列举法
列举法
解决问题时，有时把问题分为不重复、不遗漏的有限情况，一一列举出来加以分析、解决，最终达到解决整个问题的目的。这种分析、解决问题的方法叫做列举法，也叫枚举法或穷举法。
【例题】
1、小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。若两枚骰子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。试判断他们两人谁获胜的可能性大。
2、从1～50这50个自然数中选取两个数字，使它们的和大于50，共有多少种不同的取法？
3、在算盘上，用两颗珠子可以表示多少个不同的四位数？
4、用一根80厘米长的铁丝围成一个长方形，长和宽都要是5的倍数。哪一种方法围成的长方形面积最大？
5、在甲、乙两个仓库存放大米，甲仓存90袋，乙仓存50袋，甲仓每次运出12袋，乙仓每次运出4袋。运出几次后，两仓库剩下大米的袋数相等？
6、甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止，甲赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘。问小强赛了几盘？
7、小明的暑假作业有语文、算术、外语三门，他准备每天做一门，且相邻两天不做同一门。如果小明第一天做语文，第五天也做语文，那么，这五天作业他共有多少种不同的安排？
【练习】
1、有8张卡片，上面分别写着自然数1至8。从中取出3张，要使这3张卡片上的数字之和为9。问有多少种不同的取法？
2、从1～50这50个自然数中选取两个数字，使它们的和不大于50，共有多少种不同的取法?
3、一本书共100页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字？
4、数一数，右图中有多少个三角形。
5、小军玩投镖游戏，根据镖的落点不同，可以得到10分、8分或5分，如图所示。小军投了3支，3支镖都打中了靶，这3支镖投中的分数之和共有多少种不同的可能？
6、有三组小朋友共72人，第一次从第一组里把与第二组同样多的人数并入第二组；第二次从第二组里把与第三组同样多的人数并入第三组；第三次从第三组里把与第一组同样多的人数并入第一组。这时，三组的人数一样多。问原来各组有多少个小朋友？
7、A、B、C、D、E、F六支球队进行单循环赛，当比赛进行到某一天时，统计出A、B、C、D、E五队已分别比赛了5、4、3、2、1场，由此可知，还没有与B队比赛的球队是那个队？
8、甲、乙比赛乒乓球，五局三胜。已知甲胜了第一盘，并最终获胜。问：各盘的胜负情况有多少种可能？
9、现在长度分别为3、5、7、9、11的五根木棍，每次在其中任取三根，可搭成多少种不同的三角形？
10、用五个1×2的小矩形纸片覆盖右图的2×5的大矩形，共有多少种不同盖法？
11、甲、乙、丙、丁四个同学排成一行，从左向右数，如果甲不排在第一个位置上，乙不排在第二个位置上，丙不排在第三个位置上，丁不排在第四个位置上。共有多少种不同的排法？
12、一本数学辅导书的序言共有3页，目录共有2页，随后的正文若干页。这本书在编页码时是将序言、目录和正文分别进行编码的。如果我们知道这本书在编码时一共使用了1355个字码。那么这本书一共有多少页？
【作业】
1、从1至8这8个自然数中，每次取出两个不同的数相加，要使它们的和大于10，共有多少种不同的取法？
2、小明有10块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？
3、有三张卡片，每一张上写有一个数字1、2、3，从中抽出一张、两张、三张，按任意次序排列起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数。请将其中的质数都写出来。
4、某班学生共订阅A、B、C、D四种杂志，已知每人最多订3种杂志，最少订一种杂志，问共有多少种订阅杂志的方法？
5、已知长方形的周长为20厘米，长和宽都是整厘米数，这个长方形有多少种可能形状？哪种形状的长方形面积最大？
6、有红、黄、蓝、绿、白五种颜色的铅笔，每两种颜色的铅笔为一组，最多可以搭配成不重复的几组？
7、甲、乙两人打乒乓球，谁先胜两局谁赢；如果没有人连胜两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止。那么一共有多少种可能的情况？
8、营业员有1个5角钱，3个2角钱，8个一角钱，如果要找顾客9角钱，共有几种不同的种类？
9、在所有的四位数中，各个数位上的数字之和等于34的数有多少个？
10、图中各点可以围成多少个三角形？
集合的表示方法测试题
第I卷（选择题） 评卷人得分 一、选择题 已知集合A={a﹣2，2a2+5a，12}，﹣3∈A，则a的值为（） A．﹣1 B．C．D． 2. 集合{x∈N*|x﹣3＜2}的另一种表示法是（） A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5} 3. 集合{x∈N|x＜5}的另一种表示法是（） A．{1，2，3，4} B．{0，1，2，3，4} C．{1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4，5} 4. 下列集合中表示空集的是（） A．{x∈R|x+5=5} B．{x∈R|x+5＞5} C．{x∈R|x2=0} D．{x∈R|x2+x+1=0} 5. 下列各组对象中不能形成集合的是（） A．高一数学课本中较难的题 B．高二（2）班学生家长全体 C．高三年级开设的所有课程 D．高一（12）班个子高于的学生 6.设，集合，则（） A ．1B． C．2D．答案： C 7. 方程组的解集是（） A．（2，1）B．{2，1} C．{（2，1）} D．{﹣1，2} 8.集合{x∈N|x﹣3＜2}，用列举法表示是（） A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5} 9.设不等式3﹣2x＜0的解集为M，下列正确的是（） A．0∈M，2∈M B．0?M，2∈M C．0∈M，2?M D．0?M，2?M 10.已知集合A={1，2，3}，则B={x﹣y|x∈A，y∈A}中的元素个数为（）
A．9 B．5 C．3 D．1 11.若1∈{2+x，x2}，则x=（） A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．0 12.已知x∈{1，2，x2}，则有（） A．x=1 B．x=1或x=2 C．x=0或x=2 D．x=0或x=1或x=2 13. 下列四个集合中，是空集的是（） A．{?} B．{0} C．{x|x＞8或x＜4} D．{x∈R|x2+2=0} 14.已知A={x|3﹣3x＞0}，则有（） A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．﹣1?A 15.已知集合A={x|x2﹣1=0}，用列举法表示集合A=（）A．{1} B．{﹣1} C．（﹣1，1） D．{﹣1，1} 16.已知集合A={1，a，a﹣1}，若﹣2∈A，则实数a的值为( ) A．﹣2 B．﹣1 C．﹣1或﹣2 D．﹣2或﹣3 17.下列关系式中，正确的是( ) A．∈Q B．{（a，b）}={（b，a）} C．2∈{1，2} D．?=0 18.已知集合A={x∈N|x＜6}，则下列关系式错误的是( ) A．0∈A B．?A C．﹣1?A D．6∈A 19.设A={x∈Z||x|≤2}，B={y|y=x2+1，x∈A}，则B的元素个数是( ) A．5 B．4 C．3 D．2 20.下面四个命题正确的是（） A．10以内的质数集合是{0，2，3，5，7} B．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，1，2} C．方程x2﹣2x+1=0的解集是{1，1} D．0与{0}表示同一个集合 21.下面给出的四类对象中，构成集合的是（） A．某班个子较高的同学B．长寿的人 C．的近似值D．倒数等于它本身的数 下列命题正确的是（） A．很小的实数可以构成集合 B．集合{y|y=x2﹣1}与集合{（x，y）|y=x2﹣1}是同一个集合 C．自然数集N中最小的数是1 D．空集是任何集合的子集 23.下面各组对象中不能形成集合的是（）
最有效的创新方法-缺点列举法
“缺点列举法”教学案例 福建省厦门第一中学黄建通 教学目的 1.了解“缺点列举”的目的和意义。 2.学会用“缺点列举”的方法进行创新。 3.用适量的范例来加深学生对缺点列举法的理解。 4.用师生对话的形式进行发散和收敛思维训练。培养学生的创造思维能力和掌握该发明技法。 教学重点利用找缺点的方法发现问题，进而寻找出解决问题方案。 教学难点如何判断解决方案的优劣。 教学过程 一、引入课题 列举分析技法是通过列举有关项目来全面考虑问题，从而产生创新方案的方法。列举分析是 人们常用的思维方式，其特点是把整体分解为部分，把复杂的事物分解为简单的要素，分别加以研究，并强制性地进行创造性思考，不断地克服不足，不断地创新和完善。 常用的列举分析技法有：缺点列举法、希望点列举法、特性列举法三种。 本节课将要学习列举分析技法中的第一种类型——缺点列举法 板书：缺点列举法 二、课程概述 世界上的一切事物均未达到完美无缺的境地，它们的产生和存在都受到当时人们的思维能力、知识和技术水平的制约。因此，任何一件物品都存在某些不顺手、不方便、不省力、不节能、不美观、不耐用、不轻巧、不省料、不安全、不省时、不便宜、布局不合理、功能单一等缺点，都有被改进的可能。如果我们任意指定一件熟悉的物品为“模特儿”，只稍加分析，就可能罗列出许多缺点，经过与其他事物的联想与比照，可以得到借鉴和启发，找出克服缺点的方案，这是一种最简单实用的技法。 三、范例介绍 【例2】方形漏斗 漏斗下端的横截面的形状通常是圆形的，在倒入液体时流得很慢，还直冒气泡。河南洛阳的王岩同学在观察中领悟到，这是液体的流入和空气的排出在同一通道进出的缘故。由此，他提出了把漏斗下端的横截面改为方形的设计方案（图1-1），实验结果表明，这种方形漏斗在灌注液体时，液体灌入十分顺畅，因为容器内的空气是从瓶口的空隙间排放出来，不再与液体“撞车”。 【例4】带铝箔层的熨斗台 熨斗台是熨衣裤的辅助工具，通常熨斗台是用棉花作为底垫包在面布里面。在熨衣裤时，棉花底垫也同时吸收热量和水蒸气，存在着工作效率低、底垫吸水潮湿等缺点。于是，有人在棉花与面布之间增设了一层铝箔，它能把热量和水蒸气反射回去。这种新型的熨斗台，熨衣服 的时间只需原来的一半，底垫也不再受潮了。 【例5】奶粉的缺点列举会
(完整版)集合的概念及表示练习题及答案
新课标 集合的含义及其表示 姓名：_________ 一、选择题： 1.下面四个命题：(1)集合N 中的最小元素是1：（2）若a N -?，则a N ∈ （3）244x x +=的解集为{2，2}；（4）0.7Q ∈，其中不正确命题的个数为 （ ） A. 0 B. 1 C.2 D.3 2.下列各组集合中，表示同一集合的是 （ ） A.(){}(){}3,2,2,3M N = B.{}{}3,2,2,3M N == C.(){},1M x y x y =+=，{}1N y x y =+= D. {}(){}1,2, 1.2M N == 3.下列方程的实数解的集合为12,23?? -???? 的个数为 （ ） （1）224941250x y x y +-++=;(2)2620x x +-=; (3) ()()2 21320x x -+=;(4) 2 620x x --= A.1 B.2 C.3 D.4 4.集合{} (){} 2 2 10,6100 A x x x B x N x x x =++==∈++=，{}450 C x Q x =∈+<， {}2D x x =为小于的质数 ，其中时空集的有 （ ） A. 1个B.2个 C.3个 D.4个 5. 下列关系中表述正确的是 （ ） A.{}200x ∈= B.(){}00,0∈ C. 0∈? D.0N ∈ 6. 下列表述正确的是（ ） A.{}0=? B.{}{}1,22,1= C.{}?=? D.0N ? 7. 下面四个命题：(1)集合N 中的最小元素是1：（2）方程()()()3 1250x x x -+-=的 解集含有3个元素；（3）0∈?（4）满足1x x +>的实数的全体形成的集合。其中正确命题的个数是 （ ） A.0 B. 1 C. 2 D.3 二．填空题： 8.用列举法表示不等式组240121x x x +>??+≥-?的整数解集合为 9.已知集合12,6A x x N N x ?? =∈∈??-?? 用列举法表示集合A 为 10.已知集合241x A a x a ??-?? ==??+???? 有惟一解，又列举法表示集合A 为 三、解答题： 11．已知{}{}2A=1,a,b ,,,B a a ab =，且A=B ，求实数a,b ; 12. 已知集合{} 2210,A x ax x x R =++=∈，a 为实数 （1）若A 是空集，求a 的取值范围（2）若A 是单元素集，求a 的值 （3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围 13. 设集合{} 22,M a a x y a Z ==-∈ （1）请推断任意奇数与集合M 的关系 （2）关于集合M ，你还可以得到一些什么样的结论
集合的表示方法教案
1.1.2 集合的表示方法 【学习要求】 1.掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法)． 2.通过实例能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 【学法指导】 通过由用自然语言描述数学概念到用集合语言描述数学概念的抽象过程，感知用集合语言思考问题的方法；体会将实际问题数学化的过程. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在花括号“{ }”内表示集合的方法．当集合中的元素 较少 时，用列举法表示方便． 2.描述法：一般地，如果在集合I 中，属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质p(x)，而不属于集合A 的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A 的一个特征性质，于是集合A 可以用它的特征性质p(x)描述 {x ∈I|p(x)} . 3.列举法常用于集合中的元素较少时的集合表示，描述法多用于集合中的元素有无限多个的无限集或元素个数较多的有限集. 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 上节课我们学习了用大写字母表示常用的几个数集，但是这不能体现出集合中的具体元素是什么，并且还有大量的非常用集合不能用大写字母表示，事实上表示一个集合关键是确定它包含哪些元素，为此我们有必要学习集合的表示方法还有哪些？分别适用于什么情况？ 探究点一 列举法表示集合 问题1：在初中学正数和负数时，是如何表示正数集合和负数集合的？如表示下列数中的正数 4.8，－3，2，－0.5，1 3 ，73，3.1. 答 ：方法一 图示法： 方法二 列举法：???? ??4.8，2，13，73，3.1 问题2： 列举法是如何定义的？怎样的集合适用列举法表示？ 答 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法．当集合中的元素较少时，用列举法表 示方便．例：x 2－3x ＋2＝0的解集可表示为{1,2}． 问题3： 由book 中的字母组成的集合能否表示为：{b ，o ，o ，k}? 答 不能，由集合元素的互异性知，可表示为{b ，o ，k}． 问题4： 有些集合元素的个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可用列举法表示，如何用列举法表示从1到100的所有整数组成的集合及自然数集N. 答 分别表示为{1,2,3，…，100}，{1,2,3,4，…，n ，…}． 问题5： 怎样区分?，{?}，{0}等符号的含义？ 答 ?表示空集；{?}表示只含有一个元素为?的集合；{0}表示只含有0这个元素的一个集合． 例1 用列举法表示下列集合： (1)A ＝{x∈N|0 集合的表示 [学习目标] 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合. 知识点集合的表示方法 1.列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 2.描述法：(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. (2)写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 思考(1)由方程(x－1)(x＋2)＝0的实数根组成的集合，怎样表示较好？ (2)集合{x|4 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。 注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a a? ∈A ，相反，a不属于集合A 记作A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ∈| x-3>2}或{x| x-3>2} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x R 4、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 X=－5｝ 3．空集不含任何元素的集合例：{X|2 二、例题解析 例1、判断下列说法是否正确？说明理由 （1）高一（2）班个子较高的同学组成的集合； （2）1,3，-1,4这些数组成的集合有4个元素； （3）由a,b,c组成的集合与由b,c,a组成的集合； （4）所有与2非常接近的数字； （5）所有与小明走的很近的朋友 “希望点列举法”教学案例 福建省厦门第一中学黄建通 教学目的 1.了解“希望点列举”的目的和意义。 2.学会用“希望点列举”的方法进行创新。 3.用适量的范例来加深学生对希望点列举法的理解。 4.用师生对话的形式进行发散和收敛思维训练。培养学生的创造思维能力和掌握该发明技法。 教学重点利用找希望点的方法发现问题，进而寻找出解决问题方案。 教学难点如何判断解决方案的优劣。 教学过程 一、引入课题 一个人的希望总是与自己面临的问题或社会需求密切相关。人们在碰到困难时，总是希望找到解决困难的方法。在工作效率低时，总是希望找到省时省力的措施。古代，人们就有“千里眼”、“顺风耳”、“上天”和“入地”的希望，如今都一一如愿以偿了。满足需求和希望不仅是一切发明的出发点，也是所有发明的最终目的。只要我们用心寻求人们的希望，就能在“希望”的海洋里自由畅想，就会有取之不尽的创新源泉。在人类历史上，远大的理想造就了许多伟大的人物。在现实生活中，无尽的希望同样造就出众多的发明家。 本节课将要学习列举分析技法中的第二种类型——希望点列举法 板书：希望点列举法 二、范例介绍 【例1】投掷式手电筒 警察在黑暗中用手电筒搜索歹徒时，会轻易地暴露自己的位置，往往成了对手的枪靶子。因此，警察部门迫切希望能有一种只照亮别人又不暴露自己的手电筒。意大利发明家阿尔贝托·卡博尼发明了一种六面发光的手电筒。它用橡胶构成主体，外形为正方体，六面各有一个灯泡和反射镜。使用时，将其投掷到可疑处，手电筒受到碰撞后自动接通电源，六面明亮的灯光便会照耀可疑点的四周。这种方式不仅能让暗藏的人暴露出来，还能有效隐蔽自己。目前，这种手电筒已成了军、警人员的好帮手。 【例2】色盲可辨的信号灯 一、希望点列举法的定义 是在仔细观察和充分调查的基础上，从生活、学习、工作的需要出发，根据你或别人的某种希望，提出你"希望"东西的样子，再运用自己学过的知识和别人的经验，提出切实可行的办法，这种发明思路称为希望点列举法。 案例1：达·芬奇是15世纪的意大利人。他曾希望人们能利用自己的力量飞上天。于是，他从愿望出发，设计了一种人力飞机，让人扒在上面，手脚一齐用力，使装有羽毛的飞机两翼像鸟一样，扑动并飞翔起来。尽管化的这个设计没有成功，但化希望用人力为实现飞行的愿望，经过人们几百年的努力，终于成功了。现在的人力飞机不仅能飞起来，而且能飞过英吉利海峡。达·芬奇的愿望实现了。 达·芬奇的发明技法叫什么呢？就称为希望点列举法。 案例2：民间故事《十兄弟》 ?千里眼：眼睛能看见千里之外的事物。 ?顺风耳：耳朵能听见极遥远的声音。 ?高脚七：双腿会在需要的时候变长，行动迅速，健步如飞。 ?飞天五：背上生有翅膀，可于天空中任意飞翔 ?遁地八：双腿会在需要的时候作镙旋转动，有遁地的异能。 现在，市场上许多新产品都是根据人们的“希望”研制出来的。例如，人们希望茶杯在冬天能保温，在夏天能隔热，就发明了一种保温杯。人们希望有一种能在暗处书写的笔，就发明了内装一节五号电池、既可照明又可书写的“光笔”。在研制一种新的服装时，人们提出的希望有：不要钮扣，冬天暖夏天凉，免洗免熨，可变花色，两面都可以穿，重量轻，肥瘦都可以穿，脱下来可作提物袋等等。现在，这些愿意大多数都在日常生活中变成了现实。 案例四：有一家制笔公司用希望点列举发明法产生出了一批改革钢笔的希望 .希望绝对不漏水, 希望不沾污纸面，希望书写流利，希望能粗能细，希望小型化，希望笔尖不开裂，希望不用打墨水，希望省去笔套，希望落地时不损坏笔尖等等。这家制笔公司从中选出“希望省去笔套”这一条研制出一种像圆珠笔一样可以伸缩的钢笔从而省去了笔套。从希望点出发设计出了这种可以伸缩的钢笔推出市场后大受欢迎。 案例五：有一位在医疗技术部门工作的工程师为了满足残肢人的希望构思了一种具有套叠伸缩和连续旋转功能的假臂。他满怀信心地告诉残肢人说带上他设计的假臂可以伸到几米高的地方还能以优越于常人手臂的方式使用螺丝刀。谁知残肢人看过他那先进的多功能假臂方案后竞苦笑一声扬长而去。工程师的设计为什么失误?因为它只了解残疾人的表面希望以为需要“技术先进的假臂”就得在多功能和超人一筹方面下功夫殊不知残肢人内心的真正希望是过正常人的生活他们需要的是看起来与正常人无异的假 案例六：日本有个洗衣机厂老板通过座谈会发动妇女提希望、要求有个妇女说如要单洗一件汗背心或内裤、手帕等“小东西”也放进洗衣机里洗似乎有些“大材小用”——浪费最好有一种微型的洗衣机专洗这类“小东西”最好能快洗快干上午洗、下午就能穿且体积要小、到处能放、不显眼。于是设计人员根据她的愿望、要求开发了专洗内衣、内裤、手帕等小物件、烘干又快的微型洗烘机受到了妇女们的青睐创造了商机。 二、应用希望点列举法进行创造发明，有哪些要领呢？ （１）我们的希望是指社会的希望、大众的希望。因此，我们要向社会了解、向大众了解他们的希望是什么？比如，随着社会主义市场经济的发展，人们希望有迅速传递住处的工具诞生。于是发明家发明了“传呼机”。为了满足不同人的希望，发明了中文显示传呼机，用汉字显示简短电文、预报气象；字符显示传呼机，以字母显示传呼住处急救传呼机，供老年心脏病、高血压患者使用，发病时可按 集合的表示方法 姓名：日期：指导教师：李寒松分数：知识点一集合的表示方法——列举法 1、用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有自然数组成的集合； （2）方程2x x =的所有实数根组成的集合； （3）由0~20的所有质数组成的集合； （4）大于2小于15的所有偶数的全体组成的集合； （5）平方等于16的实数全体组成的集合； （6）自然数中五个最小的完全平方数组成的集合； （7）3的正整数倍数组成的集合； （8）比2大3的实数全体组成的集合； （9）我国现有直辖市的全体组成的集合； （10）方程组 28, 1 x y x y += ? ? -= ? 的解组成的集合。 知识点二集合的表示方法——描述法1、用描述法表示下列集合： （1）所有奇数组成的集合； （2）所有能被3整除的整数组成的集合；（3）大于3的全体偶数组成的集合； （4）使 2x y x - =有意义的x的集合； （5）方程2450 x x -+=所有实数解的集合； （6）抛物线236 y x x =+-上所有点的集合； （7）抛物线236 y x x =+-上的点的横坐标组成的集合；（8）抛物线236 y x x =+-上的点的纵坐标组成的集合；（9）不等式451 x -+>的解集； （10）直接坐标平面内属于第四象限的点的集合。 知识点三用适当的方法表示集合 1、试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）方程2430 x x -+=的所有实数根组成的集合A；（2）有大于10小于20的所有整数组成的集合B； （3）所有正偶数组成的集合C。 2、选择适当的方法表示下列集合： （1）方程组 2, 325 x y x y += ? ? += ? 的解集A； -- 1 -- -- 2 -- 集合 1.用列举法表示下列集合: (1)大于10小于30的合数的集合。 (2)使一元二次方程ax2＋4x＋1=0有实数解的非负整数a的集合。 (3){x|x=6z∧z∈Z5｝ (4){x|x∈N∧y∈N∧x＋y＝10｝ (5){n|n∈N∧n2－10n－24＜0∧5≤n≤15｝ 解： (1)大于10小于30的合数的集合可表示为： {12，14，15，16，18，20，21，22，24，25，26，27，28}。 (2)使一元二次方程ax2＋4x＋1=0有实数解的非负整数a的集合可表示为： {1，2，3，4}。（因为判别式＝b2-4ac=42-4a≥0，即4≥a） (3){x|x=6z∧z∈Z5｝可表示为： {0，6，12，18，24}（因为Z5＝{0，1，2，3，4}） (4){x|x∈N∧y∈N∧x＋y＝10｝可表示为： {0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}（注意自然数包含0） (5){n|n∈N∧n2－10n－24＜0∧5≤n≤15｝可表示为： {5，6，7，8，9，10，11 }。 因为n2-10-24=(n-5)2-49<0，且5≤n≤15，故－7 希望点列举法在产品创新设计中的运用[Word文档] 希望点列举法在产品创新设计中的运用 本文档格式为WORD,感谢你的阅读。 最新最全的学术论文期刊文献年终总结年终报告工作总结个人总结述职报告实习报告单位总结演讲稿 希望点列举法在产品创新设计中的运用 希望点列举法是产品创新设计中的重要方法之一。基于分析希望点列举法的步骤、设想筛选的评价分析，论述了产品设计中具有创新设计性的希望点，探讨了希望点列举法在产品创新设计中切实可行的应用思路。 希望点;创新设计;产品设计;创意目标 创新是产品推陈出新的重要手段，是产品设计的核心，如何在产品设计时打破思维定势，产生新的方案，成为了设计人员关注的重要问题。产品创新既无法，也有法，说其无法，在于产品创新思维的灵活性、自由性;说其有法，在于产品创新也有其一定的规律可循，可以在某些方法的指引下进行创新设计活动。 希望点列举法是产品创新设计中的方法之一，它是对目标消费群体进行调查或通过动脑会议的方式，收集他们对于产品的期许，对调查结果进行列表分析，找到希望点比较集中的功能和特征，并在所开发的新产品中尽可能地满足消费者的这些希望点。希望点列举法是一种主动的设计方法，可以不受现有产品的束缚，对产品的改革往往是最大胆的，最易产生新的创意，无论在产品造型创新，还是在功能创新上，往往具有引导性、前瞻性，在产品设计实践中应用非常广泛。本文着重从希望点列举法在产品创新中的重要性展开，分析了希望点列举法实施的步骤及关键，以期有效指导设计实践。 采用希望点列举法进行产品创新设计包括确定产品设计主题、希望点设想、设想评价筛选、方案构思、效果图制作等。其中，希望点设想和评价筛选环节是运用该设计方法的核心和关键，在确定的设计主题下，不拘泥于现有的技术、结构、功能实现方式及使用方式等，大胆设想，想法越多越好， 并将这些想法用文字或简图的形式记录在纸上，集中进行分析评价，找到合理的设计方向。比如，“设计一款鞋子”时，它可不可以是一次性的，可否发出声音，可否两人同时穿一双鞋，可否扫地，可否自身杀菌消毒等。 针对用户提出的设想进行汇总分析及设想排序，筛选出排序靠前且评价具有合理性的设想，之后进行设计定位和后续的方案创作。对设想进行评价筛选可以从以下3个角度展开分析。 功能是产品之所以成为产品的本质属性，能够被用户接受和认可的产品一定具有相应的功用，但具有相应功能的产品不一定都能被用户所接受，这就要看产品的功能是否具有合理性，是否符合人们使用的要求和行为习惯，当采用希望点列举法进行产品设想时，要在目标设想评价阶段，从用户的生理机能和心理性格特点入手，系统、全面地分析设想之产品概念的功能是否具有合理性，以此为依据判断该设想是否有深入的必要。 设计是为了给人提供更加合理的生活方式，设计不仅要满足人们现有的需求，更要具有引导人们未来生活方向的作用。提出的设想是否具有实施创新设计的必要性，就要分析该设想能否满足或引导人们未来的生活，是否是人们梦寐以求希望获得的产品形式。当设想与人们对未来产品追求的目标相契合时，该设想便具有了深入设计的群众基础，也具有了其存在的合理性，在设计实践中便可以以此为切入点展开设计。 毋庸置疑，设想可以是天马行空、毫无拘束的，有些想法就像海市蜃楼虚无缥缈，永远都无法落地，便是空想;有些想法依据当下的技术经济及科学条件，虽然 “希望点列举法”教学案例 省第一中学黄建通 教学目的 1.了解“希望点列举”的目的和意义。 2.学会用“希望点列举”的方法进行创新。 3.用适量的例来加深学生对希望点列举法的理解。 4.用师生对话的形式进行发散和收敛思维训练。培养学生的创造思维能力和掌握该发明技法。 教学重点利用找希望点的方法发现问题，进而寻找出解决问题方案。 教学难点如何判断解决方案的优劣。 教学过程 一、引入课题 一个人的希望总是与自己面临的问题或社会需求密切相关。人们在碰到困难时，总是希望找到解决困难的方法。在工作效率低时，总是希望找到省时省力的措施。古代，人们就有“千里眼”、“顺风耳”、“上天”和“入地”的希望，如今都一一如愿以偿了。满足需求和希望不仅是一切发明的出发点，也是所有发明的最终目的。只要我们用心寻求人们的希望，就能在“希望”的海洋里自由畅想，就会有取之不尽的创新源泉。在人类历史上，远大的理想造就了许多伟大的人物。在现实生活中，无尽的希望同样造就出众多的发明家。 本节课将要学习列举分析技法中的第二种类型——希望点列举法 板书：希望点列举法 二、例介绍 【例1】投掷式手电筒 警察在黑暗中用手电筒搜索歹徒时，会轻易地暴露自己的位置，往往成了对手的枪靶子。因此，警察部门迫切希望能有一种只照亮别人又不暴露自己的手电筒。意大利发明家阿尔贝托·卡博尼发明了一种六面发光的手电筒。它用橡胶构成主体，外形为正方体，六面各有一个灯泡和反射镜。使用时，将其投掷到可疑处，手电筒受到碰撞后自动接通电源，六面明亮的灯光便会照耀可疑点的四周。这种方式不仅能让暗藏的人暴露出来，还能有效隐蔽自己。目前，这种手电筒已成了军、警人员的好帮手。 【例2】色盲可辨的信号灯 “发明篇”一 魏述省 一、活动主题： 学习利用“缺点列举法”进行简单的创造发明。 二、主题说明： 本次活动设计了三部分内容，体会创造发明对社会的贡献，可以让学生更深刻的了解创造发明的意义；发散思维培养是对创造意识的培养，它是诱发创造思维萌芽的前期创造技法；缺点列举法的关键是不断克服安于现状，得过且过，凑凑合合的情性心理，努力培养和提高善于发现问题，提出问题，解决问题的能力，掌握运用此种方法的规律。 三、活动设计： 1、体会创造发明对社会的贡献 (1)我国古代的四大发明 (2)我国现代的重要发明 2、发散思维培养 （1）用九根火柴棒摆出三个正方形 （2）点评：在平面上是摆不出三个正方形的，因此，要打 所以在培养创造发明过程中，要学会打破常规，多角度考虑问题。 3、利用“缺点列举法”进行简单的创造发明 （1）缺点列举法： 我们日常生活中，所使用的东西不可能都是十全十美的。即便是工厂里正在生产的各种产品或是市场上正在销售的各种商品，也并不是完美无缺的，它们都或多或少地存在着这样或那样的缺点。但是人们往往有一种惰性，就是对于常见的事物，顺其自然，很少研究它们有什么缺点和不足。如果人们对经常使用而又十分熟悉的物品采取“吹毛求疵”的态度，并且深究它们的缺点，分析这些物品在使用时不尽合理的地方，开动脑筋，找出它们缺点的时候，并对这些物品存在的缺点加以改革，就会成功地搞出一项发明来。这种发明的方法叫 缺点列举法。缺点列举法要围绕一种现有的物品列出它的缺点，再针对列出的缺点，提出改革设想，而这些设想是用现有物品的原型作“模特儿”，是一种既简单又有效的方法。 （2）利用缺点列举法时应注意的两个问题 列举缺点时，要敢于大胆怀疑。当然，这种怀疑应当有科学的根据。要从各个不同的角度去观察、去质疑。列举缺点实际上就是发现问题，发现创造正是为了解决存在的问题。所以，每当发现一个缺点，提出一个问题的时候，也就是找到了一个发明的课题。 能不能使用缺点列举法，关键在于不断克服安于现状、得过且过、凑凑合合和惰性心理，努力培养和提高善于发现问题、提出问题、解决问题的能力。 （3）案例分析 跳高成绩检测仪 作者：四川省罗江县金山镇二小肖文红 老师在检测我们的跳高成绩时，常常为搬工具、调节高度等浪费许多时间，测出的成绩也不太准确。在老师的辅导下，我设计出的跳高成绩检测仪能克服诸多弊端。 结构简单。圆形(或方形)底座一对，并在底座的四周打四个孔，套上螺杆并与下面的圆轮套在一起。再在底座的中点处焊接一根长约70厘米的空心钢管(钢管与底座互相垂直)，上端套上皮圈。然后，将一对长约80厘米(少儿组)的胶管上端与距顶端10厘米处打孔，剩余部分标上刻度；螺杆上安装能摆动的半圆形铁片并套在胶管上端；下端打孔处拴上螺杆；用弹簧将半圆形铁块与下端的螺杆连接。最后，用一根长约4厘米、直径为2厘米的橡胶棒作跳杆，并在跳杆的中心处安装水平仪。 安装省时。将一对底座放在地面上，跳杆放在底座上，如果不水平，可用底座下的圆轮调节；将带有刻度的胶管插入空心钢管内。调好高度后，将跳杆放在半圆形铁片上。 操作方便。每一个高度只需调节一次，只要轻微触及跳杆，跳杆就会自动滑下，半圆形铁片受弹力的作用，立即复位，将插入钢管内的胶管向上提到需要的高度。检测完时将胶管插入钢管内，整套的重量轻(1千克左右)，搬工具时既安全，又省力。 点评：肖文红同学在感兴趣小发明的同时，对体育课也肯定非常爱好。同时她也是个有心人，发现了跳高器存在的缺点，并能想法去改进，这一点正是缺点列举法的精髓。 集合的表示方法 第I卷（选择题） 一、选择题 已知集合A={a﹣2，2a2+5a，12}，﹣3∈A，则a的值为（） A．﹣1 B．C．D． 2. 集合{x∈N*|x﹣3＜2}的另一种表示法是（） A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5} 3. 集合{x∈N|x＜5}的另一种表示法是（） A．{1，2，3，4} B．{0，1，2，3，4} C．{1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4，5} 4. 下列集合中表示空集的是（） A．{x∈R|x+5=5} B．{x∈R|x+5＞5} C．{x∈R|x2=0} D．{x∈R|x2+x+1=0} 5. 下列各组对象中不能形成集合的是（） A．高一数学课本中较难的题 B．高二（2）班学生家长全体 C．高三年级开设的所有课程 D．高一（12）班个子高于1.7m的学生 6.设，集合，则（） A．1B． C．2D．答案： C 7. 方程组的解集是（） A．（2，1）B．{2，1} C．{（2，1）} D．{﹣1，2} 8.集合{x∈N|x﹣3＜2}，用列举法表示是（） A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5} 9.设不等式3﹣2x＜0的解集为M，下列正确的是（） A．0∈M，2∈M B．0?M，2∈M C．0∈M，2?M D．0?M，2?M 10.已知集合A={1，2，3}，则B={x﹣y|x∈A，y∈A}中的元素个数为（）A．9 B．5 C．3 D．1 11.若1∈{2+x，x2}，则x=（） A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．0 12.已知x∈{1，2，x2}，则有（） A．x=1 B．x=1或x=2 C．x=0或x=2 D．x=0或x=1或x=2 13. 下列四个集合中，是空集的是（） A．{?} B．{0} C．{x|x＞8或x＜4} D．{x∈R|x2+2=0} 14.已知A={x|3﹣3x＞0}，则有（） A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．﹣1?A 15.已知集合A={x|x2﹣1=0}，用列举法表示集合A=（） A．{1} B．{﹣1} C．（﹣1，1）D．{﹣1，1} 16.已知集合A={1，a，a﹣1}，若﹣2∈A，则实数a的值为( ) A．﹣2 B．﹣1 C．﹣1或﹣2 D．﹣2或﹣3 17.下列关系式中，正确的是( ) A．∈Q B．{（a，b）}={（b，a）} C．2∈{1，2} D．?=0 18.已知集合A={x∈N|x＜6}，则下列关系式错误的是( ) A．0∈A B．1.5?A C．﹣1?A D．6∈A 19.设A={x∈Z||x|≤2}，B={y|y=x2+1，x∈A}，则B的元素个数是( ) A．5 B．4 C．3 D．2 20.下面四个命题正确的是（） A．10以内的质数集合是{0，2，3，5，7} B．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，1，2} C．方程x2﹣2x+1=0的解集是{1，1} D．0与{0}表示同一个集合 21.下面给出的四类对象中，构成集合的是（） A．某班个子较高的同学B．长寿的人 C．的近似值D．倒数等于它本身的数 22.下列命题正确的是（） A．很小的实数可以构成集合 B．集合{y|y=x2﹣1}与集合{（x，y）|y=x2﹣1}是同一个集合 C．自然数集N中最小的数是1 D．空集是任何集合的子集 [基础训练A 组] 一、选择题 1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 2．下列四个集合中，是空集的是（ ） A ．}33|{=+x x B ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2≤x x D ．},01|{2R x x x x ∈=+- 3．下列表示图形中的阴影部分的是（ ） A ．()()A C B C U I U B ．()()A B A C U I U C ．()()A B B C U I U D ．()A B C U I 4．下面有四个命题： （1）集合N 中最小的数是1； （2）若a -不属于N ，则a 属于N ； （3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2； （4）x x 212=+的解可表示为{}1,1； 其中正确命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5．若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长， 则△ABC 一定不是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 6．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ） A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个 二、填空题 A B C 1．用符号“∈”或“?”填空 （1）0______N , 5______N , 16______N （2）1______,_______,______2 R Q Q e C Q π-（e 是个无理数） （3{}|,,x x a a Q b Q =+∈∈ 2. 若集合{}|6,A x x x N =≤∈，{|}B x x =是非质数，C A B =I ，则C 的 非空子集的个数为 。 3．若集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，则A B =U _____________． 4．设集合{32}A x x =-≤≤,{2121}B x k x k =-≤≤+,且A B ?， 则实数k 的取值范围是 。 5．已知{} {}221,21A y y x x B y y x ==-+-==+，则A B =I _________。 三、解答题 1．已知集合??????∈-∈=N x N x A 68|，试用列举法表示集合A 。 2．已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ?,求m 的取值范围。 3．已知集合{}{}22,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+，若{}3A B =-I ， 求实数a 的值。 4．设全集U R =，{}2|10M m mx x =--=方程有实数根，{}()2|0,.U N n x x n C M N =-+=I 方程有实数根求 第一节 列举法概述 列举法是在美国内布拉斯加（Ｎｅｂｒａｓｅ）大学教授克劳福特（Ｒｏｂｅｒｔ．Ｃｒａｗｆｏｒｄ）创造的属性列举法基础上形成的，是具体运用发散性思维来克服思维定势的一种创造技法。该技法人为地按某种规律列举出创造对象的要素分别加以分析研究，以探求创造的落脚点和方案。本节将介绍列举法的概念、特点、原理和与列举法相关的分析方法。 一、列举法概述 列举法运用了分解和分析的方法，作为一种最基本的创造技法，列举法应用广泛，常用于简单设想的形成与发明目标的确定。列举法的要点是将研究对象的特点、缺点、希望点罗列出来，提出改进措施，形成有独创性的设想。按照所列举对象的不同，列举法可以分为属性列举法、缺点列举法、希望点列举法、成对列举法和综合列举法等。列举法具有如下一些特点： （１）列举法采用了系统分析的方法，重视需求的分析，使创造过程系统化、程序化。 （２）列举法运用了分解和分析的方法，在详尽分析的基础上进行列举。 （３）列举法简单实用，是一种较为直接的创造技法，特别适用于新产品开发、旧产品改造的创造性发问过程。 （４）列举法不仅是创造性发问的主要技法，而且为创造性解决问题提供了方向和思路。 二、列举法原理 １．分解和分析 所谓列举，就是将整体分解为各方面、各部分，然后罗列展开的一种行为操作。列举法的基本原理就是分解和分析。分解是主体将客体分为若干互不交错的小类或部分，分解后的各项之间不互相重叠，分解有物体的分解、目标的分解、程序的分解等。分析是主体将客体的属性从它存在的“背景”中区分出来，分析后的各子项间相互交错，分析有属性的分析、性格分析、功能分析、优缺点分析、希望点分析等。属性列举法既使用了对结构的分解，又使用了对属性的分析；缺点列举法是分析事物属性；希望点列举法是分析事物被希望的属性；综合列举法是以上分析的综合。 ２．联想 创造的灵感由生活中来，在列举法的运用过程中我们经常用到联想法的原理。观察联想法常常用在属性列举法、缺点和希望点列举法中。任何创新创造都离不开对事物的用心观察和分析，在联想时要注意克服联想定势和思维定势，把联想从熟悉的领域扩延到陌生的领域，甚至是意想不到的领域。强制联想法在成对列举法中得到很好的应用。应用时注意多方面、多角度、多层次地把不同的事物和不同的设计强制联想起来，差异性和跳跃性越大，就容易打开思路，超常组合。 ３．打破思维定势和心理定势 创造性思维是智力活动的重要部分，它是一种摆脱了习惯定式解决问题的思维方式；它鼓励在发散性思维的基础上进行聚合思维，创造性解决问题。如果人们受到思维定势的束缚，对于常见的一些事物，往往会由于惯性思维的影响意识不到事物潜在的、不易察觉的问题，只能得到“常规”的结论，使人们思维因循守旧，阻碍了思维创新。 1. 集合的含义及其表示 （一）集合元素的互异性 1. 已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为 变式：已知集合}33,)1(,2{22++++=a a a a A ，若A ∈1，则实数a 的值为_______ 2. {}c b a M ,,=中三个元素可以构成一个三角形的三边长，那么此三角形可能是 ① 直角三角形 ② 锐角三角形 ③ 钝角三角形 ④ 等腰三角形 （二）集合的表示方法 1. 用列举法表示下列集合 （1）||||{|,,}a b A x x a b a b ==+为非零实数__________________________ 变式：已知a,b,c 为非零实数,则||||||||a b c abc a b c abc +++的值组成的集合为 ___ （2） },36|),{(*N x Z x y y x A ∈∈-==____)}1,9(),2,6(),3,5(),6,4(),6,2(),3,1{(----=A 变式1：12,6A x x N N x ? ?=∈∈??-?? 变式2：()??? ? ?? ∈∈=+=++N y N x y x y x A ,,6, （3）集合},,|{},22,|{2A x x y y B x Z x x A ∈==≤≤-∈=用列举法表示集合B （4）已知集合M=}56| {*N a Z a ∈-∈，则集合M 中的元素为 变式：已知集合M=}|56{*N a Z a ∈∈-，则集合M 中的元素为 2. 用描述法表示下列集合 （1）直角坐标系中坐标轴上的点 _______________________________集合的表示(附答案)
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第九章 列举法
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