二次函数中“含参恒成立”问题求解策略

恒成立与存在性问题的基本解题策略

“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤?? 在上恒成立在上恒成立另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f =，设f(x)在区间[a,b]上的值域为A ，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A ?B. 9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方； 10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；恒成立问题的基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题. 函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立; 某函数的定义域为全体实数R;●某不等式的解为一切实数;?某表达式的值恒大于a 等等… 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： ①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。二、恒成立问题解决的基本策略大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题。等式中的恒成立问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问题的。（一）两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1、max )]([)(x f m D x x f m ≥?∈≥上恒成立在思路2、min )]([)(x f m D x x f m ≤?∈≤上恒成立在如何在区间D 上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导

二次函数恒成立问题

二次函数恒成立问题 2016年8月东莞莞美学校一、恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立?????>>- ?????<-?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈x x f 在上恒成立?? ?>>?0 )(0 )(βαf f ],[0)(βα∈-?????<- ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或类型3： αα>?∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>?∈?∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切二、恒成立问题常见的解题策略：策略一：利用二次函数的判别式对于一元二次函数),0(0)(2 R x a c bx ax x f ∈≠>++=有：（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m ，所以要讨论m-1是否是0。

二次函数、不等式恒成立

川越教育讲义日期老师科目第次课学生年级一、简易逻辑基础题目： 1．命题“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2 （a ，b ∈R ）”与它的逆命题、否命题中，真命题的个数为（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 2.已知p:{}:,0q ?φ {}{}.2,11∈由他们构成的新命题“q p ∧”，“q p ∨”, “p ?”中，真命题有（） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 3．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ?是q ?的（）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要 4．有下列四个命题： ①“若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若1q ≤ ,则220x x q ++=有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题为（） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．③④ 5．“a 和b 都不是偶数”的否定形式是（） A ．a 和b 至少有一个是偶数 B ．a 和b 至多有一个是偶数 C ．a 是偶数，b 不是偶数 D ．a 和b 都是偶数 6．条件p ：1>x ,1>y ，条件q ：2>+y x ,1>xy ，则条件p 是条件q 的（）条件 7．设原命题：若a +b ≥2，则a ,b 中至少有一个不小于1。则原命题与其逆命题的真假情况是（） 8．不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于R x ∈恒成立，那么a 的取值范围是（） 9．命题“03x -x R,x 2>+∈?”的否定是______________命题；命题“01x R,x 2<+∈?”的否定是______________命题。 10 从“充分而不必要条件”，“必要而不充分条件”或“充要条件”中选出适当的一种填空：（1）是的；（2）是的（3）是的；（4）是的（5）“”是“”的（6）“”是“”的（7）“”是“”的（8）“四边形内接于圆”是“四边形对角互补” （9）设，的半径为，，则“”是“两圆外切”的 10．若p ：“平行四边形一定是菱形”，则“非p ”为___ _____。 11．有下列命题： x A B ∈ x A ∈x A B ∈ x B ∈()U x A ∈ex U ∈()U x A A ∈ 饀x A ∈A =?A B B = A B üA B A = x A ∈x A B ∈ 1O 2O 1r 2r 1212OO r r =+

二次函数恒成立问题

二次函数恒成立问题 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

类型4：二、恒成立问题常见的解题策略：策略一：利用二次函数的判别式对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有：（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m ，所以要讨论m-1是否是0。（1）当m-1=0时，不等式化为2>0恒成立，满足题意；（2）01≠-m 时，只需???<---=?>-0 )1(8)1(012m m m ，所以，)9,1[∈m 。策略二:利用函数的最值（或值域）（1）m x f ≥)(对任意x 都成立m x f ≥?min )(；（2）m x f ≤)(对任意x 都成立max )(x f m ≥?。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例2.已知a ax x x f -++=3)(2，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围.

关于不等式恒成立问题的几种求解方法

关于不等式恒成立问题的几种求解方法不等式恒成立问题，在高中数学中较为常见。这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。不等式恒成立问题在解题过程中有以下几种求解方法：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④数形结合型。下面我们一起来探讨其中一些典型的问题一、一次函数型——利用单调性求解例1、若不等式对满足的所有实数m都成立，求x的取值范围。若对该不等式移项变形，转化为含参数m的关于x的一元二次不等式，再根据对称轴和区间位置关系求对应的二次函数的最小值，利用最小值大于零求解。这样得分好几种情况讨论,这思路应该说从理论上是可行的，不过运算量不小。能不能找出不需要讨论的方法解决此问题呢？若将不等式右边移到左边，然后将新得到的不等式左边看做关于m的一次函数，借助一次函数的图像直线（其实是线段）在m轴上方只需要线段的两个端点在上方即可。分析：在不等式中出现了两个字母：x及m,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将m视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于m的一次函数大于0恒成立的问题。解：原不等式转化为(1-x2)m+2x-1>0在|m|2时恒成立, 设f(m)= (1-x2)m+2x-1,则f(m)在[-2,2]上恒大于0，故有：此类题本质上是利用了一次函数在区间[a，b]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在m轴上方（或下方）即可。给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（线段）（如下图）可得上述结论等价于 ⅰ），或ⅱ）可合并成同理，若在[m,n]内恒有f(x)0恒成立；f(x)3;

含参二次函数中绝对值问题

2016浙江高考数学含参二次函数中绝对值问题 1设函数R b a b a x x x f ∈+-=,,)(. （1）当0>a 时，讨论函数)(x f 的零点个数；（2）若对于给定的实数)01(<<-a a ，存在实数b ，使不等式2 1)(21+≤≤-x x f x 对于任意的[]12,12+-∈a a x 恒成立试将最大实数b 表示为关于a 的函数)(a m ，并求)(a m 的取值范围。 2已知函数.)(2b x x ax x f -+= （1）当1-=b 时，若不等式12)(--≥x x f 恒成立，求实数a 的最小值；（2）若0

（1）若方程x x f 2)(=恰有三个不同的实数根，求实数a 的值；（2）当0>a 时，若对任意的],0[+∞∈x ，不等式)(2)1(x f x f ≤-恒成立，求实数a 的取值范围. 4已知0≥a ，函数a a x x x f 25)(2+--=. (1)若函数)(x f 在]3,0[上单调，求实数a 的取值范围； (2)若存在实数2,1x x ，满足)()(0))((2121x f x f a x a x =<--且，求当a 变化时 21x x +的取值范围.

（1）若函数)]([)(x f f x F =与)(x f 在R x ∈时有相同值域，求实数b 的取值范围；（2）若方程21)(2=-+x x f 在)2,0(上有两个不同实数根2,1x x ， ①求实数b 的取值范围； ②求证： 41121<+x x 6已知函数),()(2R b R a b ax x x f ∈∈--=+. (1) 若,2,2≥=b a 且函数)(x f 的定义域，值域均为],1[b ，求b 的值； (2) 若函数)(x f 的图像与直线1=y 在)2,0(∈x 上有2个不同的交点，试求a b 的范围.