连续或者频域连续，或者时域和频域都是连续的。如果要用数字计算机对信号进行频谱分析，也就是要计算信号的傅里叶变换，必须要求输入时域信号是离散的，而计算机得到的频谱值也应该是离散的。

由上面三种情况，不难发现以下规律：一个域的连续必然对应另一个域的非周期，一个域的离散必然对应另一个域的周期。所以，可以大胆推断出第四种情况，也就是周期序列的频谱特征必然是离散周期的。示意图如图所示。表1非周期序列及其频谱

ωj

对四种傅里叶变换形式的特点作了简要归纳。这里所介绍得到傅里叶变换的几种可能形式中，只有第四种形式对于数字信号处理有实用价值。要使前三种形式能用数字计算机上进行计算，必须针对每一种形式的具体情况，或者在时域和频域同时取样；或者在时域取样；或者在频域取样。最后都将使原时间函数和频率函数都成为周期离散的函数，那么前三种形式最后都变成第四种形式。这也就是我们将要提出的周期序列的离散傅里叶级数，也可以认为是后面要重点介绍的离散傅里叶变换（DFT ）的过渡形式。

表1 四种傅里叶变换形式的归纳

设)

(~n x

是以N 为周期的周期序列，与连续时间信号的傅里叶级数展开类似，由于)(~

n x 是周期的，必然可以进行傅里叶级数展开。离散傅里叶级数变换对： kn N j N n e n x n x DFS k X π

210)(~)](~[)(~--

=∑== ∞<<∞-k

周期序列及其频谱

kn N j N k e k X N k X IDFS n x π

210)(~1)](~[)(~∑-=== ∞<<∞-n 这里的)(~n x 和)(~k X 都是以N 为周期的周期序列，

时域和频域都是周期离散的，也是傅里叶变换的第四种形式。其有很明显的物理意义，它表示周期序列

)(~n x 可以分解成N 次谐波，第k 次谐波频率为k N

π2，1,,2,1,0-=N k ，谐波的幅度为|)(~|1k X N

。其中0=k ，表示直流分量，其幅度为|)(~|1|)0(~|110∑-==N n n x N X N 。