应用数理统计课后习题参考答案

习题五

1

试检验不同日期生产的钢锭的平均重量有无显著差异？（=0.05） 解 根据问题，因素A 表示日期，试验指标为钢锭重量，水平为5.

假设样本观测值(1,2,3,4)ij y j =来源于正态总体2

~(,),1,2,...,5i i Y N i μσ= .

检验的问题：01251:,:i H H μμμμ===不全相等 .

计算结果：

表5.1 单因素方差分析表

‘*’ .

查表0.95(4,15) 3.06F =，因为0.953.9496(4,15)F F =>，或p = 0.02199<0.05，

所以拒绝0H ，认为不同日期生产的钢锭的平均重量有显著差异.

2 考察四种不同催化剂对某一化工产品的得率的影响，在四种不同催化剂下分别做试验 试检验在四种不同催化剂下平均得率有无显著差异？（=0.05）

解

根据问题，设因素A 表示催化剂，试验指标为化工产品的得率，水平为4 .

假设样本观测值(1,2,...,)ij i y j n =来源于正态总体2

~(,),1,2,...,5i i Y N i μσ= .其中

样本容量不等，i n 分别取值为6，5，3，4 . 检验的问题：012341:,:i H H μμμμμ===不全相等 .

计算结果：

表5.2 单因素方差分析表

查表0.95(3,14) 3.34F =，因为0.952.4264(3,14)F F =<，或p = 0.1089 > 0.05，

所以接受0H ，认为在四种不同催化剂下平均得率无显著差异 .

3 试验某种钢的冲击值（kg ×m/cm2），影响该指标的因素有两个，一是含铜量A ，

试检验含铜量和试验温度是否会对钢的冲击值产生显著差异？（=0.05） 解 根据问题，这是一个双因素无重复试验的问题，不考虑交互作用.

设因素,A B 分别表示为含铜量和温度，试验指标为钢的冲击力，水平为12.

假设样本观测值(1,2,3,1,2,3,4)ij y i j ==来源于正态总体2

~(,),1,2,3,ij ij Y N i μσ=

1,2,3,4j = .记i α?为对应于i A 的主效应；记j β?为对应于j B 的主效应；

检验的问题：（1）10:i H α?全部等于零，11

:i H α?不全等于零； （2）20:j H β?全部等于零，21:j H β?不全等于零； 计算结果：

表5.3 双因素无重复试验的方差分析表

查表0.95(2,6) 5.143F =，0.95(3,6) 4.757F =，显然计算值,A B F F 分别大于查表值，

或p = 0.0005，0.0009 均显著小于0.05，所以拒绝1020,H H ，认为含铜量和试验温度都会对钢的冲击值产生显著影响作用.

4 下面记录了三位操作工分别在四台不同的机器上操作三天的日产量：

设每个工人在每台机器上的日产量都服从正态分布且方差相同 .试检验：（=0.05）

1） 操作工之间的差异是否显著？ 2） 机器之间的差异是否显著？

3） 它们的交互作用是否显著？

解 根据问题，这是一个双因素等重复(3次)试验的问题，要考虑交互作用.

设因素,A B 分别表示为机器和操作，试验指标为日产量，水平为12. 假设样本观测值(1,2,3,1,2,3,4)ijk y i j ==来源于正态总体

2~(,),1,2,3,ij ij Y N i μσ= 1,2,3,4j =，1,2,3k = .记i α?为对应于i A 的主效应；记j β?为对应于j B 的主效应；记ij γ为对应于交互作用A B ?的主效应； 检验的问题：（1）10:i H α?全部等于零，11:i H α?不全等于零； （2）20:j H β?全部等于零，21:j H β?不全等于零； （3）30:ij H γ全部等于零，31:ij H γ不全等于零；

计算结果：

表5.4 双因素无重复试验的方差分析表

查表0.95(3,24) 3.01F =，0.95(2,24) 3.4F =

，0.95(6,24) 2.51F =，计算值 3.01,A F <

3.4, 2.51B A B F F ?>>，或0.05A p >>，而,B A B p p ?均显著小于0.05，所以拒绝2030,H H ，

接受10H ，认为操作工之间的差异显著，机器之间的差异不显著，它们之间的交互作用显著 . 5 某轴承厂为了提高轴承圈退火的质量，制定因素水平分级如下表所示

因素 上升温度℃ 保温时间(h)

出炉温度℃

水平1 800 6 400 水平2

820

8

500

试填好正交试验结果分析表并对试验结果进行直观分析和方差分析 .

解 根据题意，这是一个3因素2水平的试验问题 .试验指标为硬度的合格率 .应选择正

方差来源 自由度 平方和 均方 F 值 P 值 因素A 因素B 相互效应A ×B

误差 总和

3 2 6 2

4 35

2.750 27.167 7

3.5 41.333 14

4.75

0.917 13.583 12.250 1.722

0.5323 7.8871 7.1129

0.6645 0.00233** 0.00192**

交表4

4(2)L 来安排试验，随机生成正交试验表如下：

由此可见第三号试验条件为：上升温度800℃、保温时间6h 、出炉温度500℃ . 直观分析需要计算K 值，计算结果如下：

直观分析 由计算的K 值知，因素A 、B 、C 的极差分别为70，40，40，因此主次关系为A B C >=，B ，C 相当 .由于试验指标为硬度的合格率，应该是越大越好，所以各确定因素的水平分别是121,,A B C ，即最佳的水平组合是121A B C ，即最佳搭配为：上升温度800℃、保温时间8h 、出炉温度400℃

.

采用方差分析法，计算得下表：

表5.7 方差分析表

方差来源

平方和 自由度 均方差 F 值 A 1225 1 1225 1 B 400 1 400 0.33 C 400 1 400 0.33 误差 1225 1 1225 总和

3250

4

如果显著性检验水平取0.1α=，则查表得0.9(1,1)39.9F =，显然计算的F 值

1,0.33A B C F F F ===均小于查表值，所以认为三个因素对结果影响都显著 .

6

问应选用哪正交表安排试验，并写出第8号试验的条件；如果9组试验结果为（单位：kg/100m 2）：62.925，57.075，51.6，55.05，58.05，56.55，63.225，50.7，54.45，试对该正交试验结果进行直观分析和方差分析.

解 该问题属于3因素3水平的试验问题，试验指标为水稻产量 .根据题意应选择正交

表4

9(3)L 来安排试验，随机生成正交表如下：

由表可知，第8号试验的条件：品种（A 3）珍珠矮11号，插值密度（B 2）3.75棵/100m 2 ，施肥量（C 1）0.75kg/100m 2纯氨； 直观分析需要计算K 值，计算结果如下：

同上题进行直观分析，得出K 值的大小关系为：

111312212223333132,,K K K K K K K K K >>>>>>

由直观分析看出：本例较好的水平搭配是：113A B C 采用方差分析法，计算得下表：

表5.10 方差分析表

方差来源

平方和

自由度 均方差

F 值

A 1.759 2 0.879 0.0223

B 65.861 2 32.931 0.8361

C 6.660 2 3.330 0.0845 误差

78.776 2

39.388 39.388

0.9(2,2)9F =，所以认为三个因素对结果影响都不显著.

7 在阿酸的合成工艺考察中，为了提高产量，选取了原料配比A ，吡啶量B 和反应时间C 三个因素，它们各取了7个水平如下：

原料配比A ：1.0，1.4，1.8，2.2，2.6，3.0，3.4 吡啶量B ：10，13，16，19，22，25，28 反应时间C ：0.5，1.0，1.5，2.0，2.5，3.0，3.5

试选用合适的均匀设计表安排试验，并写出第7号试验的条件；如果7组试验的结果（收率）为：0.33，0.336，0.294，0.476，0.209，0.451，0.482，试对该均匀试验结果进行直观分析并通过回归分析发现可能更好的工艺条件.

解 根据题意选择均匀设计表4

7(7)U 来安排试验，有3个因素，根据使用表，实验安排

如：

表5.11 试验安排表

6 6 5 4 0.451

7 7 7 7 0.482 所以第7号实验的条件为：原配料比3.4，吡啶量28ml，反应时间3.5h.

通过直观分析，最好的实验条件是：原配料比3.4，吡啶量28ml，反应时间3.5h. 通过回归分析，最合适的实验条件是：原配料比2.6，吡啶量16ml，反应时间0.5h.

习题六

1 从某中学高二女生中随机选取8名，测得其升高、体重如下：

1 2 3 4 5 6 7

8

身高（cm）160 159 160 157 169 162 165 154

体重（kg）

49 46 53 41 49 50 48 43

在绝对距离下，试用最短距离法和离差平方和法对其进行聚类分析.

解由R软件，用最短距离（左）和差离平方和法（右）对题目进行聚类分析如下图6.1，表6.1和表6.2：

最短距离法离差平方和法

图6.1 聚类树形图

表6.1 聚类附表(最短距离法)

步骤聚类合并系数首次出现的阶段类别下一步

组1 组2 组1 组2

1 1 6 5.000 0 0 2

2 1 2 10.000 1 0 4

3 4 8 13.000 0 0 7

4 1 7 13.000 2 0 5

5 1 3 13.000 4 0 6

表6.2 聚类附表(离差平方和法)

2 已知五个变量的距离矩阵为

0367401234044440

159

234

333

1).;2);3)0

360

340

220

20

40

1000??

??

??

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

?

?

?

?

?

试用最短距离法和最长距离法对这些变量进行聚类，并画出聚类图和二分树.

解 针对距离矩阵1），采用两种方法计算如下. ①最短距离法的聚类步骤如下：

1

2

3

4

5

036740159036020w w w w w ?? ?

? ? ?

?

???

a ）将()236,1w w f h =合并为一类，，

{}11456,,,,H w w w h =距离矩阵如下

0743023060?? ?

? ? ?

?

? {}()457457),,,2b w w h w w f h ==合并为一类，